- Trang Chủ
- Toán học
- Xấp xỉ diophantine trên R - Phần 2: quy tắc dirichlet và hình học của các số
Xem mẫu
- XẤP XỈ DIOPHANTINE TRÊN Rn - PHẦN 2:
QUY TẮC DIRICHLET VÀ HÌNH HỌC CỦA
CÁC SỐ
Lý Ngọc Tuệ - Đại học Brandeis, Massachusetts, Mỹ
1. Định lý Dirichlet
Trong phần trước [11], với công cụ chính là liên phân số, chúng ta đã có được câu trả lời cho câu
hỏi: "Các số hữu tỉ có thể xấp xỉ các số vô tỉ tốt đến thế nào?" qua định lý sau của Euler:
p
Định lý 1.1 (Euler 1748 [4]). Với mọi số vô tỉ x 2 R X Q, tồn tại vô số số hữu tỉ 2 Q với
q
q > 0 sao cho: ˇ ˇ
ˇ
ˇx p ˇ< 1:
ˇ
(1.1)
ˇ q ˇ q2
Tuy nhiên, cho đến tận bây giờ vẫn chưa có được một cách xây dựng liên phân số trong không
gian nhiều chiều Rn có đầy đủ các tính chất để có thể trả lời câu hỏi về khả năng xấp xỉ các véc
tơ trên Rn bằng các véc tơ hữu tỉ Qn . Phải đến gần 100 năm sau, Định lý 1.1 mới được mở rộng
lên Rn bởi nhà toán học Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Kết quả này được xem như là xuất phát
điểm cho lý thuyết xấp xỉ Diophantine phát triển. Vì thế nên Định lý 1.1 vẫn thường được gọi là
Định lý Dirichlet (trên R).
Trên không gian véc tơ Rn , giá trị tuyệt đối trên R trong bất đẳng thức (1.1) sẽ được thay thế bởi
sup norm:
xE
WD maxfjx1 j; :::; jxn jg với xE D .x1 ; :::; xn / 2 Rn :
Lưu ý rằng sup norm tương đương với Euclidean norm:
p q
xE
WD xE xE D x 2 C x 2 C ::: C x 2
2 1 2 n
vẫn thường dùng để định nghĩa khoảng cách trên Rn như sau:
p
xE
xE
n
xE
:
2 2
Định lý Dirichlet cho Rn có thể được phát biểu như sau:
lý 1.2 (Dirichlet1842 [3]). Với mọi véc tơ xE 2 Rn X Qn , tồn tại vô số véc tơ hữu tỉ
Định
pE p1 p2 pn
D ; ; :::; 2 Qn với pE 2 Zn và q 2 Z, q ¤ 0, sao cho:
q q q q
xE pE
< 1 :
(1.2)
q
jqj1C n1
15
- Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015
Dirichlet chứng minh Định lý 1.2 thông qua Định lý sau:
Định lý 1.3 (Dirichlet 1842 [3]). Với mọi Q 1 và với mọi xE 2 Rn , tồn tại pE 2 Zn và q 2 Z,
0 < jqj Qn sao cho:
q xE pE
< 1 :
(1.3)
Q
Chứng minh Định lý 1.2 dựa vào Định lý 1.3. Với mỗi Q 1 cố định, áp dụng Định lý 1.3, ta
có thể tìm được pE 2 Zn và q 2 Z, 0 < jqj Qn sao cho:
xE E
p
D 1
q xE pE
< 1 1 :
1
q
jqj Qjqj jqj1C n
pE
Vì xE … Qn , xE ¤ 0, nên với Q0 > 0 sao cho
q
1
xE pE
<
;
Q0
q
pE0 và q 0 tìm được theo Định lý 1.3 tương ứng với Q0 thỏa mãn điều kiện:
0
xE E
p 1 1
E
p
< <
xE
:
q 0
Q0 jq 0 j Q0
q
Điều này dẫn đến:
pE0 pE
0
¤ :
q q
pE
Vì vậy, khi Q ! 1, ta sẽ có được vô số khác nhau thỏa mãn (1.2).
q
Lưu ý 1.4. Định lý 1.3 còn được gọi là Định lý Dirichlet mạnh và Định lý 1.2 còn được gọi là
Định lý Dirichlet yếu .
Để chứng minh Định lý 1.3, Dirichlet sử dụng quy tắc nhốt thỏ vào chuồng (Dirichlet gọi là
Nguyên tắc ngăn kéo - Schubfachprinzip), hay còn gọi là nguyên lý Dirichlet như sau:
Nguyên lý Dirichlet. Nếu như chúng ta có k con thỏ bị nhốt trong l cái chuồng, và k > l, thì sẽ
có một chuồng có ít nhất 2 con thỏ.
Lưu ý 1.5. Nguyên tắc trên đã được biết đến bởi các nhà toán học trước Dirichlet (ss. [8]), nhưng
bài báo của Dirichlet là lần đầu tiên nguyên tắc này được áp dụng vào chứng minh một kết quả
quan trọng trong toán, nên nó đã được gắn với tên của ông.
Để minh họa ý tưởng chính, chúng ta sẽ chứng minh Định lý 1.3 cho trường hợp n D 1 như sau:
Chứng minh Định lý 1.3 với n D 1. Với mỗi số thực x 2 R, chúng ta sử dụng ký hiệu phần
nguyên và phần thập phân của x như sau:
bxc WD maxfa 2 Z W a xg và fxg WD x bxc:
16
- Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử như Q là một số nguyên dương (thay Q bởi bQc nếu
cần), và chia đoạn Œ0; 1/ ra thành Q đoạn:
1 1 2 Q 1
0; ; ; ; :::; ;1 ;
Q Q Q Q
1
mỗi đoạn có độ dài .
Q
Xét QC 1 số thực
0; fxg; f2xg; :::; fQxg. Vì Q C 1 > Q, theo Nguyên lý Dirichlet, tồn tại một
a aC1
đoạn ; , 0 a < Q và 0 q1 ; q2 Q, q1 ¤ q2 sao cho:
Q Q
a aC1
fq1 xg; fq2 xg 2 ; :
Q Q
Vậy nếu đặt p1 D bq1 xc, p2 D bq2 xc, ta sẽ có được:
1
j.q1 x p1 / .q2 x p2 /j D jfq1 xg fq2 xgj < :
Q
Và (1.3) sẽ thỏa mãn với q D q1 q2 và p D p1 p2 .
Chứng minh trên có thể dễ dàng mở rộng ra cho n 1 bất kỳ như sau:
Chứng minh Định lý 1.3 với n 1. Tương tự như trên, ta có thể giả sử rằng Q > 0 là một số
nguyên dương. Chia hình hộp vuông Œ0; 1/n ra thành Qn hình hộp vuông nhỏ hơn có độ dài mỗi
1
cạnh bằng :
Q
a1 a1 C 1 an an C 1
; ::: ; với 0 a1 ; :::; an < Q: (1.4)
Q Q Q Q
Và xét Qn C 1 véc tơ dạng:
0; .fx1 g; :::; fxn g/; .f2x1 g; :::; f2xn g/; :::; .fQn x1 g; :::; fQn xn g/:
Theo Nguyên lý Dirichlet, ta sẽ tìm được 2 véc tơ cùng nằm trong một trong một hộp vuông
nhỏ (1.4). Và lập luận tương tự như ở trên, ta có thể tìm được pE 2 Zn và q 2 Z với 0 < jqj Qn
sao cho:
q xE C pE
< 1 :
Q
Bài tập 1.6. Gọi Mm;n .R/ là tập các ma trận m dòng n cột với hệ số thực. Định lý 1.2 có thể
được mở rộng ra Mm;n .R/ thành dạng mệnh đề như sau: Nếu như ma trận A 2 Mm;n .R/ thỏa
mãn AEq … Zm với mọi qE 2 Zn X f0g, thì tồn tại vô số .p;
E qE/ 2 Zm Zn với qE ¤ 0 và
1
AE
q pE
<
:
qE
Tìm cho Định lý Dirichlet trên Mm;n .R/.
17
- Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015
2. Hình học số của Minkowski
Cũng như trên R, tính tối ưu của hàm jqj .1C n / trong Định lý 1.2 có thể được chứng minh bởi
1
sự tồn tại của các véc tơ xE xấp xỉ kém được định nghĩa bởi tính chất sau: tồn tại c > 0 sao cho
pE
với mọi véc tơ hữu tỉ 2 Qn ,
q
xE pE
> c :
(2.1)
q
jqj1C n1
Tuy nhiên không giống như trong trường hợp R, khi n > 1, chúng ta không có được công cụ
liên phân số để mô tả và qua đó chứng minh sự tồn tại của các véc tơ xấp xỉ kém. Tập các véc tơ
xấp xỉ kém trên Rn là một đối tượng nghiên cứu quan trọng trong lý thuyết xấp xỉ Diophantine.
Chúng tôi sẽ có một bài viết riêng về tập này trong một số báo sau.
Cũng bởi không có công cụ liên phân số hoàn thiện trong không gian nhiều chiều, chúng ta sẽ
phải sử dụng công cụ khác để cải thiện hằng số 1 trong Định lý 1.2. Công cụ mà chúng tôi sẽ giới
thiệu trong phần còn lại của bài là Hình học các số (Geometry of Numbers) của Minkowski.
Hình học số (Geometry of Numbers) được phát triển vào cuối thế kỷ 19, đầu thế kỷ 20 bởi nhà
toán học Hermann Minkowski [7] nhằm đưa đại số tuyến tính và hình học vào giải một số vấn đề
trong lý thuyết số đại số . Hình học số của Minkowski nhanh chóng tìm được ứng dụng trong xấp
xỉ Diophantine, và trở thành một trong những công cụ cơ bản vô cùng quan trọng.
Một số tài liệu tham khảo cho Hình học số: Cassels [2], Siegel [10], Gruber & Lekkerkerker [5].
2.1. Vật lồi (Convex Body)
Một trong những đối tượng nghiên cứu chính của Hình học các số là các tập lồi trong Rn được
định nghĩa như sau: Tập hợp E Rn được gọi là tập lồi nếu như với 2 điểm bất kỳ x;
E yE 2 E bất
kỳ, đoạn thẳng nối xE và yE cũng nằm trong E:
E yE 2 E ) t xE C .1
x; t/yE 2 E với mọi 0 t 1:
E được gọi là đối xứng tâm nếu như:
xE 2 E ) xE 2 E:
Bài tập 2.1. Phân loại tất cả các tập lồi trên R.
Ví dụ 2.2. (i) Tập .x; y/ 2 R2 W x 2 C y 2 1 là một tập lồi trên R2 .
˚
(ii) Tập .x; y/ 2 R2 W x 2 C y 2 D 1 không phải là một tập lồi trên R2 .
˚
n
( )
X
(iii) Tập xE 2 Rn W jxi j 1 là một tập lồi trên Rn .
i D1
n
( )
Y
(iv) Tập xE 2 Rn W jxi j < 1 không phải là một tập lồi trên Rn với n 2.
i D1
18
- Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015
Bài tập 2.3. Chứng minh ví dụ 2.2.
Với mỗi tập E Rn , ký hiệu E là hàm đặc trưng của E:
(
1 ; xE 2 E
E WD
E .x/
0 ; xE … E
và vol.E/ là thể tích trên Rn của E (độ đo Lebesgue của E):
Z
vol.E/ D E x/:
E .x/d. E
Rn
Định lý sau của Minkowski, một trong những kết quả căn bản trong Hình học các số, cho ta biết
được điều kiện đủ để một tập lồi có chứa điểm có tọa độ nguyên:
Định lý 2.4 (Định lý hình lồi của Minkowski ). Gọi E Rn là một tập lồi, đối xứng tâm và bị
chặn trên Rn . Nếu như:
(i) vol.E/ > 2n , hoặc
(ii) vol.E/ D 2n và E compact,
thì E có chứa ít nhất một điểm tọa độ nguyên khác 0:
E \ Zn X f0g ¤ ;:
Để chứng minh Định lý 2.4, ta sẽ cần đến Quy tắc Blichfeldt trong Hình học số (Định lý 2.6) và
Bổ đề sau:
E là một hàm khả tích không âm trên Rn với:
Bổ đề 2.5. Giả sử như f .x/
Z
E x/
f .x/d. E < 1:
Rn
Tồn tại yE 2 Rn sao cho: Z
X
f .yE C p/
E E x/:
f .x/d. E
Rn
E n
p2Z
Chứng minh. Nếu như chuỗi ở vế bên trái không bị chặn đều theo yE thì kết luận của Bổ đề là
E theo Định lý hội tụ mạnh của
hiển nhiên. Giả sử như chuỗi ở vế bên trái bị chặn đều theo y,
Lebesgue, ta có được:
Z XZ
E x/
f .x/d. E D f .xE C p/d.
E x/ E
Rn Œ0;1/n
E n
p2Z
Z X
D f .xE C p/d.
E x/ E
Œ0;1/n
E n
p2Z
X
vol.Œ0; 1/n / sup f .xE C p/
E
x2Œ0;1/
E n
E n
p2Z
X
D sup f .xE C p/:
E
x2Œ0;1/
E n
E n
p2Z
19
- Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015
Nếu như: Z X
E x/
f .x/d. E < sup f .xE C p/
E
Rn x2Œ0;1/
E n
E n
p2Z
thì ta có thể tìm được yE 2 Œ0; 1/n sao cho:
Z X X
E x/
f .x/d. E f .yE C p/
E < sup f .xE C p/:
E
Rn x2Œ0;1/
E n
E n
p2Z E n
p2Z
Còn nếu như: Z X
E x/
f .x/d. E D sup f .xE C p/
E
Rn x2Œ0;1/
E n
E n
p2Z
thì 08 91
< Z X =
n
vol@ yE 2 Œ0; 1/ W E x/
f .x/d. E D E A D 1;
f .yE C p/
: Rn n
;
p2Z
E
n
nghĩa là hầu hết yE 2 Œ0; 1/ thỏa mãn Bổ đề.
Định lý 2.6 (Blichfeldt 1914 [1]). Nếu như E là một tập đo được trên Rn với vol.E/ > 1 thì tồn
tại 2 véc tơ khác nhau xE1 ; xE2 2 S sao cho xE2 xE1 2 Zn .
Chứng minh. Áp dụng Bổ đề 2.5 với f D E , ta có thể tìm được yE 2 Rn sao cho:
X Z
E .yE C p/
E E x/
E .x/d. E D vol.E/ > 1:
Rn
E n
p2Z
Vì vậy, tồn tại pE1 ; pE2 2 Zn khác nhau sao cho yE C pE1 ; yE C pE2 2 S . Đặt xE1 D yE C pE1 ,
xE2 D yE C pE2 , ta có được 2 véc tơ thỏa mãn Định lý.
Chứng minh Định lý Vật˚ lồi của Minkowski 2.4. Đầu tiên ta sẽ chứng minh cho trường hợp
n
vol.E/ > 2 . Đặt S D xE W 2xE 2 E , thể tích của S là:
1
vol.S/ D vol.E/ > 1:
2n
Vì thế theo Định lý 2.6, ta có thể tìm được xE1 ; xE2 2 S khác nhau sao cho xE1 xE2 2 Zn . Vì S
cũng đối xứng tâm, xE2 2 S , và vì S cũng là một tập lồi:
t xE1 C .1 t/ xE2 2 S với mọi 0 t 1:
1
Với t D ,
2
1 1
xE1 xE2 2 S:
2 2
Theo định nghĩa của tập S:
1 1
2 xE1 xE2 D xE1 xE2 2 E:
2 2
Vậy, véc tơ pE D xE1 xE2 là một véc tơ tọa độ nguyên trong E.
20
- Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015
n 1 k
Với trường hợp vol.E/ D 2 và E compact, xét dãy Ek D 1 C E D xE W xE 2 E .
k 1Ck
vol.Ek / > 2n với mọi k, nên ta có thể áp dụng trường hợp đầu tiên cho Ek để có được 1
dãy pEk 2 Zn \ Ek . Vì các tập Ek bị chặn đều, dãy pEk là một dãy bị chặn, nên theo Định lý
\1
n
Bolzano-Weierstrass, tồn tại một dãy con hội tụ. Vì Z là một tập rời rạc và E D Ek , mỗi
kD1
dãy con hội tụ của pk sẽ cho ta 1 véc tơ tọa độ nguyên trong E.
Lưu ý 2.7. Điều kiện về thể tích trong Định lý 2.4 là tối ưu qua ví dụ sau: tập E D xE 2 Rn W
xE
< 1
˚
là một tập lồi, đối xứng tâm và có thể tích bằng 2n , nhưng E \ Zn D f0g.
2.2. Dạng tuyến tính (Linear Forms)
Xét hệ bất phương trình tuyến tính n ẩn n bất phương trình như sau:
ja1;1 x1 C ::: C a1;n xn j < c1
:: ::: :: ::
: : : (2.2)
jan 1;1 x1 C ::: C an 1;n xn j < cn 1
jan;1 x1 C ::: C an;n xn j cn
Áp dụng kết quả về tập lồi cho phép ta tìm được nghiệm nguyên không hiển nhiên cho hệ bất
phương trình tuyến tính trên:
Định lý 2.8 (Định lý Dạng tuyến tính của Minkowski ). Giả sử như ma trận A D ai;j 1i;j n
n
Y
có jdet.A/j D 1, c1 ; c2 ; :::; cn > 0 và ci 1. Thì hệ bất phương trình tuyến tính (2.2) có ít
i D1
nhất 1 bộ nghiệm nguyên khác 0.
Chứng minh. Với mỗi 1 i n, gọi Ai D .ai;1 ; ai;2 ; :::; ai;n / véc tơ dòng thứ i của ma trận A.
Và với k D 1; 2; :::, xét các hình bình hành nhiều chiều sau:
n ˇ
ˇ ˇ ˇ ˇ 1
Ek WD xE 2 R W Ai xE ˇ < ci với 1 i n 1; ˇAn xE ˇ < cn C :
k
Bài tập 2.9. Chứng minh rằng các tập Ek là tập lồi, đối xứng tâm, và có thể tích:
n 1
vol.Ek / D 2 c1 c2 :::cn 1 cn C > 2n :
k
Theo Định lý 2.4, ta có thể tìm được một dãy các véc tơ tọa độ nguyên zEk 2 Ek khác 0. Lập luận
như trong chứng minh của Định lý 2.4 ta có được véc tơ tọa độ nguyên cần tìm.
Chúng ta có thể áp dụng Định lý Dạng tuyến tính để có một chứng minh khác cho Định lý
Dirichlet:
Chứng minh khác cho Định lý 1.3. Với mỗi véc tơ xE 2 Rn , xét ma trận A 2 MnC1;nC1 .R/ như
sau: 0 1 0 1
1 0 ::: 0 x1 A1
B0 1 : : : 0 x2 C
C B A2 C
B C
B
A D B ::: ::: : : : ::: :: C D B :: C: (2.3)
B
B : CC B : C
B C
@0 0 : : : 1 xn A @ An A
0 0 ::: 0 1 AnC1
21
- Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015
Với mỗi Q 1, áp dụng Định lý 2.8, ta có thể tìm được một véc tơ tọa độ nguyên:
0 1
p1
B :: C
zE D B : C 2 ZnC1 X 0
B C
@pn A
q
sao cho
1
jqj D ˇAnC1 zEˇ Qn :
ˇ ˇ ˇ ˇ
jqxi pj D ˇAi zEˇ < với 1 i n và
Q
Ta chỉ cần phải chứng minh rằng q ¤ 0. Giả sử như q D 0, vì zE ¤ 0, nên tồn tại pi ¤ 0. Điều
đó dẫn đến:
ˇ ˇ 1
1 jpi j D ˇAi zEˇ < 1 (Vô lý).
Q
Vậy ta có được véc tơ pE D .p1 ; :::; pn / 2 Zn và q 2 Z, q ¤ 0 cần tìm.
2.3. Cải thiện hằng số trong Định lý Dirichlet trên Rn
n n
Định 1910). Với mọi véc tơ xE 2 R X Q , tồn tại vô số véc tơ hữu tỉ
lý 2.10 (Minkowski
pE p1 p2 pn
D ; ; :::; 2 Qn với pE 2 Zn và q 2 Z, q ¤ 0, sao cho:
q q q q
xE pE
< Cn n
1
với Cn D : (2.4)
q
jqj1C n nC1
1 1
Lưu ý 2.11. Khi n D 1, ta có được C1 D , không phải là hằng số tối ưu p như trong Định lý
2 5
của Hurwitz (xem trong [11]). Có một số kết quả cho ra hằng số cho Định lý Dirichlet tốt hơn
Định lý 2.10, chẳng hạn như Blitchfeldt [1] thay thế Cn bằng:
1
!
n 1 nC3
n
n
1C :
nC1 nC1
Tuy nhiên hằng số tối ưu cho Định lý Dirichlet trên Rn với n 2 vẫn là một câu hỏi mở quan
trọng trong lý thuyết xấp xỉ Dirichlet và Hình học số.
Để chứng minh Định lý 2.10, với mỗi Q > 0 và C > 0, xét tập hợp EQ;C được định nghĩa bởi:
E z/ D .y1 ; :::; yn ; z/ 2 RnC1 W Q n jzj C Q
yE
C :
˚
EQ;C D .y;
Bổ đề 2.12. Với mỗi Q > 0 và C > 0, EQ;C là một tập compact, lồi, đối xứng tâm, và có thể
tích:
.2C /nC1
vol.EQ;C / D :
nC1
E z/ 7! Q 1 y; E Qn z .
Chứng minh. Xét hàm f W EQ;C ! E1;C , .y;
22
- Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015
Bài tập 2.13. Chứng minh rằng f là một hàm tuyến tính, với định thức bằng 1, và là song ánh
giữa EQ;C và E1;C .
Vậy nên f và f 1 sẽ bảo tồn các tính chất compact, lồi và đối xứng tâm, và ta chỉ cần chứng
minh trường hợp Q D 1.
Tính compact và đối xứng tâm của tập E1;C là hiển nhiên. Gọi .y; E z/ và .yE0 ; z 0 / là 2 điểm trong
E1;C , với 0 t 1, áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có được:
ˇt z C .1 t/z 0 ˇ C
t yE C .1 t/yE0
jtzj C ˇ.1 t/z 0 ˇ C
t yE
C
.1 t/yE0
ˇ ˇ
ˇ ˇ
D t jzj C
yE
C .1 t/ ˇz 0 ˇ C
yE0
ˇ ˇ
C
E z/ C .1 t/.yE0 ; z 0 / 2 E1;C .
Vậy t .y;
Cuối cùng ta có thể tính thể tích của E1 (cũng là của mọi EQ ):
Z C Z C jzj Z C jzj
vol.E1 / D ::: dy1 : : : dyn dz
C jzj C jzj C
Z C
D 2nC1 .C z/n dz
0
nC1
.2C /
D :
nC1
1
Chứng minh Định lý 2.10. Đặt C D .n C 1/ nC1 và ma trận A được định nghĩa như trong (2.3).
Theo Bổ đề 2.12, tập AEQ;C là tập compact, lồi, đối xứng tâm, và có thể tích vol.AEQ;C / D
2nC1 . Áp dụng Định lý 2.4, ta có thể tìm được một véc tơ tọa độ nguyên .pEQ ; qQ / khác 0 nằm
trong AEQ;C , nghĩa là .pEQ ; qQ / thỏa mãn:
Q n ˇqQ ˇ C Q
qQ xE pEQ
C:
ˇ ˇ
E q/, chỉ tồn tại hữu hạn Q > 0 thỏa mãn:
Lưu ý rằng với mỗi véc tơ tọa độ nguyên .p;
Q n jqj C Q
q xE pE
D C:
Vậy nên ngoại trừ một số đếm được các Q > 0, bộ ba Q; pEQ ; qQ thỏa mãn bất đẳng thức:
Q n ˇqQ ˇ C Q
qQ xE pEQ
< C:
ˇ ˇ
(2.5)
Với những bộ Q; pEQ ; qQ thỏa mãn (2.5), áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình
nhân cho ta:
n
ˇ ˇ
n n n
ˇ ˇ Q
ˇqQ ˇ
qQ xE pEQ
D n Q ˇqQ ˇ
qQ xE pEQ
n
ˇ C Q
qQ xE pEQ
nC1
nˇ
ˇ ˇ
!
Q qQ
nn
nC1
nC1
C
< nn
nC1
23
- Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015
n
n
D D Cnn ;
nC1
tương đương với (2.4).
Nếu như ta chọn Q C thì qQ ¤ 0, vì nếu như qQ D 0, pEQ ¤ 0 và bất đẳng thức (2.5) dẫn
đến:
qQ xE pEQ
D
pQ
< CQ 1 1 (vô lý):
E q/, tập:
Lưu ý thêm rằng với mỗi .p;
n
˚ ˚
Q > 0 W .p;
E q/ 2 AEQ;C D Q > 0 W Q jqj C Q
q xE pE
C
bị chặn. Vì vậy khi Q ! 1, ta có thể tìm được vô số .p; E q/ thỏa mãn (2.4). Và với lập luận
tương tự như trong chứng minh của Định lý 1.2 dựa vào Định lý 1.3, ta có thể tìm được vô số véc
pE
tơ hữu tỉ thỏa mãn (2.4).
q
Tài liệu tham khảo
[1] Blichfeldt, H., A new principle in the geometry of numbers with some applications, Trans.
Amer. Math. Soc. 15 (1914), pp. 227-235.
[2] Cassels, J. W. S., An introduction to the Geometry of Numbers, Springer (1959).
[3] Dirichlet, L. G. P., Verallgemeinerung eines Satzes aus der Lehre von den Kettenbr¨uchen
nebst einigen Anwendungen auf die Theorie der Zahlen, S. B. Preuss. Akad. Wiss. (1842),
pp. 93–95.
[4] Euler, L., Introductio in analysin infinitorum I, (1748).
[5] Gruber, P., Lekkerkerker, C., Geometry of Numbers, North-Holland Mathematical Library
(1987).
[6] Hardy, G., Wright, E. M., An introduction to the theory of numbers, 5th ed., Clarendon
Press (1979).
[7] Minkowski, H., Geometrie der Zahlen, Teubner: Leipzig U. Berlin (1896 & 1910).
[8] Rittaud, B., Heeffer, A., The Pigeonhole Principle - Two centuries before Dirichlet, The
Mathematical Intelligencer 36, Springer (2014), pp. 27–29.
[9] Schmidt, W. M., Diophantine approximation, Lectures Notes in Mathematics 785, Springer
(1980).
[10] Siegel, C. L., Lectures on the Geometry of Numbers, Springer-Verlag (1989).
[11] Lý Ngọc Tuệ, Xấp xỉ Diophantine trên R và Liên phân số, Epsilon 4, (2015).
24
nguon tai.lieu . vn
