Xem mẫu
- ISSN 2354-0575
XẤP XỈ TROTTER_KATO CỦA C0 NỬA NHÓM
Trịnh Xuân Yến
Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên
Ngày tòa soạn nhận được bài báo: 10/05/2018
Ngày phản biện đánh giá và sửa chữa: 18/07/2018
Ngày bài báo được duyệt đăng: 02/08/2018
Tóm tắt:
Trong bài báo này sẽ trình bày về một số xấp xỉ Trotter_Kato và xấp xi Yosida của nửa nhóm các
toán tử liên tục mạnh `T _ t ijt $ 0 trong không gian Banach và mối quan hệ của nửa nhóm liên tục mạnh với
toán tử sinh của nó. Bài viết sử dụng tính chất bị chặn của nửa nhóm liên tục mạnh và một số tính chất của
toán tử sinh của nó và giải thức chứng minh tính hội tụ và hội tụ đều của dãy các nửa nhóm.
Từ khóa: Nửa nhóm liên tục mạnh, toán tử sinh, không gian Banach.
1. Đặt vấn đề , hàm giá trị s 7 S _t - s i R _ m , B i T _ s i R _ m , A i x là
Xấp xỉ, nhiễu loạn là những phương pháp khả vi.
chính được sử dụng để nghiên cứu toán tử phức Xét một toán tử đơn giản
tạp và nửa nhóm nó sinh ra. Đối với một toán tử
i _ i _
d _ i _ i
(A,D(A)) trên X thỏa mãn các điều kiện Hille- ds [S t - s R m , B T s R m , A x]
Yosida trong định lý về toán tử sinh, ta xác định xấp S _t - s i [- BR _ m , B i T _ s i + R _ m , B i T _ s i A] R _ m , A i x
xỉ Yosida (bị chặn) = S _t - s i [R _ m , A i - R _ m , B i] T _ s i x
An = nAR(n, A), ở đây sử dụng tính chất R _ m , A i T _ s i x =
sinh ra các nửa nhóm (liên tục đều) (e tAn ) t $ 0 , với T_ s iR_m , Aix .
R _ n, A i = _ nI - A i , n ! N.
-1
Từ đó suy ra
Sử dụng sự kiện An " A theo từng điểm trên t
D(A) khi n " 3 có thể chứng tỏ rằng các nửa nhóm # S _t - s i [R_ m , A i - R_ m , B i] T _ s i xds =
cũng hội tụ, tức là 0
e tAn " T (t) khi n " 3. = S _t - s i R _ m , B i T _ s i R _ m , A i x t
0
Trong bài viết này sẽ đưa ra một số công cụ
nghiên cứu các tính chất hội tụ và xấp xỉ của nửa = R _ m , B i [T (t) - S _ t i] R _ m , A i x
nhóm một cách có hệ thống và xét mối quan hệ giữa
ba đối tượng: nửa nhóm, toán tử sinh và giải thức. 2.3. Định lý xấp xỉ Trotter_Kato thứ nhất
Cho `T _ t ijt $ 0 và `Tn _ t ijt $ 0 _ n ! N i là các
2. Các định lý xấp xỉ Trotter_Kato
nửa nhóm liên tục mạnh trên X với các toán tử sinh
2.1. Định nghĩa
Một không gian con D của miền xác định A và An tương ứng, và giả thiết rằng chúng thỏa mãn
D(A) của một toán tử tuyến tính A: D (A) 3 X " X đánh giá T _ t i , Tn _ t i # Me ~t 6t $ 0, n ! N và
được gọi là một lõi đối với A nếu D là trù mật trong các hằng số M $ 1, ~ ! R .
D(A) với chuẩn đồ thị x A = x + Ax . Cho D là một lõi đối với A và xét các khẳng
định sau:
2.2. Bổ đề (a) D 1 D _ A i 6n ! N và An x " Ax 6x ! D
Cho A và B là các toán tử sinh của nửa nhóm (b) Với mỗi x ! D , tồn tại xn ! D _ An i sao
liên tục mạnh `T _ t ijt $ 0 và ` S _ t ijt $ 0 tương ứng. cho xn " x và An xn " Ax
Với x ! X và m ! t _ A i + t _ B i ta có (c) R _ m , An i x " R _ m , A i x với mọi x ! X và
R _ m , B i8T _ t i - S _ t iB R _ m , A i x = với mọi m 2 ~
t (d) Tn _ t i x " T _ t i x với mọi x ! X , đều với t
= # S_t - s i8R_ m , A i - R_ m , B iBT_ s i xds trong các khoảng compact.
0
Khi đó ra suy ra (a) & (b) & (c) & (d)
ở đây, ρ(A) = { m ! K | _ mI - A i
-1
7 và liên tục }. đúng, trong đó (b) là không suy ra (a)
Chứng minh: Với x ! X và m ! t _ A i + t _ B i Chứng minh:
56 Khoa học & Công nghệ - Số 19/Tháng 9 - 2018 Journal of Science and Technology
- ISSN 2354-0575
(a) & (b) là hiển nhiên Hàm dưới dấu tích phân bên phía phải là
bị chặn bởi 2M3 e2~T _ m - ~ i x vì Tn _t - s i #
-1
(b) & (c) cho m 2 ~ ta có
R _ m , An i # - R _m , Ai - R _m , Ani #
M
M . e ~ (t - s) # M . e ,
~T
m ~
6n ! N
Cho x ! D và xác định y = _ mI - A i x , y 2M _m - ~i , T _ s i # M . e ~T ,
-1
thuộc không gian con trù mật _ mI - A i D . suy ra
2M3 e2~T x
Theo giả thiết từ (b) tồn tại (xn ) 1 D _ An i sao Tn _t - si . (R ( m , A) - R ( m , An )) T (s) x #
_m - ~i
cho xn " x và An xn " Ax do đó yn = _ mI - An i xn " y
nó tiến tới 0 khi n " 3 bởi định lý hội tụ bi chặn
Xét đánh giá của Lebesgue vế bên phải (*) tiến tới 0 và do đó
R _ m , An i y - R _ m , A i y # R _ m , An i y - R _ m , An i yn + lim R _ m , An i`Tn _ t i - T _ t ij R _ m , A i x = 0 (**) và
R _ m , An i yn - R _ m , A i y
n"3
+ giới hạn trong (**) là đều trên [0,T]. Do đó với mọi
# R _m , An i . y - yn + xn - x x ! D _ A i có thể viết là x = R _ m , A i z với z ! X . Ta
suy ra rằng từ (**) rằng với x ! D _ A i khi n " 3
do xn " x , yn " y suy ra R _ m , An i y " R _ m , A i y
đều trên [0,T]. Từ đó suy ra với x ! D _ A i ta có
với mọi y ! _ mI - A i D . Do _ mI - A i D là không lim `Tn _ t i - T _ t ij x = 0
gian con trù mật nên nó vẫn đúng với y ! X . n"3
(c) & (b) đối với y ! _ mI - A i D sao cho
và giới hạn trên là đều trên [0,T]. Do
Tn _ t i - T _ t i là bị chặn đều trên [0,T] và do D(A)
x R m , A i y và xn = R _ m , An i y , với m 2 ~
= _
là trù mật trong X ta suy ra giới hạn trên đúng với
cố định và nhận xét rằng xn " x vì (c) và mọi x ! X đều trên [0,T].
An xn = An R _ m , An i y = mR _ m , An i y - y hội tụ tới
mR _ m , A i y - y suy ra An xn " Ax . 2.4. Định lý xấp xỉ Trotter_Kato thứ hai
(d) & (c) từ biểu diễn tích phân của giải thức Cho `T n _ t ijt $ 0 n ! N là các nửa
+3
R_m , A i = # e - mt T (t) dt với m 2 ~. nhóm liên tục mạnh trên X với các toán tử sinh
0 ` An , D _ An ij tương ứng thõa mãn điều kiện ổn định
Ta có +3 Tn _ t i # M . e ~t với các hằng số M $ 1, ~ ! R và
R _ m , A i x - R _ m , An i x # # e - mt T (t) x - Tn (t) x dt với mọi t $ 0, n ! N . Với m 0 2 ~ xét các khẳng
0 định sau.
Do Tn (t) x " T (t) x và do định lý hội tụ bị (a) Tồn tại các toán tử xác định trù mật
chặn của Lebesgue suy ra (A,D(A)) sao cho An x " Ax với mọi x trong lõi D
R _ m , An i x " R _ m , A i x của A và sao cho miền giá trị rg _ m 0 I - A i là trù
(c) & (d) với x cố định và một khoảng mật trong X.
0#t#T (b) Các toán tử R _ m0 , An i n ! N là hội tụ
Xét mạnh tới một toán tử R ! L _ X i với miền giá trị trù
(Tn (t) - T (t)) R ( m , A) x # Tn (t) (R ( m , A) - R ( m , An )) x mật rgR.
(c) Các nửa nhóm `T n _ t ijt $ 0 n ! N là hội
+ R ( m , An ) (Tn (t) - T (t)) x +
tụ mạnh (và đều) với t ! 70, t0A tới một nửa nhóm
+ R ( m , An ) - R ( m , A)) T (t) x
liên tục mạnh (T _ t i ) t $ 0 với toán tử sinh B sao cho
= D1 + D2 + D3
R = R_m , Bi .
Do Tn _ t i # M . e ~t với 0 # t # T , do giả Khi đó ta suy ra (a) & (b) + (c) . Đặc biệt
thiết (c) suy ra D1 " 0 khi n " 3 đều trên [0,T]. nếu (a) đúng thì B = -A.
Cũng vậy, do t 7 T _ t i x là liên tục, tập
Chứng minh:
Không làm mất tính tổng quát sau khi thay
$T _ t i x: 0 # t # T . compact trong X và do đó D3 " nửa nóm đã cho bởi nửa nhóm điều chỉnh lại, chỉ
0 khi n " 3 trên [0,T]. cần xét các nửa nhóm bị chặn đều.
Cuối cùng sử dụng bổ đề 2.2 với B = An ta có (a) & (b) Như chứng minh ở trên, chỉ cần
R ( m , An ) (Tn (t) - T (t)) R ( m , A) x # chứng minh sự hội tụ của dãy a R ` m 0 , An j y k với
y = _ m 0 I - A i x x ! D . Thật vậy, do
n!N
t (*)
# Tn _t - s i . (R ( m , A) - R ( m , An )) T (s) x ds R ` m 0 , An j y =
0
R ` m 0 , An j9` m 0 I - An j x - ` m 0 I - An j x + ` m 0 I - A j xC
T
Tn _t - s i . (R ( m , A) - R ( m , An )) T (s) x ds
=
#
= x + R _ m 0 , An i_ An x - Ax i " x = Ry (vì giả thiết
#
0
Khoa học & Công nghệ - Số 19/Tháng 9 - 2018 Journal of Science and Technology 57
- ISSN 2354-0575
An x " Ax với mọi x ! D ) khi n " 3. Hơn nữa Tính chất này cho phép chứng minh đơn giản và
rgR chứa D, do đó nó trù mật trong X. trực tiếp một bước cốt yếu trong định lý xấp xỉ 2.3.
(c) & (b) do định lý 2.3 3.1. Bổ đề:
(b) & (c) sẽ thu được một giả Cho (T _ t i ) t $ 0 và `T n _ t ijt $ 0 n ! N là các
giải thức $ R _ m i : m 2 0 . xác định bởi nửa nhóm liên tục mạnh, với các toán tử sinh tương
R _ m i x = lim R _ m , An i x x ! X . Giả giải thức này ứng là (A,D(A)) và toán tử sinh bị chặn An. Hơn nữa
thỏa mãn, với mọi m 2 0 . mR _ m i # M và vì giả sử rằng (T _ t i ) t $ 0 và `T n _ t ijt $ 0 thỏa mãn điều
n"3
R _ m i = lim R _ m , An i , m k R _ m i # M với mọi kiện ổn định:
k k k
k ! N.
n"3
T (t) ; Tn (t) # M . e ~t với t $ 0
Hơn nữa, nó có miền giá trị trù mật và AnT(t) = T(t)An
rgR _ m i = rgR . Do đó nó cho sự tồn tại của với mọi n ! N và t > 0. Nếu An x " Ax với mọi x
một toán tử xác định trù mật (B,D(B)) sao cho trong lõi D của A, thì Tn (t) x " T (t) x với mọi x ! X
R _ m i = R _ m , B i với m > 0. Hơn nữa toán tử đều với t ! 70, t0A
này toán tử này thỏa mãn đánh giá Hille-Yosida Chứng minh: Với x ! D và n ! N , ta có
m k R _ m , B i # M với mọi k ! N .
k t
Tn _ t i x - T _ t i x =- # ds 8Tn _t - S i T _ s i xB ds
d
Do đó sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh
bị chặn (T _ t i ) t $ 0 với toán tử sinh B sao cho
0t
= # Tn (t - s) (An - A) T (s) xds
R_ m i = R_ m0 , B i . 0 t
Bước cuối cùng cần chứng minh nếu (a) = # Tn (t - s) T (s) (An x - Ax) ds
đúng thì suy ra A = B . 0
Do R _ m 0 , B i = R . Ta có: R _ m 0 , B i_ m 0 I - A i x do đó
= x với mọi x ! D . Tn _ t i x - T _ t i x # t . M2 e ~t An x - Ax
suy ra
Tuy nhiên, D là một lõi đối với A và do đó
Tn (t) x " T (t) x
R _ m 0 , B i_ m 0 I - A i x = x với mọi x ! D _ A i .
Từ điều này suy ra rằng m 0 không là một giá 3.2. Công thức xấp xỉ đầu tiên:
trị riêng xấp xỉ của A . Hơn nữa rg _ m 0 I - A i là trù Cho (T _ t i ) t $ 0 là một nửa nhóm co liên tục
mật trong X bởi giả thiết, do đó m 0 không phụ thuộc mạnh trên X với toán tử sinh (A,D(A)). Khi đó toán
về phổ dư của A . Do đó m 0 ! t _ A i và ta thu được: tử bị chặn
R _ m 0 , A i = R _ m 0 , B i tức là A = B . An =
T (1 / n) - I n ! N
1/n
3. Xấp xỉ Yosida Xấp xỉ A trên D(A) sinh ra một nửa nhóm co
Cho (A,D(A)) là một toán tử trên X thỏa (e tAn ) t $ 0 do đó ta thu được công thức xấp xỉ suy ra
mãn các điều kiện của định lý về toán tử sinh với sau đây.
mỗi n ! N , xác định xấp xỉ Yosida
An = nAR _ n, A i ! L _ X i 3.3. Hệ quả: Với định nghĩa trên ta có:
T (t) x = lim e -nt . e ntT (1 / n) x
Nhận xét: n"3
Các toán tử An, n ! N là giao hoán với nhau. với mọi x ! X và đều với t trong [0,t0].
Tài liệu tham khảo
[1]. Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long. Giáo trình Hàm thực và Giải tích hàm, NXB ĐHQG HÀ NỘI,
2001.
[2]. Hoàng Tụy. Giáo trình Hàm thực và Giải tích hàm, NXB ĐHQG HÀ NỘI, 2002.
[3]. Jerome. A. Goldstein. Semigroups of Linear Operators anh Application, Oxford University
Press. Clarendon Press, 1985.
[4]. Klaus-Jochen Engel Rainer Nagel. One-Parameter Semigroups of Linear Evolution Equation,
Springer, 2000.
[5]. A. Pazy. Semigroups of Linear Operators anh Application to Partial Differential Equations,
Springer, New York, 1983.
[6]. Tosio Kato. Perturbation Theory for Linear Operators, Springer-Verlag, 1976.
58 Khoa học & Công nghệ - Số 19/Tháng 9 - 2018 Journal of Science and Technology
- ISSN 2354-0575
APPROXIMATION TROTTER_KATO OF C0 SEMIGROUP
Abstract:
In this paper we will state about some Trotter-Kato approximation and Yosida approximation of
strongly continuous operator semigroups and its generators. The paper used boundedness of strongly
continuous semigroups and the property of generator and resolvent prove that convergence and uniform
convergence of semigroups.
Keywords: Strongly continuous semigroups, generators, Banach space.
Khoa học & Công nghệ - Số 19/Tháng 9 - 2018 Journal of Science and Technology 59
nguon tai.lieu . vn
