Xem mẫu
- THƯ VIỆN
DẠI HỌC NHA TRANG
NGUYỄN DUY TIẾN
M
515
Ng 527 T
T.1
B À IG É G
GIẢITÍCH
TẬPI
ﱇﺀﺝ ، ﺹй ﺓﱆ٠ ﺀ٧ﺀﱆ
ءЛиг ٢ 4٠ لجهء ج م ش ع ع م ق ع ه
XìuDiiilòug:
٠ Không xé sách
٠ Không gạch, v؛vẽ !ẽn sách ,ê١
n
-
® G
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUOc e iA HÀ NỘI
- NGUYỄN DUY TIẾN
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH
Tậpl
(In lần thứ 2)
>( / 3
ÌR ijm i6 ^ í H D c m M E I
- ^ Ị ~ hìaÉTi *m 1/T>ff ·* “
r m iĩ V Ệ ỵ :]
^PI* »I III^ I Mi ^·m m '■>.
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
- M UC LUC
L M iioi d a u ............................................................................................................... V
V a i 16.1 v e iioi d u n g b a i giAng ...................................................................... vii
BAiig k y h ie u ...................................................................................................... xiii
C h u m ig 1. SO T H U .C
1.1 Cac tien do ciia so tlnrc 01
1.2 Ho quk ................................................................................................................. 05
1.3 Nguyoii ly cac doaii long nlian cua Cantor 09
1.4 Mien in a long cua so tlnrc ............................................................................. 10
1.5 G iai ban cua clay so. Day so Caucliy ........................................................... 11
1.6 Day so d a n d i e u ............................................................................................... 14
1.7 Mot so v an do kbac ......... .............................................................................. 17
C h u a n g 2. K H O N G G IA N M E T R I C
2.1 Dinb ngbia va vi du ......................................................................................... 26
2.2 T ap com pact 36
2.3 M ot so kbai nioni k b a c ..................................................................................... 40
- 2.4 Sự hội tụ tiong kliòiig gian metric ............................................................... 47
2.5 Khóng gian inctiĩc ã\\ ...................................................................................... 51
2.6 Com pact dãy và tập hoàn toàn bị chặn .............................................. . 54
2.7 Tính tríi m ật và không gian khả ly ............................................................. 59
2.8 Không gian liên thông ...................................................................................... 61
2.9 Các ví dụ quan trọng ........................................................................................ 65
2.10 Ánh xạ co v à ng ٦iyẽn lý diem b ấ t dộng .................................................... 67
C h ư ơ n g 3. G IỚ I H Ạ N V À L IÊ N T Ụ C
3.1 Giới hạn của hàm (ánh xạ) 69
3.2 Hàm liên tục ............................................................................................. .. 79
3.3 Hàm liên tụ c trên tậ p c o m p a c t....................................................................... 82
3.4 Định lý giá trị trung gian
3.5 Các tn rờ n g hợp dặc biột ................................................................................. 91
C h ư ơ n g 4. V I P H Â N H À M M Ộ T B I Ể N
4.1 Đạo hàm của hàm Hố m ột biến 409
4.2 Các dịuh lý cơ bản của dạo hàm (trên doạu đóng liíru hạn) ............. 114
4.3 Quy tắc L’Hospital .......................................................................................... 120
4.4 Công thức T a y lo r ............................................................................................. 122
4.5 Vi phân ............................................................................................................. 132
- 111
4.6 H àm lồi và liàm lõiíi ...................................................................................... 134
C h ư ơ n g 5 ٠ T ÍC H P H Â N R IE M A N N -S T IE L T J E S
5.1 Dịiili Iiglìĩa và SIT tồn tại của tícli pliân Ricmaiin-Stielt.؛cs . . . . . . . . . . 140
5.2 Lớp các Làm kliầ tícL ................................................................................... 147
5.3 Các tínL cLẩt ciia tícli pLân R-S ................................................................ 150
5.4 Các plinơng plìáp cơ bản tínli tícL pliân ................................................. )158
5.5 Các định lý giá ti ị tin n g blnli .................................................................... 162
C h ư ơ n g 6. C H U Ỗ I só V À T ÍC H P H Â N S U Y R Ộ N G
P h ầ n I: CHUỖI s ó
6.1 Các địiih nghĩa ............................................................................................... 167
6.2 Clmỗi dirơng ..................................................................................................... 169
6.3 Clmỗi đan dấn .................................. ............................................................. 181
6.4 Chuỗi hội tụ tuvột d ố i ................................ .................................................. 183
6.5 Chuỗi bán hội tụ ...................................... ....................... ............................. 185
P h ầ n II: T ÍC H P H Â N S U Y R Ộ N G
6.6 Tích phân suy rộng loại I ............................................................................. 188
6.7 Tícli pliân suy rộng loại II 190
6.8 Tieu chuẩn hội t^i .......................................................................................... 194
6.9 M ột sổ tien cliuẩn kliác - . . . . ٠. ........................................................................ 196
6.10 Tícli pliâii Eulor: Hàm gannua ( r ) và hàm b e ta {B) . . . . . . . . . . . . . . 199
- IV
C h ư ơ n g 7. D Ã Y H À M V À C H U Ỗ I H À M
7.1 Hội tụ điểm 205
7.2 Hội tụ đều 208
7.3 Hội tụ đều và tín h liên tụ c ........................................................................... 214
7.4 Hội tụ đều và tích phân ................................................................................. 219
7.5 Hội tụ đ ều và vi phân 220
7.6 Tính liên tụ c đồng b ậ c ..................................................................................... 224
7.7 Chuỗi lũy th ừ a .................................................................................................. 229
7.8 Chuỗi Fourier ................................................................................................... 240
C h ư ơ n g 8. T ÍC H P H Â N P H Ụ T H U Ộ C T H A M số
8.1 Trường hợp tích phân không suy rộng ...................................................... 261
8.2 T iường hợp tích phân suy r ộ n g .................................................................... 268
8.3 Tính m ột số tích phân quan trọng .............................................................. 276
B àng đao hàm cơ bản 286
B ả n g n g u y ê n h à m c ơ b ả n ........................................................ ............ 287
C hỉ d ẫ n ......................................................................................................................291
T ài liêu th a m k h ảo 303
- LỜI NÓ I ĐẦU
Cuốn sácli này là nội dung các bài giảng VC Giải Tícli do tôi biên soạn
cho các sinh viôn Toán-Lý năin th ứ n h ất của .‘Lớp Đào Tạo Ciỉ* Nhân Khoa
Học T ài Năng” , Đại Học Khoa Học T ự Nhicn, Đại Học Quốc Gia Hà Nội, năin
học 1997 - 1998, 1998 - 1999 và 1999 - 2000. Vì thố, có lẽ sá c h n à y chỉ n ê n
d ù n g là m b à i g iả n g c h o n h ữ n g s in h v iê n T o á n " L ý k h á giỏi h o ă c
d ù n g là m tà i liê u t h a m k h ả o ch o s in h v iê n T o á n - L ý n ó i ch u n g .
Khi viốt cuốn sách này tôi nhằm các mục đích chính sau đây:
1. Trang bị cho ngiTỜi đọc một tài liệu txrơng dối ngắn gọn về những
kiến tlhrc cơ bản nhất của giải tích.
2. Cách trìn h bày hiện đại, mạch lạc và chính xác.
3. Giup Iigxrời dọc có thổ nhanh chóng nắm b ắ t dxĩợc những ý tường
chính và nhửng kct qủa quan trọng của giải tích.
Nlnr vậy là, tôi có th am vọng viết B à i g iả n g g iả i tíc h có n ô i d u n g c ơ
b ả n , h iê n đ a i, tố c đ ô . Với ý dịiih ấy tôi chọn những cuốn sách sau làm
tại liộu tham khảo chính:
[1] W'.. Rudin, Principles of M athem atical Analysis (1976, tiếng Anh).
[2] G. M. Fictengolz, A Cotu.se in Differentiation and Integration
(1969, tiếng Nga, tậ p 1, 2, 3).
[3] G. E. Shilop, M athem atical Analysis (1969, tiếng Nga).
[4] X. Gourdon, Analyse (1994, tiếng Pháp).
[5] J . do Burgos, Calctilo Infinitesmal (1991, tiếng T ây Ban Nha).
Tòi và nhiều bạn của tôi cho rằn g [2] là “Kinh T hánh” của giải tích.
Tuy nhiên, trọn bộ ba tậ p của [2] quá dày (trên 2.000 trang). Vì thế tôi chỉ
chọn nhĩrng phần (theo tòi) hay n h ất của [2] nhir ; hội tụ dều, tích phân phụ
llittộc th am số de dtra vào bài giảng của mình. Tôi rấ t thích cách viết của [1],
3] và [4]. Nhiều kết quả của giải tích có trong bài giảng này dirợc tiìn h bày
- VI
theo quail điểm ciia [1] ١ [3] và [4] như: xây dựng số th ự c theo tien đề; giơi Liạn
và liên tục đirợc nghiên cứu trong không gian metric; tích phân được cịnh
nghĩa theo Riemaim-Stieltjes. M ột số bài tập được chọn iọc từ [5]. Ngoàj r a ١
tôi đ ã th am khảo m ột số sách b ằn g tiến g Việt (xem p h ần tà i liệu th âm kliảo
ờ cuối sách).
Ngày nay đ ã có những phần m ềm trợ giúp sinh viên tín h toán bằng máy
tín h rấ t có hiệu qủa. Tôi nghĩ rằn g c ầ n h ư ớ n g d ẫ n s in h v iê n th ư c h à n h
t r ê n m á y theo tài liệu rấ t có ích sau:
[6] Andrổ Heck, Introduction to M aple (1996, tiến g Anh).
Vì thế, tr o n g các b à i g iầ n g n à y k h ô n g c ó .n h iề u p h ầ n lỉê n q u a n d ế n
ti n h t o á n ؛n h ư v ẽ đ ồ th ỉ, t i n h n g u y ê n h à m - d ỉê n tíc h , t h ể tíc h v â n
v â n . T ro n g k h i d ó , b à i g ỉầ n g dOi h ỏ i n g ư ơ i d o c p h ầ i n ắ m v ữ n g lý
th u y ế t , là m n h ỉề u b à i t â p lý t h u y ế t.
Tôi xin cliân tliàiili cám ơn b an lẵnli dạo Dại Học Quổc Gia, Dại Học
Klioa Học Ti.r Nliiên d ẵ m ờ ؛؛Lớp Dào Tạo CiV Nliân Klioa Học T ài Nầng” ,
nliờ dó tôi có điều kiện biên soạn v à till ؛nghiộm các bài giàng của mliih.
Nliibu siiili viên ci١a ؛؛Lớp Dào T ạo cử Nliâii K lioa Học T ài N ăiiế’ dã
dọc và sửa bần th ào bài giằng này. Dặc blột là Hà M inh Lam, Vũ Anln Tĩiấii,
Nguyễn Cẩiili Hào, Dào Till Tliu Hà, Nguyỗii Ln.ru Sơn, Nguyễn Aiili Hoa,
Đặng Anln Tuấn Nguyễn Trung Tnl d ã hi ؛u cliỉinli nliibu sai sót ti.ong b ần tliầo
dầu tỉỄii. Xin cám ơn Iihibu.
TOi clnâi'1 tliàuln cám ơn TS T rần ĐiTC Long, PGS. TSKH Nguyễn Văn
Minh, PGS. TSKH Pliạm Kỳ Anh, PGS. TS Nguyễn ThUy Tlianln TS Nguyễn
Quang H òa và TS. Trần Văn Ti.ản d ã dọc kỹ b àn tliầo, sn ؛a nliíou lỗi cliíiih
tả và clio nliibu ý kỉỗii quý báu để bài giẳiig này diĩỢC lioàn clnỉuln Inơn.
Các GS Hà Huy Klioái, Ngô V iệt T u n g , Nguỵễn H ữu V iệt Hnriig d ã clno
tô ؛một, sổ tnr liệu quý 1 ﺍﺍﺓﺫquan d ến lịcli snV toán. Xiu chân tliàiiln cám ơn.
Tôi cám ơn Nlià X uất Bần Dại Học Quốc G ia H à Nội d ã lioàn tliiộin bản
tliả.o để cuốn sácli này sớm dgn ta y b ạn dọc.
T ô ؛d ã giànli iihiCu thời g؛an, Iihibu snrc In.rc và kièn Iiliẫn (kổ cả tir dánli
m áv bằng Тех) đổ viết các bài giảng này. Song tôỉ liigu rằn g cuổii sácln còn có
nliibu vấn đề cần tranli luậụ, cơn nlnibu tliiểu sót. R ấ t Iinong bạn dọc khuvCn
bầo, clil dẫn và góp ý.
- V li
V à i lờ i v ề n ô i d u n g b à i g iả n g
G iả i tíc h t o á n h o c là gì? G iải tích to án học (M athem atical Analysis),
còn có tôn là phổp tín h các đại lượng vô cùng bổ và vô cìiiig lớn (Calculus of
Infinitely Small and Large Q uantities) hoặc phép tính vi tích phân (Calculus
of Differentiation and Integiation, hoặc gọi tắ t là Calculus), ra đời vào nửa
cuối thế kỳ 17. Culculưs là ngành to án nghiên ciru chuyển động và sir thay
đổi của vật chất. Nơi nào có chuyển động hoặc sự tăn g triTỜng th ì nơi ấy có
the dìing Calculus. Phép tính vi p h ân cho phổp ta xác định m ặt phằng tiếp
xiíc với m ặt cong, tín h tốc độ và gia tốc của vật chuyên động và vân vân.
Phóp tính tích phân cho phép ta tín h diộn tích m ặt, tìm quỹ đạo chuyên dộng
của v ật the theo tốc độ của nó v à vân vân.
Có rấ t nhiều học giả xuất chúng th a m gia xây dựng lĩnh virc toán học
này. Đầu ticn phải kể tớ i Sir Isaac N e w to n (1642-1727, ngirời Anh), Baron
G ottfried W ilhehn L e ib n iz (1646-1716, người Đức). Trước Newton và Leib
niz cần phải nhắc dến nhà thiên văn Johannes K e p le r (1571-1630, ngirời
Đức) đã giành 20 năm đe khám p h á ra b a định luật chuyên động của các
hành tinh:
1. M ỗ i h à n h tin li c h u y ể n đ ô n g th e o m ô t e llip se có m ô t tiê u
đ iể m là m ă t tr ờ i .
2. B á n k ín h v e c to r t ừ m ă t t r ờ i tớ i h à n h t i n h q u é t n h ữ n g d iê n
tíc h n h ư n h a u tr o n g n h ữ n g k h o ả n g t h ờ i g ia n n h ư n h a u .
3. B ìn h p h ư ơ n g c h u k ỳ q u a y c ủ a h à n h t i n h q u a n h m ă t t r ờ i tỷ
lê v ớ i lũ y t h ừ a b a c ủ a n ử a t r u c lớ n , t ứ c là , n ế u T là c h iề u d à i q u ã n g
đ ư ờ n g h à n h t i n h đ i đ ư ơ c t r o n g m ô t n ă m v à a là n ử a t r u c lớ n c ủ a
e llip s e t ư ơ n g ứ n g t h ì có g ía t r i k h ô n g đ ổ i đ ố i v ớ i m o i h à n h
t i n h tr o n g h ê m ă t tr ờ i .
B ằng Calculus ta có tlic n it ra b a điiiL· luật trôii từ các địiili luật cL·uvcu
- vni
động của Newton, nlnrng đ ấy là công việc “buổi cliiồu” . V ậy là, Kepler nliờ
các quan sát th ự c nghiộni đ ã mô t à hộ m ặt trờ i hoạt động như th e nào, san
đó Newton và Leibniz dùng Calculus giải thích vì sao lại nhir th ế. Theo tôi
đícu này clnrng tỏ v ật lý, cơ học, th icn văn là ” cội nguồn” của giải tích.
Nhícu ng ٦rời cho rằng, Archimedes (287-212 trư ớ c công nguyên, ngirờì
Secily) là nhà to án học vĩ đại n h ấ t th ế giới và là tác giả của Calculus, vì ông
đ ã tìiu ra plnrơng pháp tín h diện tích của hình có dạng p arab o la v à the tích
ciỉa hình nón, của parabola trò n xoay vân vân.
Năm 1821 Augustin Louis C a u c h y (1789-1857, người P háp) công bố
cuốn sách nổi tiếng “Giải■ tích” , tro n g đó ông trìn h bày giải tích dvra tren
lý thuyết chặt chẽ về giới hạn. Ong định nghĩa giới hạn tlico ngôn ngữ e, ỗ.
Cách định nghĩa này đ ã tr ồ th àn h chuẩn mực của t ấ t cả sách giáo khoa về
giải tích. Các tư tiTỞng chính của C auchy vẫn còn rực sáng tớ i ngày nay.
Cauchv d ã công bố 750 công trìn h vồ toán. Nếu mỗi năm Cauchy viết 12 bài,
th ì ông phải viết suốt 63 năm liền, th ế nlnrng ông chỉ th ọ 68 tuổi!
Karl Theodor Willielm W e ie r s tr a s s (1815-1897, ngirời Đirc) cũng đã
dỉmg ngôn ngíĩ 6,6 để định nghĩa giới h ạn và có nhiều đóng góp vô cùng to
lớn cho giải tích. Hầu h ết các công trìn h của ông được giới to án học biết đến
sau khi ông đ ã qua đời.
Không th ể không nhắc tớ i những cống hiến to lơn của B en ih ard B o lz a n o
(1781-1848, người Tiộp, nhiều n ăm làm việc ở Áo) với công trìn h ” Nghiên
CiTu Hàm Số ” do ông viết năm 1830 ò P raha, nhưng 100 năm sau th ế giơi
m ới biết đến. T hực ra, có m ột số kết quả quan trọ n g dirợc Bolzano tìm ra
tn rớ c Ca\ichv và W eierstrass.
S it p h át triển của giải tích (cổ diển) còn gắn líồn với tên tu ổ i của nhiều
nhà toán học kiột x u ất th ế kỷ 17, 18, 19 v à dầu thế kỷ 20 Iihir :
Renỗ D e s c a r te s (1596-1650, người P háp),
Pierre De F e r m a t (1601-1665, người P háp),
Lsaac B a r r o w (1630-1677, người Anh),
Michel R o lle (1652-1719, ngiTỜi P háp),
Jacob B e rn o u lli (1654-1705 ٦ người T hụy Sĩ ),
Johann B e rn o u lli (1667-1748, người T hụy Sĩ ),
Brook T a y lo r (1685-1731, người Anh),
Leonhard E u le r (1707-1783, người T hụy sĩ, nliiồu n ăm làm việc ở Nga),
- IX
Jean le Rond d ’A le m b e r t (1717-1783, ngirời P háp),
Joseph Louis L a g r a n g e (1736-1813, ngirời P háp),
Pierre Simon L a p la c e (1749-1827, người P háp),
Jean B aptist Joseph F o u rie r (1768-1830, ngirời P háp),
Carl Friedi.ich G a u s s (1777-1855, ngirời Đrrc),
B ernhard B o lz a n o (1781-1848, ngirời Tiệp),
George G r e e n (1793-1841, ngirời Anh),
M ikhail O s to g r a d s k y (1801-1862, ngrĩời Nga),
Niels Henrik A b e l (1802-1829, người Nany),
Carl Guslav Jacob J a c o b i (1804-1851, người Đức),
Peter Guslav Lejciuic D ir ic h le t (1805-1859, người Dire),
Sir George Gabriel S to k e s (1819-1903, người Anh),
E duard H e in e (1821-1881, ngiĩời Dire),
P. L. C h e b y s h e v (1821-1894, người Nga),
Georges Friedrich B ernhard R ie m a n n (1826-1886, ngirời Dire),
Richard Julius W ilhelm D e d e k in d (1831-1916, người Đức),
G aston D a r b o u x (1842-1917, ngirời P háp),
Georg C a n to r (1845-1918, ngirời Đức, sinh ờ Nga),
Henri P o in c a r é (1854-1912, người P h áp ),
O tto Ludwig H o ld e r (1859-1937, ngiTỜi Đức),
David H ilb e r t (1862-1943, ngirời Đức),
H erm ann M in k o w sk i (1864-1909, người Đức),
Émile B o r e l (1871-1956, người P h áp ),
Guido F u b in i (1879-1943, ngiTỜi Ý),
Heri Léon L e b e s g u e (1875-1941, người P háp),
Nikolai Nicolaievich L u z in (1883-1950, người Nga).
John von N e u m a n n (1903-1957, ngiròi M ỹ ), m ột trong những nhà toán
học lớn cvia th ế kv 20, d ã viết: “Calculus là th àn h tự u hàng đ ầu của toán
học hiộn dại, khó có th ể dánh gía h ế t tầ m quan trọng của nó. Tôi cho rằng
Calculus d ặ t mốc x u ất p h á t của to án học hiộn đại rõ ràng hơn b ấ t cứ cái
gì khác; và hộ thống của giải tích to án học, m ột sự p h át tricn logic của nó
vẫn còn tạo nên sự tiến bộ kv th u ậ t to lớn n h ấ t trong tư duy chính xác”
(nguyên văn tiếng Anh: The calculus was th e first achievement of m odern
m athem atics and it is difficult to overestim ate its im portance. I think it defines
- more micqiiivocally th a n any thing else the inception of m odern m athem atics;
and the system of m athem atical analysis, which is its logical development,
still constitutes the greatest technical advance in exact thinking, W o rld o f
M a th e m a tic s , V ol 4, N e w Y o rk : S im o n a n d S c h u s te r , 1 9 6 0 , “ T h e
M a th e m a tic ia n ,” b y J o h n v o n N e u m a n n , p p . 2 0 5 3 -2 0 6 3 ).
N ô i d u n g c ủ a b à i g iả n g
Tài liộu này gồm 8 clnrơng.
Các tiCn dề của số th ự c dược trìnli bày trong chương 1. Tôi klìOng chọn
lát cắt Dedekind (và dãy Caucliy) đổ xây dirng sổ thự c, vl liai lý do:
Tlnr n h ấ t là tlreo kinli n ^ iiệ m ciia nhfèu ng ٦TỜi till cácli xây dựng số tln.rc
tlico lát cắt Dedekind lioặc dãy Canchy là nliftng điều rấ t kliO hiểu dổi với
sinli viỄn năm tlu t nliắt.
Tliir liai là th ờ i gian quy dlnli clio bài giẳng rấ t liạn chổ.
Các kết quầ cliínli của d iư ơ ng 1 là : Hệ quầ rú t ra từ các tiẽii dC của sổ
tlurc; NguyCn ly các đoạn lồng nliau của Cairtoi.; TiCu cliuần Caucliy ve sự
tồn tại giới liạn a i a dãy sổ; D ây đơn điộu, sổ e; Giới hạn trê n và giơỉ liạn
dirơĩ (đây là phần kliO n liất ciia chương 1); Tiêu cliuẩn Stolỵ. Clurơng 1 có
30 bàỉ tập.
Clnrơng 2 dànli clio kliOng gian m etric de làm nền cho lý tliuyCt giới
hạn. T ập dOng, mờ, bi cliặn, tríi m ât, com pact, com pact dây, kliOng gian đủ,
kliOng gian liên tliOng là nhfrng kliái niệm cơ bần và dược trin h bày kliá clii
tiet. Dịnli lý Hchie-Borcl, địnli lý Bolzano-W eierstrass, dịnli ly Baire, nguyCn
1٠
- XI
trong klỉong gian luotric VI :
TliiV nhất là doi tirạng cua hài giảng này là các sinh viên kliá giỏi, họ đã
làm (ỊU('n \'ới giói liạn và liôn tục ờ chương tiình phổ thông.
T hứ hai là íict kiộui dirạc thời gian: lôi cnốn sinh vicn th n hiổn giải tích
''liiọn dại".
Vi ])han lìàiii một biốn là nội dnng cửa chương 4. Các định lý Format,
Rollo, Lagiango, Canchy, kHospital dược clnrng minh chi tiết. Kốt qnả qnan
trọng nhất của phần này là công thức Taylor và các áp dụng ciia nó. Hàm
lồi, các b ất dằng thứ c Jonson. Holder, Minkowski cfmg đirợc trình bày khá
đìxy ãủ. Chương 4 có 40 bài tập.
Chương ٠٢) dành cho tích phản Riomann-Stioltios. P hân hoạch, các tổng
Darbonx. tích phân tron, tích phân
- xii
bảiỉ ciia liaiii gaiiuna, b e ta сгга Euler ãvcọc tiin li bày Ờ cuổi cbuơiig. Cliirơiig
6 có 31 bài tập.
CluTơiig 7 clàiih cbo
- X lll
b An g k ý h iệ u
N T ập các số tir Iiliicii
Q T ập các sổ liĨTii ty
IR T ập các sổ tli^ĩc
Ri T ập các số tlnrc klioug âm
! T ập các sổ tliirc v à —oo, oo
Z T ập các sổ Iiguycii
c T ập các sổ pliitc
ae A a tliưộc A
aệ A a klìOiig tliirộc A
ЗаеА Tồn tại a e A
Va جA Vói mọi a e A
٠ T ập I.ỗng
A cB A là tậ p con c١ ؛a B {A bị clnta tio n g
AUB Hợp ci١a A và B
АПВ Giao a \ a A và B
A \B H ìộu сг’і а A và B
X جP} A tậ p các p b ần t ١v x ﺝX có tínli cliẩ'
|.τ جp ﺭ T ập các p b ần tiV .T E I có tínb cliất
Æ' Plian bíi ciia 4ﺩ
Α° Pliân tio n g ciia A
Bao kin c١١ia A
дА Bien ci ؛a A
- X IV
f iA ) Aiili cxvd A cina /٠/
!
í'.
اNgliịcli ảiili c ١١a
Dạo liàiii Clia
Dạo liàiii cấ p liai cila
f
B ٩ iia
ا/٠
(.٩:.„)={
.٧т٨ ,л
f in ) Dạo liàm cấp
Dãv (sổ lioặc dãy các pliầii tiV)
n cila
n۶ ٨:
Hợp các tậ p A .ị
٠
.ﻟﻢ
Eﻢ.?'ﻟ:
Giao các tậ p A?
Па?،.!
tổiig các số
tícli các sổ Oi
tícli sổ 1 ...1 1 ,
(2„.)!! tícli các sổ cliẵii 2.4...2ii
|ا.ﺄ.ﺑт|ا
( 2 ĩi+ l) !! tíc l các sổ lổ 1
Giá tiị t ٩iy ؛t dổi cila X
. 1 + ﺓ...( 2) ﺍ ﺍ
Hw pE
[·т] Cliiiẩii của
Pliầii iigiiyCii ciia 'X
Gậii titii ddiig ci١a
.r
E
maxﺀﺀ
iììíE Cận dưới dlm g cda
Giá tiị lớn Iiliất cila
E
E
)
а(:7-)~
о =
/5
mill
(ﺎﻻ.ﺟт)١avOGiá tii bó n liất cda
a.
tiĩơng dirong vớ ؛ị ỉ
là cíing bó bậc cao lion
E
vô ﻢ
وﻟ cínig b í
- XV
/ -=^fj Địuli ngliia f là CJ
Aiih xạ / từ X vào Y
Dãy Xj,^ liội tụ đcn X
fog Hàiu lìợp của / và q
lim liiii sup Liin trôn
"“.٠٥^ 7Í-—T0C
Ihu — lini inf Giới liạn dưới
//.-٢oc ''.“ ^٠٥
tícli phân tif.li
tích phân dưới
(?;) =» (u) (i) suy ra (ii)
(7;)
- | ; .؛ ل
- ٤.
h,:
'.ﺇﻭ
:h
- C hương 1
SỐ T H Ự C
Hầu hốt các kliái Iiiộiii cơ bản của ٤oán liọc (nlnr giớ ؛bạn, liCn tnc, vi
])bản \'c١i tícb I)liân) đều tb.ra tron kliái niộm vồ số tln.TC. Tbể nlnrng s ố th ư c
là g ì? Đâv là m ột câu liổỉ rấ t klió. Vi ؛c xâv tb.rng sổ tlnrc là m ột vấn đề cơ
bản của tcán lìọc. Ngà\' na ١', sổ tlu.ĩc tlurờng đirợc xây dirng tboo các plurơng
pbáp sau:
P li ١ĩơng pliáp nlìát, cắt, Dodokind؛
P lì ١ĩơng pliáp dãy СаггсЬу؛
P l اl٢ơng ỉ)báp tiOn dO.
Trơng gláơ trinli này t,a sir dụng pliiíơng pliáp tiín do đổ xây dựng sổ
tlnrc (Ví١١ klibng di sâu vào clii tiOt). Bạn cliỉ cbn nbớ rằn g số tln.rc là nbi.rng
số mb lĩi.in d a ٩ ηοη blOt có các pliOp tínb cộng (trír ) nliân (cliia), có quan bộ
tlnV tir (sổ Iiiby 1(711 lion. bO bơn bav b ằng sổ kia) \'à, dặc biỌt, bạn pbải tliíra
Iiliận T ie n đG vG c a n t r ê n (m à dirơi d ây so tiln b bày). TliO là bạn d ã có
dil "libiili tran g ’' do liiOu nln.rng vấn dồ tiOp tlioo cila giáo trinb này.
1.1 C á c tỉê n đ ề c ứ a số tliư c
1.1.1 Đ ỉn h Iig h la
TcỊp c(Ìc Sổ t ì i a c c l là tập các рЬ.сіи. tac ■Л'٠ч)١г ١ ... cỏ lì.ai ph.ép tíub. cộu.g,
■u-l).(lu. 'ũ(\ {i.aau ١١٠ệ t.b.ac taç tb.ồa т а и , các tàêu. d ١ê (ν٦١١Λ ·؛٦١ ؛٦ Μ·ϋ١١ d 'ư ớ i ﻭﺍ'ﺀﺓﺓ:
(i.) ? ﺍﺃ. )ﺁﻍtí.ub. côu.g -V a)a ρ1ι.έ'٤١ t.í.ub. ub.du. ٠ sao clao
- 4~: M xR - R
(.ĩ, ?7 ) — ب.Xرو ب
là ĩì.h.óĩìi. giao 1١.οά^.١ tũc 1ﺓ,ﻭ
. x-V ٦j : ٧ -Vx ٩ ؛ﺅﻝm.ọi x,]] e l ;
. X + ( رو+ ^) ى (X + 2 + ( روvớ i m.ọi X ,رو, г جI ;
. tồĩì, tại phain. l.ử ữ e l sao c ١١,o χ -\- ^؟: χ xởi Ĩ1٦٠ỌÌ X- e l ;
. với mọi X جR tồn tại - X جR sao clio X + (-X ) : 0 —ﻧﻢX đĩCỢC
go؛- la ph-ầìn tử aổl của X,);
R xR !
ﻯ٠, ' ﻻ١ -¥ χ = روX ٠ رو
1Д٦| ١١ la ■ηΙιότΓίΊ. g؛.ao liodu, tức la,
. ХД] : px XỚ■ )؛Ш-ОІ χ.,ρ e l \ ﻷﺍ١;
. χ ( ۴ ) = (χ?7)^ với W/Çi X,رو, ج ةR \ {0};
. tòa tạl phax. tử 1 e l sao c1١٠o \x ﺕX. XỞI ٣١٦ﺀ0 )؛X. e l \ ^ ữ ١;
. với m,ọi X جR \ ( ز ه, tần tại X~1 e ! \ {0} 5ữơ cho χ ( χ - ^ ) = 1
(x “ ! ằ cợ c go؛, la p ١١.ầa tử ٦٦.g1١٠١c ١ì. aào cda X);
G؛ũa
٠ 1١a ؛. pli.ép t'í٠a1١, ĩì٠àp có iii-oi. lien. ١١٠ệ saa
ﺇ؛'ﺍ “V ζ>■ : Χ4| ١ χ.ζ (tí.al. c١١,ăt plí.dx, plì.ổl) ^ x ,p ٩z e l .
(ll) Qaiax. b.ệ tlì-ũ tic < sao cb.o aổl xởl b.a؛. pb,ax٠ tả bẫt k٠p x ٦p ﺍ ﻉta
latou luou có X. < ١] ١١٠oặc Я] < X xd qx^ax. b.ệ < cỏ các tí-^-b. cb.át saa:
. X < χ \ίχ ﺍ ﻉxd ĩì.ếai X. < ١і ١ P < .r tbí. X. = ١] (tíab- pbda- ^róag);
. иегі '.X. < ١і ١ li < Z tb.١٠ X. < z (tíxb. bắc cầa);
. X.
nguon tai.lieu . vn
