- Trang Chủ
- Toán học
- Xác định các đặc trưng của hình chiếu giao tuyến lên mặt phẳng chứa hai trục song song của hai mặt bậc hai tròn xoay
Xem mẫu
- ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 20, NO. 3, 2022 79
XÁC ĐỊNH CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA HÌNH CHIẾU GIAO TUYẾN
LÊN MẶT PHẲNG CHỨA HAI TRỤC SONG SONG
CỦA HAI MẶT BẬC HAI TRÒN XOAY
DETERMINE THE CHARACTERISTICS OF THE INTERSECTING PROJECTION
ONTO THE PLANE CONTAINING TWO PARALLEL AXES OF TWO REVOLUTION
SURFACES OF SECOND-ORDER
Nguyễn Độ, Nguyễn Công Hành*, Vũ Thị Hạnh
Trường Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng1
*Tác giả liên hệ: nchanh@dut.udn.vn
(Nhận bài: 06/10/2021; Chấp nhận đăng: 01/12/2021)
Tóm tắt - Khi biểu diễn vật thể, thường gặp các bài toán vẽ giao Abstract - When representing objects, frequently encounter problems
tuyến của các mặt bậc hai tròn xoay. Chúng ta biết rằng, hai mặt constructing the intersection of two revolution surfaces of second-
bậc hai tròn xoay giao nhau theo đường cong ghềnh bậc bốn. Nếu order. Two revolution surfaces of second-order intersect in a quaternary
hai mặt bậc hai tròn xoay có các trục song song nhau hoặc một trong rapids curve. If two revolution surfaces of second–order have parallel
hai mặt là mặt cầu thì hình chiếu của giao tuyến lên mặt phẳng chứa axes or one of them is a sphere, the projection of the intersection onto
hai trục của chúng là đường cong parabol. Cho đến nay, chưa có tài the plane containing their two axes is a parabolic curve. However, there
liệu hay nghiên cứu nào xác định các đặc trưng của parabol hình has not been any research on determining the characteristics of the
chiếu của giao tuyến mà chỉ sử dụng các mặt phụ trợ để xác định projection parabola of the intersection, but only use auxiliary surfaces
các điểm thuộc giao. Bài báo trình bày phương pháp xác định chính to regulate the points on the intersection. The paper presents the method
xác các đặc trưng của parabol hình chiếu của giao tuyến bao gồm: to accurately ascertain the characteristics of the projection parabola of
Đỉnh, trục đối xứng, tiêu điểm và đường chuẩn. Từ kết quả này, the intersection including vertex, symmetric, focus and directrix. From
parabol hoàn toàn được xác định, có nghĩa là parabol được vẽ nhanh this result, the parabola is completely defined, it can be drawn quickly
chóng mà không cần dùng các mặt phụ trợ và thậm chí có thể vẽ without using auxiliary surfaces and even possible to determine
được các điểm ảo thuộc parabol giao tuyến. imaginary points on the intersection parabola.
Từ khóa - Đỉnh; trục đối xứng; tiêu điểm; đường chuẩn; giao Key words - Vertex; axis of symmetry; focus; directrix;
tuyến của các mặt bậc hai tròn xoay. intersection of the revolution surfaces of second–order.
1. Đặt vấn đề Cho đến nay, đã có nhiều nghiên cứu trình bày cách xác
Hiện nay, trong công nghiệp rèn dập tấm vỏ, công định giao tuyến của các mặt bậc hai tròn xoay bằng phương
nghiệp sản xuất hệ thống lò hơi cỡ vừa và lớn, hệ thống pháp biểu diễn [5], lẫn mô hình hóa hình học [6]. Tuy nhiên,
đường ống dẫn dầu và khí, hệ thống tấm vỏ tàu thủy rất cần chưa có các nghiên cứu xác định các đặc trưng của parabol giao
vẽ chính xác giao tuyến của các mặt bậc hai tròn xoay để tuyến mà chỉ sử dụng các mặt phụ trợ để xác định các điểm
khai triển các mặt. thuộc giao tuyến trên các hình chiếu vuông góc [5]. Bài báo này
Khi biểu diễn vật thể trên các bản vẽ kỹ thuật, thường tập trung nghiên cứu phương pháp xác định chính xác các đặc
trưng của parabol hình chiếu của giao tuyến lên mặt phẳng đối
gặp các bài toán dựng hình chiếu của giao tuyến các mặt
xứng chung chứa hai trục song song của hai mặt bậc hai tròn
bậc hai tròn xoay, các khối bậc hai tròn xoay. Ta đã biết
xoay gồm: Đỉnh, trục, tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.
rằng, hai mặt bậc hai tròn xoay giao nhau theo đường cong
ghềnh bậc bốn, hình chiếu của giao tuyến này lên mặt Khi xác định được các đặc trưng của parabol hình chiếu
phẳng đối xứng chung của chúng là đường cong phẳng bậc của giao tuyến có ý nghĩa là parabol được vẽ nhanh, chính
hai có thể là: elíp (tròn), parabol hoặc hyperbol. xác mà không cần dùng các mặt phụ trợ như đã trình bày
- Nếu hai mặt bậc hai tròn xoay cùng trục thì chúng giao trong giáo trình Hình họa, Vẽ kỹ thuật [1,7-8].
nhau theo các đường tròn nằm trong các mặt phẳng vuông Các hình vẽ được trình bày trong bài báo này được vẽ
góc trục chung đó, hình chiếu của các giao tuyến này lên chính xác trên phần mềm AutoCAD [9-10].
mặt phẳng đối xứng chung của chúng suy biến thành các
đọan thẳng vuông góc trục chung; 2. Nội dung nghiên cứu
- Nếu hai mặt bậc hai tròn xoay có các trục giao nhau 2.1. Giới thiệu kiến thức và phương pháp nghiên cứu
thì hình chiếu của giao tuyến lên mặt phẳng đối xứng chung Xác định các đặc trưng của parabol hình chiếu của giao
chứa hai trục của chúng là hyperbol [1]; tuyến thì cần phải xác định các tiếp tuyến với parabol; Để
- Nếu hai mặt bậc hai tròn xoay có các trục song song dựng tiếp tuyến với giao tuyến tại điểm thuộc giao thì qua
nhau hoặc một trong hai mặt là mặt cầu thì hình chiếu của điểm này ta phải dựng hai mặt phẳng lần lượt tiếp xúc với
giao tuyến lên mặt phẳng đối xứng chung chứa hai trục của hai mặt bậc hai; giao tuyến của hai mặt phẳng tiếp xúc là
chúng là parabol [2-4]. đường thẳng tiếp xúc với giao tuyến cần dựng.
1
The University of Danang - University of Science and Technology (Nguyen Do, Nguyen Cong Hanh, Vu Thi Hanh)
- 80 Nguyễn Độ, Nguyễn Công Hành, Vũ Thị Hạnh
2.1.1. Parabol k d k
a. Đặc điểm và tính chất của parabol M H h M
+ Gọi K là trung điểm của HF thì KM là đường cao k'
P n
cũng là phân giác của góc HMF; Q x
D A F
+ KM là đường tiếp tuyến với parabol tại điểm M; n' f'
+ Rõ ràng KAt tiếp tuyến với parabol (Hình 1b). N h' N
d d
f f
M M
H H a) b)
K Hình 3. Xác định phương của trục parabol
A x x
D D − Vẽ F = Mn Nn’ – thì F là tiêu điểm;
F A F
− Qua F, vẽ đường thẳng x // PQ là trục parabol.
t − Lấy Hh: MH=MF (Hình 3b);
− Vẽ HD ⊥ x thì dHD là đường chuẩn parabol.
a) b)
2.1.2. Vẽ tiếp tuyến elíp tại một điểm thuộc elíp
Hình 1. Parabol và các đặc điểm
Cho elíp được xác định bởi cặp trục AB, CD và điểm
b. Xác định các đặc trưng của parabol khi biết đỉnh, M thuộc elíp (Hình 4). Qua M, vẽ tiếp tuyến với elíp.
trục và một tiếp tuyến tại một điểm thuộc parabol.
t2
• Cho parabol được xác định bởi đỉnh A, trục đối (g'2) m2
xứng x và tiếp tuyến Mk với parabol tại M (Hình 2a).
M2
+ Vẽ At tiếp xúc với parabol tại đỉnh A; k C A2
M (2) I2
+ Gọi K = Mk At; Vẽ Kn ⊥ KM; t n2
+ Vẽ F = Kn x – thì F là tiêu điểm (Hình 2b). A B (g2)
F O F'
+ Vẽ điểm D đối xứng với điểm F qua đỉnh A; n1
+ Vẽ d ⊥ x tại D, thì d là đường chuẩn của parabol. (1)
D
t1
k d k I1
M M A1 M1
(g1)
m1
K Hình 4. Vẽ tiếp tuyến với elip Hình 5. Măt hyperboloid
A x F x
D tại điểm thuộc elip tròn xoay một tầng
A
n
t + Vẽ hai tiêu điểm của elíp: F’, F = (C, R) AB với
R = AB/2;
+ Vẽ Mt là phân giác của góc ngoài góc FMF’ thì
a) b) Mt là tiếp tuyến với elíp tại M [1], [3].
Hình 2. Xác định các đặc trưng của parabol 2.1.3. Mặt hyperboloid tròn xoay một tầng
c. Xác định phương của trục parabol khi biết hai tiếp a. Mặt hyperboloid tròn xoay một tầng là mặt được tạo
tuyến với parabol tại hai điểm thuộc parabol thành bởi đường sinh thẳng m chuyển động quay xung
• Cho parabol được xác định bởi hai tiếp tuyến Mk và quanh một trục t chéo với nó (Hình 5).
Nf (Hình 3a). Điểm thuộc đường sinh m có khoảng cách ngắn nhất
+ Xác định phương của trục parabol; đến trục t sẽ vạch ra đường tròn họng ()⊥t. Mặt
hyperboloid tròn xoay một tầng được xác định bởi trục t và
+ Xác định các đặc trưng của parabol: Đỉnh, trục,
đường sinh m hoặc trục t và đường tròn họng ().
tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.
Đường sinh m luôn luôn tựa vào đường tròn họng ().
o Xác định phương của trục parabol
Mặt hyperboloid tròn xoay một tầng thường được giới hạn
− Qua M, N vẽ hai đường thẳng Nk’ và Mf’; bởi hai đường tròn đáy (g) đối xứng nhau qua đường tròn
− Vẽ P = Mk Nf và Q = Mf’ Nk’ (Hình 3b) họng () (Hình 5) [4-6], [11-12].
− Thì PQ là phương của trục parabol, [3]. b. Mặt phẳng tiếp xúc với mặt hyperboloid một tầng
o Xác định các đặc trưng của Parabol. tại điểm thuộc mặt
− Qua M, N vẽ các đường thẳng Mh, Nh’ // PQ; Mặt phẳng tiếp xúc với mặt hyperboloid tròn xoay một
tầng sẽ cắt mặt hyperboloid theo hai đường sinh, (Hình 5)
− Vẽ Mn đối xứng với Mh qua tiếp tuyến Mk; - mặt phẳng (m,n) tiếp xúc với mặt hyperboloid tròn xoay
− Vẽ Nn’ đối xứng với Nh’qua tiếp tuyến Nf; một tầng tại điểm M thuộc mặt.
- ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 20, NO. 3, 2022 81
2.2. Các bài toán xác định các đặc trưng của parabol o Trường hợp 2: Trục t không vuông góc P1
hình chiếu của giao tuyến Cách xác định các điểm T, T’ thuộc giao tuyến và các
• Bài toán 1 đặc trưng parabol hình chiếu đứng của giao tuyến hoàn
Cho mặt trụ tròn xoay trục t và mặt cầu tâm O có mặt toàn tương tự như trường hợp 1 (Hình 7);
phẳng đối xứng chung (O, t) song song mặt phẳng hình Ta nhận thấy giao tuyến ở hình chiếu đứng đối xứng
chiếu đứng P2. Vẽ hình chiếu đứng của giao tuyến và xác nhau qua đường thẳng (2) nên đường thẳng x (2) là
định các đặc trưng của giao tuyến. trục và A2 là đỉnh của parabol hình chiếu đứng;
o Trường hợp 1: Trục t ⊥ P1 Vì mặt trụ có trục t nghiêng với P1 nên để dựng mặt
t2
phẳng tiếp xúc với mặt trụ tại điểm T thuộc giao được thực
f2
hiện như sau:
M2
k2 + Ứng dụng hướng thiết diện Monge, ta xác định
T2
h2 đường chuẩn đáy trụ là elíp (C) thuộc mặt phẳng chiếu
d S2
K đứng có hình chiếu bằng (C1) là đường tròn (Hình 7);
(2) B2 O2 x Axis
DI2 A2 F n M'2
(g2) O'2
T'2 Axis
t2 x
T'2
d O2
M'2 f2
I2 F
A2 L2 b2
n T2 B2 K2
(1) h1 D
S1 K M2 h2
B1 k1 (g2) a2
T1 (2) E2
f1
(C2)
I1t1
E1 L1
O1 f1
T1 b1 (1) a1
O'1 t1
O1 h1 B1
(C1) K1
Hình 6. Giao tuyến của mặt cầu và mặt trụ tròn xoay
Hai mặt trụ và cầu giao nhau theo đường cong ghềnh
bậc bốn, chiếu lên mặt phẳng (O, t) // P2 là parabol. Để vẽ Hình 7. Giao tuyến của mặt cầu và mặt trụ tròn xoay
hình chiếu đứng của parabol và các đặc trưng của nó: + Dựng mặt phẳng (TE, a) tiếp xúc mặt trụ theo đường
+ Vẽ OI ⊥ t tại I; Dựng mặt cầu phụ trợ tâm I nội tiếp sinh TE, với a là đường thẳng tiếp xúc với đường chuẩn (C)
mặt trụ theo đường tròn () và cắt mặt cầu đã cho theo tại chân E của đường sinh ST (Hình 7);
đường tròn phụ (g); Vẽ A2 = (2) (g2) là điểm giới hạn Dựng mặt phẳng (h, f) tiếp xúc mặt cầu tại điểm T;
thuộc parabol hình chiếu đứng của giao tuyến; Vẽ TB= mp(TE, a)mp(h,f) là tiếp tuyn với giao tuyến
+ Vẽ cầu phụ trợ tâm I (hoặc tâm thuộc t) cắt hai mặt tại điểm T;
đã cho theo các đường tròn phụ có hình chiếu đứng suy Để xác định tiêu điểm và đường chuẩn, ta thực hiện:
biến thành các đoạn thẳng, chúng giao nhau tại các điểm
+ Gọi K = B2T2 (g2);
T2, T’2 thuộc parabol hình chiếu đứng của giao (Hình 6);
+ Đường thẳng Kn ⊥B2T2, cắt trục x tại F là tiêu điểm
+ Ta nhận thấy giao tuyến ở hình chiếu đứng đối xứng
của parabol cần xác định.
nhau qua đường thẳng (2) nên đường thẳng x (2) là
trục và A2 là đỉnh của parabol; − Vẽ D đối xứng F qua A2; đường thẳng d ⊥ x tại A2 là
đường chuẩn của parabol cần xác định.
+ Để xác định tiêu điểm F của parabol, trước tiên ta
phải dựng tiếp tuyến với giao tuyến tại điểm T thuộc giao: • Bài toán 2
− Dựng mp (h,f) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm T; Cho mặt nón tròn xoay trục t và mặt cầu tâm O có mặt
phẳng đối xứng chung (O,t) // P2. Vẽ hình chiếu đứng của
− Dựng mp () ⊥ P1 tiếp xúc với mặt trụ tại điểm T; giao tuyến và xác định các đặc trưng của giao tuyến.
− Vẽ TB = mp () mp(h,f) thì TB là tiếp tuyến với Vì hai mặt đã cho có mặt phẳng đối xứng chung (O,t) //
giao tuyến tại điểm T; P2 nên hình chiếu đứng của giao tuyến là parabol;
− Gọi K = B2T2 (g2); Ta xét hai trường hợp sau:
− Đường thẳng Kn ⊥B2T2, cắt trục x tại F là tiêu điểm o Trường hợp 1: Trục t ⊥ P1
của parabol cần xác định (theo (Hình 2b)).
+ Vẽ OI ⊥ t tại I;
+ Vẽ D đối xứng F qua A2; đường thẳng d ⊥ x tại A2
+ Dựng mặt cầu phụ trợ tâm I nội tiếp mặt nón theo
là đường chuẩn của parabol cần xác định.
đường tròn () đồng thời cắt mặt cầu đã cho theo đường
- 82 Nguyễn Độ, Nguyễn Công Hành, Vũ Thị Hạnh
tròn phụ (g); vẽ A2 = (2) (g2) là điểm giới hạn thuộc S2
x
parabol hình chiếu đứng của giao (Hình 8). M'2 Axis
S2 f2 R2
t2 T'2 O2
n f2
d M2 m' d F M2 B2
T2 h2
nF I2 T2
(2) A2 x Axis (2) A2 h2
D I2 D K S2
O2
P n' Q E2 (2) a2
(g2) T'2 m (C2)
h'2 (g2)
M'2 f'2 a2 E1 a1 f1
G2 B2 E2 t2 E'2 B'2 F '2
T1 R1
B1
h'1 t1 S1
E '1 S1
k'1 h1
F '1 f'1
T '1 B'1
a'1 (C1)
t1S1
O1
G1 f1 Hình 9. Giao tuyến của mặt cầu và mặt nón tròn xoay
T1 Để xác định tiêu điểm của parabol, ta tiến hành:
+ Ứng dụng hướng thiết diện Monge, xác định đường
B1 a1
E1 chuẩn đáy nón là elíp (C) thuộc mặt phẳng chiếu đứng có
m1 h1 hình chiếu bằng (C1) là đường tròn (Hình 9);
Hình 8. Giao tuyến của mặt cầu và mặt nón tròn xoay + Dựng mặt phẳng (SE, a) tiếp xúc mặt nón theo
+ Tương tự, dựng mặt cầu phụ trợ có tâm I (hoặc tâm đường sinh TE, với a tiếp xúc với đường chuẩn (C) tại chân
thuộc t), cắt cả hai mặt đã cho theo hai đường tròn phụ, E của đường sinh ST;
chúng giao nhau tại các điểm T, T’ thuộc giao. + Hai mặt phẳng (h,f) và (SE,a) tiếp xúc với hai mặt
Để xác định các đặc trưng của parabol hình chiếu đứng đã cho tại T, chúng giao nhau theo đường thẳng BT là tiếp
của giao tuyến, trước tiên ta phải xác định phương của trục tuyến với giao tuyến tại T;
parabol bằng cách vẽ hai tiếp tuyến với giao tuyến tại T và T’: + Gọi K là giao điểm của B2T2 với tiếp tuyến của
+ Tại điểm T thuộc giao, ta dựng hai mặt phẳng (h,f) parabol tại đỉnh A2;
và mp (SE, a’) lần lượt tiếp xúc với mặt cầu và mặt nón đã + Đường thẳng Kn ⊥ KT2, cắt trục x tại F là tiêu điểm
cho; Hai mặt phẳng tiếp xúc này giao nhau theo đường BT của parabol hình chiếu đứng;
là tiếp tuyến với giao tuyến tại T (Hình 8);
+ Vẽ D đối xứng F qua A2, thì đường thẳng d ⊥x tại
+ Tương tự, dựng hai mặt phẳng tiếp xúc với hai mặt D là đường chuẩn của parabol hình chiếu đứng.
nón, cầu đã cho tại T’, chúng giao nhau theo đường B’T’
➢ Nhận xét
là tiếp tuyến với giao tuyến tại T’;
Qua hai trường hợp 1, 2 của hai bài toán 1 và 2 nêu trên.
− Vẽ hai đường T2m và T’2m’ lầ lượt song song với
Để xác định đỉnh và trục parabol hình chiếu đứng của giao
T’2B’2 và T2B2;
tuyến, ta vẽ I = OI ⊥ t rồi dựng mặt cầu phụ trợ tâm I nội
− Vẽ P = T2B2 T2’B’2 và Q=T2m T’2m’ thì PQ là tiếp mặt nón trục t theo đường tròn () đồng thời cắt mặt
phương của trục parabol, ta thấy PQ//(2). cầu đã cho theo đường tròn phụ (g); Vẽ A2 =(2) (g2) là
Xác tiêu điểm, định trục, đỉnh và đường chuẩn parabol: điểm giới hạn thuộc parabol.
+ Vẽ hai đường T2n, T’2n’ lần lượt đối xứng với hai Kết luận:
đường h2, h’2 qua T2B2 và T2’B’2; + A2 là đỉnh parabol hình chiếu đứng;
+ Vẽ F = T2n T’2n’ là tiêu điểm của parabol. + Trục x (2) là trục đối xứng của parabol.
− Ta thấy F(2) nên đường thẳng x (2) là trục
• Bài toán 3
parabol hình chiếu đứng của giao tuyến (Hình 8);
Cho hai mặt nón và trụ tròn xoay trục t, k ⊥ P1 có
− Vẽ D đối xứng F qua A2, đường thẳng d ⊥ x tại D là
mp(t, k) // P2. Vẽ hình chiếu đứng của giao tuyến và xác
đường chuẩn của parabol hình chiếu đứng của giao. định các đặc trưng của giao tuyến (Hình 10 a, b).
o Trường hợp 2: Trục t không vuông góc P1 Mặt phẳng đối xứng chung của hai mặt chứa hai trục t,
Tương tự như trường hợp 1, vẽ OI ⊥ t tại I; Dựng mặt k song song P2 nên hình chiếu đứng giao tuyến là parabol.
cầu tâm I nội tiếp nón theo đường tròn () đồng thời cắt Vì mặt trụ có đường sinh vuông góc P1 nên hình chiếu
cầu đã cho theo đường tròn (g). Ta nhận được x (2) là bằng của giao tuyến thuộc đường tròn suy biến của trụ.
trục và A2=(2)(g2) là đỉnh parabol hình chiếu đứng; Gắn các điểm của giao tuyến vào mặt nón, ta xác định
Cách xác định các điểm T, T’ thuộc giao tuyến hoàn được hình chiếu đứng của giao. Ta thấy hình chiếu đứng
toàn tương tự như trường hợp 1 của giao tuyến đối xứng qua đường thẳng x nằm ngang
- ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 20, NO. 3, 2022 83
chứa S2 nên x là trục đối xứng của parabol; Mặt phẳng đối xứng chung của hai mặt chứa hai trục t,
t2 t2 k2
k // P2 nên hình chiếu đứng giao tuyến là parabol;
k2
d Dựng mặt phẳng bằng phụ trợ () // P1 cắt cả hai nón
d đỉnh S, I theo hai đường tròn (g),(g’). Vẽ T, T’= (g)(g’)
S2 A F x A2 S2 F x là các điểm thuộc giao. Ta thấy hình chiếu đứng của giao
D 2 D
M2 n Axis M2 Axis tuyến đối xứng qua đường thẳng x S2I2 nên x là trục của
n parabol;
H T2 H
T2 Hai mặt phẳng (SE,a), mp(SL,b) lần lượt tiếp xúc với
a2 a2 N2 hai mặt nón đỉnh S, I tại điểm T; Chúng giao nhau theo TB
E2 N2 E2 B2 là tiếp tuyến với giao tuyến tại điểm T;
a1 a1
E1 N
1 E1 Vẽ T2n đối xứng với (g2)//x qua trục B2T2, nó cắt trục x
(1) T1 B1
T1 tại điểm F là tiêu điểm của parabol hình chiếu đứng;
t1S1 k1 Trên (g2), lấy T2H=T2F; qua H, vẽ d ⊥ x tại D thì d là
t1S1 k1
(1) đường chuẩn. A2 trung điểm của DF là đỉnh của parabol.
• Bài toán 5
a) b) Cho mặt cầu tâm O và mặt ellipsoid tròn xoay được xác
Hình 10. Giao tuyến của hai mặt trụ và nón tròn xoay định bởi cặp trục QR ⊥ CH tại tâm I với trục dài QR ⊥ P1.
Vẽ hình chiếu đứng của giao tuyến và xác định các đặc
o Trường hợp 1 (Hình 10a)
trưng của giao tuyến.
Mặt phẳng () ⊥ P1 chứa trục t nón là mặt phẳng tiếp
b2 f2
xúc mặt trụ theo đường sinh qua T; mp(ST, a) tiếp xúc mặt Q2 B2 K2 G2 (2) k2
nón theo đường sinh ST với a tiếp xúc với đường tròn đáy M2
nón tại chân E của đường sinh ST. Hai mặt phẳng này tiếp F2
a2 T2 h2
xúc với hai mặt tại điểm T, chúng giao nhau theo TB là tiếp
n
tuyến với giao tuyến tại điểm T; D I2 A2 F x Axis
C2 H2 O2
o Trường hợp 2 (Hình 10b) T'2
Mặt phẳng () ⊥ P1 tiếp xúc trụ theo đường sinh qua T d
và mp(ST, a) tiếp xúc mặt nón theo đường sinh ST, chúng F'2
M'2
giao nhau theo TB là tiếp tuyến với giao tuyến tại điểm T; R2
Vẽ T2n đối xứng với T2H qua B2T2, nó cắt trục x tại
điểm F là tiêu điểm của parabol hình chiếu đứng;
C1 Q1R1 I1 H1 O1
Vẽ D đối xứng F qua A2, thì đường thẳng d ⊥ x tại D là
đường chuẩn của parabol hình chiếu đứng. b1 B1
T1 G1 f1
• Bài toán 4 A1
a1 K1
Cho hai mặt nón tròn xoay đỉnh S, I trục t, k ⊥ P1 có k1 h1
mp(t, k) // P2. Vẽ hình chiếu đứng của giao tuyến và xác
Hình 12. Giao tuyến của mặt elipxoid tròn xoay và cầu
định các đặc trưng của giao tuyến (Hình 11).
Mặt phẳng đối xứng chung của hai mặt song song P2 nên
t2 k2 hình chiếu đứng giao tuyến là parabol. Dựng cầu phụ trợ tâm
I QR cắt cả hai mặt đã cho theo hai đường tròn (g), (g’)
d
các đường tròn này giao nhau tại T, T’ là các điểm thuộc
S2 I2 n x giao. Hai đường tròn bao ở hình chiếu bằng giao nhau tại
D
A2 F điểm A thuộc giao. Ta thấy hình chiếu đứng của giao tuyến
M2 Axis
(2) (g2)
đối xứng qua đường thẳng x I2O2 nên x là trục; A2 là đỉnh
H T2
M'2 của parabol hình chiếu đứng. Dựng mặt cầu phụ trợ có tâm
a2 b2 thuộc trục QR cắt cả hai mặt đã cho theo các đường tròn giao
L2 E2 B2 tuyến phụ, các đường tròn này giao nhau tại các điểm T, T’
thuộc giao. Dựng mp(h,f) tiếp xúc mặt cầu tai T. Dựng mặt
L1 E1 phẳng (a, b) tiếp xúc với mặt ellipsoid tại T:
T1 B1
+ Vẽ a tiếp xúc với đường tròn vĩ tuyến qua T;
(g1) (g'1) b1
a1
+ Xác định F, F’ tiêu điểm của mặt ellipsoid có:
t1S1 k1I1
F2, F’2 = (C, R) Q2K2 với R = Q2R2/2;
T'1
+ Vẽ b tiếp xúc với đường elíp kinh tuyến qua T có b2
là phân giác của góc ngoài F2T2F’2; b1I1T1.
Hình 11. Giao tuyến của hai mặt nón tròn xoay Hai mặt phẳng (h,f) và mp(a,b) lần lượt tiếp xúc với hai
- 84 Nguyễn Độ, Nguyễn Công Hành, Vũ Thị Hạnh
mặt cầu và mặt ellipsoid tại T, chúng giao nhau theo TK là 3. Nhận xét
tiếp tuyến với giao tuyến tại điểm T; Kết quả nghiên cứu này đã đưa ra phương pháp xác
Vẽ T2n đối xứng với a2 qua K2T2, nó cắt trục x tại điểm định chính xác các đặc trưng của parabol hình chiếu của
F là tiêu điểm của parabol hình chiếu đứng. Vẽ D đối xứng giao tuyến lên mặt phẳng đối xứng chung chứa hai trục của
F qua A2, thì đường thẳng d ⊥ x tại D là đường chuẩn của hai mặt bậc hai tròn xoay gồm: Đỉnh, trục đối xứng, tiêu
parabol hình chiếu đứng. điểm và đường chuẩn mà cho tới nay vẫn chưa có tài liệu
• Bài toán 6 hay nghiên cứu nào công bố.
Cho mặt trụ trục t và mặt hyperboloid tròn xoay một tầng 4. Kết luận
được xác định bởi trục k, đường sinh m và đường tròn họng Kết quả nghiên cứu có thể ứng dụng để vẽ parabol hình
(); Hai trục t, k ⊥ P1 và mp(t, k) // P2. Vẽ hình chiếu đứng chiếu của giao tuyến lên mặt phẳng đối xứng chung chứa
của giao tuyến và xác định các đặc trưng của giao tuyến. hai trục của hai mặt bậc hai tròn xoay một cách tổng quát,
k2 M2 t2 nhanh chóng, chính xác; thậm chí có thể xác định được các
d điểm thực và ảo thuộc parabol hình chiếu mà phương pháp
H T2
dùng mặt phụ trợ thông thường không xác định được.
n
F
Nghiên cứu này có thể đưa vào các tài liệu giáo trình
D (2) I2 J2 x
A2
Hình họa - Vẽ kỹ thuật nhằm phục vụ việc học tập và giảng
Axis
k2 K2 dạy.
G2
B2 Nghiên cứu này có ý nghĩa rất quan trọng trong việc
m2 khai triển chính xác các giao tuyến thuộc các mặt bậc hai
M'2 tròn xoay trong việc thi công bản vẽ kỹ thuật.
(1)
k1 M'1 TÀI LIỆU THAM KHẢO
I1 T'1
m1 K1 [1] V.O.Gordon, M.A. Sementsov, A course in descriptive geometry,
B1 A2 J1 Mir publishers, 1980.
k1 t1 [2] Nguyễn Độ, Giáo trình Vẽ kỹ thuật, Nhà xuất bản Xây dựng Hà Nội,
G1 2008.
T1
(1) [3] Ada, T., Kurtuluş, A., & Yanik, H. B., “Developing the concept of a
M1 parabola in Taxicab geometry”, International Journal of
Mathematical Education in Science and Technology, 46(2), 2014,
Hình 13. Giao tuyến của mặt trụ và hyperboloid tròn xoay 264–283.
Hình chiếu bằng của giao tuyến trùng với đường tròn [4] Nguyễn Đình Điện, Đỗ Mạnh Môn, Dương Tiến Thọ, Nguyễn Văn
Tuấn, Hình học họa hình, Nhà xuất bản Đại học và trung học chuyên
hình chiếu bằng của trụ, gắn các điểm của giao tuyến vào nghiệp Hà Nội, 1977.
đường sinh của mặt hyperboloid ta xác định được hình [5] Ratko Obradović, “Determination of intersecting curve between two
chiếu đứng của giao tuyến. Ta thấy hình chiếu đứng của surfaces of revolution with intersecting axes by use of auxiliary
giao tuyến đối xứng qua đường thẳng x (2) nên x là trục spheres”, Architecture and Civil Engineering, 2(2), 2000, 117 – 129.
đối xứng và A2 là đỉnh của parabol hình chiếu đứng. Hai [6] Thomas W. Sederberg, Jianmin Zheng, Handbook of Computer
Aided Geometric Design, Elsevier, 2002.
mặt phẳng () và mp(ITJ) lần lượt tiếp xúc với hai mặt trụ
[7] Joseph W. Giachino, Henry J. Beukema, Drafting and Graphics,
và mặt hyperboloid tại điểm T, chúng giao nhau theo TB là American Technical Society, 1972.
tiếp tuyến với giao tuyến tại điểm T. Mặt phẳng đối xứng [8] Nguyễn Đức Sỹ, Dương Thọ, Tôn Nữ Huyền Trang, Hình học họa
chung của hai mặt chứa hai trục t, k song song P2 nên hình hình, Nhà xuất bản Xây dựng, 2018.
chiếu đứng giao tuyến là parabol. Vẽ T2n đối xứng với T2H [9] Nguyễn Độ, AutoCAD2006 tập 1-2D, Nhà xuất bản Xây dựng, 2007.
qua B2T2, nó cắt trục x tại điểm F là tiêu điểm của parabol [10] Nguyễn Độ, Thiết kế mô Hình 3D – AutoCAD 2008, Nhà xuất bản
hình chiếu đứng. Hai đường tròn bao hình chiếu bằng của Xây dựng, 2009.
hai mặt giao nhau tại các điểm A, A’ thuộc giao có hình [11] Ю.И. Короев, Черчение для строительей, Москва Высшая
школа, 1982.
chiếu đứng A2x là đỉnh của parabol. Vẽ D đối xứng F qua
[12] Н.С. Брилинг, С.Н. Симонин, Справочник по строительному
A2, thì đường thẳng d ⊥ x tại D là đường chuẩn của parabol черчению, Москва стройиздат, 1987.
hình chiếu đứng.
nguon tai.lieu . vn
