- Trang Chủ
- Toán học
- Về định lí giới hạn trung tâm theo trung bình đối với dãy hiệu Martingale
Xem mẫu
- 88 Tôn Thất Tú, Lê Văn Dũng, Lê Thị Thúy Quỳnh
VỀ ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN TRUNG TÂM THEO TRUNG BÌNH
ĐỐI VỚI DÃY HIỆU MARTINGALE
ON THE MEAN CENTRAL LIMIT THEOREM FOR MARTINGALE DIFFERENCE SEQUENCES
Tôn Thất Tú1, Lê Văn Dũng1, Lê Thị Thúy Quỳnh2
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng; Email: tthattu@gmail.com
1
2
Học viên Cao học K27-TSC, Đại học Đà Nẵng; Email: quynhle90dn@gmail.com
Tóm tắt - Trong lớp các định lý giới hạn của lý thuyết xác suất thì Abstract - Among the limit theorems of the probability theory, the
Định lý giới hạn trung tâm đóng vai trò rất quan trọng trong việc central limit theorem plays an important role in the research of
nghiên cứu các bài toán thống kê và các ứng dụng. Tuy nhiên bài statistical problems and its applications. However, it is almost
toán thống kê nói chung không cho phép chúng ta nhiên cứu với impossible for us to study statistical problems with infinite sample
kích thước mẫu lớn vô hạn, chính vì vậy bài toán “xấp xỉ phân phối sizes. Therfore, the problem of “normal approximation” is to enable
chuẩn” sẽ cho phép chúng ta ước lượng được kích thước mẫu cần us to estimate the sample size needed so that the central limit
thiết để chúng ta có thể áp dụng được Định lí giới hạn trung tâm. theorem can be applied. In this case, the L norm and the L1 norm
Trong đó, chuẩn L và L1 thường được sử dụng trong bài toán are usually employed in the problem of “normal approximation”. In
“xấp xỉ phân phối chuẩn”. Trong bài báo này, chúng tôi thiết lập một this paper, we establish some results of normal approximation in L1
số kết quả về xấp xỉ phân phối chuẩn theo chuẩn L1 đối với dãy for the sequences of identical distributed martingale difference
biến ngẫu nhiên hiệu martingale cùng phân phối xác suất. random variables.
Từ khóa - xấp xỉ phân phối chuẩn; biến ngẫu nhiên; hiệu Key words - normal approximation; random variables; martingale
martingale; bất đẳng thức Berry-Esssen; định lí giới hạn trung tâm. difference; Berry-Essen inequality; central limit theorem.
+
1. Đặt vấn đề
Cho ( X n ; n N* ) là dãy biến ngẫu nhiên có kì vọng 0
f * g ( x) =
−
f ( x − y ) g ( y )dy.
và phương sai 2 hữu hạn. Đặt Sn = X1 + X 2 + ... + X n. Kí
2. Kết quả nghiên cứu
hiệu Fn ( x ) và ( x) lần lượt là hàm phân phối xác suất của
biến ngẫu nhiên Sn / n và biến ngẫu nhiên chuẩn tắc. Để chứng minh kết quả chính ta cần bổ đề sau.
Định lí giới hạn trung tâm cổ điển nói rằng: nếu 2.1. Bổ đề [3]
( X n ; n N* ) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân Cho X and là hai biến ngẫu nhiên. Với mọi p 1/ 2
phối xác suất thì Fn ( x ) hội tụ đến ( x) khi n → với mọi ta có:
x R . Vào năm 1954, Agnew [1] chỉ ra rằng Fn ( x ) hội tụ ‖ FX − ‖ 1 ‖ FX + − ‖ 1 +2(2 p + 1)‖ E( 2 p | X )‖ 1/2 p .
đến ( x) trong L p khi n → với p 1/ 2 . Trong trường
Để thuận tiện cho việc trình bày chứng minh, ở đây ta
hợp p = 1 hội tụ đó được gọi là định lí giới hạn trung tâm
sử dụng hằng số C tổng quát có thể nhận các giá trị khác
theo trung bình. Tốc độ hội tụ của định lí giới hạn trung
nhau tùy thuộc vào biến đổi.
tâm theo trung bình được Esseen [5] chỉ ra rằng:
Ta có định lí sau.
‖ Fn − ‖ 1 = O(n−1/ 2 ) khi n → .
2.2. Định lí
Dãy biến ngẫu nhiên ( X n ; n N* ) xác định trên không
gian xác suất (; ; P ) được gọi là hiệu martingale nếu thỏa Nếu E(| X1 |3 ) và E( X n2 / n −1 ) = 2(h.c.c.) thì tồn
mãn hai điều kiện: tại hằng sốC (0; ) sao cho:
i. E (| X n |) với mọi n; E (| X 1 |3 ) 1
|| Fn − ||1 C + .
n n
3
ii. E ( X n / n − 1) = 0, trong đó 0 = {, }, j = ( X1 ,
..., X j −1 ), j 1. Chứng minh. Lấy Z1 , Z 2 ,..., Z n và là các biến ngẫu
Cho ( X n ; n N* ) là dãy các biến ngẫu nhiên cùng phân nhiên độc lập với nhau và độc lập với mọi biến ngẫu nhiên
phối xác suất và là hiệu martingale bình phương khả tích. X n sao cho chúng có cùng phân phối chuẩn với kì vọng 0
Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu tốc độ hội tụ của và phương sai Var (Z j ) = Var ( ) = 2.
hàm phân phối Fn ( x) = P( Sn / n x) về hàm ( x) theo Đặt:
chuẩn L1, trong đó 2 = E( X n2 ). Nhắc lại rằng chuẩn L1 của s = n , m2 = (n − m + 1) / n, U m = s −1 ( X 1 + ... + X m −1 ),
hai hàm f ( x ) và g ( x) khả tích trên R xác định bởi: Z = Z1 + ... + Z n , Wm = s −1 ( Z m +1 + ... + Z n + ), m = 1, n.
Áp dụng Bổ đề 2.1 ta có:
|| f − g ||1 = | f (t ) − g (t ) | dt.
− 1
‖ Fn − ‖ 1 ‖ F( Sn + )/ s − ‖ 1 +C‖ E ( 2 )‖ 1/ 2
Còn chuẩn L của hai hàm f ( x ) và g ( x) xác định bởi: s2
|| f − g || = suptR | f (t ) − g (t ) | . 1
‖ F( Sn + )/ s − F( Z + )/ s‖ 1 +C ‖ E ( 2 )‖ 1/ 2
s
Tích chập của hai hàm f ( x ) và g ( x) khả tích trên R xác
‖ F( Sn + )/ s − F( Z + )/ s‖ 1 +C / n . (2.1)
định bởi:
- ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 9(82).2014 89
Tiếp theo ta xét ‖ F( Sn + )/ s − F( Z + )/ s‖ 1 . Áp dụng công Kết hợp (2.1) và (2.2), định lí hoàn toàn được chứng minh.
thức Lindeberg [6] ta có: 2.3. Hệ quả
P(( Sn + ) / s t ) − P(( Z + ) / s t ) Cho 0 . Nếu E (| X1 |3 ) và E( X n2 / n −1 ) = 2
n
= ( P(U m + Wm + X m / s t ) − P(U m + Wm + Z m / s t ) ) . (h.c.c.) thì tồn tại hằng số C = C ( , ) (0; ) sao cho
m =1
C
Vì Wm có phân phối chuẩn với kì vọng 0 và phương sai || Fn − ||1 .
m2 . Hơn nữa U m, Wm và Z m độc lập nên tổng trên có thể viết n
thành: Chứng minh. Suy trực tiếp từ Định lí 2.2.
n → . 2.4. Hệ quả
n
t −Um X m t − U m Zm Nếu E(| X1 |3 ) và E( X n2 / n −1 ) = 2 (h.c.c.) thì
E
m
−
m s − E −
m s Fn ( x) → ( x) trong L1 khi n → .
m =1 m
n
Z m − X m t − U m Z m − X m ' t − U m Chứng minh. Suy trực tiếp từ Định lí 2.2.
2 2
= E − 2.5. Hệ quả
m s m m s m
2 2
m =1
n
Z m3 t −Um X m Nếu E(| X1 |3 ) và E( X n2 / n −1 ) = 2(h.c.c.) thì
+ E 3 3 '' − m Fn ( x) → ( x) trong L khi n → .
m s
m =1 m m s
n
Chứng minh. Áp dụng Hệ quả 2.4 và bất đẳng thức
X m3 t −Um X m
− E 3 3 '' − m' ([2], tr 48):
m =1
m s m m s
2
Fn − Fn − 1
Trong đó: (2 )1/ 4
- 0 m , m 1.
'
Ta được Fn ( x) → ( x) trong L khi n → .
- ( x) là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên có Chú ý rằng từ Hệ quả 2.5 ta có ngay Định lí giới hạn
phân phối chuẩn tắc. trung tâm cổ điển sau.
Do U mlà m−1 đo được và giả thiết E( X n2 / n −1 ) = 2 2.6. Hệ quả
(h.c.c.) nên tổng thứ nhất bằng 0. Vì vậy:
Nếu ( X n ; n N* ) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng
P((Sn + ) / s t ) − P((Z + ) / s t ) phân phối xác suất có kì vọng và phương sai 2 hữu hạn
n
Z m3 t −Um Xm thì với mọi x R,
E 3 3 '' − m
m s m m s S n − n
m =1 P( x) → ( x) khi n → .
n
X m '' t − U m
3
' Xm n
+ E 3 3 − m
m =1 m s m m s Định lí tiếp theo chúng tôi thiết lập tốc độ hội tụ của
dãy biến ngẫu nhiên bị chặn đều.
Lấy tích phân 2 vế và áp dụng Định lí Fubini ta được
2.7. Định lí
Sn + Z +
− |P (
s
t ) − P (
s
t ) | dt Cho 0 . Nếu 0 sup n || X n || và E( X n2 / n−1 ) = Y 2
(h.c.c.) với Y là một biến ngẫu nhiên không âm thì tồn tại
n | X m |3 t −Um Xm hằng số C = C ( , , ) (0; ) sao cho:
E 3 3 | ( − m ) | dt
m =1
−
m s m m s C
n | Z m |3 t −Um Zm || Fn − ||1 .
+ E 3 3 | ( − m ) | dt n
m =1
−
m s m m s Chứng minh. Lấy Z1 , Z 2 ,..., Z n là các biến ngẫu nhiên
n | Xm | 3
t −Um Xm độc lập có phân phối chuẩn tắc và độc lập với mọi X n , là
E | ( − m ) | dt biến ngẫu nhiên độc lập với mọi X n và Z n , có phân phối
m =1 − m s
3 3
m m s
chuẩn với kì vọng 0 và phương sai Var ( ) = 2 .
n | Zm | 3
t −Um Zm
+ E | ( − m ) | dt Đặt:
m =1 − m s
3 3
m m s
s = n , m2 = ((n − m)Y 2 + 2 ) / n 2 , U m = s −1 ( X 1 + ... + X m −1 ),
Chú ý rằng m 1 và:
+ + +
Z = ( Z1 + ... + Z n )Y / s, Wm = s −1 (( Z m +1 + ... + Z n )Y + ), m = 1, n.
| ''( x) | dx =− | ( x − 1) ( x) | dx − ( x + 1) ( x)dx =2 Trên -đại số (n +1 , Z m ), Wm có phân phối chuẩn với
2 2
−
kì vọng 0 và phương sai m2 , Z có phân phối chuẩn tắc.
Nên ta được: Do đó áp dụng Bổ đề 2.1 ta có:
Sn + Z + ‖ Fn − ‖ 1 ‖ F( S + )/ s − F( Z + )/ s‖ 1 +C / n .
− |P( s t ) − P( s t ) | dt n
Mặt khác, theo Định lí Kantorovich-Rubienstein ([4],
n | Z m |3 n | X m |3
2E 3 3 + 2E 3 3 Định lí 11.8.2) ta có:
m =1 m s m =1 m s ‖ F( Sn + )/ s − F( Z + )/ s‖ 1 = sup | E ( f (( Sn + ) / s)) − E ( f (( Z + )/ s )) |,
C n
1 C E (| X m |3 )
+ CE (| X m | ) 3 3
f 1
3
+C , (2.2)
m =1 m s n Trong đó 1 là tập tất cả các hàm 1-Lipschitzian từ R vào R .
3
n n
- 90 Tôn Thất Tú, Lê Văn Dũng, Lê Thị Thúy Quỳnh
Bây giờ với f là một hàm 1-Lipschitzian từ R vào R Định lí 4 [3]. Sau đây là một ví dụ minh họa cho hệ quả
tùy ý, ta có: trên đồng thời cũng chỉ ra sự tồn tại dãy biến ngẫu nhiên
E ( f (( Sn + ) / s)) − E ( f (( Z + ) / s)) = thỏa mãn các điều kiện của Định lí 2.2.
n Ví dụ. Cho (Yn ; n N* ) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập,
= {E ( f (Wm + U m + X m / s )) − E ( f (Wm + U m + YZ m / s ))} có cùng phân phối xác suất Bernoulli đối xứng, tức là:
m =1
n P(Yn = −1) = P(Yn = 1) = 1/ 2.
= {E ( f * m (U m + X m / s )) − E ( f * m (U m + YZ m / s)
m =1 Đặt X n = Y1.Y2 ...Yn , khi đó ( X n ; n N* ) cũng là dãy các
n
= {E (g m (U m + X m / s )) − E ( g m (U m + YZ m / s)} biến ngẫu nhiên cùng phân phối xác suất Bernoulli đối
m =1 xứng và hơn nữa là ( X n ; n N* ) hiệu martingale bình
( g m = f * m ) phương khả tích có E( X n2 / n −1 ) = 2 = 1.
n
YZ m − X m ,, Y Z m − X m ,,
2 2 2
Theo Định lí 4 [3] ta có:
= E g m (U m ) − E g m (U m )
m =1 s s2 | Fn − ||1 = O(n−1/ 4 ) khi n → .
n (YZ m ) ,,,3
Trong khi đó, theo Hệ quả 2.3 ta có:
+ E g m (U m − mYZ m / s )
s 3
| Fn − ||1 = O(n−1/ 2 ) khi n → .
m =1
n X m3 4. Kết luận
− E 3 g m,,, (U m − m X m / s ) .
m =1 s Bài báo thiết lập phép xấp xỉ phân phối chuẩn của dãy
Trong đó m là hàm mật độ của phân phối chuẩn có kì các biến ngẫu nhiên hiệu martingale cùng phân phối xác
vọng 0 và độ lệch chuẩn m . suất theo chuẩn L1 thông qua hai định lý 2.2 và 2.7.
VìU m và m là m−1 -đo được, trong đó m = ( m , Y ), nên: Trong trường hợp E(| X1 |3 ) thì định lý giới hạn
trung tâm cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối
E ( X m | m −1 ) = E (YZ m | m −1 ) = 0 (h.c.c.) và
sẽ là hệ quả của định lý 2.2.
E(Y 2 Zm2 | m−1 ) = E( X m2 | m−1 ) = Y 2(h.c.c.).
Hơn nữa || gm,,, || || f || || ,,m ||1 Cm−3, nên ta có: TÀI LIỆU THAM KHẢO
n [1] R. P. Agnew, Global versions of the central limit theorem, Proc. Nat.
| E ( f (( Sn + ) / s)) − E ( f (( YZ j + ) / s)) | Acad. Sci. U.S.A., 1(2), 800–804, 1954.
j =1 [2] Louis H.Y. Chen, Larry Goldstein, Qi-Man Shao, Normal
n | Xm | 3 n | YZ m |3 approximation by Stein’s method, Springer, 2011.
E 3 3 +E 3 3 [3] Le Van Dung, Ta Cong Son and Nguyen Duy Tien, L1-bounds for
m =1 m s m =1 m s some martingale central limit theorems, Lith. Math. J., 54(1):48–60,
n 3 n 3 2014.
E 2 3/ 2
+E 2 3/ 2
m =1 (( n − m )Y 2
+ ) m =1 (( n − m )Y 2
+ )
[4] R.M. Dudley, Real Analysis and Probability, Cambridge Univ.
Press, Cambridge, 2004.
3 3 C
CE 3 1/ 2 + CE 3 1/ 2 . [5] C.G. Esseen, On mean central limit theorems, Kungl. Tekn. Högsk.
Handl. Stockholm, 121(3), 1–30, 1958.
Y n Y n n
[6] J.W. Lindeberg, Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in
Định lí được chứng minh. der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Zeitschrift,
15(1):211–225, 1922.
3. Nhận xét
Trong trường hợp dãy biến ngẫu nhiên ( X n ; n N* ) có
cùng phân phối xác suất ta thấy rằng Hệ quả 2.3 tốt hơn
(BBT nhận bài: 12/06/2014, phản biện xong: 01/07/2014)
nguon tai.lieu . vn
