1. Trang Chủ
  2. Toán học
  3. Về nghiệm thứ hai của phương trình sai phân cấp hai

Về nghiệm thứ hai của phương trình sai phân cấp hai

Bài viết Về nghiệm thứ hai của phương trình sai phân cấp hai trình bày về phương pháp giảm bậc để tìm nghiệm thứ hai của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp 2. Hy vọng rằng, cách tiếp cận mới này có thể đòng góp thêm trong lý thuyết xấp xỉ phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hàm. Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 VỀ NGHIỆM THỨ HAI CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP HAI Phạm Nam Giang1, Nguyễn Hữu Thọ1 Trường Đại học Thủy lợi, email:nhtho

Thể loại Tài liệu miễn phí Toán học

Số trang 3

Ngày tạo 4/9/2023 12:51:17 AM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 0.17 M

Tên tệp

Tải Về nghiệm thứ hai của phương trình sai phân cấp ha... (.pdf)

Xem mẫu

  1. Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 VỀ NGHIỆM THỨ HAI CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP HAI Phạm Nam Giang1, Nguyễn Hữu Thọ1 Trường Đại học Thủy lợi, email:nhtho@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG Đặt n   n1  n , sau đó thế (2) vào Có nhiều phương pháp khác nhau để tìm (1) ta được nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính của phương  an n  2n   2n f n 2  (3) trình sai phân tuyến tính cấp hai khi đã biết  bn n  n  f n1  cnn f n  0, được một nghiệm của nó, chẳng hạn như: 1) Phương pháp thác triển tích phân do f n là một nghiệm của (1) nên (3) trở thành Cauchy.   an 2n   2n f n 2  2) Phương pháp giảm bậc của D’Alembert.  bn  n  f n1  0. 3) Phương pháp lặp bằng cách sử dụng dữ kiện ban đầu cho trước… Đặt: u n   n , Trong báo cáo này, chúng tôi trình bày về phương pháp giảm bậc để tìm nghiệm thứ hai ta nhận được của phương trình sai phân tuyến tính thuần an  2un  un  f n 2  bn  un  f n1  0 nhất cấp 2. Ở đây chúng tôi đã mở rộng an  un  un1  f n 2  bnun f n1  0. phương pháp giảm bậc của D’Alembert (có thể xem thêm [1]). Ta thấy un thỏa mãn phương trình sai phân cấp 1 (với giả thiết f n  0, n ) 2. NỘI DUNG BÁO CÁO  b f  2.1. Phương pháp giảm bậc cho nghiệm un1   1  n n1  un thứ hai của phương trình sai phân  an f n  2  Trong mục này, chúng tôi mô tả phương  c f  un1   n n  un . pháp giảm bậc để tìm nghiệm thứ hai độc lập  an f n  2  tuyến tính của phương trình sai phân tuyến Qua phép lặp ta có tính thuần nhất cấp hai tổng quát dưới dạng: n 1  c f  an yn  2  bn yn 1  cn yn  0 , (1) un    l l u0 l 0  al f l  2  trong đó an , cn  0 . Giả sử ta đã biết một hay là nghiệm của (1) f 0 f1 k 1  cl  yn(1)  f n ,  k    u0 . f k f k 1 l 0  al  khi đó, nghiệm thứ hai (độc lập tuyến tính Lấy tổng k ta được với nghiệm thứ nhất) sẽ có dạng: f 0 f1 k 1  cl  n 1  n  0  u 0    . yn(2)  n f n , (2) k  0 f k f k 1 l  0  al  và để xác định được nghiệm thứ hai, chúng ta Sau đó ta thế vào (2) sẽ nhận được nghiệm cần xây dựng được  n . thứ hai của (1) như sau: 86
  2. Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 (2) n 1 1 k 1  cl  và y  f1 f n  n   . (4) b k 1 f k f k 1 l 0  al  r  r  a Tiếp sau đây, chúng ta sẽ minh họa cách sử dụng công thức (4) để xác định nghiệm  b 2  2    b  c  b  b  c r r          thứ hai trong một số ví dụ cụ thể.  2a  2a  a  2a  2a  a     2.2. Một số ví dụ c Ví dụ 1. Xét phương trình sai phân với hệ  a số hằng ar 1 ayn 2  byn1  cyn  0 . (5)  . c r Trường hợp 1: Phương trình đặc trưng n b (2) c 1  n ar 2  br  c  0 có nghiệm bội r  . Nên ta có: y   n   r . 2a  a r  Nghiệm thứ nhất có dạng: yn(1)  r n . Ví dụ 2. Xét phương trình sai phân cấp 2 yn 2  ( n  1) yn 1  (n  1) yn  0 . (6) Áp dụng công thức (4) n1 1 k 1  cl  Một nghiệm của (6) là: yn(1)  n!. yn(2)  f1 f n    Áp dụng công thức (3) k 1 f k f k 1 l 0  al  n 1 k 1 (2) 1 k 1  cl  n 1 1 y  f1 f n     r n1  k 1 r 2 k 1 r2  n k 1 f k f k 1 l 0  al  l 0 n 1 k 1 n 1 1 n 1 1  r n1  r 2 k  r n 1  ( n  1) r n . yn(2)  n!  (1)(l  1) r 2 k 1 k 1 k !( k  1)! l 0 k 1 k 1 Trường hợp 2: Phương trình đặc trưng có (1) k n 1 n (1)l 1 yn(2)  n !  n! . hai nghiệm phân biệt k 1 ( k  1)! l 2 l ! 2 b  b  c Như vậy, nghiệm độc lập tuyến tính thứ r      . hai của (6) được biểu diễn dưới dạng 2a  2a  a Với yn(1)  rn , nghiệm thứ hai của phương n ( 1)l 2 yn(2)  n ! . trình (5) xác định bởi l 2 l! n 1 1 k 1  c  Ví dụ 3. Xét phương trình sai phân cấp 2 yn(2)  rn1  2 k 1    (n  2) yn 2  (2n  3) yn 1  (n  1) yn  0. (7) k 1 r l 0  a  n 1 n 1 k k Đặt yn  yn 1  yn , khi đó (7) trở thành 1 c c 1   r  2 k    rn   2   n (n  2) 2 yn  yn  0 , k 1 r  a  k 1  a r  qua đó dễ thấy (7) có một nghiệm hằng. n ar   c 1  2 n  Bắt đầu bằng nghiệm hằng f k  1 , áp dụng   2     r  n   r . c  ar   a r   công thức (3), nghiệm độc lập tuyến tính thứ 2   Ta lại có n 1 1 k 1  cl  yn(2)  f1 f n    c  ar2  br  2c k 1 f k f k 1 l 0  al  n 1 k 1 2  l  1  n1 1 n 1 b 2  b  c       1 =  b     2c , k 1 l 0  l  2  k 1 k  1 l 1 l 2a  2a  a 87
  3. Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 Và ta có thể chọn nghiêm mới thứ hai là (2) n1  n1 1 n2 1  n 1 y n 2   2k ( k  3)!  l (l  3)!  yn(2)   ,  k 1 l 0 2  l 1 l đây được gọi là số điều hòa.  (n  2)! 3.2n. Ví dụ 4. Ta xét thêm một ví dụ khác như Do vậy, ta có thể chọn nghiệm thứ hai độc sau: xét phương trình sai phân tuyến tính lập tuyến tính của phương trình (8) dưới dạng cấp 2 yn(2)   n  2 !. (n  1) yn 2  ( n 2  7 n  8) yn1  (8) 3. KẾT LUẬN  2( n  2)( n  3) yn  0, dễ thấy (8) có một nghiệm: yn(1)  2n. Báo cáo làm một mở rộng phương pháp giảm bậc của D’Alembert, đây là một cách Áp dụng công thức (3) tiếp cận mới để có thể tìm được nghiệm độc (2) n 1 1 k 1  cl  lập tuyến tính thứ hai của phương trình sai yn  f1 f n    k 1 f k f k 1 l 0  al  phân tuyến tính thuần nhất cấp 2 khi đã biết một nghiệm của nó. Hy vọng rằng, cách tiếp (2) n 1 1 k 1  cl  yn  f1 f n    cận mới này có thể đòng góp thêm trong lý k 1 f k f k 1 l 0  al  thuyết xấp xỉ phương trình vi phân tuyến tính n 1 1 k 1 2(l  2)(l  3) cấp 2 với hệ số hàm.  2n1  2 k 1  k 1 2 l 0 (l  1) 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO n 1 k 1 2 yn(2)  2n1  2 k 1 (k  1)(k  2)! [1] C. Weixlbaumer. (2001), Solutions of k 1 2 Difference Equations with Polynomial Coefficients. Diplomarbeit, Research  n1 1 n 1 n 1 1  Institute for Symbolic Computation,  2   k (k  3)!  k 1 (k  2)! ,  k 1 2 k 1 2  (RISC), Johannes Kepler Universit¨at, Linz, trong thừa số thứ hai, đặt k  l  1, khi đó Austria. 88
nguon tai.lieu . vn
Toán học Môi trường Vật lý Sinh học Địa Lý Hoá học Nông - Lâm - Ngư Cơ khí - Chế tạo máy Tiếng Anh phổ thông Khoa học ứng dụng Nông - Lâm Kiến thức tổng hợp Giáo dục học Xã hội học