Xem mẫu
- Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017
TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA
Nguyễn Bá Đang
Hội toán học Hà Nội
Tóm tắt nội dung
Tứ giác điều hòa đưa vào nội dung giảng dạy các trường Trung học phổ thông chuyên.
Để giúp các thầy cô hiểu rõ thêm và tứ giác đặc biệt này xin giới thiệu: khái niệm, tính
chất và các bài toán áp dụng.
1 Định nghĩa
AB CB
Định nghĩa 1. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, đồng thời thỏa mãn điều kiện =
AD CD
được gọi là tứ giác điều hòa.
Ví dụ 1. Cho đường tròn (O), và điểm M. Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến
MCD ( MC < MD ) với đường tròn (O). Chứng minh tứ giác ADBC là tứ giác điều hòa.
Lời giải. MA, MB là tiếp tuyến với đường tròn (O),
ADC = MAC ∆MAC và ∆MDA đồng dạng (g,g), tương tự ∆MBC, ∆MDB đồng
dạng, MA = MB, suy ra tứ giác ADBC là tứ giác điều hòa.
Nhận xét 1. Tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa khi tiếp tuyến tại A và C và đường thẳng
BD đồng quy, hoặc tiếp tuyến tại A và C cùng song với đường thẳng BD. Đây là cách
dựng tứ giác điều hòa đơn giản mỗi khi ta gặp bài toán xuất hiện tứ giác điều hòa.
39
- Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017
2 Tính chất
Tính chất 1. Tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa thì AC.BD = 2AB × CD = 2BC × AD.
Chứng minh. ABCD là tứ giác điều hòa Mặt khác ABCD là tứ giác nội tiếp theo định lý
Ptolemy AC × BD = 2AB × CD = 2BC × AD.
Tính chất 2. Tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa nội tiếp đường tròn (O), tiếp tuyến tại A
MD ED
và C cắt nhau tại M, AC cắt BD tại E thì = .
MB EB
MD S CD sin ∠ DCM ED S AD sin ∠ DAE
Chứng minh. Ta có = MCD = , = AED = ,
MB S MCB CB sin ∠ BCM EB S ABE AB sin ∠ BAE
ABCD nội tiếp đường tròn (O) và MA, MC là tiếp tuyến nên sin ∠ BCM = sin ∠ BAC =
AD CD
sin ∠ BAE, sin ∠ DCM = sin ∠ DAE, ABCD là tứ giác điều hòa. Suy ra = và
AB CB
MD ED
= .
MB EB
MD ED
Đăt ( MEDB) = = .
MB EB
Tính chất 3. Tứ giác điều hòa ABCD, đường phân giác các góc ∠ BAD, ∠ BCD và đường
thẳng BD đồng quy.
Chứng minh.
Giả sử đường phân giác góc ∠ BAD cắt BD tại E theo tính chất đường phân giác, suy
EB AB AB CB CB BE
ra = . ABCD là tứ giác điều hòa nên = và = . Suy ra CE là
ED AD AD CD CD ED
phân giác của góc ∠ BCD, (đpcm).
Tính chất 4. ABCD là tứ giác điều hòa, M là giao điểm tiếp tuyến tại A và C, MO cắt AC
tại I thì AI là phân giác góc ∠ BID.
EB MB
Chứng minh. AC, BD cắt nhau tại E nên = suy ra I(MEBD) chùm điều hòa,
ED MD
I M ⊥ AC, IA là phân giác góc ∠ BIC.
Tính chất 5. Cho tứ giác ABCD, tiếp tuyến tại A và C cắt nhau tại điểm M thuộc BD thì
tiếp tuyến tại B và D gặp nhau trên AC.
40
- Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017
Chứng minh. Với giả thiết đã cho tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa (đpcm).
EB AB2
Tính chất 6. ABCD là tứ giác điều hòa, AC, BD cắt nhau tại E thì = .
ED AD2
Tính chất 7. ABCD là tứ giác điều hòa, M là trung điểm AC thì ∠ ADB = ∠ MDC.
Chứng minh. Hai tính chất này cho thấy ABCD là tứ giác điều hòa, AD là đường đối
trung của tam giác ABC, do đó ta có ngay đpcm.
Đây chỉ là những tính chất cơ bản về Tứ giác điều hòa.
41
- Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017
3 Ví dụ áp dụng
Bài toán 1. Cho đường tròn (O) và dây AD, gọi I là điểm đối xứng của A qua D, kẻ tiếp
tuyến IB với đường tròn (O), từ A dựng tiếp tuyến với (O) cắt IB tại C, CD cắt đường (O)
tại E. Chứng minh rằng EB song song với AD.
Lời giải.
Với giả thiết suy ra CA, CB là tiếp tuyến tứ giác AEBD là tứ giác điều hòa, suy ra
DA EA DI EA
= , mặt khác AD = DI nên = , suy ra ADBE nội tiếp, nên ∠ BDI =
DB EB DB EB
∠ BEA, suy ra ∆BDI, ∆BEA đồng dạng (c.g.c), do đó ∠CBE = ∠EAB = ∠ BID. Vậy nên
BE k AD.
Bài toán 2. Cho tam giác ABC, M là AM, BM, CM cắt BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F.
N là điểm BC sao AM vuông góc với MN, Gọi P và Q là đối xứng của M qua DE và DF.
Chứng minh rằng P, Q, N thẳng hàng
Lời giải. Theo giả thiết P và Q đối xứng với M qua DE và DF nên DP = DM = DQ, suy
ra Q, M, P nằm trên đường tròn tâm D bán kính DM. Mặt khác, AM ⊥ MN nên NM là
tiếp tuyến của đường tròn tâm (D).
Gọi K là điểm đối xứng của M qua BC thì K thuộc đường tròn (D), suy ra NK là tiếp
tuyến của (D) và MQKP là tứ giác điều hòa N, P,Q thẳng hàng.
42
- Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017
Bài toán 3. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), AB và CD cắt nhau tại P, AD cắt
BC tại Q, AC cắt BD cắtnhau tại M. Chứng minh rằng O là trực tâm tam giác MPQ (Định
lý Brocard).
Điểm Brocard được công bố bởi Henri Brocard, một sĩ quan quân đội Pháp, năm 1825.
Lời giải. Từ P kẻ tiếp tuyến PE, PF với đường tròn (O), gọi I, K giao điểm của IF với AB,
CD, suy ra tứ giác BEAF là tứ giác điều hòa nên (PIAB) = (PKDC) theo giả thiết BC, AD,
EF đồng quy. Vậy Q thuộc EF.
Mặt khác cũng từ (PIAB) = (PKDC), suy ra AC, BD, IK đồng quy. Vậy M thuộc EF do
PO ⊥ EF nên PO ⊥ MQ.
Chứng minh tương tự QO ⊥ MP, suy ra O là trực tâm ∆MPQ.
Bài toán 4 (Moldova MO 2014). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, đường phân
giác góc gặp nhau trên cạnh BD. Đường thẳng qua C song song với AD cắt đường thẳng
đi qua A và trung điểm BD tại P. Chứng minh rằng tam giác PCD là tam giác cân.
Lời giải. Theo giả thiết đường phân giác các góc cắt nhau tại E thuộc BD, theo tính chất
AB BE CB
của đường phân giác, suy ra = = nên tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa.
AD DE CD
Theo định nghĩa tứ giác điều hòa, suy ra tiếp tuyến tại A và C cắt nhau trên BD. Gọi
M là trung điểm BD và T giao điểm của hai tiếp tuyến là T. Từ đó suy ra AC là đường
đối trung của tam giác ABD. Suy ra ∠CDT = ∠CDB = ∠CAB = ∠ MAD, CP k AD
43
- Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017
nên ∠ DAP = ∠ APC, ∠ PCD = ∠ ADC. TC là tiếp tuyến nên ∠ ACT = ∠ ADC (cùng
CT CD
chắn cung AC). Suy ra ∆DCT và ∆PCA đồng dạng (g.g) nên = suy ra ∆TAC và
CA CP
∆DCP đồng dạng (c.g.c), suy ra ∆TAC là tam giác cân nên ∆DCP là tam giác cân.
Bài toán 5. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), A cố định B và C thay đổi song
với đường thẳng cho trước. Tiếp tuyến tại B và C với đường tròn (O) cắt nhau tại D. Gọi
M là trung điểm BC, đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh rằng DN
luôn đi qua điểm cố định.
Lời giải. Tiếp tuyến tại B, C với đường tròn (O) nên AD là đường đối trung của ∆ABC,
MB = MC nên ∠ BAD = ∠CAM. Đường thẳng DN cắt đường tròn (O) tại I nên AN
là đường đối trung của ∆BIC, suy ra ∠ N IC = ∠ MIB, nhưng ∠ N IC = ∠CAN nên
∠ N IC = ∠ DAB, gọi AD cắt BC đường tròn (O) tại E, EN k BC, N I k BC, BC song với
đường thẳng cho trước, A cố định, suy ra I cố định.
Ngoài ra, ta còn cách dùng tính chất: Tứ giác ABEC, ANCI là tứ giác điều hòa từ đó
suy ra I cố định.
Bài toán 6 (STS VN 2001). Cho đường tròn (O1 ) và (O2 ) cắt nhau tại A và B một tiếp
tuyến chung PQ (P thuộc O1 và Q thuộc O2 ). Tiếp tuyến tại P và Q với đường tròn ngoại
tiếp tam giác APQ cắt nhau tại E, gọi D là điểm đối xứng với B qua PQ. Chứng minh
rằng A, D, E thẳng hàng.
Lời giải.
PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O1 ) và (O2 ) nên ∠ PAB = ∠ BPQ, ∠QAB = ∠ BQP,
suy ra ∠ BPQ + ∠ BQP = ∠ PAQ. Theo giả thiết D đối xứng với B qua PQ nên ∠ PDQ =
∠ PBQ = 1800 − ∠ BPQ − ∠ BQP == 1800 − ∠ PAQ, suy ra tứ giác APDQ nội tiếp. AB cắt
BP MB
PQ tại M nên MP = MQ và ∆PBM và APM đồng dang (g.g), suy ra = . Tương
AP MP
BQ MB BP AP DP AP
tự, = suy ra = , theo giả thiết PB = PD, BQ = DQ vên = , suy
AQ MQ BQ AQ DQ AQ
ra tứ giác APDQ là tứ giác điều hòa và E, D, A thẳng hàng.
Bài toán 7. Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh BC, CA,
AB lần lượt tại D, E, F, đường thẳng AD cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai là M, BM,
CM cắt đường tròn (I) tại P và Q. Chứng minh rằng AD, BQ, CP đồng quy.
44
- Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017
Lời giải. BC, CC tiếp xúc với đường tròn (I) tại D, E nên tứ giác MEQD là tứ giác điều hòa.
Suy ra MEQD nội tiếp nên MQ × DE = ME × DQ + MD × EQ, MQ × DE = 2ME × DQ,
MQ 2ME × DQ
suy ra = .
QC DE × QC
BP BP × DF
Tương tự MFPD là tứ giác điều hòa nên = suy ra
PM 2MF × PD
DC MQ BP DC 2ME × DQ BP × DF
= × . (1)
DB QC PM DB DE × QC 2MF × PD
Tứ giác MEDF cũng là tứ giác điều hòa nên
ME DE
= . (2)
MF DF
CQ CD
∆CDQ và ∆CMD đồng dạng (g.g), nên = , tương tự
DQ DM
BP DP
= . (3)
BD DM
DC MQ BP DC DQ BP DC MQ BP
Từ (1), (2) suy ra = . kết hợp (3), ta được = 1.
DB QC PM DB DP CQ DB QC PM
Theo Định lý Ceva thì MD, BQ, CP đồng quy.
45
- Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017
Bài toán 8. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), đường phân giác góc ∠ B, ∠C
cắt đường tròn (O) tại M và N. G là điểm trên cung nhỏ BC, I1 , I2 là tâm đường tròn nội
tiếp tam giác ABG và ACG, gọi P là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) với đường tròn
ngoại tiếp tam giác GI1 I2 , D là trung điểm MN. Chứng minh rằng P, I, D thẳng hàng.
Bài toán 9. Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I), gọi M, N, P, Q là tiếp điểm của
(I) với cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng AC, BD, MP, NQ đồng quy.
Lời giải.
Vì AC, BD đi qua I nên AC, BD, MP, NQ đồng quy. AC, BD không qua I: Gọi K, E là
giao điểm AC với (I), KE không qua I, tiếp tuyến tại K và E cắt nhau tại S nên MKQE là
tứ giác điều hòa, suy ra MQ, NP đi qua S.
GM SM JN SN
Gọi G, J là giao điểm MS, NP với AC, suy ra = . = nên GE, MP, NQ
GQ SQ JP SP
đồng quy. Suy ra AC, MP, NQ đồng quy, tương tự BD, MP, NQ đồng quy nên AC, BD,
MP, NQ đồng quy.
Bài toán 10. Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I), gọi M, N là tiếp điểm của (I)
với cạnh AD, BC, đường thẳng BM, DN cắt (I) tại E và F. Chứng minh rằng EF, MN, BD
đồng quy.
Lời giải.
46
- Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017
Gọi P, Q là tiếp điểm của (I) với cạnh AB, CD Theo ví dụ trên thì AC, BD, MN, PQ đồng
MP MN QE MF
quy. Mặt khác các tứ giác MPEN, NQFM là tứ giác điều hòa, = , =
EP EN QN MN
MP.EN.QF MP QF EN MN MF EN
nên = = = 1.
PE.NQ.FM EP QN FM EN MN FM
Do MN, PQ, EF đồng quy EF, MN, BD đồng quy.
Bài toán 11 (VN TST 2004). Cho hai đường tròn (O1 ) và (O2 ) cắt nhau tại A và B.Các
tiếp tuyến tại A, B của đường tròn (O1 ) cắt nhau tại K.Giả sử M là điểm trên đường tròn
(O1 ) nhưng không trùng với A, B, đường thẳng AM cắt đường tròn (O2 ) tại P, đường
thẳng KM cắt đường tròn (O1 ) tại C và đường thẳng AC cắt đường tròn (O2 ) tại Q.
Chứng minh trung điểm PQ thuộc MC và đường thẳng PQ luôn đi qua điểm cố định
khi M chuyển động trên đường tròn (O1 ).
Lời giải. Theo giả thiết KA, KB là tiếp tuyến với đường tròn (O1 ) cắt nhau tại K, KM cắt
(O1 ) tại C nên tứ giác ACBM là tứ giác điều hòa, suy ra
AM BM
= . (1)
AC BC
∆BCQ, ∆BMP đồng dạng nên
BM MP
= . (2)
BC CQ
Gọi I là giao điểm MK vớp PQ, áp dụng định lý Menelaus ∆APQ, cát tuyến M, K, I,
kết hợp (1), (2), ta được IP = IQ . Tứ giác BQJP là tứ giác điều hòa, suy ra tiếp tuyến tại B,
J với đường tròn (O2 ) cố định J cố định.
Bài toán 12 (IMO 2003). Giả sử ABCD là tứ giác nội tiếp. Gọi P,Q,R là chân các đường
vuông góc hạ từ D lên các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng minh rằng PQ = QR khi và
chỉ khi phân giác các góc ABC, ADC cắt nhau trên AC.
Bài toán 13. Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), tiếp tuyến tại B, C
cắt nhau tại D. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt BC tại E,trên DE lấy P và Q
sao cho DP = DQ = DB. Chứng minh tam giác ABC và tam giác APQ đồng dạng.
Lời giải.
47
- Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017
Theo giả thiết ∠CBD = ∠CAB, ∠ DBA = ∠CBD + ∠ ABC = ∠CAB + ∠ ABC ==
1800 − ∠ BCA, gọi M là giao điểm BC và OD thì AD là đường đối trung, suy ra ∠ BAD =
DB sin ∠ BAD
∠CAM. Áp dụng định lý hàm số sin cho ∆BAD, ∆CAM, ta có = =
DA sin ∠ DBA
sin ∠CAM MC
= . DP = DQ nên ∠ DMS = ∠ DAE = 900 . Suy ra D, M, A, D nằm trên
sin ∠ BCA MA
BC MC AC
đường tròn ∠ AMC = ∠ ADQ nên ∆MAC và ∆DAQ đồng dạng, nên = = ,
PQ DQ AQ
∠ ACB = ∠ AQP nên ∆ABC và ∆APQ đồng dạng.
Bài toán 14 (Japan). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), đồng thời thỏa mãn
AB CD
= . Gọi P là giao điểm của AD và BC, Q là giao điểm AB và CD, gọi E, F, H, G
AD CB
lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Đường phân giác cắt EG tại S, đường phân giác
góc cắt FH tại T. Chứng minh rằng ST song song với BD.
Tài liệu
[1] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên, 1997), Hình học và một số vấn đề liên quan, NXB Giáo
dục.
[2] Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình (2005), Bài tập nâng cao và một số chuyên đề
hình học 10, NXB Giáo dục.
[3] Yufei Zhao, IMO training 2008, Circles.
[4] Kin Y.Ly, Pole and polar,Mathematical Excalibur.
[5] Tài liệu từ internet,...
48
nguon tai.lieu . vn
