- Trang Chủ
- Toán học
- Ứng dụng biểu thức vectơ tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng trong hình chóp
Xem mẫu
- Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019
ỨNG DỤNG BIỂU THỨC VECTƠ TÌM GIAO ĐIỂM
CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG TRONG
HÌNH CHÓP
Lê Quang Vũ
Trường THPT Thọ Xuân 5, Thanh Hóa
Tóm tắt nội dung
Trong chương trình hình học không gian, ta khá hay bắt gặp tình huống cần phải tìm
vị trí của giao điểm của một mặt phẳng với cạnh hình chóp. Cách tiếp cận bằng việc dựng
hình đôi khi khá khó khăn từ việc dựng giao điểm đến việc tính toán tỉ lệ chia đoạn của
điểm đó. Trong nội dung bài viết nhỏ này, tôi xin trình bày một phương pháp tiếp cận
nhóm các bài toán trên bằng vectơ. Nhờ phương pháp, nhiều bài toán chúng ta sẽ không
cần làm việc với các yếu tố không gian nữa, mà chỉ cần thiết lập các biểu thức vectơ trên
mặt đáy của hình chóp.
Bài viết này nhằm trình bày ứng dụng biểu thức vectơ về tính đồng phẳng của bốn
điểm trong không gian để chuyển bài toán tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng
trong hình chóp thành bài toán phân tích vectơ trên mặt đáy
1 Phát biểu và chứng minh định lý
Định lý 1.1. Cho tam giác ABC và điểm S bất kỳ. Điều kiện cần và đủ để điểm D thuộc
−→ −→ −
→ −
→
mặt phẳng ( ABC ) là SD = x SA + ySB + zSC, trong đó x + y + z = 1.
Chứng minh.
−→ −→
Điều kiện cần: Vì hai vectơ AB và AC không cùng phương nên điểm D thuộc mặt
−→ −→ −→
phẳng ( ABC ) khi và
chỉ khi AD = mAB + n AC
−→ −→ −
→ −→ −
→ −→ −→ −→ −→ −→
⇔ SD − SA = m SB − SA + n SC − SA ⇔ SD = (1 − m − n) SA + mSB + nSC.
−→ −→ −
→ −
→
Đặt x = 1 − m − n, y = m, z = n thì SD = x SA + ySB + zSC, trong đó x + y + z = 1.
Điều kiện đủ:
−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→
−SD = xSA + ySB + zSC ⇔ SD = (1 − y − z) SA + ySB + zSC ⇔ SD − SA =
→ −→ −
→ −→ −→ −→ −→
y SB − SA + z SC − SA ⇔ AD = y AB + z AC
−→ −→
Mà hai vectơ AB và AC không cùng phương nên điểm D thuộc mặt phẳng ( ABC ).
1
- Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019
2 Áp dụng
1. Bài toán mở đầu
Bài tập sách giáo khoa Hình học 11- Ban cơ bản có câu: Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng ( P) cắt các cạnhSA, SB, SC, SD theo thứ
tự tạiK, L, M, N.
SA SC SB SD
Chứng minh. + = +
SK SM SL SN
Hướng dẫn giải.
Lời giải 1. Ta có VSKLM + VSKN M = VSKLN + VSMLN
S V V V
⇒ SKLM + SKN M = SKLN + SMLN
S ABBC VSADC VSABD VSCBD
SK SL SM SK SM SM SK SL SN SM SL SN
⇒ . . + . . = . . + . . Nhân 2 vế với
SA SB SC SA SD SC SA SB SD SC SB SD
SA SB SC SD
. . . thì được đpcm.
SK SL SM SN
Lời giải 2. Ta có
−→ −→ −
→ −→ −→ −→ −→ −→ − → − → SD −→ SA −→
AB = DC ⇔ SB − SA = SC − SD ⇔ SD = SA − SB + SC ⇔ .SN = .SK −
SN SK
SA − → SB − → SC −→
SB −
→ SC −→ −
→ . SK − . SL + . SM
.SL + .SM ⇔ SN = SK SL
SD
SM
.
SL SM SN
SA
− SB SC
SL + SM SA SC SB
Mà bốn điểm K, L, M, N đồng phẳng nên SK SD
=1⇔ + = +
SN
SK SM SL
SD
(đpcm).
SN
3 Một số hướng phát triển
3.1 Thay đổi đáy của hình chóp
Ví dụ 3.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB//CD và
AB = x.CD. Một mặt phẳng ( P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD theo thứ tự tạiK, L, M, N.
SA SC SB SD
Chứng minh: +x = +x
SK SM SL SN
2
- Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019
Hướng dẫn giải.
−→ −→ − → −→ − → −→ − → −→ −
→ −→
Ta có AB = x DC ⇔ SB − SA = x SC − SD ⇔ SB = SA + x SC − x SD
SB − → SA − → SC −→ SD −→
⇔ .SL = .SK + x. .SM − x. .SN
SL SK SM SN
SA − → SC −→ SD −→
−
→ .SK + x. .SM − x. .SN
⇔ SL = SK SM SN
SB
SL
Mà bốn điểm K, L, M, N đồng phẳng nên
SA SC SD
SK + x. SM − x. SN
SB
=1
SL
SA SC SB SD
⇔ + x. = + x.
SK SM SL SN
Ví dụ 3.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác có hai đường chéo AC và BD
cắt nhau tại điểm I sao cho I A = x.IC, IB = yID. Một mặt phẳng ( P) cắt các cạnh SA,
SB, SC, SD theo thứ tự tạiK, L, M,N.
SB SD SA SC
Chứng minh. ( x + 1) +y = ( y + 1) +x
SL SN SK SM
Hướng dẫn giải.
Ta có
I A = x.IC
IB = yID
( − → −→
I A = − x. IC
⇔ −
→ −
→
IB = −y ID
−→ − → −
→ − →
BA − BI = − x. BC − BI
⇔ −
→ −→ − →
BI = y BD − BI
−
→ 1 −→ x −→
BI =
BA + BC
⇔ x+1 x+1
−→ y + 1 − →
BD = BI
y
−→ y + 1 −→ −
→ −→ − → y + 1 −→ − → −
→ −
→
⇒ BD = BA + x BC ⇒ SD − SB = SA − SB + x SC − x SB
y ( x + 1) y ( x + 1)
−→ y + 1 −→ 1 − → x ( y + 1) − →
⇒ SD = SA − SB + SC
y ( x + 1) y y ( x + 1)
3
- Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019
SD −→ y + 1 SA − → 1 SB − → x (y + 1) SC −→
⇒ .SN = . SK − . SL + . SM
SN y ( x + 1) SK y SL y ( x + 1) SM
Mà bốn điểm K, L, M, N đồng phẳng nên ta có
1 SB SD y+1 SA SC SB SD
. + = +x ⇔ ( x + 1) +y =
y SL SN y ( x + 1 ) SK SM SL SN
SA SC
( y + 1) +x
SK SM
Ví dụ 3.3. Cho tứ diện ABCD. Điểm G nằm trong mặt phẳng ( BCD )thỏa mãn
−→ −→ −→ − →
x GB + y GC + z GD = 0 . Điểm I nằm trên đoạn AG thỏa mãn AG = k.AI. Mặt phẳng
(α) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AG và cắt các cạnh AB, AC, AD tại các điểm
AB AC AD
B0 , C 0 , D 0 (khác A). Chứng minh rằng x. 0
+ y. 0
+ z. = k ( x + y + z ).
AB AC AD 0
Hướng dẫn giải.
Gọi B0 , C 0 , D 0 lần lượt giao điểm của mp (α) với các cạnh AB, AC, AD.
−→ −→ −→ − →
Ta cóx GB + y GC + z GD = 0
−→ −→ −→ −→ −→ −→ − →
⇔ x AB − AG + y AC − AG + z AD − AG = 0
−→ −→ −→
−→ x AB + y AC + z AD
⇔ AG =
x+y+z
−→ −→ −→ !
−
→ 1 −→ 1 x AB + y AC + z AD
Mà AI = AG =
k k x+y+z
AB −→0 AC −−→0 AD −−→0
1 x. 0
. AB + y. . AC + z. . AD
= AB AC 0 AD 0 .
k x+y+z
Mà I, B0 , C 0 , D 0 đồng phẳng nên
AB AC AD
x.
1 AB0 + y. + z.
AC 0 AD 0
=1
k x+y+z
AB AC AD
⇔ x. + y. + z. = k ( x + y + z)
AB0 AC 0 AD 0
Từ ví dụ trên ta có một số kết quả sau đây:
AB AC AD
Tính chất 3.1. Nếu G là trọng tâm tam giác BCD thì 0
+ 0
+ = 3.k.
AB AC AD 0
4
- Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019
AB AC
Tính chất 3.2. Nếu G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD thì b. + c. +
AB0 AC 0
AD
d. = k (b + c + d) với b = CD, c = BD, d = BC.
AD 0
AB
Tính chất 3.3. Nếu tam giác BCD nhọn vàG là trực tâm tam giác BCD thì . tan B +
AB0
AC AD
. tan C + . tan D = k (tan B + tan C + tan D ).
AC 0 AD 0
AB
Tính chất 3.4. Nếu G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD thì . sin 2B +
AB0
AC AD
. sin 2C + . sin 2D = k (sin 2B + sin 2C + sin 2D ).
AC 0 AD 0
AB
Tính chất 3.5. Nếu G là điểm bất kỳ nằm trong tam giác BCD thì .S∆MCD +
AB0
AC AD
.S∆MBD + .S∆MBC = k.S∆BCD .
AC 0 AD 0
Ví dụ 3.4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Qlần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA
MA NB PC QD
sao cho = x, = y, = z, = t. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q
MB NC PD QA
đồng phẳng⇔ x.y.z.t = 1.
Hướng dẫn giải.
−→ −→ −→ −→ −→ −→
Ta có NB = −y NC ⇔ AB − AN = −y AC − AN
−→ −1 −→ 1 + y −→
⇔ AC = AB + AN
y y
−
→ −→ −→ −→ −→ −→
PC = −z PD ⇔ AC − AP = −z AD − AP
−→ −→ −→
⇔ AC = −z AD + (1 + z) AP
Suy ra
−1 −→ 1 + y −→ −→ −→
AB + AN = −z AD + (1 + z) AP
y y
−1 x + 1 −−→ 1 + y −→ −→ −→
⇔ AM + AN = −z (1 + t) AQ + (1 + z) AP
y x y
−−→ −→ −→ −→
⇔ − ( x + 1) AM + x (y + 1) AN = − xyz (1 + t) AQ + xy (1 + z) AP
−→ −−→ −→ −→
⇔ xyz (1 + t) AQ = ( x + 1) AM − x (y + 1) AN + xy (1 + z) AP
( x + 1) − x (y + 1) + xy (1 + z)
Mà M, N, P, Q đồng phẳng ⇔ = 1 ⇔ xyzt = 1.
xyz (1 + t)
3.2 Áp dụng vào các bài toán chia thể tích khối chóp, các bài toán
cực trị hình học
Kết hợp các kết quả trên với các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất như sử
dụng các bất đẳng thức cổ điển, sử dụng bảng biến thiên của hàm số, bạn đọc có thể tự
giải các bài tập sau :
5
- Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019
Bài 3.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm A0 , C 0 thỏa
−→ 1 −→ −→ 1 − →
mãn SA0 = SA, SC 0 = SC. Mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng A0 C 0 cắt các cạnh SB, SD
3 5
V 0 0 0 0
lần lượt tại B , D và đặt k = S.A B C D . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của k.
0 0
VS.ABCD
Bài 3.2. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng (α) đi qua trung
điểm I của đoạn thẳng AG và cắt các cạnh AB, AC, AD tại các điểm B0 , C 0 , D 0 (khác A).
Gọi h A , h B , hC , h D lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến mặt phẳng (α).
h2 + h2C + h2D
Chứng minh rằng: B ≥ h2A .
3
Bài 3.3. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC.
Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Gọi V1 , V thứ tự là thể tích
của khối chóp SAMKN và khối chóp SABCD. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
V1
tỷ số .
V
Bài 3.4. Cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC = 1, mặt phẳng ( P) đi qua trọng tâm M
của tứ diện, cắt cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F (khácS ).Tìm giá trị lớn nhất của biểu
1 1 1
thức : + + .
SD.SE SE.SF SF.SD
Bài 3.5. Cho hình chóp S.ABC có SA = 1, SB = 2, SC = 3. Gọi G là trọng tâm tam giác
ABC. Mặt phẳng (α) đi qua trung điểm I của SG cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại
1 1 1
M, N, P. Tính giá trị nhỏ nhất Tmin của biểu thức T = 2
+ 2
+ 2.
SM SN SP
Tài liệu
[1] Tài liệu chuyên toán hình học 11- NXB Giáo dục Việt Nam.
[2] Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi hình học không gian- Toán học Bắc Trung
Nam.
6
nguon tai.lieu . vn