Xem mẫu
- Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình
PHẦN MỞ ĐẦU
Trang 1
Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
- Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình
I. LÝ DO CH ỌN ĐỀ T ÀI
Có thể nói trong ch ương tr ình toán ở bậc trung học phổ thông th ì phần kiến
thức về bất đẳng thức l à khá khó. Nói v ề bất đẳng thức th ì có rất nhiều bất đẳng
thức được các nh à Toán h ọc nổi tiếng t ìm ra và ch ứng minh. Đối với phần kiến thức
này thì có hai d ạng bài tập là chứng minh bất đẳng thức v à vận dụng bất đẳng thức
để giải các b ài toán có liên quan.
Là một sinh vi ên ngành toán tôi không ph ủ nhận cái khó của bất đẳng thức v à
muốn tìm hiểu thêm về các úng dụng của bất đẳng thức để phục vụ cho việc giảng
dạy toán sau n ày. Do đó tôi ch ọn đề tài “V ận dụng bất đẳng thức để t ìm giá tr ị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất v à giải ph ương trình” để tìm hiểu thêm. Khi v ận dụng bất đẳng
thức để giải các bài toán d ạng này thì có r ất nhiều bất đẳng thức để chúng ta vận
dụng. Ở đây tôi chỉ giới hạn trong ba bất đẳng thức l à bất đẳng thức Côsi,
Bunhiacopski và b ất đẳng thức vect ơ. Trong đ ề tài này tôi trình bày cách v ận dụng
ba bất đẳng thức tr ên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất v à giải phương trình để
rèn luyện khả năng vận dụng bất đẳng thức để giải toán v à qua đó có th ể tích lũy
được kinh nghiệm trong giải toán để giảng dạy sau n ày.
II. MỤC ĐÍCH NGHI ÊN C ỨU
Mục tiêu chính c ủa đề tài này là t ổng hợp các bài toán tìm giá tr ị lớn nhất,
nhỏ nhất v à giải phương trình bằng bất đẳng thức chủ yếu vận dụng ba bất đẳng
thức nói tr ên. Qua đây tôi hi v ọng sẽ đưa ra đ ầy đủ các dạng vận của các bất đẳng
thức nói tr ên.
III. Đ ỐI TƯỢNG NGHI ÊN C ỨU
Đối tượng của đề t ài là ba bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski v à bất đẳng thức
vectơ cùng v ới các b ài toán tìm giá tr ị lớn nhất, nhỏ nhất v à các phương tr ình. Đề
tài này ch ủ yếu xoay quanh ba đối t ượng tr ên bên c ạnh đó tôi cũng giới thiệu v à
chứng minh một số bất đẳng thức thông d ụng khác.
IV. PHẠM VI NGHI ÊN C ỨU
Phạm vi của đề t ài này ch ỉ xoay chủ yếu v ào ba bất đẳng thức đ ã nêu trên để
giải các b ài toán tìm giá tr ị lớn nhất, nhỏ nhất v à giải phương trình.
VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN C ỨU
Tìm và tham kh ảo tài liệu, sưu tầm phân tích v à bài tập giải minh họa, tham
khảo ý kiến của cán bộ h ướng dẫn
Trang 2
Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
- Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình
PHẦN NỘI DUNG
Trang 3
Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
- Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình
Phần 1: SƠ LƯỢC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
1.1. Định nghĩa bất đẳng thức
Cho hai s ố thực a, b bất kỳ, ta định nghĩa:
ab ab0
1.2. Tính ch ất cơ bản của bất đẳng thức
ab acbc
acbc ab
abc acb
ab
cd aceb d f
ef
a b và m 0 ma mb
a b và m 0 ma mb
ab0
cd0
ac bd
an bn
ab0 n
a b
1.3. Một số bất đẳng thức c ơ bản
1.3.1. Bất đẳng thức chứa trị tuyệt đối
a b a b dấu “=” xảy ra ab 0
a b ab
a1 a2 ... an a1 a2 ... an
1.3.2. Bất đẳng thức Côsi
Cho hai s ố dương a, b ta có:
a b 2 ab
Dấu “=” xảy ra ab
Tổng quát: cho n số không âm a1 , a2 ,..., an n 2 , ta luôn có:
a1 a2 ... an
n n a1.a2 ...an
n
a1 a2 ... an
Dấu “=” xảy ra
Mở rộng: Cho n s ố dương a1 , a2 ,..., an n 2 và n số , ,...., dương
1 2 n
có: 1 ... n 1 . Thì:
2
a1 1 .a2 2 ...an n 1a1 a ... a
22 nn
a1 a2 ... an
Dấu “=” xảy ra
Trang 4
Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
- Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình
1.3.3. Bất đẳng thức Bunhiacopski
Bất đẳng thức Bunhiacopski:
Cho hai b ộ số a, b và c, d ta có:
2
a2 b2 c2 d 2
ac bd
ab
Dấu “=” xảy ra
cd
Tổng quát: Cho n số a1 , a2 ,..., an và b1, b2 ,.., bn tùy ý ta có:
2
a12 a2 ... an b12 b2 ... bn
2 2 2 2
a1b1 a2b2 ... anbn
an
a1 a2
...
Dấu “=” xảy ra
b1 b2 bn
Mở rộng:
Cho m b ộ số, mỗi bộ gồm n số không âm: ai , b i ,...c i i 1, 2,..., m
Khi đó ta có:
m
a1a2 ...am b1b2 ...bm c1c 2 ...cm
a1m b1m ... c1m a2
m m m m m m
b2 ... c2 ... am bm ... cm
Dấu “=” xảy ra a1 : b1 : ... : c1 a2 : b2 : ... : c2 ... an : bn : ... : cn
1.3.4. Bất đẳng thức Bernuolli
Cho a 1 và r N :
n
Nếu n 1 thì 1 a 1 na dấu “=” xảy ra 0 hoặc n 1
a
n
Nếu a n 1 thì 1 a 1 na
1.3.5. Bất đẳng thức vect ơ
u.v u .v
uv u v
uv u v
u v w uv w uv w
Trang 5
Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
- Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình
Phần 2: TÌM GIÁ TR Ị LỚN NHẤT V À GIÁ TR Ị NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ HOẶC BIỂU THỨC
2.1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ
2.1.1. Định nghĩa
Cho biểu thức P( x1, x2 ,..., xn ) ( hàm số f ( x1, x2 ,..., x n ) ), xác đ ịnh trên D
- Nếu P( x1, x2 ,..., x n ) M (hoặc f ( x1, x2 ,..., xn ) M ) ( x1, x2 ,..., xn ) D và
( x1, x2 ,..., x n ) D sao cho: P( x1, x2 ,..., xn ) M thì M gọi là giá trị lớn nhất của
P( x1, x2 ,..., xn ) (hoặc f ( x1, x2 ,..., x n ) ). Kí hiệu là maxP hoặc Pmax ( max f ( x1, x2 ,..., x n)
hoặc f ( x1, x2 ,..., x n )max ).
- Nếu P( x1, x2 ,..., x n ) m ( hoặc f ( x1, x2 ,..., x n ) m ) thì m g ọi là giá trị nhỏ
nhất của P( x1 , x2 ,..., xn ) ( hàm s ố f ( x1, x2 ,..., x n ) ). Kí hiệu là minP h oặc Pmin (min
f ( x1, x2 ,..., x n ) hoặc f ( x1 , x2 ,..., x n )min ).
2.1.2. Tìm giá tr ị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức (h àm số) bằng
phương pháp v ận dụng bất đẳng thức
Đối với việc t ìm giá tr ị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức (h àm số) thì
có thể kể đến các ph ương pháp sau: phương pháp kh ảo sát, ph ương pháp đánh giá
thông thư ờng và phương pháp s ử dụng bất đẳng thức. Trong các ph ương pháp nêu
trên thì ph ương pháp s ử dụng các bất đẳng thức có thể coi là một trong nh ững
phương pháp thôn g dụng và hiệu quả nhất để t ìm giá tr ị lớn nhất v à nhỏ nhất của
biểu thức v à hàm số. Đối với ph ương pháp này , ta sử dụng các bất đẳng thức thông
dụng nh ư: bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, Schwartz, Bernouli, bất đẳng thức
vectơ… để đánh giá biểu thức P (h oặc hàm số f ( x1, x2 ,..., x n ) ), từ đó suy ra giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cần t ìm.
Phương pháp này, như tên g ọi của nó, dựa trực tiếp v ào định nghĩa của giá trị
lớn nhất v à nhỏ nhất của biểu thức v à hàm số. Lược đồ chung của ph ương pháp này
có thể miêu tả như sau:
- Trước hết chứng minh một bất đẳng thức có dạng P ( x1 , x2 ,..., xn ) D
với bài toán tìm giá tr ị nhỏ nhất (hoặc P ( x1 , x2 ,..., xn ) D đối với b ài toán tìm
giá trị lớn nhất), ở đây P là biểu thức hoặc h àm số xác định tr ên D.
- Sau đó c hỉ ra một phần tử ( x01 , x02 ,..., x0 n ) D sao cho P( x01 , x02 ,..., x0 n ) .
Tùy theo d ạng của b ài toán c ụ thể mà ta chọn một bất đẳng thức thích hợp để áp
dụng vào việc tìm giá tr ị nhỏ nhất v à lớn nhất.
Do phạm vi của đề t ài, ở đây chỉ giới thiệu phương pháp sử dụng ba bất đẳng
thức là: Côsi, Bunhiacopski và phương pháp b ất đẳng thức vect ơ.
2
Ví dụ : Tìm giá tr ị nhỏ nhất của h àm số f ( x) x 2 ( x 0)
x3
Giải:
3
12 12 12 1 1 12 1 5
Ta có: f ( x) ( BĐT Côsi)
x x x 5 x
5
x3 x3 x6 5
3 3 3 3 27
Trang 6
Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
- Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình
12 1
x5 5
Dấu “ =” xảy r a x 3 x 3
x3
3
5 5
Vậy Min f x = tại x 3
5
27
2.2. BÀI TẬP
2.2.1. Sử dụng b ất đẳng thức Côsi
Lưu ý: Để biết đ ược bài toán nào s ử dụng bất đẳng Côsi ta cần chú ý đến các
thành ph ần của h àm số hoặc biểu thức. Nếu nó có dạng tích hoặc l à tổng của hai
phần không âm và đặc biệt sau khi vận dụng bất đẳng thức Côsi th ì xuất hiện biểu
thức của giả thiết ban đầu và đưa đư ợc về hằng số thì ta có th ể sử dụng bất đẳng
thức Côsi để đánh giá để tìm giá tr ị lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 1: Cho ba s ố thực d ương a, b, c . Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức sau:
a b c
P1 1 1
b c a
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
a a b b c c
1 2 1 2 1 2
b b c c a a
abc
a b c
Suy ra 1 1 1 8 8
b c a abc
P8
Hay
Dấu “=” xảy ra khi v à chỉ khi a b c 1
Vậy Pmin 8
1 1 1
2.
Bài 2: Cho ba s ố thực a, b, c 0 thỏa
1a1b1c
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M abc
Giải:
1 1 1 1 1 1
2 2
Ta có:
1a1b1c 1a 1b1c
1 1 1 1 b c
1 1
1a 1b 1c 1a 1b1c
Trang 7
Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
- Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
1 bc
bc
b c
2 2 (1)
1b1c 1a 1b1c
1 b1 c
Tương t ự, ta có:
ac
1
2 (2)
1b 1 a1 c
ab
1
2 (3)
1c 1 a1 b
Từ (1) , (2) v à (3) nhân v ế với vế ta đ ược:
a 2b 2 c 2
1 1 1
8 2 2 2
1a 1b 1c 1a 1b 1c
1 abc
8
1a1b1c 1a1b1c
1
Suy ra: M abc
8
Dấu “=” xảy ra khi v à chỉ khi
1 1 1 1
abc (thỏa điều kiện ban đầu)
1a 1b 1c 2
1
1
tại a b c
Vậy M max
2
8
Cách khác :
Từ giả thiết ta có:
1b1c 1a1c 1a1b 21 a 1 b 1 c
2a b c 3 ab bc ac 2 1 a 1 b 1 c
(1)
1 2abc ab bc ac
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
4 4 2a 3b 3c 3
2abc ab bc ac (2)
1
Từ (1) và (2) ta đư ợc: 1 4 4 2a3b3c3 1 8abc hay M abc
8
1
Dấu “=” xảy ra khi v à chỉ khi 2abc ab bc ac abc
2
Trang 8
Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
- Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình
1 1
Vậy M max = tại a b c
2
8
Bài toán tổng quát :
1
n
Cho a1 , a2 ,..., an 0 thỏa mãn : n1
1 1 ai
i
Tìm giá tr ị lớn nhất của biểu thức M a1.a2 ....an
1
2 n tại a1 a2 ... an
Lập luận nh ư trên ta đư ợc M max
n1
1 x2
4 4 4
Bài 3: Cho hàm s ố f ( x) 1x 1x
xác định trên D R : 1 x 1 . Tìm giá tr ị lớn nhất của f ( x) trên D.
x
Giải:
Áp dụng bất thức Côsi ta có:
1x 1x
1 x2
4 4
1 x .4 1 x (1)
2
1x1
4 4
(2)
1x 1 x .1
2
1x1
4 4
(3)
1x 1 x .1
2
Từ (1), (2), (3) cộng vế theo vế ta đ ược:
(4)
f ( x) 1 1x 1x xD
Nhận thấy (4) xảy ra khi v à chỉ khi (1), (2) v à (3) đồng thời xảy ra khi v à chỉ
khi x 0 .
Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
1 1x
1x 1 x .1 (5)
2
1 1x
1x 1 x .1 (6)
2
1x 1x2 1 1x 1x3
Từ (5), (6) đ ưa đến: (7)
Dấu “=” ở (7) xảy ra khi v à chỉ khi ở (5) v à (6) đồng thời xảy ra khi v à chỉ
khi x 0 .
Từ (4) và (7) suy ra f ( x) 3 x D.
Trang 9
Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
- Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình
Ta lại có f (0) 3, và 0 D . Do đó: max f ( x) = 3.
Bài 4: Tìm giá tr ị nhỏ nhất của h àm số thực sau:
1 1
với
f ( x) 0x1
x1x
Giải:
1 1 1x x 1 x 11x
Ta có: f ( x)
x1x x 1x 1x1x x x
1x x
2
x 1x
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
1x x 1x x
f ( x) 22 . 24
x 1x x1x
1x x 1
Dấu “=” xảy ra khi v à chỉ khi x
x 1x 2
1
Vậy min f ( x) 4 tại x
2
Bài 5: Cho ba s ố thực d ương a, b, c .
a b c
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
bc ca ab
Giải:
Đặt: x b c, y c a, z ab
1
abc xyz
2
yzx zxy xyz
Và (*)
a , b , c
2 2 2
Từ đó ta có:
yzx zxy xyz 1yz zx xy
P 3
2x 2y 2z 2x y z
1 y x z x z y
3
2 x y x z y z
Trang 10
Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
- Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình
1 3
( B ất đẳng thức Côsi)
2223
2 2
y x
x y
z x
Dấu “=” xảy ra x y z
x z
z y
y z
Từ (*) ta có a b c
3
Vậy Pmin với mọi số thực d ương a, b, c thỏa a b c .
2
Bài 6: Cho ba s ố thực d ương a, b, c thỏa: a b c 1 . Tìm giá tr ị lớn nhất của
biểu thức S abc a b b c c a
Giải:
Áp dụng BĐT Côsi cho ba s ố dương, ta có:
a b c 33 abc 1 3 3 abc (1)
Và ab bc ca 33 a b b c c a
(2)
2 33 a b b c c a
Từ (1) và (2) nhân v ế với vế ta đ ược:
93 S
2 9 3 abc a b b c c a
8
8 93 S S
729
1
Dấu “=” xảy ra khi v à chỉ khi a b c
3
8
Vậy Smax
729
x
1 x 2 x2
Bài 7: Tìm giá tr ị lớn nhất của h àm số f ( x )
2
1
trên miền D .
x R: 1 x
2
Trang 11
Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
- Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình
Giải:
Nhận thấy D l à miền xác định của f ( x) .
Áp dụng bất đẳng thứ c Côsi ta có:
1 x 2 x2
1
1 x 2x2 1. 1 x 2 x 2 xD
2
1 x 2x2
x1
f ( x)
Do đó:
2 2
f ( x) 1 x 2
Từ đó suy ra: f ( x) 1 xD
Mặt khác để dấu “=” xảy ra th ì
1 1 x 2x2
1 x2 1 x 0D
1
1x
2
Ta lại có: f (0) 1
Vậy max f ( x) 1
xD
1 2
2
Bài 8: Cho hàm s ố f ( x) 1.
1x
x2 x
Tìm giá tr ị nhỏ nhất của f ( x) với x 0
Giải:
2
1 2 1
2
Ta có: f ( x ) 1x 1 1x 1
x2 x x
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
2
1
f ( x) 2 x .2 16
x
Dấu “=” xảy ra x 1 > 0.
Vậy min f ( x ) 16 tại x 1
x0
Bài 9: Cho ba s ố thức d ương a, b, c . Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức sau:
Trang 12
Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
- Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình
1 1 1 a b c
A abc 1 abc
a b c b c a
Giải:
Ta viết biểu thức A lại d ưới dạng sau:
a b c 1 1 1
A ab bc ac abc
b c a a b c
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
a b c
ab 2a , bc 2b , ac 2c
b c a
1 1 1
Từ đó suy ra: A 2a 2b 2c abc
a b c
1 1 1 1 1 1
A abc a b c
a b c a b c
1 1 1
(BĐT Côsi)
A 2 a. 2 b. 2 c. 6
a b c
Dấu “=” xảy ra a b c1
Vậy MinA = 6 tại a b c1
Bài toán t ổng quát:
1 1 1
Cho P a1.a2 ...an 1 ...
a1 a2 an
an
a1 a2
... a1 a2 ... an
a2 .a3 ...an a1.a3 ...an a1.a2 ...an 1
với ai 0 i 1, n
Thì MinP = 2n t ại a1 a2 ... an 1
1 ab 2 1 bc 2 1 ca 2
a 3 b3 c 3
Bài 10: Cho biểu thức sau: P
c3 a3 b3
Tìm giá tr ị nhỏ nhất của P với a 0, b 0, c 0 và abc 1
Giải:
a3 a3 b3 b3 c3 c3
Ta có: P 3
b3 c3 c3 a3 a3 b3
Trang 13
Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
- Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình
a 4b 2 ab 5 b 4c 2 bc 5 a 5c a 2c 4
ab 2 bc 2 ca 2 (1)
c3 c3 a3 a3 b3 b3
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
a3 a3 b3 b3 c3 c3 a3 a3 b3 b3 c3 c3
(2)
66 ..... 6
b3 c3 c3 a3 a3 b3 b3 c3 c3 a 3 a 3 b3
a 4b 2 ab 5 b 4c 2 bc 5 a 5c a 2c 4 a 4b 2 ab 5 b 4c 2 bc 5 a 5c a 2c 4
66 . . . . .
c3 c3 a3 a3 b3 b3 c3 c3 a3 a3 b3 b3
a 4b 2 ab5 b 4c 2 bc5 a 5c a 2c 4
(3)
6abc 6
c3 c3 a3 a3 b3 b3
ab 2 bc 2 ca 2 3 3 ab 2 .bc 2 .ca 2 (4)
3abc 3
Từ (1), (2), (3) v à (4) ta có:
P 3 6 6 3 18
Dấu “=” xảy ra a b c1
Vậy Pmin = 18 tại a b c 1
Bài 11: Cho n s ố dương x1 , x2 , x3 ,..., xn n 2 thỏa mãn x1 x2 ... xn 1
a
Tìm giá t rị lớn nhất của biểu thức S x1a1 .x2 2 ...xn n ,
a
Trong đó: a1 , a2 , a3 ,..., an là n số dương cho trư ớc.
Giải:
ai
Đặt a a1 a2 ... an , i 1, 2, .., n thì bi 0
bi
a
Và b1 b2 ... bn 1 . Áp dụng bất đẳng thức Côsi mở rộng ta có:
bn
b1 b2
x b
x1 x b1 b2
... n x2 ... n xn
.2 x1
a1 a2 an a1 a2 an
1 1
x1 x 2 .. x
n
a a
1
a a
x1a1 .x2 2 ...xn n
a
a1a1 .a2 2 ...an n
a
S
aa
xn x1 x2 ... xn x1 x2 xn
x1 x2
Dấu “=” xảy ra ... ...
a1 a2 an a1 a2 ... an a1 a2 an
xn ai
1 x1 x2
... xi i 1, 2,..., n
a a1 a2 an a
1 a1 a2 an
Vậy Smax a1 .a2 ...an
aa
Trang 14
Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
- Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình
2.2.2. Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski
Lưu ý: Để áp dụng đ ược bất đẳng thức Bunhiacopski thì hàm s ố hoặc biểu
thức hoặc các biểu thức giả thiết phải có dạng tích của hai biểu thức hoặc tổng của
các biểu thức m à chúng là tích c ủa hai thừa số. V à sau khi áp d ụng bất đẳng thức
Bunhiacopski thì phải có phần đ ưa về biểu thức giả thiết ban đầu v à đưa được về
hằng số.
3
và a b c 3 . Tìm giá tr ị lớn nhất của biểu thức sau:
Bài 1: Cho a, b, c
4
P 4a 3 4b 3 4c 3 .
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
2
1. 4a 3 1. 4b 3 1. 4c 3 1 1 1 4a 3 ab 3 ac 3
34a b c 9
3 4.3 9 63
P 4a 3 4b 3 4c 3 37
4a 3 4b 3 4c 3
1 1 1
Dấu “=” xảy ra abc1 a b c1
3
a , b, c
4
Vậy MinP = 3 7 tại a c 1.
b
Bài 2: Cho các h ằng số d ương a, b, c và các s ố dương x, y , z thay đổi sao cho
abc
1 . Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức A x y z .
xyz
Giải:
a b c
Ta có: a b c x y z
x y z
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
2
a b c a b c
2
a b c x y z x yz
x y z x y z
2
a b c x y z
b
a c
y a b c
x z
Dấu “=” xảy ra (1)
x y z
x y z
Trang 15
Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
- Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình
a b c
Mặt khác: (2)
1
x y z
Từ (1) và (2) suy ra: x a a b c
y b a b c
z c a b c
2
Vậy maxA = a b c
Bài 3: Tìm giá tr ị nhỏ nhất của h àm số f ( x, y , z ) x 4 y 4 z 4 ,
trên miền D x, y , z : x , y , z 0 và xy yz zx 1
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta d ược:
2
1.x 2 1. y 2 1.z 2 3 x4 y4 z4 (1)
Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
2
2
x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 y2 z2
xy yz zx
Vì xy zx 1 nên:
yz
2
x2 y2 z2 (2)
1
Từ (1) và (2) ta có: 3 x 4 y4 z4 1
1
f ( x, y , z )
3
Dấu “=” xảy ra khi v à chỉ khi (1) v à (2) đồng thời xảy ra
x2 y 2 z 2
x y z kết hợp với điều kiện xy yz zx 1
y z x
3
Ta được: x y z
3
1
Vậy Max f ( x, y , z )
3
( x, y,z ) D
Bài 4: Cho các s ố dương a, b, c thỏa a 2 b 2 c 2 1 . Tìm giá tr ị nhỏ nhất của b iểu
a3 b3 c3
thức P
a 2b 3c b 2c 3a c 2a 3b
Giải:
Ta có:
Trang 16
Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
- Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình
a4 b4 c4
P (1)
a2 b2 c2
2ab 3ac 2bc 3ba 2ca 3cb
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai d ãy số sau:
a2 2 ab 3ac , b 2 2bc 3ba , c 2 2ca 3cb và
a2 b2 c2
, , ta có:
a2 b2 c2
2ab 3ac 2bc 3ba 2ca 3cb
a4 b4 c4
22
2 2
a b c .
a2 b2 c2
2ab 3ac 2bc 3ba 2ca 3cb
. a2 2ab 3ac b 2 2bc 3ba c 2 2ca 3cb
2
a2 b2 c2 P a 2 b 2 c 2 5 ab bc ca (2)
Mà a 2 b 2 c2 1 , từ (2) suy ra
1
(3)
P
1 5 ab bc ca
Mặt khác theo bất đẳng thức C ôsi ta có:
a2 b2 2ab
2 2
a2 b2 c2
b c 2bc ab bc ca 1
2 2
c a 2ca
1 1 1
Từ (3) ta có: P
1 5 ab bc ca 1 5.1 6
3
a b c
Dấu “=” xảy ra
3
1
Vậy MinP =
6
Bài 5: Cho hai s ố dương a, b thỏa 0 a 1,0 b 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
a2 b2 1
thức M ab
1a1b ab
Giải:
Ta có:
Trang 17
Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
- Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình
a2 b2 1
M 1a 1b 2
1a 1b ab
a2 1 a2 b2 1 b2 1
2
1a 1b ab
1 1 1
2
1a1b ab
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
2
1 1 1
1a 1b ab
1a 1b ab
1 1 1
1a 1b ab
1a1b ab
1 1 1 9 9 5
M 2
1a1b ab 2 2 2
1 1
1
1a ab
Dấu “=” xảy ra a b
1 1 3
1b ab
5
Vậy minM =
2
Bài toán tổng quát:
2
a12 2
an
a2 1
Cho P ... với 0 ai 1 i 1, n
1 a1 1 a2 1 an a1 a2 ... an
2n 1
Thì minP
n
2009 x 2 . Tìm giá tr ị lớn nhất v à nhỏ
Bài 6: Cho hàm số thực f ( x) x 2007
nhất của f ( x ) trên miền xác định của nó.
Giải:
Ta có mi ền xác định của f ( x) : D 2009; 2009
2009 x 2
Mặt khác: f ( x) f ( x) là hàm lẻ
x 2007 f ( x)
Và f ( x) 0, xD 0; 2009
Do đó: max f ( x) max f ( x) và min f ( x) max f ( x)
xD
xD xD xD
Với x D , ta có:
2007. 2007 1. 2009 x 2
f ( x) x
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski th ì:
Trang 18
Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
- Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình
x2 x2
2007. 2007 1. 2009 2008 2007 2009
2008 4016 x 2
x 2008 4016 x 2 2008. x 2 4016 x2
Suy ra: f ( x)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
x 2 4016 x 2
f ( x) 2008. 2008.2008
2
2007
2009 x 2
1
Dấu “=” xảy ra x 2008
2007
2 2
x 4016 x
Vậy max f ( x) 2008 2008 tại x 2008
xD
2008 2008 tại x
min f ( x) 2008
xD
Bài 7: Cho x, y, z 0 thỏa mãn xy yz zx 1 . Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu
2 2 2
x y z
thức T
x y y z z x
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
1 xy yz zx xyzy z x x y z
2
x y z
2
x y z x y y z z x
x y yz z x
x2 y2 z2
x y y z z x 2T x y z
x y y z zx
1 1
T x y z
2 2
1
x y z
Dấu “=” xảy ra
3
1 1
tại x y z
Vậy minT = .
2 3
Bài 8: Cho ba s ố dương a, b, c thỏa mãn: a b c 1 . Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu
1 1 1 1
thức P 2 2 2
abc ab bc ca
Giải:
Trang 19
Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
- Vận dụng bất đẳng thức t ìm GT LN - GTNN và giải phương trình
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta đ ược:
2
1 1 1 1
2 2 2
100 a b c 3 ab 3 bc 3 ca
a2 b2 c2 ab bc ca
1 1 1 1
a2 b2 c 2 9ab 9bc 9ca
2
b2 2
a c ab bc ca
2
Pabc 7 ab bc ca P 1 7 ab bc ca
Mà ta lại có:
1 2
abc ab bc ca
3
Thật vậy, từ tr ên ta có:
2
abc 3 ab bc ca
a 2 b2 c2 ab bc ca (suy ra t ừ bất đẳng thức Cosi)
Do đó:
7 10
2
100 P 1 abc P
3 3
P 30
1
Dấu “=” xảy ra a b c
3
1
Vậy minP = 30 tại a b c
3
Bài toán t ổng quát:
Cho n s ố dương a1 , a2 ,..., an n 2 và a1 a2 ... an 1 .
1 1 1 1 1
Đặt P = ...
a1 a2 ... a n a1a2 a 2 a3 an 1an ana1
3 2
nn n 2 1
Thì min P khi a1 a2 ... a n
2 n
2.3. S ử dụng bất đẳng thức vect ơ
Lưu ý: Để sử dụng bất đẳng thức vect ơ thì biểu thức giả thiết hoặc biểu thức
cần tìm giá tr ị lớn nhất, nhỏ nhất có dạn g tổng bình ph ương của các số hạng hoặc
căn bậc hai của tổng b ình phương ho ặc là tổng của các tích của các thừa số .
Bài 1: Cho hai s ố thực x, y thỏa mãn 2 x 3 y 1 . Tìm giá tr ị nhỏ nhất của tổng
S 3x 2 2 y 2
Giải:
2 2
Ta có S 3 x 2 2 y2 3x 2y
Trang 20
Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
nguon tai.lieu . vn
