Xem mẫu
- Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 21-30
VỀ TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG CHO PHƯƠNG TRÌNH HÀM DRYGAS
Phạm Thị Mai Thắm1, Võ Thị Lệ Hằng2* và Nguyễn Văn Dũng3
1
Sinh viên, Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp
2
Phòng Khoa học và Công nghệ, Trường Đại học Đồng Tháp
3
Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp
*
Tác giả liên hệ: vtlhang@dthu.edu.vn
Lịch sử bài báo
Ngày nhận: 30/03/2021; Ngày nhận chỉnh sửa: 03/05/2021; Ngày duyệt đăng: 10/05/2021
Tóm tắt
Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu tính siêu ổn định suy rộng của phương trình hàm Drygas
f ( x y) f ( x y) 2 f ( x) f ( y) f ( y)
trên không gian tựa chuẩn, trong đó f là ánh xạ từ X vào Y và x, y, x y, x y X . Kết quả của
bài viết là mở rộng các kết quả của Aiemsomboon và Sintunavarat (2016) về phương trình hàm
Drygas trong không gian định chuẩn.
Từ khóa: Phương trình hàm, tính siêu ổn định, tựa chuẩn.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ON THE HYPERSTABILITY OF THE DRYGAS FUNCTIONAL EQUATIONS
Pham Thi Mai Tham1, Vo Thi Le Hang2*, and Nguyen Van Dung3
1
Student, Department of Mathematics - Information Technology Teacher Education,
Dong Thap University
2
Office of Science and Technology Management, Dong Thap University
3
Department of Mathematics - Information Technology Teacher Education,
Dong Thap University
*
Corresponding author: vtlhang@dthu.edu.vn
Article history
Received: 30/03/2021; Received in revised form: 03/05/2021; Accepted: 10/05/2021
Abstract
In this paper we study the hyperstability of the Drygas functional equation of the form
f ( x y) f ( x y) 2 f ( x) f ( y) f ( y)
in quasi-normed spaces, where f is a map from X into Y and x, y, x y, x y X . The obtained
results are the extensions of the results of Aiemsomboon and Sintunavarat (2016) on the Drygas
functional equation in normed spaces.
Keywords: Functional equation, hyperstability, quasi-norm.
DOI: https://doi.org/10.52714/dthu.10.3.2021.864
Trích dẫn: Phạm Thị Mai Thắm, Võ Thị Lệ Hằng và Nguyễn Văn Dũng. (2021). Về tính siêu ổn định suy rộng cho
phương trình hàm Drygas. Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, 10(3), 21-30.
21
- Chuyên san Khoa học Tự nhiên
1. Mở đầu . :XX là một ánh xạ sao cho với mọi
Ánh xạ f : được gọi là thỏa mãn x, y X và mọi a ,
phương trình hàm Drygas khi và chỉ khi
f ( x y) f ( x y) 2 f ( x) f ( y) f ( y) (1.1) 1. x 0 khi và chỉ khi x 0 .
với mọi x, y . Lưu ý rằng nếu các ánh xạ 2. ax a x .
f ,g: thỏa mãn phương trình hàm
Drygas thì f g cũng thỏa mãn phương trình 3. x y ( x y ).
hàm Drygas.
Khi đó . được gọi là một tựa chuẩn và
Năm 1987, Drygas đã nghiên cứu phương
trình (1.1) và đưa ra đặc trưng của các không ( X , . , ) được gọi là một không gian tựa chuẩn.
gian tựa tích (Drygas, 1987). Sau đó Ebanks và Định nghĩa 1.2 (Czerwik S., 1998). Giả
cs. (1992) đã mở rộng phương trình (1.1) sử X , 1 và d : X X là một
f ( x) A( x) Q( x) trong đó A : là ánh
ánh xạ sao cho với mọi x, y, z X ,
xạ cộng tính và Q : là phương trình
hàm bậc hai, nghĩa là với mỗi x, y , A thỏa 1. d ( x, y) 0 khi và chỉ khi x y.
mãn A( x y) A( x) A( y) và Q thỏa mãn 2. d ( x, y) d ( y, x).
Q( x y) Q( x y) 2Q( x) 2Q( y) .
3. d ( x, z) (d ( x, y) d ( y, z)).
Tính ổn định của phương trình hàm
Drygas đã được quan tâm nghiên cứu qua Khi đó
nhiều tác giả (Faiziev và Sahoo, 2007 và 1. d được gọi là một b -metric trên X và
2008; Jung và Sahoo, 2002; Yang, 2004). ( X , d , ) được gọi là một không gian b -metric.
Năm 2013, Piszczek và Szczawinka đã đưa ra
kết quả về tính siêu ổn định suy rộng cho 2. Dãy {xn }n được gọi là hội tụ đến x
phương trình hàm Drygas (Piszczek và trong ( X , d , ) nếu lim d ( xn , x) 0.
Szczawinka, 2013). Dù một kết quả về tính n
siêu ổn định đã được đưa ra bởi Bourgin 3. Dãy {xn }n được gọi là một dãy Cauchy
(Bourgin, 1949), nhưng thuật ngữ “siêu ổn
nếu lim d ( xn , xm ) 0.
định” được sử dụng lần đầu tiên bởi Maksa và n , m
Pales (Maksa và Pales, 2014).
4. Không gian ( X , d , ) được gọi là đầy đủ
Từ các kết quả của Aiemsomboon và nếu mỗi dãy Cauchy là một dãy hội tụ.
Sintunavarat (2016) nghiên cứu về tính siêu
ổn định trên không gian định chuẩn, trong bài Nếu ( X , . , ) là một không gian tựa
viết này chúng tôi thiết lập và chứng minh các chuẩn thì d ( x, y) x y với mọi x, y X
kết quả về tính siêu ổn định trên không gian
tựa chuẩn. xác định một b -metric trên X . Nếu không
giải thích gì thêm thì trên không gian tựa
Trong bài viết này n0 lần lượt biểu diễn chuẩn ta luôn dùng b -metric trên. Khi đó
tập các số nguyên lớn hơn hoặc bằng n0 , B A không gian tựa chuẩn đầy đủ được gọi là
không gian tựa Banach.
biểu diễn tập hợp của tất cả các hàm từ tập hợp
A đến tập hợp B . Định lí 1.3 (Paluszyński và Stempak,
2009). Giả sử (Y , d , ) là một không gian b -
Định nghĩa 1.1 (Kalton, 2003). Giả sử X
là không gian vectơ trên trường , 1 và metric, log 2 2 và
22
- Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 21-30
n
tồn tại và ánh xạ :U Y là một điểm bất
Dd x, y inf{d ( xi , xi 1 ) :
i 1
động của thỏa mãn
x x1 , x2 ,..., xn , xn1 y X , n 1} (1.2)
( x) ( x) 4 * ( x) (1.9)
với mọi x, y Y . Khi đó Dd là một metric trên với mọi x U .
Y thỏa mãn
2. Với mỗi x U , nếu tồn tại M 0 sao cho
1
d ( x, y) Dd ( x, y) d ( x, y) (1.3)
4 * ( x) ( M ( n )( x)) (1.10)
n 1
với mọi x, y Y . Đặc biệt, nếu d là một
metric thì 1 và Dd d . thì điểm bất động của thỏa mãn (1.9) là
duy nhất.
Hệ quả 1.4 (Aiemsomboon và
2. Kết quả chính
Sintunavarat, 2017). Cho U , (Y , . , ) là
Trong mục này chúng tôi thiết lập và
một không gian tựa Banach và f1 ,..., f k : chứng minh một số định lí về tính ổn định của
U U và L1 ,...Lk : U là các ánh xạ, phương trình hàm trong không gian tựa chuẩn.
trong đó k là một số nguyên dương. Giả sử rằng Định lí 2.1. Giả sử rằng
1. :Y Y
U U
là một ánh xạ thỏa mãn 1. X là một tập con của không gian tựa
chuẩn ( Z , . , Z ) trên trường
k
( x) ( x) Li ( x) ( fi ( x)) ( fi ( x)) (1.4) sao cho
i 1
x X thì x X và (Y , . , Y ) là một không
với mọi , Y U và x U .
gian tựa Banach trên trường .
2. Tồn tại hai ánh xạ :U và
2. Tồn tại n0 sao cho nx X với mọi
:U Y sao cho với mọi x U
x X , n n0 và ánh xạ h : X thỏa mãn
( x) ( x) ( x). (1.5)
M 0 : {n , n n0 : Y (2s(n 1) s(n)
3. Với mỗi x U và log 2k 2, s(n) s(2n 1)) 1}
k
là một tập vô hạn, trong đó
* ( x) : ( n ) ( x) (1.6)
i 1
s(n) : inf{t : h(nx) th( x) x X }
và s(n) thỏa mãn các điều kiện sau đây với
trong đó
n ,
k
( )( x) Li ( x) ( fi ( x)) (1.7)
lim s(n) 0 và lim s(n) 0 .
i 1 n n
với mọi :U và mọi x U . 3. Hàm f : X Y thỏa mãn bất đẳng thức
Khi đó ta có, f ( x y ) f ( x y ) 2 f ( x) f ( y ) f ( y )
1. Với mọi x U , giới hạn h( x ) h( y ) (2.1)
(1.8) với mọi x, y, x y, x y X .
lim( n
)( x) ( x)
x
Khi đó f thỏa mãn phương trình
23
- Chuyên san Khoa học Tự nhiên
f ( x y) f ( x y) 2 f ( x) f ( y) f ( y) (2.2) 4
Li ( x) ( )( fi ( x)) .
với mọi x, y X . i 1
Chứng minh. Với x X , m M 0 thay x Bằng phép quy nạp toán học, chúng ta sẽ chỉ ra
bởi (m 1) x và y bởi mx vào (2.1), ta có rằng với mọi x X , n 0, m M 0 ,
f ((m 1) x mx) f ((m 1) x mx) nm m ( x) Y 2 [ s(m 1) s(m)][2s(m 1) s(m)
2 f ((m 1) x) f (mx) f (mx) s (m) s (2m 1)]n h( x). (2.5)
Từ (2.4), ta suy ra (2.5) đúng với n 0. Giả sử
2 f ((m 1) x) f (mx) f (mx) f ((2m 1) x) f ( x)
rằng (2.5) đúng cho n l , với l 0 . Với
h((m 1) x) h(mx) . (2.3)
n l 1, ta có
Xác định ánh xạ :Y X Y X với
m
lm1 m ( x)
m M 0 bởi
m ( lm m ( x))
( )( x) : 2 ((m 1) x) (mx) (mx)
2Y 2 lm m ((m 1) x) Y 2 lm m (mx)
m
((2m 1) x), x X , Y . X
Y 2 lm m (mx) Y 2 lm m ((2m 1) x)
Ta có, với mọi x X
Y2l 2 [s(m 1) s(m)][2s(m 1) s(m) s(m) s(2m 1)]l
m ( x) : h((m 1) x) h(mx) [s(m 1) s(m)]h( x). (2.4)
[2h((m 1) x) h(mx) h(mx) h((2m 1) x)]
Khi đó bất đẳng thức (2.3) có dạng
Y2(l 1) [ s(m 1) s(m)][2s(m 1) s(m) s(m)
m f ( x) f ( x) m ( x). Điều này chứng tỏ
(1.5) được thỏa mãn với f , m . s(2m 1)]l 1 h( x).
Điều này chỉ ra rằng (2.5) đúng với n l 1.
Xác định ánh xạ m : X
X
bởi Do đó (2.5) đúng với tất cả n 0 . Theo định
(m )( x) : Y (2 ((m 1) x) (mx) (mx) ((2m 1) x)) nghĩa M 0 và tổng cấp số nhân, với x X và
m M 0 thì
với X
, x X.
Khi đó (1.7) được thỏa mãn với k 4, ( n
) ( x)
m m
f1 ( x) (m 1) x, f 2 ( x) mx, f3 ( x) mx, n 0
f 4 ( x) (2m 1) x, L1 ( x) 2Y 2 và Y 2 n [ s(m 1) s(m)] [2s(m 1) s(m) s(m)
n 0
L2 ( x) L3 ( x) L4 ( x) Y . 2
s(2m 1)] n h ( x)
Hơn nữa, với mọi , Y U , x X , theo
[s(m 1) s(m)] h ( x)
Định nghĩa 1.1 , ta có . (2.6)
1 Y2 [2s(m 1) s(m) s(m) s(2m 1)]
( x)
m m ( x) 2 ((m 1) x) (mx) (mx) ((2m 1) x)
Từ (1.6) và (2.6) ta suy ra được
2 m 1 x mx mx 2m 1 x
[s(m 1) s(m)] h ( x)
2Y 2 ( )((m 1) x) Y 2 ( )(mx) * ( x) .
1 Y2 [2s(m 1) s(m) s(m) s(2m 1)]
Y 2 ( )(mx) Y 2 ( )((2m 1) x) Do đó, theo Hệ quả 1.4, với mỗi m M 0 , tồn
tại một nghiệm Fm : X Y của phương trình
24
- Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 21-30
Fm ( x) 2Fm ((m 1) x) Fm (mx) Fm (mx) Fm ((2m 1) x) n
f ( x y) n
f ( x y) 2 n
f ( x) n
f ( y) n
f ( y )
m m m m m
sao cho Y 2n [2s(m 1) s(m) s(m) s(2m 1)] n (h( x) h( y))
f ( x) Fm ( x) 4
[s(m 1) s(m)] h ( x)
. (2.7) 0 (2.10)
1 [2s(m 1) s(m) s(m) s(2m 1)]
2
Y
Hơn nữa theo (1.8), ta có Suy ra
(2.8)
n
f ( x y) n
f ( x y) 2 n
f ( x) n
f ( y) n
f ( y).
lim m
n
f ( x) Fm ( x). m m m m m
n
Lấy giới hạn hai vế của (2.7) khi m , ta
Tiếp theo chúng ta chứng minh
được 0 lim f ( x) Fm ( x) 0, suy ra
m
n
f ( x y) n
f ( x y) 2 n
f ( x) n
f ( y) n
f ( y)
m m m m m
lim f ( x) Fm ( x) 0. Do đó
Y2 n [2s(m 1) s(m) s(m) s(2m 1)]n (h( x) m
+ h( y)) (2.9) lim Fm ( x) f ( x). (2.11)
m
với mọi x, y, x y, x y X và n .
0 Từ (2.11) với x, y X , ta có
Với n 0, (2.9) trở thành (2.1). Giả sử lim(2Fm ( x) Fm ( y) Fm ( y)) 2 f ( x) f ( y) f ( y). (2.12)
rằng (2.9) đúng với n r 0 với mọi m
x, y, x y, x y X , ta có Từ (2.10), ta suy ra
r 1
f ( x y) r 1
f ( x y) 2 r 1
f ( x) r 1
f ( y) r 1
f ( y ) lim Dd ( m
n
f ( x y) m
n
f ( x y), 2 m
n
f ( x) m
n
f ( y)
m m m m m
n
r
f ( x y) r
f ( x y) 2 r
m m m m m m f ( x)
m
n
f ( y)) 0. (2.13)
m m
r
f ( y) m m
r
f ( y)
2 r
f ((m 1)( x y )) r
f (m( x y )) r
f ( m( x y ))
Vì Dd liên tục, cho n trong (2.10), sử
m m m
r
f ((2m 1)( x y ) 2 f
(( m 1)( x y )) r
f ( m( x y )) dụng định nghĩa của M 0 và (2.8), với mọi
m m m
m
r
f (m( x y )) m
r
f ((2m 1)( x y )) 2(2 m
r
f (( m 1) x) x, y X , ta có
r
f (mx) r
f ( mx) r
f ((2m 1) x))
m m m
Dd ( Fm ( x y) Fm ( x y),2Fm ( x) Fm ( y) Fm ( y))
2 m
r
f ((m 1) y ) m
r
f (my ) m
r
f (my ) m
r
f ((2m 1) y )
2 m
r
f ((m 1)( y )) m
r
f (m( y )) m
r
f ( m( y )) lim Dd ( m
n
f ( x y) m
n
f ( x y), 2 m
n
f ( x)
n
r
f ((2m 1)( y ))
f ( y) f ( y )).
m n n
(2.14)
Y [2 s (m 1) s (m) s (m) s (2m 1)]r [2h(( m 1) x)
2 2r m m
Y
2h(( m 1) y ) h( mx) h( my ) h( mx) h( my ) Kết hợp (2.13) và (2.14), ta có
h((2m 1) x) h((2m 1) y )]
Dd ( f ( x y) f ( x y), 2 f ( x) f ( y) f ( y)
Y2( r 1) [2 s(m 1) s(m) s( m) s (2m 1)]r 1 ( h( x) h( y )).
Suy ra (2.9) đúng với n r 1. Điều này suy lim Dd ( Fm f ( x y ) Fm f ( x y ), 2 Fm ( x)
m
ra rằng (2.9) đúng với mọi n 0 . Fm ( y ) Fm ( y ))
Đặt d ( x, y) x y với mọi x, y Y . 0.
Khi đó (Y , d , Y ) là một không gian b -metric. Do đó
Từ (2.9) và (1.3) trong Định lí 1.3, ta có f ( x y) f ( x y) 2 f ( x) f ( y) f ( y).
Điều này chứng tỏ f là một nghiệm của
0 Dd ( mn f ( x y) m
n
f ( x y),2 mn f ( x) m
n
f ( y) m
n
f ( y))
phương trình tuyến tính tổng quát (2.2).
d ( m
n
f ( x y) m
n
f ( x y),2 mn f ( x) m
n
f ( y) m
n
f ( y))
25
- Chuyên san Khoa học Tự nhiên
Định lí 2.2. Giả sử rằng ( m )( x) : 2 ((m 1) x) (mx) (mx)
1. X là một tập con của không gian tựa ((2m 1) x), x X , Y X .
chuẩn ( Z‖, .‖ , Z ) trên trường sao cho
Ta có, với mọi x X
x X thì x X và (Y ,‖ .‖ , Y ) là một không
m ( x) : u((m 1) x)v(mx) [s1 (m 1)s2 (m)]u( x)v( x). (2.18)
gian tựa Banach trên trường .
Khi đó bất đẳng thức (2.17) có dạng
2. Tồn tại n0 sao cho nx X với mọi
m f ( x) f ( x) m ( x). Điều này chứng tỏ
x X , n n0 và ánh xạ u, v : X thỏa mãn
(1.5) được thỏa mãn với f , m .
M 0 : {n , n n0 : Y [2s12 (n 1) s12 (n) s12 (n)
Xác định ánh xạ m : X
X
với mỗi
s12 (2n 1)] 1}
m M 0 , X
, x X bởi
là một tập vô hạn, trong đó
s1 (n)s2 (n) : s12 (n), ( m )( x) : Y 2 (2 ((m 1) x) (mx) (mx)
((2m 1) x)). (2.19)
s1 (n) : inf{t : u(nx) tu( x) với mỗi x X },
Khi đó (1.7) được thỏa mãn với k 4 ,
s2 (n) : inf{t : v(nx) tv( x) với mỗi x X }, f1 ( x) (m 1) x, f 2 ( x) mx, f3 ( x) mx,
và s1 (n), s2 (n) thỏa mãn các điều kiện sau đây f 4 ( x) (2m 1) x, L1 ( x) 2Y 2 và
với n L2 ( x) L3 ( x) L4 ( x) Y 2
với x X . Hơn
(W1 ) lim s1 (n)s2 (n) 0; nữa với mọi , Y U , x X và theo Định
n
nghĩa 1.1 về không gian tựa chuẩn, ta có
(W2 ) lim s1 (n) 0 hoặc lim s2 (n) 0. m ( x) m ( x)
n n
2 ((m 1) x) (mx) (mx) ((2m 1) x)
3. Hàm f : X Y thỏa mãn bất đẳng thức
2 ((m 1) x) (mx) (mx) ((2m 1) x)
f ( x y) f ( x y) 2 f ( x) f ( y) f ( y) u( x)v( y) (2.15)
2Y 2 ( )((m 1) x) Y 2 ( )(mx)
với mỗi x, y, x y, x y X .
Y 2 ( )(mx) Y 2 ( )((2m 1) x)
Khi đó f thỏa mãn phương trình
4
f ( x y) f ( x y) 2 f ( x) f ( y) f ( y) (2.16) Li ( x)‖ ( )( fi ( x))‖ .
i 1
với mọi x, y X .
Bằng phép quy nạp toán học, chúng tôi sẽ
Chứng minh. Với x X , m M 0 thay x chỉ ra rằng với mọi x X , n 0, m M 0 ,
bởi (m 1) x và y bởi mx vào (2.15) đã cho
nm m ( x) Y2 n [ s1 (m 1) s2 (m)][2s12 (m 1) s12 (m)
f ((m 1) x mx) f ((m 1) x mx) 2 f ((m 1) x)
s12 (m) s12 (2m 1)]n u ( x)v( x). (2.20)
f (mx) f (mx)
Thật vậy, từ (2.18), ta suy ra (2.20) đúng
2 f ((m 1) x) f (mx) f (mx) f ((2m 1) x) f ( x) với n 0. Giả sử rằng (2.20) đúng cho n l ,
u((m 1) x)v(mx). (2.17) trong đó l 0 , ta có
Xác định ánh xạ m : Y X Y X với m M 0 bởi
26
- Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 21-30
lm1 m ( x)
f ( x) Fm ( x)
[ s1 (m 1) s2 (m)] u ( x) v( x)
m ( lm m ( x)) 4 . (2.22)
1 [2s12 (m 1) s12 (m) s12 (m) s12 (2m 1)]
2
Y
2Y 2 lm m ((m 1) x) Y 2 lm m (mx) với ( x) f ( x) và ( x) Fm ( x). Hơn nữa
Y 2 lm m (mx) Y lm m ((2m 1) x) theo (1.8), ta có lim m
n
f ( x) Fm ( x). (2.23)
n
2Y 2 Y2l [s1 (m 1)s2 (m)][2s12 (m 1) s12 (m) s12 (m) Tiếp theo chúng ta chứng minh
Y2l 2 [ s1 (m 1) s2 (m)][2s12 (m 1) s12 (m) s12 (m) m
n
f ( x y) m
n
f ( x y) 2 m
n
f ( x) m
n
f ( y) m
n
f ( y)
s12 (2m 1)]l [2u ((m 1) x)v((m 1) x) u (mx)v(mx) Y2 n [2s12 (m 1) s12 (m) s12 (m)
u (mx)v(mx) u ((2m 1) x)v((2m 1) x)] s12 (2m 1)]n (u ( x)v( y )) (2.24)
Y2l 2[s1 (m 1)s2 (m)][2s12 (m 1) s12 (m) s12 (m) với mọi x, y, x y, x y X và n 0 .
s12 (2m 1)]l [2s12 (m 1)u( x)v( x) s12 (m)u( x)v( x) Thật vậy với n 0 (2.24) trở thành (2.15).
Do đó (2.24) đúng với n 0 . Với r 0 và
s12 (m)u( x)v( x) s12 (2m 1)u( x)v( x)]
giả sử rằng (2.24) đúng với n r với mọi
Y2(l 1) [ s1 (m 1) s2 (m)][2s12 (m 1) s12 (m) x, y, x y, x y X , ta có
s12 (m) s12 (2m 1)]l 1 u ( x)v( x). r 1 r 1 r 1 r 1 r 1
m f ( x y) m f ( x y) 2 m f ( x) m f ( y) m f ( y )
Điều này chỉ ra rằng (2.20) đúng với n l 1.
r
f ( x y) r
f ( x y) 2 r
f ( x)
Do đó (2.20) đúng với mọi n 0 . Theo định m m m m m m
nghĩa M 0 và tổng cấp số nhân, với x X , m m
r
f ( y) m m
r
f ( y )
m M 0 và log 2Y 2 thì 2 mr f ((m 1)( x y)) r
f (m( x y)) r
f (m( x y))
m m
r
f ((2m 1)( x y) 2 mf ((m 1)( x y)) r
f (m( x y))
( n
m m
) ( x) m m
n 0 m
r
f (m( x y)) m
r
f ((2m 1)( x y)) 2(2 mr f ((m 1) x)
Y 2 n [ s1 (m 1) s2 (m)] [2s12 (m 1) s12 (m) f (mx) f (mx) f ((2m 1) x)) 2 mr f ((m 1) y)
r r r
m m m
n 0
n
m
r
f (my) m
r
f (my) m
r
f ((2m 1) y) 2 mr f ((m 1)( y))
s12 (m) s12 (2m 1)] u ( x)v ( x)
r
f (m( y)) r
f (m( y)) r
f ((2m 1)( y))
[ s1 (m 1) s2 (m)] u ( x)v ( x)
m m m
[2s12 (m 1) s12 (m) s12 (m) s12 (2m 1)] [2u((m 1) x)v((m 1) y)
2 2r r
1 Y [2s12 (m 1) s12 (m) s12 (m) s12 (2m 1)]
2 Y Y
. (2.21) u(mx)v(my) u(mx)v(my) u((2m 1) x)v((2m 1) y)]
Từ (1.6) và (2.21) ta suy ra được Y2 r 2 [2s12 (m 1) s12 (m) s12 (m)
s12 (2m 1)]r [2s12 (m 1)u( x)v( y) s12 (m)u( x)v( y)
[s1 (m 1)s2 (m)] u ( x)v ( x)
* ( x) .
1 Y2 [2s12 (m 1) s12 (m) s12 (m) s12 (2m 1)] s12 (m)u( x)v( y) s12 (2m 1)u( x)v( y)]
Do đó, theo Hệ quả 1.4, với mỗi m M 0 tồn Y2(r 1) [2s12 (m 1) s12 (m) s12 (m) s12 (2m 1)]r 1u( x)v( y).
tại một nghiệm Fm : X Y của phương trình Suy ra (2.24) đúng với n r 1. Điều này suy
Fm ( x) 2Fm ((m 1) x) Fm (mx) Fm (mx) Fm ((2m 1) x) ra rằng (2.24) đúng với mọi n 0 .
sao cho
27
- Chuyên san Khoa học Tự nhiên
Đặt d ( x, y) x y với mọi x, y Y . Dd ( f ( x y) f ( x y), 2 f ( x) f ( y) f ( y)
Khi đó (Y , d , Y ) là một không gian b -metric. lim Dd ( Fm f ( x y) Fm f ( x y ), 2 Fm ( x)
m
Từ (1.3) trong Định lí 1.3 và (2.24), ta có Fm ( y ) Fm ( y )) 0.
0 Dd ( m
n
f ( x y) m
n
f ( x y ), 2 m
n
f ( x) Do đó
m
n
f ( y) m
n
f ( y )) f ( x y) f ( x y) 2 f ( x) f ( y) f ( y).
d ( m
n
f ( x y) m
n
f ( x y ), 2 m
n
f ( x) Điều này chứng tỏ f là một nghiệm của
n
f ( y) n
f ( y )) phương trình tuyến tính tổng quát (2.16).
m m
n
f ( x y) n
f ( x y) 2 n
f ( x) 3. Một số trường hợp đặc biệt
m m m
Hệ quả 3.1. Giả sử rằng
m
n
f ( y) m
n
f ( y )
1. X là một tập con của không gian tựa
Y 2 n [2s12 (m 1) s12 (m) s12 (m)
chuẩn ( Z , . , Z ) trên trường sao cho
s12 (2m 1)] n (u ( x)v ( y )) 0. (2.25)
x X thì x X và (Y , . , Y ) là một không
Suy ra gian tựa Banach trên trường , c 0 và
n
f ( x y) n
f ( x y) 2 n
f ( x) n
f ( y) n
f ( y). p 0.
m m m m m
Lấy giới hạn hai vế của (2.22) khi m 2. Tồn tại n0 với nx X , x X ,
ta được 0 lim f ( x) Fm ( x) 0. n n0 và ánh xạ f : X Y thỏa mãn bất
m
phương trình
Suy ra lim f ( x) Fm ( x) 0. Do đó
f ( x y ) f ( x y ) 2 f ( x ) f ( y ) f ( y ) c( x y )
p p
m
lim Fm ( x) f ( x). (2.26) với mọi x, y, x y, x y X .
m
Từ (2.26), ta cũng có Khi đó f thỏa mãn phương trình
lim(2Fm ( x) Fm ( y) Fm ( y)) 2 f ( x) f ( y) f ( y). (2.27) f ( x y) f ( x y) 2 f ( x) f ( y) f ( y)
m
Từ (2.25), ta suy ra với mọi x, y X .
lim Dd ( n
f ( x y) n
f ( x y), 2 n
f ( x) Chứng minh. Định nghĩa h : X được xác
m m m
n
định bởi h( x) : c x với c , x X.
p
m
n
f ( y) m
n
f ( y )) 0. (2.28)
Vì Dd liên tục, cho n trong (2.25), sử Với mọi n , c 0, khi đó
dụng Hệ quả 1.4 và định nghĩa của M 0 , với s(n) inf{t : h(nx) th( x), x X } | n | .
p
mọi x, y X , ta có Tương tự, ta có s(n) | n | p | n | p . Suy ra
Dd ( Fm ( x y) Fm ( x y),2Fm ( x) Fm ( y) Fm ( y) lim s(n) lim s(n) lim | n | p 0. Do đó
n n n
lim Dd ( m
n
f ( x y) m
n
f ( x y ), 2 m
n
f ( x) Y (2s(n 1) s(n) s(n) s(2n 1)) 1. Khi
2
n
n
f ( y) n
f ( y )). (2.29) đó, tất cả các điều kiện trong Định lí 2.1
m m
là đúng. Do đó, f thỏa mãn phương trình
Kết hợp (2.26) và (2.29), ta có f ( x y) f ( x y) 2 f ( x) f ( y) f ( y).
28
- Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 21-30
Hệ quả 3.2. Giả sử rằng Khi đó các điều kiện trong Định lí 2.2 là đúng.
1. X là một tập con của không gian tựa Do đó, f thỏa mãn phương trình
chuẩn ( Z , . , Z ) trên trường sao cho f ( x y) f ( x y) 2 f ( x) f ( y) f ( y) ./.
x X thì x X và (Y , . , Y ) là một không Tài liệu tham khảo
gian tựa Banach trên trường , c 0 và Aiemsomboon L. and Sintunavarat W. (2016).
p, q với p q 0 . Two new generalised hyperstability
2. Tồn tại n0 với nx X , x X , results for the Drygas functional equation.
Bull. Aust. Math. Soc., 12 pages.
n n0 và ánh xạ f : X Y thỏa mãn bất
Aiemsomboon L. and Sintunavarat W. (2016).
phương trình
On generalized hyperstability of a general
f ( x y ) f ( x y ) 2 f ( x ) f ( y ) f ( y ) c( x y )
p p
linear equation. Acta Math. Hungar.
149(2), 413-422.
với mỗi x, y, x y, x y X .
Aiemsomboon L., Sintunavarat W. (2017). A
Khi đó f thỏa mãn phương trình note on the generalised hyperstability of
the general linear equation. Bull. Aust.
f ( x y) f ( x y) 2 f ( x) f ( y) f ( y) Math. Soc., 96(2), 263-273.
với mỗi x, y X .
Bourgin D. G. (1949). Approximately
Chứng minh. Định nghĩa ánh xạ isometric and multiplicative
u, v : X với u ( x) : s x
p
và transformations on continuous function
rings. Duke Math. J., 16, 385-397.
v( x) : r x , trong đó s, r
q
, sr c,
Brzdek J. (2013). Stability of additivity and
p, q , p q 0, với mọi x X . fixed point methods. Fixed Point Theory
Appl., 2013, Article ID 285, 9 pages.
Theo định nghĩa s1 (n), s2 (n) trong Định lí 2.2
và c 0, ta có Brzdek J. (2015). Remarks on stability of some
inhomogeneous functinal equations.
s1 (n) inf{t : u(nx) tu( x), x X } | n | p . Aequationes Math., 89, 83-96.
Tương tự, ta có Brzdek J., Chudziak J. and Pales Zs. (2011).
s1 (n) | n | p | n | p Fixed point approach to stability of
functional equations. Nonlinear Anal., 74,
s2 (n) : inf{t : v(nx) t (vx), x X } | n |q 6728-6732.
s2 (n) | n |q | n |q . Brzdek J. and Cieplinski K. (2013).
Hyperstability and superstability. Abstr.
Với p, q , p q 0, do đó p 0 hoặc Appl. Anal, 2013, Article ID 401756,
q 0. Khi đó lim s1 (n) 0 hoặc lim s2 (n) 0. 13 pages.
n n
Czerwik S. (1998). Nonlinear set-valued
Với c 0 thì r 0 hoặc s 0. Từ định nghĩa contraction mappings in b -metric spaces.
của s1 và s2 , ta có lim s1 (n) s2 (n) 0. Atti Semin. Mat. Fis. Univ. Modena, 46,
n
263-276.
Suy ra
Drygas H. (1987). Quasi-inner products and
Y 2 (2s12 (n 1) s12 (n) s12 (n) s12 (2n 1)) 1. their applications, in: Advances in
29
- Chuyên san Khoa học Tự nhiên
Multivariate Statistical Analysis (ed. K. Maksa Gy. and Pales Zs. (2001). Hyperstability
Gupta) (Springer, Netherlands, 13-30. of a class of linear functional equations.
Acta Math. Acad. Paedagog. Nyhazi.
Dung N. V. and Hang V. T. L. (2018). The
(N.S), 17, 1007-112.
generalized hyperstability of general
linear equations in quasi-Banach spaces, Paluszyński M., Stempak K. (2009). On quasi-
J. Math. Anal. Appl., 462, 131-147. metric and metric spaces. Proc. Amer.
Math. Soc., 137(12), 43074312.
Ebanks B. R., Kannappan Pl. and Sahoo P. K.
(1992). A common generalization of Piszczek M. (2015). Hyperstability of the
functional equations characterizing general linear functional equation. Bull.
normed and quassi-inner-product spaces. Korean Math. Soc., 52, 1827-1838.
Canad. Math. Bull., 35(3), 321-327. Piszczek M. and Szczawinka J. (2013).
Faiziev V. A. and Sahoo P. K. (2007). On the Hyperstability of the Drygas functional
stability of Drygas functional equation on equation. J. Funct. Spaces Appl., 2013,
groups. Banach J. Math. Anal., 1(1), 43-55. Article ID 912718, 4 pages.
Faiziev V. A. and Sahoo P. K. (2007). Stability Yang D. (2004). Remarks on the stability of
of Drygas functional equation on T (3, ). Drygas equation and the Pexider-quadratic
Int. J. Math. Stat., 7, 70-81. equation. Aequationes Math., 64, 108-116.
Jung S. M. and Sahoo P. K. (2002). Stability of Zhang D. (2015), On hyperstability of
a functional equation of Drygas. generalised linear functional equations in
Aequationes Math., 64, 263-273. several variables. Bull. Aust. Math. Soc.,
92, 259-267.
Kalton N. (2003). Quasi-Banach spaces, in:
Johnson W.B., Lindenstrauss J. (Eds.), Zhang D. (2016). On Hyers-Ulam stability of
Handbook of the Geometry of Banach generalized linear functional equation and
Spaces 2, Elsevier, 1099-1130. its induced Hyers-Ulam programming
problem. Aequationes Math., 90, 559-568.
30
nguon tai.lieu . vn
