Xem mẫu
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8
VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG
TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT
Nguyễn Văn Đắc
Trường Đại học Thủy lợi, email: nvdac@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG nghiên cứu có tính thời sự này, đi tìm điều
kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm địa phương cho
Cho trước T 0 , ta xét bài toán Cauchy:
bài toán (1)-(2).
d
dt u k *[u u (0)]
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Au f t , u (t ) , t (0, T ] (1)
u (0) u , (2)
Sử dụng lí thuyết phương trình tích phân
0
Volterra, ước lượng tiên nghiệm và nguyên lí
ánh xạ co.
với u lấy giá trị trong không gian Hilbert
tách được H , 0, k L1loc ( ) , A là toán tử 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
tuyến tính trên H và f : (0, T ] H H là
1. Kiến thức chuẩn bị
hàm phi tuyến, dữ kiện đầu u0 H .
d
Trong mục này, ta kí hiệu E là không gian
Trong vế trái của (1), k *[u u (0)] là Banach với chuẩn || || .
dt
đạo hàm theo biến thời gian, được lấy qua 1.1. Tích chập:
tích chập k *[u u (0)] , nghĩa là nó không Định nghĩa 1. Tích chập của hai hàm k và
tính trực tiếp tại một thời điểm cụ thể của với k L1 ( ), L1 ( , E ) là một hàm
hàm trạng thái mà cần thông tin từ thời điểm được kí hiệu và xác định như sau:
đầu cho đến thời điểm lấy đạo hàm. Do đó, t
nó gọi là đạo hàm không địa phương. Phương k (t ) k (t s)( s)ds,
trình (1) xuất hiện một cách tự nhiên khi mô 0
hình hóa nhiều quá trình, chẳng hạn như quá tích phân ở đây hiểu theo nghĩa Bochner.
trình truyền nhiệt trong các vật liệu có nhớ; 1.2. Đạo hàm phân thứ Caputo bậc :
quá trình thuần nhất hóa dòng một pha trong
môi trường xốp (xem [2] và các tài liệu trích Định nghĩa 3. Cho f C N [0, T ], E .
dẫn). Trong trường hợp tuyến tính, tính đặt - Đạo hàm bậc ( N 1; N ) theo nghĩa
đúng của bài toán cho một vài trường hợp Caputo được xác định bởi
riêng đã được quan tâm bởi một số tác giả 1
t
( N ) 0
C
(xem [1] và [2]). Gần đây, trong [3], các tác D0 f (t ) (t s) N 1 f N ( s)ds
giả đã trình bày những kết quả đặt nền móng
cho hướng nghiên cứu hệ tổng quát nói trên - Đạo hàm phân thứ có trọng theo nghĩa
khi 0 . Tiếp đó, [5] đã nghiên cứu về tính Caputo được xác định bởi
e t
t
dN
hút trong khoảng thời gian hữu hạn cho lớp C
D0 , f (t ) (t s ) N 1 N e s f ( s) ds
phương trình (1)-(2) khi 0 và hàm ngoại ( N ) 0 ds
lực f chỉ phụ thuộc vào u . Từ đó, tôi đặt Nhận xét: 0 , thì đạo hàm phân thứ có
vấn đề trình bày những nét chính về hướng trọng là đạo hàm phân thứ.
45
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8
1.3. Phương trình tích phân Volterra: d d t s
k *[u u(0)] [u(t s) u(0)]ds
Cho 0, l L1loc là một hàm liên dt dt 0 (1 )
tục trên (0, ) , xét các phương trình Volterra
t
s d t
u (t s )ds [u (0) u (0)]
0 (1 ) dt (1 )
s(t ) l s (t ) 1 (3) t
1
r (t ) l r (t ) l (t ) (4) = (t s) u(s)ds C D0 u
(1 ) 0
trong [4] các tác giả đã chỉ ra sự tồn tại và tức là bài toán trở thành hệ vi phân phân thứ
duy nhất nghiệm. Tuy nhiên tính dương của kiểu Caputo. Tương tự , k (t ) e t g1 (t ), thì
các nghiệm s (, ) và r (, ) đòi hỏi chúng ta
ta được đạo hàm phân thứ có trọng.
cần thêm các giả thiết trên nhân l . Cụ thể, 1
nhân l được gọi là hoàn toàn dương nếu Khi k (t ) g (t ) d ta được phương
s (, ) và r (, ) nhận giá trị không âm với 0
mỗi 0 . Năm 1981, Clément và Nohel đã trình mô tả phương trình mô tả quá trình
chỉ ra rằng: l là hoàn toàn dương tương khuếch tán siêu chậm.
m
đương với việc tồn tại 0 và k L1loc k (t ) i g1i (t ), i (0,1), i 0 thì ta
i 1
là hàm không âm, không tăng thỏa mãn có phương trình phân thứ đa hạng tử. Các lớp
l l k 1 . Từ đó, để nghiên cứu hệ đã phương trình này đã thu hút sự quan tâm
cho, ta cần giả thiết sau đáng kể của các nhà toán học.
(K) Hàm k L1loc không âm và không
3. Công thức nghiệm nhẹ và một số
tăng, hơn nữa tồn tại một hàm l L1loc hướng nghiên cứu
sao cho l l k 1 trên (0, ) . Trong mục này, ta xét hệ tuyến tính
d
Xét phương trình vô hướng: u k *[ u u (0)] Au h (t ), t (0, T ](6)
u k * u u h(t ) (5) dt
u (0) u 0 , (7)
Chập hai vế với hàm l , ta được
( l k * l ) u u l h l Nhằm đưa ra công thức nghiệm nhẹ của
bài toán, ta cần giả thiết sau về toán tử A:
1 u u l h l u u l u (0) h l.
(A) Toán tử A là toán tử tuyến tính xác
Từ đó, nghiệm của phương trình vô hướng định dương, tự liên hợp, xác định trù mật với
là u (t ) s ( , t )u (0) r ( , ) h (t ). giải thức compact.
Tính chất quan trọng của s (, ) và r (, ) Khi đó, ta xét cơ sở của H gồm các hàm
được trình bày trong Mệnh đề 2.1 ở [3]. riêng trực chuẩn {en }n 1 của toán tử A và
2. Tính trừu tượng của bài toán Av nvnen , trong đó Aen nen , n 0
n 1
Tính tổng quát của mô hình thể hiện thông
và 0 1 2 n khi n .
d
qua hạng tử u k *[u u (0)] . Giả sử:
dt
Khi k 0 , hệ trở thành hệ Parabolic nửa u (t ) un (t )en , u0 u0,n en ,h(t ) hn (t )en .
tuyến tính; n 1 n 1 n 1
d Thay vào hệ (6)-(7), ta thấy un là nghiệm
Khi 0 , hạng tử k *[u u (0)] cho
dt của phương trình vô hướng (5).
ta đạo hàm phân thứ Caputo nếu chọn nhân Từ đó, ta được:
t
k đặc biệt. Cụ thể, khi u (t ) sn (t , n )u0,n en r (t ,n ) hn ( ) d en
k (t ) g1 (t ), (0,1) thì: n 1 n 1 0
46
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8
Do vậy, ta định nghĩa hai toán tử Chứng minh: Xét ánh xạ như sau
t
S (t )v s (t , n )vn en , t 0, v H , (u )(t ) : S (t )u0 R (t ) f ( , u ( )) d trên
n 1 0
C ([0, T ], H ) . Lấy || u0 || và u B là hình
R(t )v r (t , n )vn en , t 0, v H .
n 1 cầu tâm tại gốc và bán kính , ta có:
Các toán tử này là tuyến tính. Một số tính t
(u )(t ) s(t , 1 ) || u0 || r (t , 1 ) f ( , u ( )) d
chất quan trọng của hai toán tử này được 0
trình bày trong Mệnh đề 2.3 ở [3]. 1 s (t , 1 )
Dựa vào các toán tử này, ta có định nghĩa || u0 || L ( ) sup f (t ,0)
1
sau
vì s (t , 1 ) là hàm giảm và s (0, 1 ) 1 , nên
Định nghĩa 4. Hàm u C [0, T ], H được
tồn tại t0* (0, T ) sao cho ( B ) B , với
gọi là nghiệm nhẹ của bài toán (3)-(4) trên
t
với B C ([0, t0* ], H ) . Tiếp theo, với mọi
0,T nếu u (t ) S (t )u0 R(t )h( )d .
0 t [0, t0* ] , ta có:
Nhận xét: Từ định nghĩa, ta thấy với mỗi (u1 )(t ) (u2 )(t )
hàm h C [0, T ], H thì bài toán có nghiệm t
nhẹ. Trong [3], các tác giả nghiên cứu về tính r (t , 1 ) f ( , u1 ( )) f ( , u1 ( )) d
chính qui của nghiệm này. 0
t
Dựa vào Định nghĩa 4, ta có khái niệm
r (t , 1 ) L( ) u1 u2 d
nghiệm nhẹ cho bài toán phi tuyến. 0
Định nghĩa 5. u C [0, T ], H được gọi 1 s (t , 1 ) .
L( ) u1 u2
là nghiệm nhẹ của bài toán (1)-(2) trên 0,T 1
t Lấy t (0, t0* ]
*
sao cho
nếu u (t ) S (t )u0 R(t ) f ( , u ( ))d . 1 s(t , 1 )
1, t [0, t ] . Ta được là
*
0 L( )
1
Một số hướng nghiên cứu:
Nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm; ánh xạ co trên B C([0, t* ]; H ) .Vậy bài toán
Nghiên cứu tính chính qui của nghiệm; có duy nhất nghiệm trên [0, t * ] .
Nghiên cứu đặc điểm của nghiệm (tính
phân rã, tính tuần hoàn tiệm cận); 4. KẾT LUẬN
Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm Sử dụng lí thuyết về phương tình tích phân
(tính ổn định, ổn định yếu, hút, tán xạ). Volterra và đặc điểm của không gian Hilbert
Trong các vấn đề trên, ta có thể nghiên cứu khả li, chúng tôi có biểu diễn nghiệm nhẹ cho
cho bài toán với trễ khác nhau. hệ vi phân không địa phương- một hệ vi phân
Bằng nguyên lí ánh xạ co, ta có kết quả sau. có chứa nhữn lớp hệ vi phân phân thứ quan
Định lí 2. Giả sử các giả thiết (K) và (A) trọng, và thu được kết quả tồn tại nghiệm địa
được thỏa mãn và hàm phi tuyến liên tục và phương bằng cách sử dụng nguyên lí ánh xạ
thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương: co. Trình bày một số hướng nghiên cứu cho
|| f (t , v1 ) f (t , v2 ) || L( ) || v1 v2 ||, lớp hệ này.
với mọi v1 , v2 B , t 0 , trong đó B là hình
cầu đóng tâm tại gốc và bán kính . Khi đó 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
tồn tại số t * (0, T ) sao cho bài toán (1)-(2) [1] A. Ashyralyev, (2011), Well-posedness of
the Basset problem in spaces of smooth
có nghiệm trên [0, t * ] . functions, Appl. Math. Lett., 24, 1176-1180.
47
nguon tai.lieu . vn
