- Trang Chủ
- Toán học
- Xấp xỉ điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không giãn trong không gian banach với đồ thị
Xem mẫu
- 44 Nguyễn Trung Hiếu, Phạm Thị Ngọc Mai
XẤP XỈ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA HAI ÁNH XẠ G-KHÔNG GIÃN
TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI ĐỒ THỊ
APPROXIMATING COMMON FIXED POINTS OF TWO G-NONEXPANSIVE MAPPINGS IN
BANACH SPACES WITH GRAPHS
Nguyễn Trung Hiếu, Phạm Thị Ngọc Mai
Trường Đại học Đồng Tháp; ngtrunghieu@dthu.edu.vn, phamthingocmai@student.dthu.edu.vn
Tóm tắt - Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu một dãy lặp ba Abstract - This paper aims to introduce a new three step iteration
bước mới để xấp xỉ điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không scheme for approximation of common fixed points of two
giãn. Từ đó, chứng minh một số kết quả về sự hội tụ yếu và hội tụ G-nonexpansive mappings. We also prove some weak
của dãy lặp này đến điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không convergence and strong convergence results of common fixed
giãn trong không gian Banach lồi đều với đồ thị. Các kết quả này points of two G-nonexpansive mappings in uniformly convex
là sự mở rộng của một số kết quả chính trong tài liệu tham khảo Banach spaces with graphs. These results are the extensions of
[3, 5]. Đồng thời, một ví dụ được đưa ra để minh họa choviệc xấp some results in existing results in the literature [3, 5]. In addition,
xỉ điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không giãn và chứng tỏ an example is provided to illustrate the approximation of common
rằng sự hội tụ đến điểm bất động chung của dãy lặp được đề xuất fixed points of two G-nonexpansive mappings and prove that the
là nhanh hơn dãy S-lặp trong bài báo [5] thông qua tính toán bằng convergence of proposed iteration process converges is faster
phần mềm Scilab. than S-iteration process in [5] by a computer using Scilab program.
Từ khóa - ánh xạ G-không giãn;điểm bất động chung; không gian Key words - G-nonexpansive mappings;common fixed points;
Banach với đồ thị Banach spaces with graphs
1. Giới thiệu với n , { n },{ n } (0,1), C là tập lồi trong không gian
Trong những năm gần đây, bên cạnh việc nghiên cứu Banach X và T : C C là ánh xạ. Từ đó, các tác giả đã
sự tồn tại và xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn, chứng minh rằng dãy lặp (1.1) hội tụ đến điểm bất động
nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu những mở rộng của ánh của ánh xạ co nhanh hơn những dãy lặp trước đó như dãy
xạ không giãn theo nhiều cách tiếp cận khác nhau. Năm lặp Picard, dãy lặp Mann, dãy lặp Ishikawa, dãy lặp
2012, Aleomraninejad và cộng sự [1] đã kết hợp ý tưởng Agarwal, dãy lặp Noor, dãy lặp Abbas và dãy lặp Thakur.
của lí thuyết đồ thị và lí thuyết điểm bất động để giới thiệu Đồng thời, với những giả thiết phù hợp, các tác giả đã
khái niệm ánh xạ G-không giãn trên không gian metric với thiết lập sự hội tụ của dãy lặp (1.1) đến điểm bất động của
đồ thị và khảo sát sự hội tụ của dãy lặp Picard đến điểm bất ánh xạ -không giãn suy rộng trong không gian Banach
động của lớp ánh xạ này trong không gian mêtric đầy đủ lồi đều. Do đó, trong bài báo này, từ dãy lặp (1.1), nhóm
với đồ thị. Năm 2015, Tiammee và cộng sự [7] đã chứng tác giả đề xuất một dãy lặp để xấp xỉ điểm bất động chung
minh định lí điểm bất động Browder cho ánh xạ G-không của hai ánh xạ G-không giãn, từ đó chứng minh một số kết
giãn và thiết lập sự hội tụ của dãy lặp Halpern đến hình quả về hội tụ của dãy lặp được đề xuất đến điểm bất động
chiếu của điểm xuất phát lên tập điểm bất động của ánh xạ chung của hai ánh xạ G-không giãn trong không gian
G-không giãn trong không gian Hilbert với đồ thị. Năm Banach lồi đều với đồ thị. Trước hết, trình bày một số khái
2016, Tripak [8] đã chứng minh sự hội tụ của dãy lặp kiểu niệm và kết quả cơ bản được sử dụng trong bài báo.
Ishikawa đến điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không
Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Banach
giãn trong không gian Banach với đồ thị. Năm 2018,
thực X. Kí hiệu G (V (G), E(G)) là đồ thị định hướng với
Suparatulatorn và cộng sự [5] đã tổng quát kết quả trong
bài báo [8] và đề xuất sự hội tụ của dãy S-lặp đến điểm bất V (G ) tập hợp các đỉnh của đồ thị G sao choV (G ) trùng với
động chung của hai ánh xạ G-không giãn trong không gian C, E (G ) tập hợp các cạnh của đồ thị G mà (u, u) E (G ) với
Banach với đồ thị. Đến đây, một vấn đề cũng được đặt ra u C và G không có cạnh song song.
là tiếp tục thiết lập sự hội tụ đến điểm bất động chung của
các ánh xạ G-không giãn bởi những dãy lặp tổng quát hơn Định nghĩa 1.1. [8, Definition 2.4] Cho X là không gian
trong không gian Banach với đồ thị. định chuẩn và C là tập con khác rỗng của X,
G (V (G), E(G)) là đồ thị định hướng sao cho V (G ) C .
Việc nghiên cứu sự hội tụ đến điểm bất động của ánh xạ
không giãn và những mở rộng của nó đã xuất hiện nhiều loại Khi đó, G được gọi là có tính bắc cầu nếu với
dãy lặp khác nhau. Một vấn đề được đặt ra là tiếp tục xây dựng u, v, w V (G ) sao cho (u, v),(v, w) E(G) thì (u, w) E(G ).
những lặp tổng quát hơn những dãy lặp đã có. Với mục đích Định nghĩa 1.2. [7, tr.4] Cho X là không gian định
đó, năm 2018, Piri và cộng sự [3] đã giới thiệu một dãy lặp ba chuẩn, C là tập con khác rỗng của X, G (V (G), E(G)) là
bước mới để xấp xỉ điểm bất động của một ánh xạ như sau: đồ thị định hướng sao cho V (G ) C . Khi đó, C được gọi
wn T ((1 n
)un Tun ),
n là có tính chất G nếu với dãy {un } trong C sao cho
u1 C , vn Twn ,
(1.1) (un , un 1) E (G ) với n và {un } hội tụ yếu đến u C
un 1
(1 n
)Twn Tvn ,
n
- ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 17, NO. 3, 2019 45
thì tồn tại dãy con {un (k ) } của {un } sao cho (un (k ), u) E (G ) Khi đó, lim || un vn || 0.
n
với k .
2. Kết quả chính
Định nghĩa 1.3. [4, tr.534] Cho X là không gian định
Bằng việc mở rộng dãy lặp (1.1) trong [3], giới thiệu
chuẩn và C là tập khác rỗng của X và S : C C là ánh xạ.
dãy lặp {un } để xấp xỉ điểm bất động chung cho hai ánh xạ
Khi đó, S được gọi là nửa compact nếu với {un } là dãy bị
G-không giãn như sau:
chặn trong C sao cho lim || un Sun || 0 thì tồn tại dãy con
n
wn S ((1 n
)un n
Tun ),
{un (k ) } của {un } sao cho dãy {un (k ) } hội tụ trong C.
u1 C , vn Twn , với n (2.1)
Định nghĩa 1.4. [8, Definition 2.5] Cho X là không gian un 1
(1 n
)Twn n
Svn ,
định chuẩn và C là tập khác rỗng của X, G (V (G), E(G))
trong đó { n },{ n } [ ,1 ] với (0,1), C là tập lồi trong
là đồ thị định hướng sao cho V (G ) C . Khi đó, ánh xạ
S : C C được gọi là G-không giãn nếu không gian Banach X và S,T : C C là hai ánh xạ
G-không giãn. Kí hiệu F F(S ) F(T ). Tiếp theo, chứng
(1) S là bảo toàn cạnh của G, tức là với (u, v) E(G ) ta
minh một số tính chất của dãy lặp (2.1).
có (Su, Sv) E(G ).
Mệnh đề 2.1. Cho X là không gian định chuẩn, C là tập
(2) || Su Sv || || u v || với (u, v) E(G). lồi trong X, G (V (G), E(G)) là đồ thị định hướng, có tính
Kí hiệu F (S ) {u C : Su u} là tập hợp các điểm bất chất bắc cầu với V (G) C , E(G ) là tập lồi, S,T : C C là
động của ánh xạ S : C C . Điều kiện đủ để F (S ) có tính hai ánh xạ G-không giãn, {un } là dãy được xác định bởi
chất lồi và đóng với S là ánh xạ G-không giãn được thể (2.1) sao cho (u1, p),(p, u1) E(G) với p F. Khi đó, (un , p),
hiện qua kết quả sau:
(vn , p), (wn , p), ((1 )un Tun , p), (p, un ), (p, vn ), (p, wn ),
Mệnh đề 1.5. [7, Theorem 3.2]Cho X là không gian định n n
chuẩn, C là tập con khác rỗng trong X, G (V (G), E(G)) là (p,(1 n
)un n
S1un ), (un , vn ), (un , wn ), (un , un 1) E (G ) với
đồ thị định hướng sao cho V (G ) C , E (G ) là tập lồi, C có n .
tính chất G, S : C C là ánh xạ G-không giãn sao cho
Chứng minh. Ta chứng minh (p, un ),(p, vn ),(p, wn ),
F(S ) F (S ) E(G ). Khi đó, F (S ) là tập lồi và đóng.
(p,(1 )un Tun ) E(G ) bằng phương pháp quy nạp.
Định nghĩa 1.6. [2, Definition 1.1] Cho X là không n n
gian Banach. Không gian X được gọi là thỏa mãn điều kiện Trước hết, ta chứng minh (p, v1),(p, w1),
Opial nếu với u X và dãy {un } hội tụ yếu đến u, ta có (p,(1 )u1 Tu1) E(G). Thật vậy, vì p F nên
1 1
lim inf || un u || lim inf || un v || với v X, v u. Sp Tp p. Vì (p, u1 ) E (G ) và T là bảo toàn cạnh nên
n n
Mệnh đề 1.7. [5, Proposition 2] Cho X là không gian (Tp,Tu1) (p,Tu1) E(G). Ta lại có
Banach thỏa mãn điều kiện Opial, C là tập khác rỗng của X, (p,(1 )u1 Tu1 ) (1 )(p, u1 ) (p,Tu1 ). (2.2)
G (V (G), E(G)) là đồ thị định hướng với V (G ) C , C có 1 1 1 1
tính chất G và S : C C là ánh xạ G-không giãn, { un } là dãy Vì (p, u1), (p,Tu1) E(G) và E (G ) lồi nên từ (2.2) ta có
trong C sao cho {un } hội tụ yếu đến p C ,(un , un 1) ) E (G ) (p,(1 1
)u1 Tu1)
1
E(G). Vì S là bảo toàn cạnh nên
(p, w1 ) (p, S ((1 )u1 Tu1 )) E (G ). Kết hợp điều này với
và lim || un Sun || 0. Khi đó, Sp p. 1 1
n
T là bảo toàn cạnh, ta có (p,Tw1) E(G). Suy ra
Định nghĩa 1.8. [4, tr.534] Cho X là không gian định
chuẩn, C là tập lồi đóng khác rỗng trong X và S,T : C C (p, v1) (p,Tw1) E(G ).
là hai ánh xạ. Khi đó, S,T được gọi là thỏa mãn điều kiện Giả sử (p, uk ) E(G) với k 1. Ta chứng minh (p, uk 1 ),
(B) nếu tồn tại hàm số không giảm f : [0, ) [0, ) sao
(p, vk 1),(p, wk 1),(p,(1 )uk Tuk 1) E(G). Thật
cho f (0) 0, f (r ) 0 với mọi r 0 và với u 0 sao cho k 1 1 k 1
vậy, vì T là bảo toàn cạnh nên (p,Tuk ) E(G).
max || u Su ||,|| u Tu || f (d(u, F )),
Ta có (p,(1 k
)uk k
Tuk ) (1 k
)(p, uk ) k
(p,Tuk ).
với F F (S ) F (T ) và d(u, F ) inf{d(u, v) : v F }.
(2.3)
Bổ đề 1.9. [6, Lemma 1.3] Cho X là không gian Banach lồi Vì (p, uk ), (p,Tuk ) E(G) và E (G ) lồi nên từ (2.3) ta có
đều, { n } là dãy trong [ ,1 ] với (0,1) và {un },{vn } là
(p,(1 k
)uk k
Tuk ) E(G). Vì S là bảo toàn cạnh nên
hai dãy trong X sao cho lim sup || un || r, lim sup || vn || r
n n (p, wk ) (p, S ((1 k
)uk Tuk ))
k
E (G ). Điều này dẫn đến
và lim || n
un (1 n
)vn || r với r 0. (p,Twk ) E (G ). Suy ra (p, vk ) (p,Twk ) E(G ). Ta lại có
n
- 46 Nguyễn Trung Hiếu, Phạm Thị Ngọc Mai
(p, uk 1) (p,(1 k
)Twk k
Svk ) Từ (2.7), ta suy ra {un } là dãy bị chặn và lim || un p ||
n
(1 k
)(p,Twk ) k
(p, Svk ). (2.4) tồn tại.
Mệnh đề 2.3. Cho X là không gian Banach lồi đều, C
Kết hợp (2.4) với (p,Twk ), (p, Svk ) E(G ) và E (G ) lồi, là tập lồi đóng khác rỗng của X, G (V (G), E(G)) là đồ thị
ta có (p, uk 1 ) E (G ). Suy ra (p,Tuk 1) E(G). Kết hợp với định hướng sao choV (G ) C , E(G ) là tập lồi,
(p,(1 k 1
)uk 1
Tuk 1)
k 1
(1 k 1
)(p, uk 1) (p,Tuk 1) ta
k 1
S,T : C C là 2 ánh xạ G- không giãn sao cho F ,
được (p,(1 )uk Tuk 1) E(G). Suy ra {un } là dãy được xác định bởi (2.1) sao cho
k 1 1 k 1
(p, u1 ),(u1, p) E (G ) với p F. Khi đó,
(p, wk 1) (p, S((1 k 1
)uk 1 k 1
Tuk 1)) E(G).
lim || un Sun || lim || un Tun || 0.
Điều này dẫn đến (p, vk 1) (p,Twk 1) E(G ). Do đó, theo n n
nguyên lí qui nạp, ta có (p, un ),(p, vn ),(p, wn ), Chứng minh. Vì p F,(p, u1),(u1, p) E(G) nên theo
(p,(1 )un Tun ) E(G ) với n . Mệnh đề 2.1 ta có (p, un ),(un , p),(vn , p),(wn , p),(wn , un ),
n n
*
(vn , un ), ((1 )un Tun , p) E (G ) với n . Theo Mệnh
Lập luận tương tự như trên, ta chứng minh được n n
((1 n
)un n
Tun , p),(un , p),(vn , p),(wn , p) E (G ) với n . đề 2.2, ta có lim || un p || tồn tại. Đặt
n
Cuối cùng, ta chứng minh (un , vn ),(vn , wn ),
lim || un p || c. (2.8)
n
(un , un 1) E(G). Thật vậy, sử dụng tính chất bắc cầu và
Từ (2.6), ta có || vn p || || wn p || || un p || . (2.9)
(un , p), (p, vn ), (un , p), (p, wn ), (un , p), (p, un 1) E(G), ta có
Từ (2.8) và (2.9), ta có lim sup || vn p || c. (2.10)
(un , vn ), (un , wn ),(un , un 1) E(G). n
Mệnh đề 2.2. Cho X là không gian Banach, C là tập lồi Vì (un , p) E(G ) và T là ánh xạ G-không giãn nên
đóng khác rỗng của X, G (V (G), E(G)) là đồ thị định
|| Tun p || || Tun Tp || || un p || .
hướng sao choV (G ) C , E(G ) là tập lồi, S,T : C C là
2 ánh xạ G- không giãn sao cho F , {un } là dãy được Do đó, từ (2.8) ta có lim sup || Tun p || c. (2.11)
n
xác định bởi (2.1) sao cho (p, u1),(u1, p) E(G ) với p F. Mặt khác, từ (2.7) ta có
Khi đó, {un } là dãy bị chặn và lim || un p || tồn tại. || un 1
p || (1 n
) || un p || n
|| vn p || .
n
Chứng minh. Vì p F,(p, u1),(u1, p) E(G) nên theo Khi đó
Mệnh đề 2.1, ta có 1
|| un p || (| un p || || un 1
p ||) || vn p || .
(un , p),(vn , p),(wn , p),((1 n
)un n
Tun , p) E(G). n
Vì (un , p),((1 )un Tun ), p) E(G) và S,T là ánh Kết hợp với (2.8), ta suy ra c lim inf || vn p || . (2.12)
n n
n
xạ G-không giãn nên Từ (2.10) và (2.12), ta có lim || vn p || c. (2.13)
n
|| wn p || || S((1 n
)un n
Tun ) p ||
Hơn nữa, vì ((1 n
)un Tun , p)
n
E(G) và S bảo
(1 ) || un p || || Tun p ||
n n
toàn cạnh nên (S ((1 n
)un n
Tun ), p) E(G). Khi đó,
(1 ) || un p || || un p || || un p || . (2.5)
n n
c lim || vn p || lim || Twn p ||
n n
Vì (wn , p) E(G), T là ánh xạ G-không giãn và (2.5) nên
lim || T (S ((1 n
)un n
Tun )) p ||
|| vn p || || Twn p || || Twn Tp || || wn p || || un p || . (2.6) n
Khi đó, từ (vn , p),(wn , p) E(G), S,T là ánh xạ lim || S ((1 n
)un n
Tun ) p ||
n
G-không giãn và (2.6), ta được lim || (1 )un Tun p ||
n n n
|| un 1
p || || (1 n
)Twn n
Svn p ||
lim ||(1 n
)(un p) n
(Tun p)||
n
(1 n
) || Twn p || n
|| Svn p ||
(1 ) || wn p || || vn p || lim(1 n
) || un p || lim n
|| Tun p ||
n n n n
(1 n
) || un p || n
|| un p || lim | un p || c.
n
|| un p || . (2.7) )(un p) (Tun p) || c. (2.14)
Suy ra lim || (1 n n
n
- ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 17, NO. 3, 2019 47
Vì lim sup || Tun p || c, lim sup || un p || c và sử Mệnh đề 2.3, ta có
n n
lim || un (i ) Sun (i ) || lim || un (i ) Tun (i ) || 0
dụng (2.14) nên theo Bổ đề 1.9 ta được i i
lim || Tun un || 0. Từ Mệnh đề 1.7, ta có Sq Tq q hay p F.
n
Hơn nữa, từ (2.13) và S là ánh xạ G-không giãn ta có Giả sử {un } không hội tụ yếu đến q . Khi đó, tồn tại
dãy con {un (k )} của {un } sao cho {un (k )} hội tụ yếu đến
lim sup || Svn p || lim sup || vn p || c. (2.15)
n n
q1 C với q q1. Sử dụng Mệnh đề 1.7 và lập luận tương
Từ (2.13) và tương tự chứng minh (2.7), ta có
tự như trên, ta có q1 F . Hơn nữa, theo Mệnh đề 2.2, ta có
c lim || un p || lim || (1 )Twn Svn p ||
n 1 n n n
lim || un q || và lim || un q1 || tồn tại. Khi đó, sử dụng
n n
lim || (1 n
)vn n
Svn p || tính chất Opial, ta có
n
lim || un q || lim inf || un (i ) q || lim || un (i ) q1 ||
lim || (1 n
)(vn p) n
(Svn p) || n i i
n
lim || un q1 || lim inf || un (k ) q1 ||
lim || vn p || lim || un p || c. n k
n n
lim || un (k ) q || lim || un q || .
Suy ra lim || (1 n
)(vn p) n
(Svn p) || c. k n
n
Kết hợp với (2.10), (2.15) và sử dụng Bổ đề 1.9, ta được Điều này là một mâu thuẫn. Do đó, dãy {un } hội tụ yếu
lim || Svn vn || 0. (2.16) đến q F.
n
Tiếp theo, thiết lập một số kết quả về sự hội tụ của dãy
Ta có || un 1
vn || || (1 n
)Twn n
Svn vn || lặp (2.1) đến điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không
giãn trong không gian Banach lồi đều.
|| (1 )vn Svn vn ||
n n
Định lí 2.5. Cho X là không gian Banach lồi đều, C là tập
n
|| Svn vn || . (2.17) lồi đóng khác rỗng của X, G (V (G), E(G)) là đồ thị định
hướng, có tính chất bắc cầu sao cho V (G ) C , C có tính chất
Từ (2.16) và (2.17) ta được lim || un vn || 0. (2.18)
n 1
G, E (G ) là tập lồi, S,T : C C là 2 ánh xạ G-không giãn sao
Ta có || vn Sun || || vn Svn || || Svn Sun || cho F , F (S ) F (T ) E(G ) thỏa mãn điều kiện (B), dãy
1 1
{un } được xác định bởi (2.1) sao cho (p, u1),(u1, p) E(G ) với
|| vn Svn || || vn un 1
|| .
p F. Khi đó, dãy {un } hội tụ đến q F.
Kết hợp với (2.16), (2.18) ta được
lim || vn Sun || 0. (2.19) Chứng minh. Vì p F,(p, u1),(u1, p) E(G) nên theo
n 1
Mệnh đề 2.1, ta có (un , p),(vn , p),(wn , p) E(G) với n .
Kết hợp || un 1
Sun 1
|| || un 1
vn || | vn Sun 1
||
Hơn nữa, theo Mệnh đề 2.2, ta có giới hạn
với (2.18), (2.19), ta được lim || un Sun || 0.
lim || un p || tồn tại và dãy {un } bị chặn. Mặt khác, từ
n
n
Vậy lim || un Sun || lim || un Tun || 0 (2.7) ta có || un 1
p || || un p || với n . Khi đó,
n n
Tiếp theo, thiết lập điều kiện đủ cho sự hội tụ yếu của d(un 1, F ) d(un , F ) và do đó tồn tại lim d (un , F ) . Mặt khác,
n
dãy lặp (2.1) đến điểm bất động chung của hai ánh xạ G- theo Mệnh đề 2.3, ta có
không giãn trong không gian Banach lồi đều với đồ thị.
lim || un Sun || lim || un Tun || 0. (2.20)
Định lí 2.4. Cho X là không gian Banach lồi đều và n n
thỏa mãn điều kiện Opial, C là tập lồi đóng khác rỗng của
Vì S,T thỏa mãn điều kiện (B) nên tồn tại hàm không giảm
X, G (V (G), E(G)) là đồ thị định hướng, có tính chất bắc
f : [0, ) [0, ) sao cho f (0) 0, f (r ) 0 với r 0 và
cầu sao cho V (G ) C , Ccó tính chất G, E (G ) là tập lồi,
max{|| un Sun ||,|| un Tun ||} f (d(un , F )). (2.21)
S,T : C C là 2 ánh xạ G-không giãn sao cho F , dãy
{un } được xác định bởi (2.1) sao cho (p, u1),(u1, p) E(G ) Kết hợp (2.20) và (2.21), ta suy ra lim f (d(un , F )) 0.
n
với p F. Khi đó, dãy {un } hội tụ yếu đến q F. Giả sử lim d (un , F ) 0. Khi đó, với mỗi 0, tồn tại
n
Chứng minh. Vì X là không gian Banach lồi đều nên
n0 sao cho với mọi n n 0, ta có d(un , F ) . Khi đó
X là không gian Banach phản xạ. Hơn nữa, theo Mệnh đề
2.2, ta có {un } là dãy bị chặn. Do đó, tồn tại dãy con {un (i )} f (d(un , F )) f ( ) với mọi n n0 . Suy ra
của {un } sao cho {un (i )} hội tụ yếu đến q C . Khi đó, từ
- 48 Nguyễn Trung Hiếu, Phạm Thị Ngọc Mai
lim f (d (un , F )) f( ) 0. Suy ra Sq Tq q hay q
F . Lập luận tương tự như
n
trong chứng minh Định lí 2.5, ta nhận được {un } hội tụ đến
Điều này mâu thuẫn với lim f (d(un , F )) 0. Vậy
n q F.
lim d (un , F ) 0. Khi đó, tồn tại {un (k ) } là dãy con của
n
3. Ví dụ
{un },{p } trong F sao cho || un (k ) pk || 2 k. Khi đó, từ bất Nhóm tác giả đưa ra ví dụ minh họa cho sự hội tụ đến
k
đẳng thức (2.7), ta có điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không giãn bởi dãy
lặp (2.1). Đồng thời, ví dụ này cũng chứng tỏ sự hội tụ đến
|| un (k 1)
pk || || un (k ) pk || 2 k. điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không giãn bởi dãy
lặp (2.1) là nhanh hơn dãy S-lặp trong bài báo [5].
Điều này dẫn đến
Ví dụ 2.7. Cho X là không gian Banach với chuẩn giá
|| pk pk || || pk un (k || || un (k pk ||
1 1 1) 1) trị tuyệt đối, C [0,1], G (V (G), E(G)) là đồ thị định hướng
2 k 1
2 k
2 k 1
. với V (G ) C , (u, v) E(G ) khi và chỉ khi 0 u, v 0.42 và
Suy ra {pk } là dãy Cauchy trong F . Mặt khác, theo Mệnh u, v C . Xét hai ánh xạ S,T : C C xác định bởi
đề 1.5, ta suy ra F F (S ) F (T ) là tập đóng trong không Su
3
u 4 , Tu u 3 với u C . Xét hai dãy { n
},{ n } xác
gian Banach. Do đó, tồn tại q F để lim pk q . Khi đó, kết n 1 n 4
k định bởi n
và n
với n . Khi đó,
5n 3 10n 7
hợp với || un(k ) q || || un(k ) pk || || pk q || 2 k
|| pk q || ta
(1) S,T là ánh xạ G-không giãn. Với (u, v) E(G), ta
suy ra lim || un (k ) q || 0. Hơn nữa, vì tồn tại lim || un q || có 0 u, v 0.42. Khi đó, ta có 0 Su,Tv 0.42 hay
k n
(Su, Sv),(Tu,Tv) E(G ). Suy ra S,T bảo toàn cạnh. Hơn
nên lim || un q || 0 hay {un } hội tụ đến q F.
n
nữa, (u, v) E(G), tính toán trực tiếp ta được
Trong Định lí 2.5, bằng cách thay giả thiết “thỏa mãn || Su Sv || ||u v || và || Tu Tv || || u v || . Do đó,
tính chất (B) của hai ánh xạ” bởi giả thiết “một trong hai
S,T là ánh xạ G-không giãn.
ánh xạ là nửa compact”, nhận được kết quả sau:
Định lí 2.6. Cho X là không gian Banach lồi đều, C là (2) Ta có F F (S ) F (T ) {0} . Chọn u1 0.4
tập lồi đóng khác rỗng của X, G (V (G), E(G)) là đồ thị ta có (p, u1),(u1, p) E(G ) với p F.
định hướng, có tính với V (G ) C , C có tính chất G, E (G )
Kiểm tra trực tiếp, các giả thiết còn lại của Định lí 2.6
là tập lồi, S,T : C C là 2 ánh xạ G-không giãn sao cho
cũng thỏa mãn. Do đó, dãy lặp {un } xác định bởi (2.1) có
F , F (S ) F (T ) E(G) một trong hai ánh xạ S,T là
dạng dưới đây hội tụ đến điểm bất động chung p 0.
nửa compact, dãy {un } được xác định bởi (2.1) sao cho
9n 3 n 4
(p, u1),(u1, p) E(G ) với p F. Khi đó, dãy {un } hội tụ đến wn 3 ( u u 3 )4 ,
10n 7 n 10n 7 n
q F. u1 0.4, vn wn3 , (2.22)
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.3, ta có 4n 2 n 1 3 4
un 1
v v .
5n 3 n 5n 3 n
lim || un Sun || lim || un Tun || 0.
n n
Tuy nhiên, với x 1, y 0.5 và u 0.95, v 0.45, ta
Hơn nữa, theo Mệnh đề 2.2, ta có {un } là dãy bị chặn. Kết
tính được | Sx Sy | | x y |, | Tu Tu | | u v | . Do đó,
hợp với giả thiết một trong hai ánh xạ S,T là nửa compact, S,T không là ánh xạ không giãn. Vì vậy, những kết quả về
ta suy ra nên tồn tại dãy con {un (k ) } của {un } sao cho {un (k )} sự hội tụ đến điểm bất động chung của hai ánh xạ không
hội tụ đến q C . Khi đó, sử dụng tính chất G của tập C và giãn sẽ không áp dụng được cho hai ánh xạ này.
Lưu ý rằng dãy S-lặp {un } được giới thiệu trong [5] có
tính bắc cầu của đồ thị G, ta suy ra tồn tại dãy con {un (k (i ))}
dạng dưới đây cũng hội tụ đến điểm bất động chung 0.
của {un (k ) } sao cho (un (k (i )), q ) E (G ). Hơn nữa, ta có
9n 3 n 4 3 4
vn u u ,
|| q Sq || || q un(k (i )) || || un(k (i )) Sun(k (i )) || || Sun(k (i )) Sq || u1 0.4, 10n 7 n 10n 7 n (2.23)
4n 2 3 4 n 1
|| q un(k (i )) || || un(k (i )) Sun(k (i )) || || un(k (i )) q || un u v3 .
1
5n 3 n 5n 3 n
và Tuy nhiên, sự hội tụ của dãy lặp (2.22) đến điểm bất
|| q Tq || || q un(k (i )) || || un(k (i )) Tun(k(i )) || || Tun(k(i)) Tq || động chung p 0 nhanh hơn sự hội tụ của dãy lặp (2.23).
Bằng lập trình trên phần mềm Scilab-6.0.0 với n 50,
|| q un(k (i )) || || un(k (i )) Tun(k (i )) || || un(k (i )) q || .
minh họa dáng điệu hội tụ đến điểm bất động chung 0 của
dãy lặp (2.22) và dãy lặp (2.23) như Hình 1.
- ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 17, NO. 3, 2019 49
viên mã số SPD2018.02.59.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] S. M. A. Aleomraninejad, S. Rezapour, andN. Shahzad, “Some fixed
point result on a metric space with a graph”, Topol. Appl., 159(3),
2012,659-663.
[2] E. L. Dozo, “Multivalued nonexpansive mappings and Opial's
condition”, Proc. Amer. Math. Soc., 38(2), (1973), 286-292.
[3] H. Piri, B. Daraby, S. Rahrovi, and M. Ghasemi, “Approximating
fixed points of generalized -nonexpansive mappings in Banach
Hình 1. Dáng điệu hội tụ của dãy lặp (2.22) và spaces by new faster iteration process”, Numer. Algorithms,
dãy lặp (2.23) đến 0 với n 50 (2018),1-20, first online.
[4] N. Shahzad and R. Al-Dubiban, “Approximating common fixed
4. Kết luận points of nonexpansive mappings in Banach spaces”, Georgian
Math. J., 13(3), 2006, 529-537.
Trong bài báo này, một dãy lặp xấp xỉ điểm bất động [5] R. Suparatulatorn, W. Cholamjiak, and S. Suantai, “A modified S-
chung của hai ánh xạ G-không giãn được đề xuất. Từ đó, iteration process for G-nonexpansive mappings in Banach spaces
một số kết quả về sự hội tụ của dãy lặp này đến điểm bất with graphs”, Numer. Algor.,77(2), 2018, 479-490.
động chung của hai ánh xạ G-không giãn trong không gian [6] J. Schu, “Weak and strong convergence to fixed points of
Banach lồi đều với đồ thị được thiết lập và chứng minh. asymptotically nonexpansive mappings”, Bull. Aust. Math. Soc.,
43(1), 1991, 153-159.
Đồng thời, một ví dụ được đưa để minh họa cho việc dãy lặp
[7] J. Tiammee, A. Kaewkhao, and S. Suantai, “On Browder’s
được đề xuất là hội tụ đến điểm bất động chung của hai ánh convergence theorem and Halpern iteration process for G-
xạ G-không giãn là nhanh hơn dãy S-lặp trong bài báo [5]. nonexpansive mappings in Hilbert spaces endowed with graphs”,
Fixed Point Theory Appl.,2015:187, 2015, 1-12.
Lời cảm ơn: Nghiên cứu này được tài trợ bởi Trường Đại [8] O. Tripak, “Common fixed points of G-nonexpansive mappings on
học Đồng Tháp với Đề tài nghiên cứu khoa học của sinh Banach spaces with a graph”,Fixed Point Theory Appl., 2016:87,
2016, 1-8.
(BBT nhận bài: 26/02/2019, hoàn tất thủ tục phản biện: 20/03/2019)
nguon tai.lieu . vn
