Xem mẫu
- UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.4, NO.1 (2014)
VỀ MÔĐUN ĐỐI CỐT YẾU ĐƠN VÀ MÔĐUN NÂNG ĐƠN
ON MONO SMALL AND MONO LIFTING MODULES
Nguyễn Thị Thu Sương Nguyễn Thị Nhành
Trường ĐH Sư phạm – Đại học Đà Nẵng Trường ĐH Đồng Tháp
Email: nttsuong.hlp@gmail.com
TÓM TẮT
Một môđun con N của M được gọi là đối cốt yếu trong M, ký hiệu N = M , trong trường hợp với mọi môđun
con L M : N + L = M suy ra L = M . Một môđun M được gọi là nâng nếu mọi môđun con N của M, tồn tại sự
phân tích M = M 1 M 2 : M 1 N , M 2 N = M . Lớp các môđun này đã được nghiên cứu trong các năm gần
đây. Hơn nữa người ta đã chứng minh được một vành là hoàn chỉnh phải nếu mọi môđun phải M, thì tồn tại toàn cấu
:P→M với P xạ ảnh và Ker( ) = P. Đồng thời một vành R được gọi là nửa hoàn chỉnh nếu mọi môđun
phải (trái) đơn M, thì tồn tại toàn cấu : P → M với P xạ ảnh và Ker( ) = P. Từ các tính chất quan trọng đó,
trong bài báo này chúng tôi đưa ra khái niệm môđun đối cốt yếu đơn, môđun nâng đơn và áp dụng của chúng trong
một số lớp vành và môđun đã biết.
Từ khóa: đối cốt yếu; nâng; đối cốt yếu đơn; nâng đơn.
ABSTRACT
A submodule N is called superfluous in M, write N= M, if for any submodule L M :N+L=M
L = M . A module M is called lifting if for any submodule N of M,
implies that there is a decomposition
M = M1 M 2 : M1 N , M 2 N = M . Recently, this classes are studied by the authors. A ring R is called
right perfect if for every right R-module M, there exists an epimorphism : P → M with P is projective and
Ker( ) = P. A ring R is called right smiperfect if for every simple right R-module M, there exists an epimorphism
: P → M with P is projective and Ker( ) = P. In this paper, we study some generalizations of superfluous
submodules and lifting modules and their applications for classes rings and modules.
Key words: small; lifting; mono-small; mono-lifting.
1. Giới thiệu A M ( A M ), A d M để chỉ A là môđun
Trong bài báo này, vành R đã cho luôn được con (t.ư., thực sự), hạng tử trực tiếp của M.
giả thiết là vành kết hợp có đơn vị 1 0 và mọi Một vài năm gần đây, hướng nghiên cứu mở
R-môđun được xét là môđun unita. Trong mục rộng của môđun nâng được nhiều người quan tâm
này, chúng tôi giới thiệu những khái niệm cơ bản và nghiên cứu. Năm 2006, các tác giả Clark,
được sử dụng trong bài báo. Một số khái niệm Lomp, Vanaja và Wisbauer đã đưa ra và nghiên
khác liên quan đến bài báo chúng ta có thể tham cứu lớp môđun nâng. Năm 2005, Kosan đã nghiên
khảo trong Wisbauer ([5]). Với vành R đã cho, ta cứu về điều kiện của môđun nâng và môđun con
viết M R (tương ứng, R M ) để chỉ M là một R- bất biến hoàn toàn. Cũng theo đó, chúng tôi đã
môđun phải (t.ư, trái). Trong một ngữ cảnh cụ thể nghiên cứu môđun đối cốt yếu đơn và áp dụng của
của bài báo, khi không sợ nhầm lẫn về phía của nó trong lý thuyết vành và môđun; cụ thể là áp
môđun, để đơn giản ta viết môđun M thay vì M R . dụng chúng vào lớp môđun mở rộng của lớp
Chúng ta dùng các ký hiệu môđun nâng, đó là môđun nâng đơn.
Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh
12
- TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 4, SỐ 1 (2014)
được rằng một môđun con N của M được gọi là Lại có: I1 = M , I 2 = M ,..., I k = M . Nên
đối cốt yếu đơn trong M nếu và chỉ nếu
N Rad ( M ) (Mệnh đề 2.2). Hơn nữa chúng tôi (I1 + I 2 + ... + I k ) = M . (2.2.2)
còn chứng minh được các lớp môđun nâng đơn là Từ (2.2.1) và (2.2.2) ta có K = M . Điều
đóng dưới tổng trực tiếp và một môđun M gọi là này mâu thuẫn vì K M . Mâu thuẫn này chứng
nâng đơn nếu và chỉ nếu với mọi A M , tồn tại tỏ rằng nR + K M . Suy ra nR = M , với
A = N S sao cho N d M và S = m M n N. Như vậy N = m M.
(Mệnh đề 3.2). Từ đó chúng tôi còn chứng minh Ví dụ 2.3. (1) Với mọi môđun M thì
được: Cho M là môđun nâng đơn và X M . Nếu Rad ( M ) = M.
m
mọi hạng tử trực tiếp K của M, ( X + K ) / X là
(2) Nếu Rad ( M ) = M thì mọi môđun con
hạng tử trực tiếp của M / X , thì M / X là môđun
của M là đối cốt yếu đơn trong M.
nâng đơn (Định lý 3.7). Ngoài ra một số tính chất
khác của môđun đối cốt yếu đơn và môđun nâng (3) Nếu M là môđun địa phương thì mọi
đơn và các ví dụ của chúng cũng được xét đến. môđun con thực sự của M là đối cốt yếu đơn trong M.
2. Môđun đối cốt yếu đơn (4) Mọi môđun con của môđun hổng, không
địa phương M là đối cốt yếu đơn trong M.
Định nghĩa 2.1. Một môđun con N của M
được gọi là đối cốt yếu đơn trong M, ký hiệu (5) M là Z-môđun tự do. Từ Rad(Z) = 0 ta
N= M nếu với mọi n N , M nR + K , với có Rad (M) = 0 . Khi đó 0 là môđun con đối cốt
m
mọi K là môđun con thực sự của M, tức là với mọi yếu đơn duy nhất của M.
n N , nR = M . Từ bổ đề trên, chúng ta bắt đầu với một vài
tính chất về môđun đối cốt yếu đơn, và các tính chất
Mệnh đề 2.2. Cho N là môđun con của
này thường được sử dụng cho các kết quả về sau.
môđun M. Khi đó N = m M khi và chỉ khi
Bổ đề 2.4. Cho A, B và C là các môđun con
N Rad ( M ). của R-môđun M.
Chứng minh. () Với mọi n N . Ta có : (1) Nếu A = m B và B C thì A = m C
N= m M nên nR = M . Khi đó : .
n nR Rad ( M ). Điều này chứng tỏ (2) Nếu A = m M , A B và B d M thì
N Rad ( M ). A= B.
m
() Với mọi n N . Do N Rad ( M ) (3) Nếu A = m M và f : M → N là một
nên n Rad ( M ) , suy ra n I1 + I 2 + ... + I k với đồng cấu thì f ( A) = f (M).
m
I i = M , i = 1, k . Khi đó tồn tại (4) Cho A B. Khi đó B = m M nếu
i1 , i2 ,..., ik I1 , I 2 ,..., I k : n = i1 + i2 + ... + ik . Vì và chỉ nếu A = m M và B / A = m M / A.
thế nR I1 + I 2 + ... + I k . Gọi K là môđun con (5) Cho A1 , A2 ,..., An là các môđun con
thực sự của M. Ta phải chỉ ra rằng nR + K M . đối cốt yếu đơn của M. Khi đó:
Giả sử ngược lại nR + K = M . Khi đó: A1 + A2 + ... + An = m M .
(I1 + I 2 + ... + I k ) + K = M . (2.2.1) (6) A + B = m M nếu và chỉ nếu
13
- UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.4, NO.1 (2014)
A= m M và B = m M. Định nghĩa 3.1. Môđun M được gọi là
nâng đơn nếu, với mọi N M tồn tại sự phân tích
(7) Cho N là một môđun con của môđun
M, Rad ( M ) = M . Khi đó N = m M nếu và
M = A B sao cho A N và N B là đối cốt
yếu đơn trong M có nghĩa là với mọi N M , tồn
chỉ nếu N = M .
tại sự phân tích M = A B sao cho A N và
Chứng minh. (1) Từ A = m B và do N B Rad (M ).
B C , ta có A Rad ( B) Rad (C ). Vì vậy Mệnh đề dưới đây cho ta biết một điều kiện
A= m C tương đương của một môđun nâng đơn.
(2) Từ A = M và A B d M , ta có Mệnh đề 3.2. (1) Các điều kiện sau đây là
m
tương đương đối với môđun M R :
A Rad (M ) B .
(i) M là nâng đơn.
Nhưng ( Rad ( M ) B) = Rad ( B) khi đó
(ii) Với mọi A M , tồn tại A = N S
A Rad (B) . Vậy A = B
m
sao cho N d M và S = m M .
(3) Từ A = m M nên A Rad (M ) , do f (iii) Với mọi A M , tồn tại N d M
là một đồng cấu nên f ( A) f ( Rad ( M )). Nhưng
sao cho N A và A / N = m M /N.
f ( Rad (M )) Rad ( f ( M )) .
(iv) Với mọi A M , tồn tại
Khi đó f ( A) Rad ( f ( M )) .
e = e2 End ( M ) sao cho e(M) A và
Điều này kéo theo f(A) = m f ( M ). (1 − e) A Rad (1 − e)M .
(4) () Từ A B và B = m M ta có (2) Các lớp môđun nâng đơn là đóng dưới
A B Rad ( M ) , nên A Rad (M ) , suy ra tổng trực tiếp.
A Rad (M ) . Mặt khác B = M thì Chứng minh. (1) (i) (ii) Với mọi
m
A M , từ (i) ta có M là nâng đơn nên tồn tại
f ( B) = f ( M ) hay B / A = M / A.
M = N N ' sao cho N A và N ' A =
m m
m M.
() Từ A = M và B / A = M / A ta
m m
Khi đó N ( N ' A) = A (Luật Modular), nên
có được A Rad (M ) và B / A Rad (M / A) .
N ' A = S . Do đó S = M.
Mà ta lại có Rad ( M / A) Rad(M) / A . Từ đây
m
ta suy ta B Rad (M) . Vì vậy ta đã chứng minh (ii) (iii) Với mọi A M , do (ii) nên
được B = M. tồn tại A = N S sao cho N d M và
m
S= M . Với mọi a + N A / N , a A ; ta có
(7) () Vì N = m M và Rad (M) = M m
(a + N ) R = M / N . Vậy nên A / N = M /N.
nên N Rad (M) = M . Do đó N = M . m
(iii) (iv) Với mọi A M , do (iii) ta có
() Rõ ràng.
N d M nên tồn tại
3. Môđun nâng đơn
Trong phần này chúng tôi đưa ra và nghiên e = e2 End ( M ) : e( M ) = N và (1 − e) M = N ' .
cứu lớp môđun mở rộng của lớp môđun nâng là Do N A nên e( M ) A . Tiếp theo chúng ta sẽ
lớp môđun nâng đơn. chứng minh (1 − e) A Rad ((1 − e)M ) . Thật vậy
14
- TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 4, SỐ 1 (2014)
với mọi a A , M1 ( M 2 K ) = K và
H (1 − e)M : (1 − e)aR + H = (1 − e)M . Do đó L (M 2 K ) = L M 2 = M . Theo Bổ đề
m
(a + e( M )) R + H = (1 − e) M , ta suy ra được
(2.4)(2) suy ra ( M 2 K ) L = m K . Vậy ta đã
(a + e( M )) R + ( H + e( M )) / e( M ) chứng minh được K là nâng đơn.
= (1 − e) M + e( M ) Ví dụ 3.3. Rõ ràng môđun nâng là một
Vì vậy môđun nâng đơn.
(a + e(M)) R + (H+ e(M)) / e(M) = M / e(M) Từ Định nghĩa 3.4. M được gọi là môđun hổng
(iii) ta có A/ e(M) = m M / e( M ). Vậy nên nếu mọi môđun con thực sự của M là đối cốt yếu
trong M.
H + e(M ) = M .Suy ra:
Định nghĩa 3.5. M 0 được gọi là môđun
( H + e(M )) (1 − e( M )) = M (1 − e) M . Hơn
địa phương nếu tồn tại một môđun con lớn nhất
nữa dùng luật Modular ta chứng mình được
khác M.
H = (1 − e)M . Do đó với mọi
Mệnh đề tiếp theo ta cũng chứng minh các
a A,(1 − e)aR = (1 − e) M . Vậy
điều kiện tương đương của môđun nâng đơn,
(1 − e) A Rad (1 − e)M . nhưng là môđun không phân tích được
(iv) (i) Với mọi A M , từ (iv) ta có Mệnh đề 3.6. Cho M là môđun khác không,
không phân tích được. Các điều kiện sau là tương
e = e2 End ( M ) , e(M ) A nên ta có
đương:
M = M 1 M 2 . Khi đó M 1 = e( M ) A và
(1) M là môđun nâng đơn.
M 1 A . Vì (1 − e) A M nên (2) Mọi môđun con thực sự là đối cốt yếu đơn
(1 − e) A Rad ((1 − e)M ) Rad (M ) . Bây giờ ta trong M.
cần chứng minh (1 − e) M A = (1 − e) A và (3) Rad(M) là tổng của tất cả các môđun
(1 − e) M = M 2 . Thật vậy, với mọi con thực sự của M.
(1 − e)a (1 − e) A, do e(M ) A nên ta có (4) Rad (M ) = M hoặc M là môđun địa
(1 − e)a = a − ea A . Lại có phương.
(5) M là nửa hổng.
(1 − e)a (1 − e) M A.
Chứng minh :
(1 − e) A ((1 − e) M A). Tiếp đến
y (1 − e)M A tồn tại (i) (ii) Với mọi N M , N M , do M
m M , a A : (1 − e)m = a m = em + a A. là nâng đơn nên tồn tại sự phân tích M = C D
sao cho C N , D N = M . Do M không phân
Do đó y (1 − e) A . Suy ra m
((1 − e) M A) (1 − e) A. Vì thế tích được nên C = 0 hoặc C = M . Chúng ta chú
ýM N , nên ta có C = 0, D = M . Vậy
M2 A = m M . Vậy M là nâng đơn.
N= m M.
(2) Giả sử M là nâng đơn, K là hạng tử trực
tiếp của M. Với mọi L K M , vì M là nâng (ii) (iii) Đặt E = I , với I là các
đơn nên tồn tại sự phân tích M = M 1 M 2 sao môđun con thực sự của môđun M. Ta có
cho M1 L và M 2 L = M . Ta có E M,E M, theo (ii) ta có
m
15
- UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.4, NO.1 (2014)
E= m M E Rad ( M ) . Mặt khác d D, d ' D ' sao cho d + X = d ' + X , suy ra
Rad (M ) E , vì vậy ta đã chứng minh được d − d ' X . Do M là môđun phân phối nên
Rad (M ) = E . X = ( D I X ) ( D' X ) nên
(iii) (iv) Giả sử Rad (M ) M . Khi đó d − d ' ( D I X ) ( D ' X ) , suy ra y X .
M là môđun địa phương. Khi đó M / X = ( X + D) / X ( X + D ' ) / X .
(iv) (i) Hiển nhiên. Theo (1) thì M / X là môđun nâng đơn.
(v) (iv) Nếu Rad (M ) = M thì chứng (3) Hoàn toàn tương tự như chứng minh ở
ta có điều cần chứng minh. Bây giờ nếu (2). Vì eX X với mọi e2 = e End ( M ) nên
Rad(M) M thì Rad ( M ) là môđun con thực sự
( X + D) / X ( X + D ' ) / X = X . Khi đó ta có
của M. Vì Rad(M) là môđun con lớn nhất. Nên M
điều phải chứng minh.
là một môđun địa phương.
Bổ đề 3.8. Cho M là một môđun. Nếu M là
Các định lý sau đây đưa ra một vài điều kiện
nửa hổng thì khi đó mọi môđun thương của M là
để đảm bảo một môđun thương của một môđun
nửa hổng.
nâng đơn sẽ là một môđun nâng đơn.
Chứng minh. Bổ đề này được chứng minh
Định lý 3.7. (1) Giả sử rằng M là môđun
dễ dàng.
nâng đơn và X M . Nếu mọi K là hạng tử trực
tiếp của M, ( X + K ) / X là hạng tử trực tiếp của Cho M là một môđun, M = iI M i , M i là
M / X . Khi đó M / X là môđun nâng đơn. các môđun con của M. Nếu N là một môđun con
bất biến hoàn toàn của M thì N = iI ( N M i ).
(2) Nếu M là môđun phân phối, thì M / X
là môđun nâng đơn với X M . Bổ đề 3.9. Cho M là một môđun đối ngẫu và
(3) Cho X M và eX X với mọi M = M 1 M 2 . Khi đó M là môđun nâng đơn nếu
e2 = e End ( M ) . Khi đó M / X là nâng đơn. và chỉ nếu M 1 và M 2 là các môđun nâng đơn.
Chứng minh. (1) Với mọi A / X M / X , Chứng minh : () Hiển nhiên.
suy ra X A M . Do M là môđun nâng đơn nên () Giả sử M 1 và M 2 là các môđun nâng
tồn tại M = K K sao cho K A và
'
đơn. Với mọi K M , ta có M = M 1 M 2 . Do
A / K = m M / K . Vì (X + K) / X là hạng tử trực
M là đối ngẫu nên ta có
tiếp của M/ X , nên ( X + K ) / K A / X và K = ( M1 K ) ( M 2 K ) . Từ M 1 K và
A / (K + X ) = m M / ( K + X ). Vậy M/ X là M 2 K là môđun con của M 1 và M 2 . Lúc đó
môđun nâng đơn.
tồn tại A1 , B1 M 1 sao cho A1 (M1 K ) và
(2) Với mọi D là hạng tử trực tiếp của M, có
M 1 = A1 B1 để mà
nghĩa là M = D D' . Ta có
B1 ( K M1 ) = B1 K = B1 và
M / X = ( X + D) / X + ( X + D ' ) / X . Ta cần m
A2 , B2 M 2 sao cho A2 ( M 2 K ) và
chứng minh ( X + D) / X ( X + D ' ) / X = X .
Thật vậy với mọi M 2 = A2 B2 để
y ( X + D) / X ( X + D ' ) / X , khi đó tồn tại B2 ( K M 2 ) = B2 K = m B2 . Lúc đó
16
- TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 4, SỐ 1 (2014)
M = A1 A2 B1 B2 , A1 A2 K và Vậy M là môđun nâng đơn.
( B1 B2 ) K ( B1 K ) ( B2 K ) = m M1 M 2
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] F.W.Anderson and K.R.Fuller (1974), Rings and Categories of Modules, Springer-Verlag, New
York.
[2] J.Clark, C.Lomp, N.Vanaja and R.Wisbauer (2006), Lifting Modules, Frontiers in Mathematics,
Birkhauser.
[3] M.T.Kosan (2005), The Lifting Condition and Fully Invariant Submodules, East-West Journal of
Math, 7(1) (2005) 99-106.
[4] Y. Wang and N. Ding (2006), Generalized Supplemented Modules, Taiwanese J. Mathematics, 10
(2006), 1589-1601.
[5] Wisbauer R. (1991), Foundations of Module and Ring Theory; Gordon and Breach: Reading.
17
nguon tai.lieu . vn
