Xem mẫu
- UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.3, NO.1 (2013)
VÀNH NỘI XẠ ĐƠN VÀ VÀNH LINH HÓA TỬ ĐƠN
MININJECTIVE AND MINANNIHILATOR RINGS
Phan Chí Dũng
Khoa Y Dược, Đại học Đà Nẵng
TÓM TẮT
Trong bài báo này chúng tôi làm rõ một số tính chất của vành nội xạ đơn, nửa hoàn chỉnh. Một số tính
chất của vành tựa Frobenius thông qua điều kiện vành nội xạ đơn đã được nghiên cứu. Đặc biệt, một vành tựa
Frobenius nếu và chỉ nếu vành đó là vành Artin hai phía và nội xạ đơn hai phía. Dựa vào kết quả này, chúng tôi
chứng minh được một vành tựa Frobenius nếu và chỉ nếu vành đó là vành linh hóa tử đơn hai phía, thỏa điều
kiện ACC trên các linh hóa tử với đế trái cốt yếu.
Từ khóa: vành tựa Frobenius; vành nội xạ đơn; vành linh hóa tử đơn; vành nửa hoàn chỉnh
ABSTRACT
In this paper, some properties of mininjective rings and semiperfect rings are identified. Some
characteristics of quasi Frobenius via mininjectivity are studied. In this case, a ring is a quasi Frobenius ring if and
only if the ring is the two sided Artinian and two sided mininjective. Based on this result, we show that a ring is a
quasi Frobenius ring if and only if the ring is the two sided minannihilator, satisfying the condition ACC on
annihilators and essential left socle.
Key words : quasi Frobenius rings; mininjective ring; minannihilator rings; semiperfect rings
1. Giới thiệu
Trong bài báo này, vành R đã cho luôn thì ta viết r ( x1, x2 ,..., xn ) thay vì
được giả thiết là vành kết hợp có đơn vị 1 0
r ({x1, x2 ,..., xn }) . Ta có rR (X ) là một iđêan
và mọi R-môđun được xét là môđun unita.
Trong mục này, chúng tôi giới thiệu những khái phải của vành R. Một vành được gọi là nội xạ
niệm cơ bản được sử dụng trong bài báo. Một số đơn phải nếu lr(a) = Ra cho mỗi iđêan phải
khái niệm khác liên quan đến bài báo chúng ta đơn aR củaR. Một vành được gọi là linh hóa tử
có thể tham khảo trong Nicholson và Yousif đơn phải nếu mỗi iđêan phải đơn của R là một
([3]), Wisbauer ([5]). Với vành R đã cho, ta linh hóa tử.
viết M R (tương ứng, R M ) để chỉ M là một Trong bài báo này, trước hết chúng tôi
R-môđun phải (t.ư, trái). Trong một ngữ cảnh cụ nghiên cứu các đặc trưng của vành nội xạ đơn
thể của bài báo, khi không sợ nhầm lẫn về phía nửa hoàn chỉnh. Một số điều kiện để một vành
của môđun, để đơn giản ta viết môđun M thay vì trở thành vành nội xạ đơn đã được nghiên cứu.
M R . Chúng ta dùng các ký hiệu Ngoài ra chúng tôi nêu lại một số tính chất của
vành tựa Frobenius thông qua điều kiện vành nội
A M ( A M ) để chỉ A là môđun con (t.ư.,
xạ đơn. Đặc biệt, một vành tựa Frobenius nếu và
thực sự) của M. Cho M là một R-môđun phải
chỉ nếu vành đó là vành Artin hai phía và nội xạ
và tập X là tập khác rỗng của M. Linh hóa tử
đơn hai phía. Các kết quả này đã được nghiên
phải của X trong R được ký hiệu là rR (X ) và cứu bởi Ikeda, Nicholson và Yousif ([3]). Dựa
được xác định như sau: vào kết quả này, chúng tôi chứng minh được một
rR ( X ) = {r R | xr = 0, x X } . vành tựa Frobenius nếu và chỉ nếu vành đó là
vành linh hóa tử đơn hai phía, thỏa điều kiện
Khi không sợ nhầm lẫn ta có thể viết gọn ACC trên các linh hóa tử phải với đế trái cốt
là r(X) thay vì rR (X ) . Khi X = {x1, x2 ,..., xn } yếu.
7
- TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 3, SỐ 1 (2013)
2. Vành nội xạ đơn. hoàn chỉnh ta có Me 0 đối với mỗi phần tử
Trước hết chúng tôi nghiên cứu các đặc lũy đẳng địa phương e , nghĩa là me 0 , với
trưng của vành nửa hoàn chỉnh, nội xạ đơn. Các m M nào đó. Xét ánh xạ:
đặc trưng này được chứng minh trong [3]. eR → M
Cho m là R-moodun phải: Chúng ta ký x a mex
hiệu m* = Hom(m,R).
Khi đó ánh xạ đó là một toàn cấu. Khi đó
Định lý 2.1. Cho e là lũy đẳng trong vành
một M R môđun là đơn nếu và chỉ nếu
R . Khi đó
M R eR / eJ ( R) đối với mỗi phần tử lũy đẳng
(1) (eR / eJ ( R))* l ( J ( R))e.
địa phương e . Mặt khác, vì R là nửa địa
(2) Nếu R là vành nửa địa phương thì
phương áp dụng Định lý 2.1 suy ra
(eR / eJ ( R))* soc( RR )e.
(eR / eJ ( R))* soc( RR )e . Áp dụng Định lý
Chứng minh: Ta có eR / eJ ( R) = mR với 2.2.9 [3] ta có (1).
m = e + eJ ( R) . Vì vậy áp dụng Mệnh đề 2.2.8 Định lý 2.4. Cho R là vành nửa hoàn
[3] ta có (eR / eJ ( R)) l (T ), khi đó
* chỉnh, nội xạ đơn phải. Khi đó:
T = r (m) . Lại có T = J ( R) + (1 − e) R , vì vậy (1) soc( RR ) là nửa đơn và Artin như R -
l (T ) = l ( J ( R)) Re = l ( J ( R))e. môđun trái.
Ta chứng minh được (1), vì (2) Nếu 0 k soc(eR) với mỗi e2 = e
soc( RR ) = l ( J ( R)) khi R là nửa địa phương, là địa phương, thì Rk là đơn.
chúng ta suy ra (2). (3) Nếu R là Kasch phải thì các khẳng
Từ kết quả trên chúng ta có: định sau là tương đương:
Hệ quả 2.2. Một vành địa phương R là (a) soc ( RR ) = soc ( R R ) .
vành nội xạ đơn phải nếu và chỉ nếu soc( RR ) là
(b) lr ( K ) = K với mỗi phần tử lũy đẵng
iđêan phải đơn hoặc là không .
địa phương e € R và K Re là iđêan trái đơn.
Điều kiện để một vành hoàn chỉnh trở
thành vành nội xạ đơn được thể hiện ở định lý (c) soc( Re) = soc( RR )e với mỗi phần tử
sau. địa phương e2 = e R .
Định lí 2.3. Cho R là vành nửa hoàn (d) soc( Re) là đơn với mỗi phần tử địa
chỉnh. Khi đó các khẳng định sau là tương
phương e2 = e R .
đương:
(1) R là vành nội xạ đơn phải nếu và chỉ
Chứng minh:
nếu soc( RR )e hoặc là đơn hoặc là 0 cho mỗi
phần tử lũy đẳng địa phương e R . Nếu 1 = e1 + e2 + ... + en với ei là phần tử
(2) R là Kasch phải nếu và chỉ nếu lũy đẳng địa phương trong R, thì
soc( RR )e 0 cho mỗi phần tử lũy đẵng địa soc( RR ) = soc( RR )ei . Áp dụng Định lý 2.1
i
phương e R . ta có (1).
Chứng minh: Ta chứng minh (2), ta có
Cho M R là một môđun đơn. Từ R là nửa 0 k soc(eR) , suy ra R(1 − e) l (k ) và
8
- UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.3, NO.1 (2013)
J ( R) l ( R) vì (1) R là tựa Frobenius.
soc(eR) soc( RR ) soc( R R) (2) R là vành nội xạ đơn hai phía và Artin
hai phía.
do đó J ( R) + R(1 − e) l (k ) R , vì vậy
Chứng minh: Từ (2), áp dụng Định lý 1.2.1 [3]
l (k ) = J ( R) + R(1 − e) là cực đại. ta có được rl (T ) = T đối với mỗi iđêan phải T
Ta chứng minh (3). Giả sử R là Kasch của R.
phải. Trước hết ta chứng minh: Nếu K T là
(a) (b). Giả sử rằng K Re là một các iđêan phải và T / K là đơn, thì l ( K ) / l (T )
iđêan trái đơn, e = e R là địa phương. Ta có
2
là đơn hoặc bằng không. Thật vậy ta có:
KJ ( R) = 0 theo (a), do Nếu a l ( K ) thì:
đó r ( K ) J ( R) + (1 − e) R . Suy ra
a : T / K → RR
J ( R) + (1 − e) R là cực đại. Do đó r ( K ) là cực
a (t + K ) a at
đại. Suy ra lr ( K ) là đơn. Mặt khác K lr ( K )
nên ta có (b). Khi đó a → a là một đồng cấu từ l ( K )
(b) (c). Cho K Re là iđêan trái đến (T / K )* . Mặt khác R là vành nội xạ đơn
đơn suy ra r ( K ) J ( R) + (1 − e) R. phải áp nên dụng Định lý 2.2.9 [3] ta có điều
phải chứng minh.
Tương tự ta cũng có
Giả sử T là một iđêan phải của R và cho
r ( K ) J ( R) + (1 − e) R bởi vì J ( R) + (1 − e) R
0 = T0 T1 ... Tn = R là một dãy hợp thành
là iđêan phải cực đại duy nhất chứa (1 − e) R .
các iđêan phải của R chứa T. Ta đã chứng minh
Nhưng từ (b) và R là địa phương nên
được rl (Ti ) = Ti với mỗi i. Khi đó xét các linh
K = lr ( K ) l[ J ( R) + (1 − e) R] = l ( J ( R)) Re
hóa tử trái của dãy:
= soc( RR ) Re = soc( RR )e
Mặt khác, theo Định lý 2.1 soc( RR )e 0 vì vậy R = l (T0 ) l (T1 ) ... ... l (Tn ) = 0
K = soc( RR )e (vì K đơn). Tức là length( R R)„ n = length( RR )
(c) (d ) Áp dụng Định lý 2.1 ta có tương tự ta cũng có
length( R R)…n = length( RR ) . Vì vậy
điều này là hiển nhiên vì R là nội xạ đơn phải và
Kasch phải. lenghth( R R) = length( RR ) Theo chứng minh
( d ) (a). Từ (d) ta có trên ta thấy (*) là một dãy hợp thành của R R.
soc( Re) = soc( RR )e với mỗi phần tử lũy đẳng Lặp lại quá trình đó với các linh hóa tử phải của
dãy ta được
địa phương e = e theo Định lý 2.1. Cho
2
0 = rl (T0 ) rl (T1 ) ... rl (Tn ) = R
1 = e1 + e2 + ... + en với ei là các phần tử lũy
đẳng, trực giao. Vậy Từ T1 rl (T1 ) ta suy ra T1 = rl ( T1 ) , từ
soc( R R) = i soc( Rei ) = i soc( R R)ei soc( RR ) T2 rl (T2 ) , T2 = rl (T2 ),..., Tn rl (Tn ) suy ra
Mặt khác ta có soc( RR ) soc( R R) vì R là
Tn = rl ( Tn ) .
vành nội xạ đơn phải.
Định lí 2.5. Các khẳng định sau là tương 3. Vành linh hóa tử đơn
đương cho vành R Trong phần này chúng tôi chứng minh được một
đặc trưng của vành tựa Frobenius thông qua
9
- TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 3, SỐ 1 (2013)
vành linh hóa tử đơn. Trước hết chúng ta có: R thỏa mãn điều kiện ACC trên các linh hóa tử
Định lí 3.1 Cho R là vành thỏa mãn điều phải nên R thỏa mãn điều kiện DCC trên các linh
kiện ACC trên các linh hóa tử phải sao cho hóa tử trái. Khi đó tồn tại tập con {m1 ,..., mn }
soc( R R) cốt yếu trong RR . Khi đó R là vành của soc( R R) sao cho:
nửa nguyên sơ với J ( R) = Z ( RR ) . l ( soc( R R) ) = l ({m1 ,..., m n }) (2)
Chứng minh: Chúng ta sẽ chứng minh định lý
Chúng ta sẽ chứng minh R / J ( R) là nửa
này qua các bước sau:
đơn.
Trước hết chúng ta chỉ ra
Từ (1) và (2), chúng ta có
J ( R) = l ( soc( R R)) = Z ( RR ) và J(R) là lũy
J ( R) = l ( soc( R R)) = l ({m1 ,..., mn }) = l (mi ).
n
linh. Thật vậy, chúng ta có thể viết i =1
soc( R R) = Rxi , với mỗi Rxi là các iđêan Với mỗi i {1, 2,, n} vì mi soc( R R) nên
iA
trái đơn và A là một tập chỉ số nào đó. Giả sử tồn tại ki ¥ sao cho Rmi = Rli1 L Rliki
J ( R) xi 0 với mỗi i A . Vì mỗi Rxi là đơn cho các iđêan trái đơn Rlij (với mỗi
nên J ( R) xi = Rxi . Điều này cho ta xi = rxi j {1,, ki } ) nào đó của R. Không mất tính
với r J ( R) nào đó. Hơn nữa 1 − r là khả tổng quát chúng ta có thể viết mi = xi1 + ... + xiki
nghịch nên x i = 0 điều này mâu thuẫn. Vì
với 0 = xij Rlij nào đó (với mỗi j {1,, ki } ).
vậy J ( R) xi = 0 với mỗi i A và do đó
l ( x ) và
ki
J ( R) l ( soc( R R)) Mặt khác, với mỗi Suy ra l (mi ) = ij l ( xij ) là các iđêan
j =1
x l ( soc( R R)) và lấy I là một iđêan phải của R trái cực đại của R (bởi vì Rxij = Rlij với
sao cho I r ( x) = 0 chúng ta sẽ chứng minh mỗi j {1, , ki } ). Từ điều này suy ra tồn tại
I = 0 . Giả sử ngược lại I = 0 . Theo giả thiết
k ¥ sao cho J ( R ) = l ( yi ) với các iđêan
k
soc( R R) cốt yếu trong RR nên ta có i =1
soc( R R) I 0 . Khi đó chúng ta có thể lấy trái cực đại l ( yi ) của R. Chúng ta xét đồng cấu
0 k soc( R R) I . Suy ra xk = 0
: R / J ( R) = I l ( yi ) → ik=1 R / l ( yi ) ,
k
hay
xác
k r ( x) và do đó k r ( x) I = 0 điều này i =1
mâu thuẫn. Vì vậy chúng ta phải có I=0. Từ đây định bởi:
(r + l ( yi )) = (r + l ( y1 ),, r + l ( yk ))
suy ra r ( x) là cốt yếu trong RR nghĩa là k
i =1
x Z ( RR ) . Tóm lại chúng ta đã chứng minh
Khi đó là đơn cấu. Vậy R / J ( R) là nửa đơn.
được l ( soc( R R)) Z ( RR ) . Ngoài ra vì R thỏa
Tóm lại vành R có R / J ( R) là nửa đơn
mãn điều kiện ACC trên các linh hóa tử phải nên
Z ( RR ) là lũy linh. Suy ra Z ( RR ) J ( R) vậy và J ( R ) là lũy linh hay R là vành nửa nguyên
sơ.
J ( R) = l ( soc( R R)) = Z ( RR ) và J(R) là lũy linh.
Bây giờ chúng tôi chứng minh kết quả chính
Chúng ta sẽ chỉ ra tồn tại tập con {m1 ,, mn }
sau :
của soc( R R) sao cho Định lý 3.2 Cho vành R. Khi đó các điều
l ( soc( R R)) = l ({m1 , , mn }) (1) . Thật vậy, vì kiện sau là tương đương:
10
- UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.3, NO.1 (2013)
(i) R là vành tựa Frobenius. kR = rl ( k ) . Vậy R là vành nội xạ đơn trái.
(ii) R là vành linh hóa tử đơn hai phía,
Chứng minh hoàn toàn tương tự chúng ta
thỏa mãn điều kiện ACC trên các linh hóa tử
cũng có R là vành nội xạ đơn phải. Từ đây chúng
phải và soc( R R) cốt yếu trong RR .
ta suy ra R là vành tựa Frobenius.
Chứng minh: Hệ quả 3.3 Cho vành R. Khi đó các điều
(i) (ii) là hiển nhiên. kiện sau là tương đương:
(ii) (i). Theo Định lý 3.1 thì R là vành (i) R là vành tựa Frobenius.
nửa nguyên sơ. Tiếp theo chúng ta sẽ chứng (ii) R là vành nội xạ đơn hai phía, thỏa
minh R là vành nội xạ đơn trái. Thật vậy cho mãn điều kiện ACC trên các linh hóa tử phải và
Rk là một iđêan trái đơn. Vì soc( RR ) cốt yếu soc( RR ) cốt yếu trong RR .
trong RR (bởi vì R là vành nửa nguyên sơ) nên Chứng minh:
tồn tại một iđêan phải đơn mR sao cho (i) (ii) là hiển nhiên.
mR kR . Suy ra l (k ) l (m) và do đó (ii) (i). Giả sử R thỏa mãn điều kiện
l (k ) = l (m) (bởi vì l (k ) là iđêan trái cực đại (ii). Khi đó R là linh hóa tử đơn hai phía và
của R). Theo giả thiết R là linh hóa tử đơn phải soc( RR ) cốt yếu trong RR . Suy ra soc( R R)
nên kR rl (k ) = rl (m) = mR . Do đó ta có cốt yếu trong RR . Vậy R là vành tựa Frobenius.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] F.W. Anderson and K.R. Fuller, Rings and categories of modules, Springer-Verlag, New York,
Berlin, 1974.
[2] N. V. Dung, D. V. Huynh, P. F. Smith, and R. Wisbauer, Extending Modules, Pitman Research
Notes Vol. 313. Longman, Harlow, New York, 1994.
[3] W. K., Nicholson, M. F. Yousif, Quasi-Frobenius Rings, Cambridge Univ. Press., 2003.
[4] T. C. Quynh, L. V. Thuyet, On rings with ACC on annihilators and having essential socles,
East-West J. Math, 227-234, 2005.
[5] R. Wisbauer, Foundations of Module and Ring Theory; Gordon and Breach: Reading, 1991.
11
nguon tai.lieu . vn
