Xem mẫu
- Phân phối điều kiện và kỳ vọng điều kiện
1. Phân phối điều kiện
Định nghĩa 1.1. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất
đồng thời P(X = x, Y = y) = p(x, y). Khi đó, phân phối điều kiện của X cho bởi Y
= y được xác định bởi
Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì .
Ví dụ 1.2. Gieo 1 xúc xắc, giả sử mặt có X chấm xuất hiện. Tiếp tục gieo X đồng
xu và giả sử Y là số lần mặt sấp xuất hiện. Xác định ; p(x,y) và pY(y).
Giải. Giả sử X = x thì Y là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(x; . Vậy
Từ đó
p(x,y) =P(X = x, Y = y) = .pX(x) =
- và phân phối của Y là
Ví dụ 1.3. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Poisson tham số
lần lượt là Xác định phân phối điều kiện của X cho bởi X + Y = n.
Giải. Ta có
Theo Ví dụ 2.5 (bài học tuần 9), X +Y cũng có phân phối Poisson tham số
. Từ đó,
- hay phân phối của X với điều kiện X + Y = n là phân phối nhị thức tham số n và
.
Định nghĩa 1.4. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời fX,Y(x,
y). Khi đó, hàm mật độ điều kiện của X cho bởi Y = y được xác định bởi
Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì .
Từ định nghĩa trên ta có
Hàm mật độ của X
Với tập D bất kỳ
Hàm phân phối của X
- Ví dụ 1.5. Cho các biến ngẫu nhiên X, Y có hàm mật độ đồng thời
Tính
Giải. Với y > 0, hàm mật độ của Y là
Vậy với x, y > 0, hàm mật độ điều kiện của X cho bởi Y = y là
Từ đó,
2. Kì vọng điều kiện
Định nghĩa 2.1. Cho các biến ngẫu nhiên X, Y. Kỳ vọng điều kiện của X cho bởi
Y = y, ký hiệu được xác định bởi
- Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối điều kiện của X cho
bởi Y = y là thì
với mọi giá trị y sao cho P(Y = y) >0.
Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ điều kiện của X
cho bởi Y = y là thì
với mọi giá trị y sao cho fY(y) >0.
Ví dụ 2.2. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối nhị thức
tham số n, p. Xác định kỳ vọng điều kiện của X cho bởi X + Y = n.
Giải. Trước hết ta xác định phân phối điều kiện của X cho bởi X + Y = n. Ta có
Vậy phân phối điều kiện của X cho bởi X + Y = n là phân phối siêu bội. Từ đó
- .
Ví dụ 2.3. Cho hàm mật độ đồng thời của hai biến ngẫu nhiên (X,Y) là
Xác định E(X ) và E(Y
Giải. Ta có hàm mật độ của X là
=
và hàm mật độ của Y là
=
Từ đó, hàm mật độ điều kiện của Y cho bởi X = x là
= =
- và hàm mật độ điều kiện của X cho bởi Y = y là
= =
Vậy
E(Y và E(X
Tính chất 2.4.
Cho g là hàm Borel thì
nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập.
. Đặc biệt, nếu C là hằng số.
với a, b là hằng số
. Đặc biệt
- Nếu Y là biến ngẫu nhiên rời rạc thì
Nừu Y là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ fY(y) thì
Ví dụ 2.5. Cho các biến ngẫu nhiên X, Y có hàm mật độ đồng thời
Tính EX; EY và
Giải. Từ
Ta nhận được E(Y) = 1. Vì
là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với kỳ vọng y nên
- Ta có
Vậy Cov(X,Y) = EXY – EX.EY = 1
nguon tai.lieu . vn
