Tài liệu miễn phí Toán học
Download Tài liệu học tập miễn phí Toán học
Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 1
Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên 1. Phân phối xác suất của hàm của biến ngẫu nhiên Mệnh đề 1.1. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời là f(x,y). Giả sử U=1(X,Y) là V =2(X,Y)với 1,2là các hàm đơn trị sao cho 1(U,V) (X,Y) được xác định duy nhất từ giá trị của (U,V) là X =2(U,V).Giả thiết1,2 tồn tại các đạo hàm riêng liên tục theo u và v. Khi đó hàm mật độ đồng thời của U và V được xác định bởi UV(u,v) = f(1(u,v), 2(u,v)) Chú ý: Công thức trên có thể...
8/29/2018 10:50:51 PM +00:00
Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 2
Từ đó, Ví dụ 3.3. (Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức) Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n, p).Do E(Xi) = p với mọi i = 1, 2, ..., n nên Hiệp phương sai. Mệnh đề 3.4. Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì với mọi hàm Borel g, h E[g(X).h(Y)] = E[g(X)]. E[h(Y)] Định nghĩa 3.5. Hiệp phương sai của 2 biến ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu Cov(X, Y) được xác định bởi Cov(X, Y) = E[(X – E(X))(Y E(Y))] Khai triển vế phải ta nhận được Cov(X,...
8/29/2018 10:50:51 PM +00:00
Phân phối điều kiện và kỳ vọng điều kiện trong xác suất thống kê
Phân phối điều kiện và kỳ vọng điều kiện 1. Phân phối điều kiện Định nghĩa 1.1. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất đồng thời P(X = x, Y = y) = p(x, y). Khi đó, phân phối điều kiện của X cho bởi Y = y được xác định bởi: Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì. Ví dụ 1.2. Gieo 1 xúc xắc, giả sử mặt có X chấm xuất hiện. Tiếp tục gieo X đồng xu và giả sử Y là số lần mặt sấp xuất hiện....
8/29/2018 10:50:51 PM +00:00
Phân phối xác suất của hàm biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê
Phân phối xác suất của hàm biến ngẫu nhiên Giả sử ta đã biết phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X và g là một hàm Borel bất kỳ. Khi đó, Y = g(X) cũng là một biến ngẫu nhiên. Ta sẽ đi xác định mối quan hệ giữa phân phối xác suất của X và của Y. 1. Trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc Định lý 1.1. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y = g(X). Giả sử giá trị của X có tính chất phân phối là các với j = 1, 2,...Khi...
8/29/2018 10:50:51 PM +00:00
Véc tơ ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 1
Véc tơ ngẫu nhiên 1. Phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên Giả sử X1,X2,…,Xn là n biến ngẫu nhiên xác định trên cùng không gian xác suất ( , , P), nhận giá trị trong không gian đo (R, B(R). Định nghĩa 1.1. Ta gọi X = (X1, X2,…, Xn) là vectơ ngẫu nhiên n chiều với giá trị trong Rn. Định nghĩa 1.2. Với mỗi tập Bôren B con của Rn, P[ : X Bn, trong đó Bn là -đại số Bôren các tập B] được gọi là phân phối xác suất của vectơ ngẫu nhiên X= (X1, X2,…,...
8/29/2018 10:50:51 PM +00:00
Véc tơ ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 2
3. Véc tơ ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa 3.1. Vectơ ngẫu nhiên n chiều X = (X1, X2,…, Xn) gọi là có phân phối liên tục tuyệt đối nếu hàm phân phối đồng thời của nó có dạng: F(x1,x2,…,xn) = ; (x1,…,xn)Rn Hàm dưới dấu tích phân f(x1,..,xn) được gọi là hàm mật độ đồng thời của n biến ngẫu nhiên X1,…,Xn. Tính chất 3.2. Với (x1,…,xn) Rn Ví dụ 3.3. Giả sử hai biến ngẫu nhiên X,Y có hàm mật độ đồng thời là a- Tìm a và xác định hàm phân phối đồng thời của X và Y. b- Xác...
8/29/2018 10:50:51 PM +00:00
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cosi
Trong khi học Bàn về kiến thức về mảng bất đẳng thức thì bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức cơ bản nhất .Tuy nhiên trong khi giải bài tập để dùng được bất đẳng thức này một cách linh hoạt hơn thì ta phải dùng đến một phương pháp gọi là phương pháp chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cô-Si.
8/29/2018 10:50:51 PM +00:00
Một số phân phối liên tục quan trọng -1
Một số phân phối liên tục quan trọng 1. Phân phối đều Định nghĩa 1.1. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều trên đoạn [a, b] nếu hàm mật độ của nó có dạng: Hàm phân phối của X có dạng Ví dụ 1.2. Bắt đầu từ 7h, cứ 15phút lại có một chuyến xe bus dừng tại bến. Giả sử một hành khách đến bến ngẫu nhiên trong khoảng thời gian từ 7h đến 7h30. Tính xác suất để hành khách đó phải chờ cho đến khi có xe không quá 5 phút; nhiều hơn 10 phút. Giải....
8/29/2018 10:50:50 PM +00:00
Một số phân phối liên tục quan trọng -2
Ví dụ 3.4. Giả sử chiều cao X của một loại cây là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Tiến hành đo 640 cây thấy có 25 cây thấp hơn 18m và 110 cây cao hơn 24m a- Tính chiều cao trung bình của cây và độ lệch tiêu chuẩn. b- ước lượng số cây có chiều cao trong khoảng từ 16m đến 20m trong số 640 cây trên.
8/29/2018 10:50:50 PM +00:00
Một số phân phối rời rạc quan trọng - 1
Một số phân phối rời rạc quan trọng 1. Phân phối nhị thức. Định nghĩa 1.1. Xét dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành công trong mỗi phép thử là p. Ký hiệu X là số lần “thành công” xuất hiện trong dãy n phép thử. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức với tham số (n, p), ký hiệu B(n, p) với pX(k) = P(X = k) = ; k = 0, 1,..., n Ví dụ 1.2. Gieo liên tiếp ba lần đồng xu cân đối và đồng chất. Gọi X là số lần xuất hiện...
8/29/2018 10:50:50 PM +00:00
Một số phân phối rời rạc quan trọng - 2
Trước hết ta xét một ví dụ sau Ví dụ 3.1. Xét dãy phép thử độc lập G1, G2, … sao cho mỗi phép thử Gi tương ứng với không gian biến cố sơ cấp W = {A, }. Giả sử xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử bằng p. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số phép thử cần thiết để lần đầu tiên biến cố A xuất hiện. Tìm phân phối xác suất của X. Giải. Biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị 1, 2, 3,…, n,…Ta thấy X = k nếu...
8/29/2018 10:50:50 PM +00:00
BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH PHẦN MA TRẬN
BÀI TẬP PHẦN MA TRẬN a) Có thể lập được tích của những ma trận nào trong 4 ma trận trên ? b) Hãy tính CDBA. Cấp của ma trận tích là bao nhiêu ? c) Có thể tính được các tích DBAC, ACDB không? Nếu được thì cấp của nó là bao nhiêu ? 2. Thực hiện phép nhân AB, BA, trong đó : Hãy tính BBT, BTB, B2, B3.
8/29/2018 10:50:50 PM +00:00
TỰ ÔN LUYỆN TOÁN PHẦN BẤT PHƯƠNG TRÌNH - 3 (NGHỆ AN)
Tham khảo tài liệu 'tự ôn luyện toán phần bất phương trình - 3 (nghệ an)', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
8/29/2018 10:50:50 PM +00:00
Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối trong xác suất thống kê - 1
Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 1. Biến ngẫu nhiên Cho không gian xác suất (W, , P) và B(R) là s-đại số các tập Borel với R = (-¥; +¥). Định nghĩa 1.1. Biến ngẫu nhiên X(w) là hàm đo được xác định trên không gian biến cố sơ cấp W và nhận giá trị trong R, nghĩa là với mọi tập BÎ B(R) ta có X-1(B) = { Định lí 1.2. Cho (W, , P) là không gian xác suất. Khi đó X(w) là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian đó khi và chỉ khi với...
8/29/2018 10:50:50 PM +00:00
Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối trong xác suất thống kê - 2
Định nghĩa 3.1. Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu tập các giá trị có thể có của X là tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được. Giả sử X nhận các giá trị x1, x2, …, xn,… Đặt Ak = [w: X = xk] và ký hiệu xác suất để nhận giá trị xk là pk =P( X = xk) =P(Ak) ; k = 1, 2,…. Khi đó, P(W) = 1. Định nghĩa 3.2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X được xác định bởi P( X =...
8/29/2018 10:50:50 PM +00:00
Các công thức xác suất trong môn xác suất thống kê - 1
Các công thức xác suất 1.1. Xác suất điều kiện - Công thức xác suất của biến cố tích - Sự độc lập của các biến cố 1.1.1 Xác suất điều kiện. Trong nhiều trường hợp, một vấn đề được đặt ra là: ta có thể nói gì về xác suất của biến cố A nếu có thông tin biến cố B nào đó (liên quan tới A) đã xảy ra? Trong những trường hợp đơn giản nhất, câu trả lời khá dễ dàng. Chẳng hạn, nếu A và B xung khắc thì A không thể xảy ra, vì vậy xác suất...
8/29/2018 10:50:50 PM +00:00
Các công thức xác suất trong môn xác suất thống kê - 2
Công thức trên được gọi là công thức xác suất toàn phần. Ví dụ 1.2.1. Có 2 lô sản phẩm. Lô 1 có 50 sản phẩm trong đó có 20 sản phẩm xấu. Lô 2 có 40 sản phẩm, trong đó có 15 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên một lô và từ đó lấy ra 1 sản phẩm. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Giải. Ký hiệu Bi là biến cố “Sản phẩm lấy ra từ lô i”, i = 1, 2 thì { B1, B2 } lập thành hệ đầy đủ các...
8/29/2018 10:50:50 PM +00:00
Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 1
Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 1. Kỳ vọng toán Định nghĩa 1.1. Kỳ vọng toán hay giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X là một số thực, ký hiệu E(X) được xác định bởi. Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc, có phân phối xác suất P(X = xk) = pk thì. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ thì. Số E(X) cho ta biết giá trị trung bình mà biến ngẫu nhiên X nhận.
8/29/2018 10:50:50 PM +00:00
Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 2
mômen tất cả các bậc nhưng cũng có biến ngẫu nhiên không có mômen đối với mọi k, bắt đầu từ một số k nào đó. Điều này có nghĩa X chỉ có các momen gốc bậc 1, 2, 3 hữu hạn . b. Hệ số bất đối xứng và hệ số nhọn Định nghĩa 3.3. i) Cho biến ngẫu nhiên X có độ lệch tiêu chuẩn . Khi đó, hệ số bất đối xứng của X, ký hiệu được xác định bởi: ii) Cho biến ngẫu nhiên X có độ lệch tiêu chuẩn. Khi đó, hệ số nhọn của...
8/29/2018 10:50:50 PM +00:00
Đề thi hết học phần: TOÁN KINH TẾ 1 (đề 1)
Đề thi hết học phần: TOÁN KINH TẾ 1 (đề 1) Thời gian: 60 phút (sinh viên không được sử dụng tài liệu) Bài 2: (4 điểm) Tìm cực trị có điều kiện của hàm số z=x+y+5 với điều kiện ex + e y = 2 L x y 5( 2 x e y ) = Z đạt cực đại Bài 3: (3 điểm) Giải hệ phương trình và trình bày hệ nghiệm cơ bản: 2x1 3x1 -2x1 + x2 + 2x2 - x2 - 2x3 - x3 + x4 + 7x4 - 10x4 =1 =7 = -10
8/29/2018 10:50:50 PM +00:00
Định nghĩa xác suất và các tính chất trong môn xác suất thống kê - 1
Định nghĩa xác suất và các tính chất 1.1. Không gian mẫu và không gian biến cố 1.1.1 Không gian mẫu Tiến hành thực hiện một phép thử (thí nghiệm). Giả sử ta không biết trước được kết quả của phép thử nhưng ta sẽ biết tập tất cả các kết quả có thể của phép thử. Ta có một phép thử ngẫu nhiên. Tập tất cả các kết quả có thể của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử, ký hiệu cách. Ví dụ 1.1.1. Gieo 2 đồng xu. Ký hiệu S là kết quả “mặt sấp...
8/29/2018 10:50:50 PM +00:00
Định nghĩa xác suất và các tính chất trong môn xác suất thống kê - 2
Nhận xét: m phần tử cho biến cố A; n phần tử của lập nên A được gọi là số khả năng thuận lợi được gọi là số khả năng có thể. Định nghĩa trên được gọi là Định nghĩa cổ điển của xác suất. Ta xét một số ví dụ áp dụng Định nghĩa cổ điển của xác suất để giải bài tập xác suất. Ví dụ 1.2.3. Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối và đồng chất. Tìm xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng 6. Giải. Ký hiệu x, y tương ứng...
8/29/2018 10:50:50 PM +00:00
Hàm đặc trưng - Định lý giới hạn trung tâm trong xác suất thống kê - 1
Hàm đặc trưng - Định lý giới hạn trung tâm 1. Hàm đặc trưng: Định nghĩa và các tính chất Định nghĩa 1.1. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu C xác định bởi X(t) R, i là đơn vị ảo. Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất P(X = xk) = pk với thì hàm đặc trưng của X là X(t) Nếu X có phân phối liên tục tuyệt đối với hàm mật độ f(x) thì hàm đặc trưng X là Ví dụ 1.2. Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối Ví dụ 1.3....
8/29/2018 10:50:50 PM +00:00
HÀM NHIỀU BIẾNTRONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Nguyễn Ngọc lan) -1
Chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN 1.MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2,… xn) (xi R, i = 1,.. n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là Rn. Rn = {x = (x1, x2,… xn): xi R, i = 1,.. n}
8/29/2018 10:50:50 PM +00:00
HÀM NHIỀU BIẾNTRONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Nguyễn Ngọc lan) - 2
Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình F(x,y) = 0 Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, x (A,B) thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0. Ví dụ: xy – ex + ey = 0 Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến: y= Fx Fy Ví dụ: Tính y’ nếu: F(x,y) = x3 + y3 – 3axy = 0 F(x,y) = xy – ex + ey = 0 Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0. Nếu tồn tại hàm số hai...
8/29/2018 10:50:50 PM +00:00
SỬ DỤNG HÀM NHIỀU BIẾN TRONG BÀI TOÁN THỐNG KÊ
C3. HÀM NHIỀU BIẾN 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2,… xn) (xi R, i = 1,.. n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n chiều được ký hiệu là Rn. Rn = {x = (x1, x2,… xn): xi R, i = 1,.. n} Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x. C3. HÀM NHIỀU BIẾN Khoảng cách 2 điểm: x = (x1,x2,… xn), y = (y1,y2,… yn)Rn:n d( x, y ) (...
8/29/2018 10:50:50 PM +00:00
C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CRAME - PHƯƠNG PHÁP GAUSS HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT VÀ ỨNG DỤNG
C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 2 3 Các khái niệm HPTTT Crame Phương pháp Gauss 4 HPTTT Thuần nhất 4 Một số ứng dụng I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN I.1. Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính: 1. Định nghĩa: là một hệ phương trình đại số bậc nhất gồm m phương trình n ẩn có dạng: a x1 a x 2 12 11 a21x1 a22 x 2 ... ... a x a x m1 1 m2 2 ... ... ... a1n xn a2n xn ... b1 xj là biến...
8/29/2018 10:50:50 PM +00:00
Lý thuyết mẫu – bài toán ước lượng điểm trong thống kê - 2
Xác suất điều kiện này không phụ thuộc vào thống kê đủ đối với . * Điều kiện cần. Vậy T(X) = (T1(X),…, Ts(X)) làGiả sử (T1(X),…, Ts(X)) là thống kê đủ đối với . Theo Định nghĩa ta có không phụ thuộc vào. Đặt h(x1,…, xn) = Ta biết rằng Điều kiện cần được chứng minh. Chứng minh định lí trong trường hợp phân phối liên tục xem trong [2]. Ví dụ 2.6. Giả sử (X1, X2,…, Xn) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối chuẩn N(a; với (a;2). Chứng minh rằng 2;là thống kê đủ đối). Giải. Ta có hàm mật...
8/29/2018 10:50:50 PM +00:00
Luật số lớn trong xác suất thống kê - 1
Luật số lớn 1. Các khái niệm và mối quan hệ giữa các loại hội tụ cơ bản Định nghĩa 1.1. Dãy biến ngẫu nhiên (Xn, n 1) được gọi là hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên X khi n , ký hiệu , nếu với mọi 0 tuỳ ý (1) Định nghĩa 1.2. Dãy biến ngẫu nhiên (Xn, n 1) được gọi là hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên X khi n , ký hiệu nếu P[w: (2)] = 1. Vậy (2) trở thành P(A) = 1. Từ đó, tiêu chuẩn hội tụ...
8/29/2018 10:50:50 PM +00:00
Luật số lớn trong xác suất thống kê - 2
b- Nếu (An) là dãy các biến cố độc lập và Chứng minh. a.Theo giả thiết P(A ) = 0.nên số hạng dư khi n. Vậy b- Ta có. Để chứng minh P(A ) = 1 ta cần chứng minh hay ta phải chứng minh P() = 0 với mọi n. Với N n ta có P() 0 cho trước (6) Chứng minh. Đặt;, k = 1, 2,…, n và Rõ ràng A0, A1,…, Ak là xung khắc từng đôi, trong đó 2,…, n.Ta có, k = 1,và Vì E(Sn/Ak) = 0 nênTheo giả thiết Ak độc lập với các, j ...
8/29/2018 10:50:50 PM +00:00