of x

Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình

Đăng ngày | Thể loại: | Lần tải: 0 | Lần xem: 46 | Page: 45 | FileSize: 0.37 M | File type: PDF
46 lần xem

Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN và giải phương trình. Có thể nói trong chương trình toán ở bậc trung học phổ thông th ì phần kiến thức về bất đẳng thức là khá khó. Nói về bất đẳng thức thì có rất nhiều bất đẳng thức được các nhà Toán học nổi tiếng tìm ra và chứng minh. Đối với phần kiến thức này thì có hai dạng bài tập là chứng minh bất đẳng thức v à vận dụng bất đẳng thức để giải các bài toán có liên quan. Là một sinh viên ngành toán tôi không ph ủ nhận cái khó của bất đẳng thức v.... Giống các thư viện tài liệu khác được thành viên giới thiệu hoặc do sưu tầm lại và giới thiệu lại cho các bạn với mục đích nghiên cứu , chúng tôi không thu tiền từ người dùng ,nếu phát hiện tài liệu phi phạm bản quyền hoặc vi phạm pháp luật xin thông báo cho chúng tôi,Ngoài tài liệu này, bạn có thể tải đồ án thạc sĩ tiến sĩ phục vụ tham khảo Một số tài liệu download sai font không hiển thị đúng, thì do máy tính bạn không hỗ trợ font củ, bạn tải các font .vntime củ về cài sẽ xem được.

https://tailieumienphi.vn/doc/van-dung-bat-dang-thuc-tim-gtln-gtnn-va-giai-phuong-trinh-g5l0tq.html

Nội dung


  1. Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình PHẦN MỞ ĐẦU Trang 1 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  2. Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình I. LÝ DO CH ỌN ĐỀ T ÀI Có thể nói trong ch ương tr ình toán ở bậc trung học phổ thông th ì phần kiến thức về bất đẳng thức l à khá khó. Nói v ề bất đẳng thức th ì có rất nhiều bất đẳng thức được các nh à Toán h ọc nổi tiếng t ìm ra và ch ứng minh. Đối với phần kiến thức này thì có hai d ạng bài tập là chứng minh bất đẳng thức v à vận dụng bất đẳng thức để giải các b ài toán có liên quan. Là một sinh vi ên ngành toán tôi không ph ủ nhận cái khó của bất đẳng thức v à muốn tìm hiểu thêm về các úng dụng của bất đẳng thức để phục vụ cho việc giảng dạy toán sau n ày. Do đó tôi ch ọn đề tài “V ận dụng bất đẳng thức để t ìm giá tr ị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất v à giải ph ương trình” để tìm hiểu thêm. Khi v ận dụng bất đẳng thức để giải các bài toán d ạng này thì có r ất nhiều bất đẳng thức để chúng ta vận dụng. Ở đây tôi chỉ giới hạn trong ba bất đẳng thức l à bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski và b ất đẳng thức vect ơ. Trong đ ề tài này tôi trình bày cách v ận dụng ba bất đẳng thức tr ên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất v à giải phương trình để rèn luyện khả năng vận dụng bất đẳng thức để giải toán v à qua đó có th ể tích lũy được kinh nghiệm trong giải toán để giảng dạy sau n ày. II. MỤC ĐÍCH NGHI ÊN C ỨU Mục tiêu chính c ủa đề tài này là t ổng hợp các bài toán tìm giá tr ị lớn nhất, nhỏ nhất v à giải phương trình bằng bất đẳng thức chủ yếu vận dụng ba bất đẳng thức nói tr ên. Qua đây tôi hi v ọng sẽ đưa ra đ ầy đủ các dạng vận của các bất đẳng thức nói tr ên. III. Đ ỐI TƯỢNG NGHI ÊN C ỨU Đối tượng của đề t ài là ba bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski v à bất đẳng thức vectơ cùng v ới các b ài toán tìm giá tr ị lớn nhất, nhỏ nhất v à các phương tr ình. Đề tài này ch ủ yếu xoay quanh ba đối t ượng tr ên bên c ạnh đó tôi cũng giới thiệu v à chứng minh một số bất đẳng thức thông d ụng khác. IV. PHẠM VI NGHI ÊN C ỨU Phạm vi của đề t ài này ch ỉ xoay chủ yếu v ào ba bất đẳng thức đ ã nêu trên để giải các b ài toán tìm giá tr ị lớn nhất, nhỏ nhất v à giải phương trình. VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN C ỨU Tìm và tham kh ảo tài liệu, sưu tầm phân tích v à bài tập giải minh họa, tham khảo ý kiến của cán bộ h ướng dẫn Trang 2 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  3. Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình PHẦN NỘI DUNG Trang 3 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  4. Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình Phần 1: SƠ LƯỢC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1. Định nghĩa bất đẳng thức Cho hai s ố thực a, b bất kỳ, ta định nghĩa: ab ab0 1.2. Tính ch ất cơ bản của bất đẳng thức ab acbc acbc ab abc acb ab cd aceb d f ef a b và m 0 ma mb a b và m 0 ma mb ab0 cd0 ac bd an bn ab0 n a b 1.3. Một số bất đẳng thức c ơ bản 1.3.1. Bất đẳng thức chứa trị tuyệt đối a b a b dấu “=” xảy ra ab 0 a b ab a1 a2 ... an a1 a2 ... an 1.3.2. Bất đẳng thức Côsi Cho hai s ố dương a, b ta có: a b 2 ab Dấu “=” xảy ra ab Tổng quát: cho n số không âm a1 , a2 ,..., an n 2 , ta luôn có: a1 a2 ... an n n a1.a2 ...an n a1 a2 ... an Dấu “=” xảy ra Mở rộng: Cho n s ố dương a1 , a2 ,..., an n 2 và n số , ,...., dương 1 2 n có: 1 ... n 1 . Thì: 2 a1 1 .a2 2 ...an n 1a1 a ... a 22 nn a1 a2 ... an Dấu “=” xảy ra Trang 4 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  5. Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình 1.3.3. Bất đẳng thức Bunhiacopski Bất đẳng thức Bunhiacopski: Cho hai b ộ số a, b và c, d ta có: 2 a2 b2 c2 d 2 ac bd ab Dấu “=” xảy ra cd Tổng quát: Cho n số a1 , a2 ,..., an và b1, b2 ,.., bn tùy ý ta có: 2 a12 a2 ... an b12 b2 ... bn 2 2 2 2 a1b1 a2b2 ... anbn an a1 a2 ... Dấu “=” xảy ra b1 b2 bn Mở rộng: Cho m b ộ số, mỗi bộ gồm n số không âm: ai , b i ,...c i i 1, 2,..., m Khi đó ta có: m a1a2 ...am b1b2 ...bm c1c 2 ...cm a1m b1m ... c1m a2 m m m m m m b2 ... c2 ... am bm ... cm Dấu “=” xảy ra a1 : b1 : ... : c1 a2 : b2 : ... : c2 ... an : bn : ... : cn 1.3.4. Bất đẳng thức Bernuolli Cho a 1 và r N : n Nếu n 1 thì 1 a 1 na dấu “=” xảy ra 0 hoặc n 1 a n Nếu a n 1 thì 1 a 1 na 1.3.5. Bất đẳng thức vect ơ u.v u .v uv u v uv u v u v w uv w uv w Trang 5 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  6. Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình Phần 2: TÌM GIÁ TR Ị LỚN NHẤT V À GIÁ TR Ị NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ HOẶC BIỂU THỨC 2.1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 2.1.1. Định nghĩa Cho biểu thức P( x1, x2 ,..., xn ) ( hàm số f ( x1, x2 ,..., x n ) ), xác đ ịnh trên D - Nếu P( x1, x2 ,..., x n ) M (hoặc f ( x1, x2 ,..., xn ) M ) ( x1, x2 ,..., xn ) D và ( x1, x2 ,..., x n ) D sao cho: P( x1, x2 ,..., xn ) M thì M gọi là giá trị lớn nhất của P( x1, x2 ,..., xn ) (hoặc f ( x1, x2 ,..., x n ) ). Kí hiệu là maxP hoặc Pmax ( max f ( x1, x2 ,..., x n) hoặc f ( x1, x2 ,..., x n )max ). - Nếu P( x1, x2 ,..., x n ) m ( hoặc f ( x1, x2 ,..., x n ) m ) thì m g ọi là giá trị nhỏ nhất của P( x1 , x2 ,..., xn ) ( hàm s ố f ( x1, x2 ,..., x n ) ). Kí hiệu là minP h oặc Pmin (min f ( x1, x2 ,..., x n ) hoặc f ( x1 , x2 ,..., x n )min ). 2.1.2. Tìm giá tr ị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức (h àm số) bằng phương pháp v ận dụng bất đẳng thức Đối với việc t ìm giá tr ị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức (h àm số) thì có thể kể đến các ph ương pháp sau: phương pháp kh ảo sát, ph ương pháp đánh giá thông thư ờng và phương pháp s ử dụng bất đẳng thức. Trong các ph ương pháp nêu trên thì ph ương pháp s ử dụng các bất đẳng thức có thể coi là một trong nh ững phương pháp thôn g dụng và hiệu quả nhất để t ìm giá tr ị lớn nhất v à nhỏ nhất của biểu thức v à hàm số. Đối với ph ương pháp này , ta sử dụng các bất đẳng thức thông dụng nh ư: bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, Schwartz, Bernouli, bất đẳng thức vectơ… để đánh giá biểu thức P (h oặc hàm số f ( x1, x2 ,..., x n ) ), từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cần t ìm. Phương pháp này, như tên g ọi của nó, dựa trực tiếp v ào định nghĩa của giá trị lớn nhất v à nhỏ nhất của biểu thức v à hàm số. Lược đồ chung của ph ương pháp này có thể miêu tả như sau: - Trước hết chứng minh một bất đẳng thức có dạng P ( x1 , x2 ,..., xn ) D với bài toán tìm giá tr ị nhỏ nhất (hoặc P ( x1 , x2 ,..., xn ) D đối với b ài toán tìm giá trị lớn nhất), ở đây P là biểu thức hoặc h àm số xác định tr ên D. - Sau đó c hỉ ra một phần tử ( x01 , x02 ,..., x0 n ) D sao cho P( x01 , x02 ,..., x0 n ) . Tùy theo d ạng của b ài toán c ụ thể mà ta chọn một bất đẳng thức thích hợp để áp dụng vào việc tìm giá tr ị nhỏ nhất v à lớn nhất. Do phạm vi của đề t ài, ở đây chỉ giới thiệu phương pháp sử dụng ba bất đẳng thức là: Côsi, Bunhiacopski và phương pháp b ất đẳng thức vect ơ. 2 Ví dụ : Tìm giá tr ị nhỏ nhất của h àm số f ( x) x 2 ( x 0) x3 Giải: 3 12 12 12 1 1 12 1 5 Ta có: f ( x) ( BĐT Côsi) x x x 5 x 5 x3 x3 x6 5 3 3 3 3 27 Trang 6 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  7. Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình 12 1 x5 5 Dấu “ =” xảy r a x 3 x 3 x3 3 5 5 Vậy Min f x = tại x 3 5 27 2.2. BÀI TẬP 2.2.1. Sử dụng b ất đẳng thức Côsi Lưu ý: Để biết đ ược bài toán nào s ử dụng bất đẳng Côsi ta cần chú ý đến các thành ph ần của h àm số hoặc biểu thức. Nếu nó có dạng tích hoặc l à tổng của hai phần không âm và đặc biệt sau khi vận dụng bất đẳng thức Côsi th ì xuất hiện biểu thức của giả thiết ban đầu và đưa đư ợc về hằng số thì ta có th ể sử dụng bất đẳng thức Côsi để đánh giá để tìm giá tr ị lớn nhất, nhỏ nhất. Bài 1: Cho ba s ố thực d ương a, b, c . Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức sau: a b c P1 1 1 b c a Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a a b b c c 1 2 1 2 1 2 b b c c a a abc a b c Suy ra 1 1 1 8 8 b c a abc P8 Hay Dấu “=” xảy ra khi v à chỉ khi a b c 1 Vậy Pmin 8 1 1 1 2. Bài 2: Cho ba s ố thực a, b, c 0 thỏa 1a1b1c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M abc Giải: 1 1 1 1 1 1 2 2 Ta có: 1a1b1c 1a 1b1c 1 1 1 1 b c 1 1 1a 1b 1c 1a 1b1c Trang 7 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  8. Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: 1 bc bc b c 2 2 (1) 1b1c 1a 1b1c 1 b1 c Tương t ự, ta có: ac 1 2 (2) 1b 1 a1 c ab 1 2 (3) 1c 1 a1 b Từ (1) , (2) v à (3) nhân v ế với vế ta đ ược: a 2b 2 c 2 1 1 1 8 2 2 2 1a 1b 1c 1a 1b 1c 1 abc 8 1a1b1c 1a1b1c 1 Suy ra: M abc 8 Dấu “=” xảy ra khi v à chỉ khi 1 1 1 1 abc (thỏa điều kiện ban đầu) 1a 1b 1c 2 1 1 tại a b c Vậy M max 2 8 Cách khác : Từ giả thiết ta có: 1b1c 1a1c 1a1b 21 a 1 b 1 c 2a b c 3 ab bc ac 2 1 a 1 b 1 c (1) 1 2abc ab bc ac Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 4 4 2a 3b 3c 3 2abc ab bc ac (2) 1 Từ (1) và (2) ta đư ợc: 1 4 4 2a3b3c3 1 8abc hay M abc 8 1 Dấu “=” xảy ra khi v à chỉ khi 2abc ab bc ac abc 2 Trang 8 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  9. Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình 1 1 Vậy M max = tại a b c 2 8 Bài toán tổng quát : 1 n Cho a1 , a2 ,..., an 0 thỏa mãn : n1 1 1 ai i Tìm giá tr ị lớn nhất của biểu thức M a1.a2 ....an 1 2 n tại a1 a2 ... an Lập luận nh ư trên ta đư ợc M max n1 1 x2 4 4 4 Bài 3: Cho hàm s ố f ( x) 1x 1x xác định trên D R : 1 x 1 . Tìm giá tr ị lớn nhất của f ( x) trên D. x Giải: Áp dụng bất thức Côsi ta có: 1x 1x 1 x2 4 4 1 x .4 1 x (1) 2 1x1 4 4 (2) 1x 1 x .1 2 1x1 4 4 (3) 1x 1 x .1 2 Từ (1), (2), (3) cộng vế theo vế ta đ ược: (4) f ( x) 1 1x 1x xD Nhận thấy (4) xảy ra khi v à chỉ khi (1), (2) v à (3) đồng thời xảy ra khi v à chỉ khi x 0 . Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 1 1x 1x 1 x .1 (5) 2 1 1x 1x 1 x .1 (6) 2 1x 1x2 1 1x 1x3 Từ (5), (6) đ ưa đến: (7) Dấu “=” ở (7) xảy ra khi v à chỉ khi ở (5) v à (6) đồng thời xảy ra khi v à chỉ khi x 0 . Từ (4) và (7) suy ra f ( x) 3 x D. Trang 9 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  10. Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình Ta lại có f (0) 3, và 0 D . Do đó: max f ( x) = 3. Bài 4: Tìm giá tr ị nhỏ nhất của h àm số thực sau: 1 1 với f ( x) 0x1 x1x Giải: 1 1 1x x 1 x 11x Ta có: f ( x) x1x x 1x 1x1x x x 1x x 2 x 1x Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: 1x x 1x x f ( x) 22 . 24 x 1x x1x 1x x 1 Dấu “=” xảy ra khi v à chỉ khi x x 1x 2 1 Vậy min f ( x) 4 tại x 2 Bài 5: Cho ba s ố thực d ương a, b, c . a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bc ca ab Giải: Đặt: x b c, y c a, z ab 1 abc xyz 2 yzx zxy xyz Và (*) a , b , c 2 2 2 Từ đó ta có: yzx zxy xyz 1yz zx xy P 3 2x 2y 2z 2x y z 1 y x z x z y 3 2 x y x z y z Trang 10 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  11. Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình 1 3 ( B ất đẳng thức Côsi) 2223 2 2 y x x y z x Dấu “=” xảy ra x y z x z z y y z Từ (*) ta có a b c 3 Vậy Pmin với mọi số thực d ương a, b, c thỏa a b c . 2 Bài 6: Cho ba s ố thực d ương a, b, c thỏa: a b c 1 . Tìm giá tr ị lớn nhất của biểu thức S abc a b b c c a Giải: Áp dụng BĐT Côsi cho ba s ố dương, ta có: a b c 33 abc 1 3 3 abc (1) Và ab bc ca 33 a b b c c a (2) 2 33 a b b c c a Từ (1) và (2) nhân v ế với vế ta đ ược: 93 S 2 9 3 abc a b b c c a 8 8 93 S S 729 1 Dấu “=” xảy ra khi v à chỉ khi a b c 3 8 Vậy Smax 729 x 1 x 2 x2 Bài 7: Tìm giá tr ị lớn nhất của h àm số f ( x ) 2 1 trên miền D . x R: 1 x 2 Trang 11 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  12. Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình Giải: Nhận thấy D l à miền xác định của f ( x) . Áp dụng bất đẳng thứ c Côsi ta có: 1 x 2 x2 1 1 x 2x2 1. 1 x 2 x 2 xD 2 1 x 2x2 x1 f ( x) Do đó: 2 2 f ( x) 1 x 2 Từ đó suy ra: f ( x) 1 xD Mặt khác để dấu “=” xảy ra th ì 1 1 x 2x2 1 x2 1 x 0D 1 1x 2 Ta lại có: f (0) 1 Vậy max f ( x) 1 xD 1 2 2 Bài 8: Cho hàm s ố f ( x) 1. 1x x2 x Tìm giá tr ị nhỏ nhất của f ( x) với x 0 Giải: 2 1 2 1 2 Ta có: f ( x ) 1x 1 1x 1 x2 x x Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: 2 1 f ( x) 2 x .2 16 x Dấu “=” xảy ra x 1 > 0. Vậy min f ( x ) 16 tại x 1 x0 Bài 9: Cho ba s ố thức d ương a, b, c . Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức sau: Trang 12 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  13. Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình 1 1 1 a b c A abc 1 abc a b c b c a Giải: Ta viết biểu thức A lại d ưới dạng sau: a b c 1 1 1 A ab bc ac abc b c a a b c Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: a b c ab 2a , bc 2b , ac 2c b c a 1 1 1 Từ đó suy ra: A 2a 2b 2c abc a b c 1 1 1 1 1 1 A abc a b c a b c a b c 1 1 1 (BĐT Côsi) A 2 a. 2 b. 2 c. 6 a b c Dấu “=” xảy ra a b c1 Vậy MinA = 6 tại a b c1 Bài toán t ổng quát: 1 1 1 Cho P a1.a2 ...an 1 ... a1 a2 an an a1 a2 ... a1 a2 ... an a2 .a3 ...an a1.a3 ...an a1.a2 ...an 1 với ai 0 i 1, n Thì MinP = 2n t ại a1 a2 ... an 1 1 ab 2 1 bc 2 1 ca 2 a 3 b3 c 3 Bài 10: Cho biểu thức sau: P c3 a3 b3 Tìm giá tr ị nhỏ nhất của P với a 0, b 0, c 0 và abc 1 Giải: a3 a3 b3 b3 c3 c3 Ta có: P 3 b3 c3 c3 a3 a3 b3 Trang 13 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  14. Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình a 4b 2 ab 5 b 4c 2 bc 5 a 5c a 2c 4 ab 2 bc 2 ca 2 (1) c3 c3 a3 a3 b3 b3 Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a3 a3 b3 b3 c3 c3 a3 a3 b3 b3 c3 c3 (2) 66 ..... 6 b3 c3 c3 a3 a3 b3 b3 c3 c3 a 3 a 3 b3 a 4b 2 ab 5 b 4c 2 bc 5 a 5c a 2c 4 a 4b 2 ab 5 b 4c 2 bc 5 a 5c a 2c 4 66 . . . . . c3 c3 a3 a3 b3 b3 c3 c3 a3 a3 b3 b3 a 4b 2 ab5 b 4c 2 bc5 a 5c a 2c 4 (3) 6abc 6 c3 c3 a3 a3 b3 b3 ab 2 bc 2 ca 2 3 3 ab 2 .bc 2 .ca 2 (4) 3abc 3 Từ (1), (2), (3) v à (4) ta có: P 3 6 6 3 18 Dấu “=” xảy ra a b c1 Vậy Pmin = 18 tại a b c 1 Bài 11: Cho n s ố dương x1 , x2 , x3 ,..., xn n 2 thỏa mãn x1 x2 ... xn 1 a Tìm giá t rị lớn nhất của biểu thức S x1a1 .x2 2 ...xn n , a Trong đó: a1 , a2 , a3 ,..., an là n số dương cho trư ớc. Giải: ai Đặt a a1 a2 ... an , i 1, 2, .., n thì bi 0 bi a Và b1 b2 ... bn 1 . Áp dụng bất đẳng thức Côsi mở rộng ta có: bn b1 b2 x b x1 x b1 b2 ... n x2 ... n xn .2 x1 a1 a2 an a1 a2 an 1 1 x1 x 2 .. x n a a 1 a a x1a1 .x2 2 ...xn n a a1a1 .a2 2 ...an n a S aa xn x1 x2 ... xn x1 x2 xn x1 x2 Dấu “=” xảy ra ... ... a1 a2 an a1 a2 ... an a1 a2 an xn ai 1 x1 x2 ... xi i 1, 2,..., n a a1 a2 an a 1 a1 a2 an Vậy Smax a1 .a2 ...an aa Trang 14 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  15. Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình 2.2.2. Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski Lưu ý: Để áp dụng đ ược bất đẳng thức Bunhiacopski thì hàm s ố hoặc biểu thức hoặc các biểu thức giả thiết phải có dạng tích của hai biểu thức hoặc tổng của các biểu thức m à chúng là tích c ủa hai thừa số. V à sau khi áp d ụng bất đẳng thức Bunhiacopski thì phải có phần đ ưa về biểu thức giả thiết ban đầu v à đưa được về hằng số. 3 và a b c 3 . Tìm giá tr ị lớn nhất của biểu thức sau: Bài 1: Cho a, b, c 4 P 4a 3 4b 3 4c 3 . Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 2 1. 4a 3 1. 4b 3 1. 4c 3 1 1 1 4a 3 ab 3 ac 3 34a b c 9 3 4.3 9 63 P 4a 3 4b 3 4c 3 37 4a 3 4b 3 4c 3 1 1 1 Dấu “=” xảy ra abc1 a b c1 3 a , b, c 4 Vậy MinP = 3 7 tại a c 1. b Bài 2: Cho các h ằng số d ương a, b, c và các s ố dương x, y , z thay đổi sao cho abc 1 . Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức A x y z . xyz Giải: a b c Ta có: a b c x y z x y z Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 2 a b c a b c 2 a b c x y z x yz x y z x y z 2 a b c x y z b a c y a b c x z Dấu “=” xảy ra (1) x y z x y z Trang 15 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  16. Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình a b c Mặt khác: (2) 1 x y z Từ (1) và (2) suy ra: x a a b c y b a b c z c a b c 2 Vậy maxA = a b c Bài 3: Tìm giá tr ị nhỏ nhất của h àm số f ( x, y , z ) x 4 y 4 z 4 , trên miền D x, y , z : x , y , z 0 và xy yz zx 1 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta d ược: 2 1.x 2 1. y 2 1.z 2 3 x4 y4 z4 (1) Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 2 2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 xy yz zx Vì xy zx 1 nên: yz 2 x2 y2 z2 (2) 1 Từ (1) và (2) ta có: 3 x 4 y4 z4 1 1 f ( x, y , z ) 3 Dấu “=” xảy ra khi v à chỉ khi (1) v à (2) đồng thời xảy ra x2 y 2 z 2 x y z kết hợp với điều kiện xy yz zx 1 y z x 3 Ta được: x y z 3 1 Vậy Max f ( x, y , z ) 3 ( x, y,z ) D Bài 4: Cho các s ố dương a, b, c thỏa a 2 b 2 c 2 1 . Tìm giá tr ị nhỏ nhất của b iểu a3 b3 c3 thức P a 2b 3c b 2c 3a c 2a 3b Giải: Ta có: Trang 16 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  17. Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình a4 b4 c4 P (1) a2 b2 c2 2ab 3ac 2bc 3ba 2ca 3cb Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai d ãy số sau: a2 2 ab 3ac , b 2 2bc 3ba , c 2 2ca 3cb và a2 b2 c2 , , ta có: a2 b2 c2 2ab 3ac 2bc 3ba 2ca 3cb a4 b4 c4 22 2 2 a b c . a2 b2 c2 2ab 3ac 2bc 3ba 2ca 3cb . a2 2ab 3ac b 2 2bc 3ba c 2 2ca 3cb 2 a2 b2 c2 P a 2 b 2 c 2 5 ab bc ca (2) Mà a 2 b 2 c2 1 , từ (2) suy ra 1 (3) P 1 5 ab bc ca Mặt khác theo bất đẳng thức C ôsi ta có: a2 b2 2ab 2 2 a2 b2 c2 b c 2bc ab bc ca 1 2 2 c a 2ca 1 1 1 Từ (3) ta có: P 1 5 ab bc ca 1 5.1 6 3 a b c Dấu “=” xảy ra 3 1 Vậy MinP = 6 Bài 5: Cho hai s ố dương a, b thỏa 0 a 1,0 b 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu a2 b2 1 thức M ab 1a1b ab Giải: Ta có: Trang 17 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  18. Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình a2 b2 1 M 1a 1b 2 1a 1b ab a2 1 a2 b2 1 b2 1 2 1a 1b ab 1 1 1 2 1a1b ab Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 2 1 1 1 1a 1b ab 1a 1b ab 1 1 1 1a 1b ab 1a1b ab 1 1 1 9 9 5 M 2 1a1b ab 2 2 2 1 1 1 1a ab Dấu “=” xảy ra a b 1 1 3 1b ab 5 Vậy minM = 2 Bài toán tổng quát: 2 a12 2 an a2 1 Cho P ... với 0 ai 1 i 1, n 1 a1 1 a2 1 an a1 a2 ... an 2n 1 Thì minP n 2009 x 2 . Tìm giá tr ị lớn nhất v à nhỏ Bài 6: Cho hàm số thực f ( x) x 2007 nhất của f ( x ) trên miền xác định của nó. Giải: Ta có mi ền xác định của f ( x) : D 2009; 2009 2009 x 2 Mặt khác: f ( x) f ( x) là hàm lẻ x 2007 f ( x) Và f ( x) 0, xD 0; 2009 Do đó: max f ( x) max f ( x) và min f ( x) max f ( x) xD xD xD xD Với x D , ta có: 2007. 2007 1. 2009 x 2 f ( x) x Theo bất đẳng thức Bunhiacopski th ì: Trang 18 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  19. Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình x2 x2 2007. 2007 1. 2009 2008 2007 2009 2008 4016 x 2 x 2008 4016 x 2 2008. x 2 4016 x2 Suy ra: f ( x) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: x 2 4016 x 2 f ( x) 2008. 2008.2008 2 2007 2009 x 2 1 Dấu “=” xảy ra x 2008 2007 2 2 x 4016 x Vậy max f ( x) 2008 2008 tại x 2008 xD 2008 2008 tại x min f ( x) 2008 xD Bài 7: Cho x, y, z 0 thỏa mãn xy yz zx 1 . Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu 2 2 2 x y z thức T x y y z z x Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 1 xy yz zx xyzy z x x y z 2 x y z 2 x y z x y y z z x x y yz z x x2 y2 z2 x y y z z x 2T x y z x y y z zx 1 1 T x y z 2 2 1 x y z Dấu “=” xảy ra 3 1 1 tại x y z Vậy minT = . 2 3 Bài 8: Cho ba s ố dương a, b, c thỏa mãn: a b c 1 . Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu 1 1 1 1 thức P 2 2 2 abc ab bc ca Giải: Trang 19 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
  20. Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta đ ược: 2 1 1 1 1 2 2 2 100 a b c 3 ab 3 bc 3 ca a2 b2 c2 ab bc ca 1 1 1 1 a2 b2 c 2 9ab 9bc 9ca 2 b2 2 a c ab bc ca 2 Pabc 7 ab bc ca P 1 7 ab bc ca Mà ta lại có: 1 2 abc ab bc ca 3 Thật vậy, từ tr ên ta có: 2 abc 3 ab bc ca a 2 b2 c2 ab bc ca (suy ra t ừ bất đẳng thức Cosi) Do đó: 7 10 2 100 P 1 abc P 3 3 P 30 1 Dấu “=” xảy ra a b c 3 1 Vậy minP = 30 tại a b c 3 Bài toán t ổng quát: Cho n s ố dương a1 , a2 ,..., an n 2 và a1 a2 ... an 1 . 1 1 1 1 1 Đặt P = ... a1 a2 ... a n a1a2 a 2 a3 an 1an ana1 3 2 nn n 2 1 Thì min P khi a1 a2 ... a n 2 n 2.3. S ử dụng bất đẳng thức vect ơ Lưu ý: Để sử dụng bất đẳng thức vect ơ thì biểu thức giả thiết hoặc biểu thức cần tìm giá tr ị lớn nhất, nhỏ nhất có dạn g tổng bình ph ương của các số hạng hoặc căn bậc hai của tổng b ình phương ho ặc là tổng của các tích của các thừa số . Bài 1: Cho hai s ố thực x, y thỏa mãn 2 x 3 y 1 . Tìm giá tr ị nhỏ nhất của tổng S 3x 2 2 y 2 Giải: 2 2 Ta có S 3 x 2 2 y2 3x 2y Trang 20 Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
599954

Tài liệu liên quan


Xem thêm