Xem mẫu
- Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018
VỀ MỘT CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TỨ GIÁC
TRONG CÁC SÁCH CỔ
Tạ Duy Phượng, Viện Toán học,
Mai Văn Thu, Trường ĐH Hồng Đức, Thanh Hóa
Tóm tắt nội dung
Bài báo cáo này nhằm trình bày về một công thức tính diện tích tứ giác có trong các
sách cổ.
1 Mở đầu
Một tam giác hoàn toàn được xác định (dựng được) nếu biết ba yếu tố độc lập (thí dụ,
ba cạnh a, b, c thỏa mãn tính chất tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba; hoặc
hai cạnh và một góc xen giữa; hoặc một cạnh và hai góc kề cạnh ấy). Để một tứ giác được
hoàn toàn xác định, ta phải biết năm yếu tố. Thí dụ, biết độ dài bốn cạnh và một đường
chéo, hoặc độ dài bốn cạnh và tổng hai góc đối diện.
Để tínhp diện tích tam giác khi biết ba cạnh, ta có Hệ thức Heron
S = p( p − a)( p − b)( p − c). Để tính diện tích tứ giác, ta có công
thức Bretschneider (1842, xem chứng minh trong Bretschneider’s formula
- Wikipedia
s hoặc Bretschneider’s Formula – from Wolfram MathWorld):
2
A+C
S = ( p − a)( p − b)( p − c)( p − d) − abcdcos , trong đó a, b, c, d là độ
2
a+b+c+d
dài các cạnh, p = là nửa chu vi, S là diện tích, A và C là số đo hai góc A và
2
C.
Nhận xét 1. Vì tổng các góc trong một tứ giác bằng 360◦ nên công thức trên không thay
A+C B+D
đổi nếu thay bằng .
2 2
A+C
Nhận xét 2. Nếu ABCD là tứ giác nội tiếp ( = 90◦ ) thì công thức trên có dạng mở
p 2
rộng của hệ thức Heron: S = ( p − a)( p − b)( p − c)( p − d).
Nhận xét 3. Nếu coi tam giác là tứ giác đặc biệt khi cạnh d = 0 thì công thức Bretschnei-
der trở về hệ thức Heron.
Nhận xét 4. Công thức Bretschneider khá cồng kềnh. Liệu ta có công thức đánh giá trên
(đánh giá theo bất đẳng thức) diện tích tứ giác qua bốn cạnh không?-Xét bài toán sau
đây.
35
- Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018
Bài toán 1 (Olympic Moscow lần thứ 16, 1953, Lớp 8, vòng II). Cho a, b, c, d là các cạnh
a+c b+d
liên tiếp và S là diện tích của một tứ giác. Chứng minh rằng S ≤ . .
2 2
Chứng minh. Có thể giả thiết ABCDlà tứ giác lồi vì nếu ABCD là tứ giác lõm thì ta có
(Hình 1) S ABCD ≤ S ABCD0 . Gọi các cạnh AB, BC, CD, DA tương ứng là
a, b, c, d;
các đường cao hạ từ đỉnh A xuống các cạnh b, c là hb , hc . Ta có (Hình 2): S = S ABC +
1 1 1
S ACD = bhb + chc ≤ (ba + cd) .
2 2 2
Hình 1
Hình 2
Kí hiệu các đường cao hạ từ đỉnh B xuống các cạnh c, d là hb , hc0 . Ta có (Hình 3):
1 1 1 1 1
S = S ABD + SCBD = dhd + chc0 ≤ (da + cb) . Suy ra 2S ≤ (ba + cd) + (da + cb)
2 2 2 2 2
a+c b+d
hay S ≤ . .
2 2
36
- Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018
Hình 3
Nhận xét 5. Dấu bằng trong công thức (1) xảy ra khi và chỉ khi tất cả bốn đường cao
hb , hc , hb , hc0 trùng với các cạnh tứ giác hay ABCD là hình chữ nhật. Một điều đáng ngạc
a+c b+d
nhiên là đẳng thức (công thức) sai S = . (1) đã được sử dụng ở khá nhiều nơi
2 2
trên thế giới trong suốt hơn 3000 năm (từ thời Babilon, 1600 năm trước công nguyên đến
tận thế kỉ thứ 19).
Công thức (1) có thể tìm thấy trong Rind Papyrus (giấy cói) vào khoảng 1550 trước
công nguyên và trong các tứ giác trong ngôi đền thần Horus tại Edfu (Ai Cập) vào
khoảng 100 năm trước công nguyên (xem [1], trang 54). Xét bài toán sau đây.
Bài toán 2. Một hình bình hành có các cạnh với đội dài 20, 5, 20, 5. Khoảng cách giữa hai
cạnh có độ dài 20 là 4. Tính sai số giữa diện tích thực của hình bình hành và diện tích
tính theo công thức (1).
Giải. Diện tích hình bình hành bằng S = 20 × 4 = 80 (đvdt).
20 + 20 5 + 5
Diện tích tính theo công thức (1) là S0 = × = 100 (đvdt).
2 2
100 − 80 1
Như vậy, sai số lên đến % = 20%, bằng diện tích chính xác. Một con số
100 5
không nhỏ!
Công thức (1) cũng đã được sử dụng trong các sách toán Hán Nôm, từ Toán pháp đại
thành của Lương Thế Vinh cuối thế kỉ XV đến Ý Trai toán pháp nhất đắc lục của Nguyễn
Hữu Thận hoàn thành năm 1829 và một số sách khác. Dưới đây là các bài toán minh họa.
Bài toán 3 (Toán pháp đại thành, trang 44a). Có một thửa ruộng đông-tây cộng lại được
8 trượng 4 xích, nam-bắc cộng lại được 27 trượng 6 xích. Hỏi diện tích thửa ruộng là bao
nhiêu?
Đáp số: ruộng có diện tích 2 sào 8 xích 6 thốn 4 phân.
Giải. Đổi đơn vị:
8 trượng 4 xích = 84 xích = 33,6 m;
27 trượng 6 xích = 276 xích = 110,4 m.
Theo công thức (1) tính diện tích tứ giác ta có
a+c b+d 33, 6 110, 4
S= × = × = 927, 36 (m2 )
2 2 2 2
= 2 × 360 + 8 × 24 + 6 × 2, 4 + 4 × 0, 24 (m2 ) = 2 sào 8 xích 6 thốn 4 phân.
37
- Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018
Bài toán 4 (Toán pháp đại thành, trang 45a). Có một thửa ruộng đông-tây cộng lại được
100 trượng 5 xích, nam-bắc cộng lại được 87 trượng 8 xích. Hỏi ruộng bao nhiêu ly, bao
nhiêu mẫu? Đáp số: ruộng 9 mẫu 8 sào 6 thốn 5 phân.
Giải. Đổi đơn vị:
100 trượng 5 xích = 1005 xích = 402 m;
87 trượng 8 xích = 878 xích = 351,2 m.
Theo công thức tính diện tích tứ giác ta có
a+c b+d 402 351, 2
S= × = × = 35295, 6 (m2 )
2 2 2 2
= 9 × 3600 + 8 × 360 + 6 × 2, 4 + 5 × 0, 24 (m2 ) = 9 mẫu 8 sào 6 thốn 5 phân = 882390
ly.
Nhận xét 6. A. Volkov trong [2] có nhắc đến Lương Thế Vinh đã sử dụng công thức (1)
để tính diện tích tứ giác, nhưng Ông không trình bày tính toán cụ thể như trên.
Bài toán 5 (Ý Trai toán pháp nhất đắc lục, Quyển 2). Cho một thửa ruộng, đông dài 17
sào 2 xích, tây dài 16 sào 2 xích, nam rộng 15 sào 7 xích, bắc rộng 14 sào 7 xích, hỏi thực
điền là bao nhiêu?
Giải. Phép tính chiều dài đông tây: cộng (được) 33 sào 4 xích. Gia ngũ (đổi đơn vị), từ
sào dĩ nội, được 499 xích, chia đôi, được 249 xích 5 thốn.
Phép tính chiều rộng nam bắc: cộng (được) 29 sào 14 xích. Gia ngũ, từ sào dĩ nội,
được 449 xích, chia đôi, được 224 xích 5 thốn.
Lấy kết quả hai phép chia ấy nhân với nhau được diện tích: 5 vạn 6012 xích 1 thốn 5
phân. Đơn vị hàng trăm định theo xích, giảm ngũ hai lần, lần thứ nhất giảm đến đơn vị
cuối cùng, được thực điền theo xích: 373 xích, 4 thốn, 1 phân lẻ 8 ly. Lần thứ hai giảm
ngũ, đến thành sào thì dừng, được thực điền theo mẫu sào: 2 mẫu 4 sào 13 xích 4 thốn 1
phân lẻ 8 ly.
Giải thích. Đổi đơn vị:
33 sào 4 xích = 33 × 15 + 4 = 499 xích = 499 × 0, 4 =199,6 m;
29 sào 14 xích = 29 × 15 + 14 = 449 xích = 179,6 m.
Nguyễn Hữu Thận đã sử dụng công thức tính diện tích (1) để tính
a+c b+d 199, 6 179, 6
S= × = × = 8962, 04 (m2 )
2 2 2 2
= 2 × 3600 + 4 × 360 + 13 × 24 + 4 × 2, 4 + 1 × 0, 24 + 8 × 0, 024 + 0, 008 (m2 ) = 2 mẫu
4 sào 13 xích 4 thốn 1 phân 8 ly.
Bài toán 6 (Toán điền trừ cửu pháp, trang 5a). Tìm diện tích ruộng biết đông dài 15 cao
8 xích 7 thốn, nam dài 14 cao 3 xích 1 thốn, tây dài 14 cao 5 xích 3 thốn, bốc dài 14 cao 4
xích 2 thốn.
Đáp số: Thực điền 2 mều 1 cao 4 xích 7 thốn 6 phân.
Cách làm Trên cộng đông tây làm một. Lấy ngũ gia từ cao vị đến cuối (tức là phép
ngũ gia, đổi đơn vị từ sào về thốn). Lấi chia đôi từ thốn vị đế đấu.
Dưới cộng nam bốc làm một. Lấy ngũ gia từ cao vị đến cuối. Lấi chia đôi từ mất vị (vị
cuối) đến đầu. Hai vị nhân nhau thành phàm xích. 100 vị định xích. Lấy phép giảm ngũ
giảm kết quả hai lần. Lần đầu giảm hết, lần sau giảm đến xích thì dừng thành số ruộng
vậy.
38
- Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018
Nếu muốn thử lấi, lấy phép tứ phá kiểm tra kết quả thành số thực điền vậy.
Giải thích. Đổi đơn vị:
Đông: 15 cao 8 xích 7 thốn = 15 × 15 + 8 xích 7 thốn= 233 xích 7 thốn =2337 ×
0, 04 =93,48 m;
Tây: 14 cao 5 xích 3 thốn=14 × 15 + 5 xích 3 thốn=215 xích 3 thốn =2153 × 0, 04 = 86,12
m;
Nam: 14 cao 3 xích 1 thốn=14 × 15 + 3 xích 1 thốn=213 xích 1 thốn =2131 × 0, 04 =
85,24 m;
Bắc: 14 cao 4 xích 2 thốn=14 × 15 + 4 xích 2 thốn=214 xích 2 thốn =2142 × 0, 04 = 85,68
m.
a+c b+d 93, 48 + 86, 12 85, 32 + 85, 68
S= × = × = 7674,308 (m2 )
2 2 2 2
= 2 × 3600 + 1 × 360 + 4 × 24 + 7 × 2, 4 + 6 × 0, 24 + 0, 068 (m2 ) = 2 mều 1 cao 4 xích
7 thốn 6 phân.
Bài toán 7 (Toán điền trừ cửu pháp, trang 5b). Đông 35 trượng 2 xích, nam 12 trượng 4
xích, tây 36 trượng 3 xích, Bốc 12 trượng 4 xích. Dùng phép Tứ phá được: diện tích được
117320 xích. Dùng phép Đấi thành: diện tích được 44330 xích. Thị điền 1 mều 9 cao 10
xích 5 thốn 3 phân 3 li 3 hào.
Giải thích. Tính theo m2 :
Đông+Tây= 35 trượng 2 xích+ Tây 36 trượng 3 xích=715 xích= 286m;
Nam+Bắc=12 trượng 4 xích+12 trượng 4 xích=248 xích=99,2m.
Do đó:
a+c b+d
S= × = (286 + 99, 2) : 4 = 7092,8 (m2 ) =1 × 3600 + 9 × 360 + 10 × 24 +
2 2
5 × 2, 4 + 3 × 0, 24 + 3 × 0, 024 + 3 × 0, 0024 + 0, 0008.
Vậy diện tích hình tứ giác là 1 mều 9 cao 10 xích 5 thốn 3 phân 3 li 3 hào. Sử dụng
công thức (1) tính diện tích sai, dẫn đến tính thể tích sai. Bài toán dưới đây trong Đại
thành toán học chí minh của Phạm Gia Kỉ viết năm 1820 là ví dụ.
Bài toán 8 (Đại thành toán học chí minh, trang 7b). Nay có đất ruộng, Đông dài 5 trượng
3 thước, Tây dài 6 trượng 3 thước, Nam dài 7 trượng, Bắc dài 8 trượng, khơi sâu 2 thước.
Tính đất bao nhiêu phương?
Đáp số: 87 khối.
Giải. Cộng Đông Tây làm một, chia đôi, còn 5 trượng 8 thước. Cộng Nam Bắc làm một,
chia đôi, còn 7 trượng 5 thước. Nhân hai cái với nhau, được 43 trượng 5 thước. Lại nhân
với chiều sâu 2 thước, được 870 thước= 87 khổi.
Giải thích. Sử dụng công thức (1) ta được
53 + 63 70 + 80
V = Sd × h = × × 2 = 58 × 75 × 2 = 4350 × 2 = 8700 thước khổi=87
2 2
khối.
Lời bình: Toán học thời cổ (từ Babilon, Ai Cập đến Trung Hoa và Việt Nam) thường
được gọi là toán học kinh nghiệm (empirical mathematics). Nhiều công thức (như công
thức (1)) hoặc phương pháp nhận được từ kinh nghiệm đo đạc thực tế mà không hề có
chứng minh. Mặc dù các công thức này chỉ là gần đúng, thậm chí có sai số lớn, nhưng
các kiến thức toán học này cũng đã đáp ứng được các yêu cầu của thực tế cuộc sống. Tuy
nhiên, với sự phát triển của toán học, không thể áp dụng một công thức mà không có
chứng minh chặt chẽ. Dạy toán theo con đường lôgich chặt chẽ (xây dựng hệ tiên đề, các
39
- Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018
định nghĩa chính xác, các định lí phải được chứng minh chặt chẽ...) thường đòi hỏi nhiều
thời gian và công sức, vì vậy hiện nay có xu hướng dạy toán theo con đường trực quan
và kinh nghiệm. Sử dụng lâu dài và phổ biến một công thức sai (công thức (1)) cho thấy
việc giải quyết mối quan hệ và tỉ lệ thời lượng giữa toán học kinh nghiệm và toán học
lôgich trong giảng dạy toán học có lẽ cũng cần được quan tâm và giải quyết thỏa đáng
trong chương trình và nội dung giảng dạy mới đang được biên soạn và triển khai.
Tài liệu
[1] David M. Burton, The History of Mathematics: Introduction, Seventh Edition,
Mc Graw Hill, 2011.
[2] Alexei Volkov, On the origins of the "Toan phap dai thanh (Great Com-
pendium of Mathematical Methods)”, in Y. Dold-Samplonius, J. W. Dauben,
M. Folkerts, B. van Dallen (eds.), Proceedings of International Conference
From China to Paris: 2000 years transmission of mathematical ideas, Franz
Steiner Verlag, Stuttgart, 2002, pp. 369-410.
40
nguon tai.lieu . vn
