- Trang Chủ
- Toán học
- Hàm đặc trưng - Định lý giới hạn trung tâm trong xác suất thống kê - 1
Xem mẫu
- Hàm đặc trưng - Định lý giới hạn trung tâm
1. Hàm đặc trưng: Định nghĩa và các tính chất
Định nghĩa 1.1. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là hàm X: R
X
C xác định bởi R, i là đơn vị ảo.
X(t) = ,t
Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất P(X = xk) = pk với
thì hàm đặc trưng của X là
X(t)
Nếu X có phân phối liên tục tuyệt đối với hàm mật độ f(x) thì hàm đặc
trưng X là
(t) =
Ví dụ 1.2. Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức tham số n, p. Xác định
hàm đặc trưng của X.
- Giải. Ta có
Từ đó,
X(t) =
Ví dụ 1.3. Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson tham số > 0. Xác định
hàm đặc trưng của X.
Giải. Ta có
X(t) = =
Ví dụ 1.4. Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối mũ tham số > 0. Xác định
hàm đặc trưng của X.
Giải. Ta có
X(t) =
Ví dụ 1.5. Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn tắc N(0; 1). Xác định hàm
đặc trưng của X.
- Giải. Ta có
X(t) =
Tính chất 1.6. (Tính chất của hàm đặc trưng)
với mọi - < t < + .
X(0) = 1; -1 X(t)
Hàm đặc trưng liên tục đều trên toàn bộ đường thẳng.
X(t)
= eitb a, b là các hằng số
aX+ b(t) X(at),
Nếu dãy biến ngẫu nhiên X1,..., Xn độc lập thì hàm đặc trưng của tổng
bằng tích các hàm đặc trưng của từng biến, nghĩa là
Ví dụ 1.7. Giả sử biến ngẫu nhiên Y có phân phối chuẩn N(a; ). Xác định hàm
đặc trưng của Y.
Giải. Đặt thì X có phân phối chuẩn tắc N(); 1). Do Y = X + a nên
- = eita
Y(t) X( t) =
Định lí 1.8. Nếu đại lượng ngẫu nhiên X có mômen tuyệt đối cấp n, thì hàm đặc
trưng của X khả vi n lần và với k n ta có .
Ta có thể sử dụng định lí này vào việc tính kì vọng và phương sai của X.
Ví dụ 1.9. Tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn
N(a; ).
Giải. Theo Ví dụ 1.7 thì X(t) = . Ta có
’X(t) =
’’X(t) =
áp dụng Định lý 1.8 ta nhận được
E(X) = ’X(0) =
E(X2) = ’’X(0) =
và từ đó D(X) = .
- Định lí 1.10. (Công thức ngược)
Nếu biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối F(x) và hàm đặc trưng (t) thì đối với
hai điểm liên tục bất kì x, y của F(x) ta có
F(y) – F(x) =
Nếu khả tích trên toàn bộ đường thẳng và X có hàm mật độ là f(x) liên tục
thì
Ví dụ 1.11. Giả sử biến ngẫu nhiên X có hàm đặc trưng . Tìm hàm mật
độ của X.
Giải. Theo Định lý 1.10 ta có .
Đặt w = t + iv. Với x < 0, tích phân theo trục thực bằng tích phân theo đường cong
- kín tạo bởi trục thực và nửa vòng tròn với bán kín lớn vô cùng nằm ở nửa mặt
phẳng trên (xem hình)Ta có
.
Theo định lí về thặng dư
Vì x < 0 nên ta có .
Tương tự với x > 0 ta có . Đưa về trường hợp x < 0 bằng cách
đặt t1 = -t ta nhận được
Từ đó
Tóm lại, hàm mật độ tìm được là .
nguon tai.lieu . vn