- Trang Chủ
- Toán học
- Trí tưởng tượng không gian và vai trò của nó trong giáo dục toán học
Xem mẫu
- NGHIÊN CỨU LÍ LUẬN
Trí tưởng tượng không gian và vai trò của nó trong giáo dục
toán học
Đào Tam TÓM TẮT: Bài viết đưa ra quan niệm về không gian, trí tưởng tượng không gian thông qua
Trường Đại học Vinh các khả năng đặc trưng. Đặc biệt, trong bài viết, tác giả nhấn mạnh vai trò của việc phát
182 Lê Duẩn, Vinh, Nghệ An, Việt Nam
Email: daotam.32@gmail.com triển trí tưởng tượng không gian đối với việc nhận thức hình học. Một số thể hiện của trí
Đậu Anh Tuấn tưởng tượng không gian trong học toán và trong thực tế. Theo tác giả bài viết, trí tưởng
Trường Cao đẳng Sư phạm Nghệ An tượng không gian có vai trò quan trọng trong giáo dục toán học cho học sinh, không chỉ
389 Lê Viết Thuật, Vinh, Nghệ An, Việt Nam trong giải quyết các bài toán toán học mà còn có nhiều ứng dụng trong giải quyết vấn
Email: dauanhtuancdsp@gmail.com
đề thực tế.
TỪ KHÓA: Không gian; trí tưởng tượng không gian; giáo dục; toán học.
Nhận bài 30/11/2017 Nhận kết quả phản biện và chỉnh sửa 25/12/2017 Duyệt đăng 25/02/2018.
1. Đặt vấn đề chúng thành khái niệm hay biểu tượng, bảo đảm sự tri giác
Giáo dục toán học trên thế giới xem trí tưởng tượng những tương quan không gian đã có, biến đổi chúng trong óc,
không gian (TTTKG) là một năng lực quan trọng trong trên cơ sở đó, xây dựng biểu tượng không gian mới.
nhận thức hình học và nhận thức hiện thực khách quan. Ở
Việt Nam, tư tưởng phát triển TTTKG đã được nhiều tác 2.1.2. Khái niệm trí tưởng tượng
giả quan tâm như: Nguyễn Văn Thiêm [1], Bùi Văn Nghị Các nhà tâm lí học quan niệm: “Tưởng tượng là một quá
[2], Lê Thị Hoài Châu [3], Nguyễn Mạnh Tuấn [4]… Tuy trình nhận thức phản ánh những cái chưa từng có trong kinh
nhiên, việc thống nhất cách hiểu không gian đặc biệt là nghiệm của cá nhân bằng cách xây dựng những hình ảnh
việc đưa ra các thành tố đặc trưng của TTTKG chưa được mới trên cơ sở những biểu tượng đã có” dẫn theo [5], trong
tường minh. Bài viết này nhằm khắc phục những tồn tại đó biểu tượng là “hình thức của nhận thức, cao hơn cảm giác,
nêu trên và bước đầu khai thác tư tưởng phát triển năng cho ta hình ảnh của sự vật còn giữ lại trong đầu óc sau khi tác
lực người học trong đổi mới giáo dục toán học hiện nay ở động của sự vật vào giác quan ta đã chấm dứt” [6]. Tưởng
trường phổ thông. tượng có những đặc điểm cơ bản sau:
- Về nội dung phản ánh, tưởng tượng phản ánh cái mới, cái
2. Nội dung nghiên cứu chưa từng có trong kinh nghiệm của cá nhân hoặc của xã hội.
2.1. Sơ lược về trí tưởng tượng không gian - Về phương thức phản ánh, tưởng tượng tạo ra cái mới từ
2.1.1. Khái niệm không gian các biểu tượng đã có và được thể hiện chủ yếu dưới hình thức
Khái niệm “không gian” đề cập trong bài viết là không gian các hình ảnh cụ thể.
Euclide hai chiều, ba chiều trong giáo trình trung học phổ - Về cơ chế sinh lí, tưởng tượng có cơ sở sinh lí là sự phân
thông (dựa trên những biểu tượng không gian thực mà con giải các hệ thống liên hệ thần kinh tạm thời đã có và kết hợp
người có thể cảm thụ được - không gian vật lí). Trong các biểu thành những hệ thống mới trên vỏ não.
tượng mà trí tưởng tượng không gian (TTTKG) vận hành phản - Tưởng tượng là một quá trình tâm lí, có nguồn gốc xã hội,
ánh những tính chất (hoặc dấu hiệu) các đặc tính không gian. được hình thành và phát triển trong lao động, do đó chỉ có ở
Trên cơ sở đó, chúng tôi cho rằng không gian được hiểu con người mà thôi.
là một cấu trúc bao gồm: Các hình hình học, các vật thể; Các Theo [7], “khi con người đứng trước một hoàn cảnh có
tính chất định tính: Hình dạng của các hình, vị trí tương đối vấn đề - nguồn gốc của hoạt động, khi đó sẽ có hai hệ thống
giữa các hình, các vật thể, phương, hướng; Các quan hệ trước phản ánh đi trước của ý thức đối với kết quả của hoạt động
sau, phải trái; Các yếu tố về lượng: Khoảng cách, chu vi, diện đó: Hệ thống được tổ chức chặt chẽ của các hình ảnh và hệ
tích, thể tích các hình, khối, … thống được tổ chức chặt chẽ của các khái niệm. Khả năng lựa
Việc vận hành các biểu tượng không gian phụ thuộc vào chọn và kết hợp các hình ảnh là cơ sở của tưởng tượng, khả
hệ thống định hướng trong không gian hay hệ quy chiếu (sơ năng kết hợp những khái niệm theo một cách mới là cơ sở
đồ vật thể, căn cứ vào vị trí của người quan sát), khả năng của tư duy. Thường thì hoạt động này diễn ra cùng một lúc ở
di chuyển từ hệ quy chiếu này sang hệ quy chiếu khác, lựa cả hai “tầng”, bởi vì hai hệ thống hình ảnh và khái niệm có
chọn tùy ý (các yếu tố trừu tượng như điểm, đường thẳng,...), liên quan mật thiết với nhau, ví dụ sự lựa chọn một phương
không chú ý đến vị trí của người quan sát. thức hoạt động được thực hiện bằng những phán đoán logic
Trong quá trình hoạt động (vui chơi, học tập, lao động), gắn liền với những biểu tượng sáng rõ về hoạt động sẽ được
con người tách khỏi các tương quan không gian, phản ánh thực hiện như thế nào”.
50 TẠP CHÍ KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM
- Đào Tam, Đậu Anh Tuấn
Vậy đứng trước một hoàn cảnh có vấn đề, khi nào ta tư quá trình biến đổi tích cực của chủ thể. Những hành động này
duy, khi nào ta tưởng tượng? Điều này tùy thuộc vào tính tiến triển một cách năng động, phụ thuộc vào nội dung bài
bất định (không xác định, không rõ ràng) của hoàn cảnh có toán tri giác, tính chất đối tượng và trình độ nhận thức của
vấn đề nhiều hay ít. Nếu những tài liệu khởi đầu của nhiệm chủ thể. Kết quả của hành động là biểu tượng được thiết lập.
vụ, ví dụ của một vấn đề khoa học là rõ ràng, sáng tỏ thì quá Hoạt động trí óc với những biểu tượng ở đây nổi lên như hoạt
trình giải quyết nhiệm vụ chủ yếu được tuân theo những động trí óc độc lập, hoạt động tưởng tượng thực hiện chủ
quy luật của tư duy. Còn khi hoàn cảnh có vấn đề mang tính yếu không dựa vào tri giác và có một cấu trúc phức tạp (bao
chất bất định lớn, những tài liệu khởi đầu khó được phân gồm những hành động nhằm ghi nhớ trong óc hình ảnh ban
tích một cách chính xác, thì quá trình giải quyết nhiệm vụ đầu đã hình thành, ấn định trong biểu tượng những biến đổi
diễn ra theo cơ chế tưởng tượng. Có thể kết luận: “tưởng khác nhau hình ảnh đó, có căn cứ yêu cầu bài toán) nhằm vận
tượng hoạt động ở giai đoạn nhận thức khi mà tính bất định hành tự do và nhiều lần hình tượng đó. Hoạt động này theo
của hoàn cảnh quá lớn”. [4] được đặc trưng bởi:
Thống nhất với quan điểm trên, trong [5] nêu: “Giống với - Điều kiện đặc biệt xây dựng hình ảnh bên trong (tách khỏi
tư duy tưởng tượng phản ánh cái mới, chưa từng có trong cơ sở trực quan);
kinh nghiệm của cá nhân, nó cũng do các tình huống có vấn - Nội dung của hoạt động (biến đổi những biểu tượng đã có);
đề gây nên. Cho nên, tưởng tượng cũng thuộc trình độ nhận - Trình độ thực hiện hoạt động (biến đổi trong óc theo biểu
thức lí tính và thực chất nó là một quá trình sáng tạo cái mới tượng nhiều lần, có hệ thống hoàn chỉnh).
(mới đối với bản thân và đối với cả loài người). Nhưng khác Như vậy, theo chúng tôi, TTTKG thuộc phạm trù trực giác
với tư duy, tình huống có vấn đề trong tưởng tượng mang hình học đặc trưng bởi các khả năng sau đây:
tính chất không xác định và phương thức phản ánh hiện thực - Khả năng hình dung các hình không gian qua các hình
khách quan của tưởng tượng là thông qua các biểu tượng và biểu diễn;
dưới hình thức biểu tượng. - Khả năng xác định vị trí tương đối giữa các đối tượng
Trong [5] đã nêu: “Giá trị của tưởng tượng là ở chỗ: Nó cho hình học, các hình hình học;
phép ta đi đến quyết định và tìm ra lối thoát trong hoàn cảnh - Khả năng xác lập mối quan hệ phụ thuộc giữa các hình
có vấn đề ngay cả khi không có đủ những tri thức cần thiết để hình học;
tư duy, nó cho ta nhảy cóc qua một vài giai đoạn nào đó của - Khả năng hình dung các mặt cắt, giao các hình không gian;
tư duy mà vẫn cứ hình dung được kết quả cuối cùng. Nhưng - Khả năng ước lượng kích thước các hình không gian;
chỗ yếu của tưởng tượng cũng chính là ở chỗ đó. Giải quyết - Khả năng chuyển hóa các quan hệ, các mối liên hệ vào
vấn đề bằng tưởng tượng thường không có sự chính xác, chặt các mô hình hình học đã biết thuận tiện cho việc giải quyết
chẽ một cách đầy đủ”. vấn đề;
- Khả năng chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học này sang hình
2.1.3. Trí tượng tượng không gian học khác để trực quan hóa mô hình nghiên cứu;
Theo quan điểm về trí tượng tượng vừa nêu, chúng ta có - Khả năng khai triển các hình thuận tiện cho việc tính toán;
thể hiểu TTTKG như là thuật ngữ tâm lí học, trong đó: - Khả năng sơ đồ hóa, tọa độ hóa để xác định vị trí, kích
- Tưởng tượng là quá trình nhận thức phản ánh những cái thước, khoảng cách giữa các hình;
chưa từng có trong kinh nghiệm của cá nhân bằng cách xây - Khả năng mô hình hóa các hiện tượng thực tiễn bằng
dựng những hình ảnh mới trên cơ sở những biểu tượng đã có. ngôn ngữ và kí hiệu hình học;
- Đối tượng của trí tưởng tượng ở đây là không gian, nghĩa - Khả năng xác lập các đối tượng không gian mới trên cơ
là những biểu tượng trong quá trình tưởng tượng, là những sở các đối tượng không gian đã có.
biểu tượng không gian. Với cách hiểu như trên, TTTKG có 2 mức độ:
Như vậy, TTTKG là hoạt động trí óc thể hiện quá trình biến Mức độ 1: Giúp hiểu sâu sắc các đối tượng hình học, ý
đổi những biểu tượng không gian đã có nhằm kiến tạo những nghĩa hình học của các biểu thức hình thức được diễn đạt
biểu tượng không gian mới. theo ngôn ngữ đại số (ngôn ngữ véc tơ, tọa độ).
Trong [1] có nêu: “TTTKG là quá trình biến đổi trong óc Mức độ 2: Giúp kiến tạo các đối tượng hình học mới trên
những biểu tượng không gian đã có, tức là những biểu tượng cơ sở biến đổi các đối tượng và quan hệ đã có.
về tính chất và quan hệ không gian, biến đổi một cách tự do,
có chủ đích nhiều lần, theo nhiều chiều hướng khác nhau, 2.2. Thể hiện của trí tưởng tượng không gian trong học
không dựa trực tiếp vào tài liệu trực quan xuất phát, nhằm toán và trong thực tiễn
xây dựng biểu tượng không gian mới, có tính chất sáng tạo 2.2.1. Thể hiện của việc phát triển trí tưởng tượng
riêng, đáp ứng nhiệm vụ giải quyết vấn đề được đặt ra”. không gian đối với hoạt động nhận thức hình học
Cấu trúc của hoạt động trí óc với những biểu tượng được Trên cơ sở nghiên cứu nội dung của hoạt động nhận thức
diễn ra ở cả trình độ tri giác và trình độ biểu tượng. Khi hình toán học, chúng tôi đề cập một số thể hiện của TTTKG trong
thành hình tượng cảm tính, hoạt động được thực hiện trong hoạt động nhận thức hình học sau đây:
Số 02, tháng 02/2018 51
- ghiệm
ộii dạy
giúpchủxemHS đề xéthai
hình cácdung hình
đường cácsau hình
thẳng có không phải
chéo a/ lànhau,
Tạohìnhcơ
gian biểu
qua
có hội hình
thể diễncho
giúp của
biểu HShọcdiễn hai
hìnhsinh hình (HS)
dung chéo các nhau.
hình không gian qua hình biểu diễn
đề
ội hai đường
ải giúp
nghiệm HS Ví xem
hình dụthẳng xét
1:
dung Khichéo
các các hình
dạy
trảithẳngnhau,
hình
nghiệmsau
chủ có
có
đề
không thể
xemphải
hai cho
gian là
đường
xét các học
hình
qua sinh
biểu
thẳng
hình (HS)
diễn
chéo
biểu
sauhọc có củanhau,
diễn hai
phải (HS) là hìnhcbiểu=nhau.
cóhình c thể chéo
cho học
diễn sinh
của (HS)
hai hình chéonhau.
iét dạy
các chủ
hình đềsau hai có đường
phải là hình chéo
biểu Ví diễnnhau,
dụphải của có
1:chéo thể
haihình
Khi hìnhcho
dạybiểu chéo
chủ sinh
đềnhau. hai đường thẳng 2 Rchéo nhau, có thể cho học sinh
ội
sau giúp
iét dạy có
trải HS
phải
nghiệm
chủ hình
đề là hình
hai dung
xem biểu
đườngxét các các hình
diễn
thẳng hình của không
chéo hai
sau cógian
hình
nhau, qua
có là thểnhau. cho Cho học diễn
sinh
SAB của
sin( R
(HS)
180
có hai
= AB
o hình
− 2
= )
c; .chéo
SAB
Cho
Cho
Cho = nhau.
SBASAB
SABSAB= có
cócó . AB
AB
TínhAB = = =c;
c;
bán c; SABkính
SAB
SAB === SBA
đườngSBA
SBA ==
các hình sau NGHIÊN có phảiCỨU là hình LÍtrải LUẬN biểunghiệm diễn của= hai
xem xét ahình
các chéo
hình
nhau.
sau có Tính phải 2 sin
bán là đường
2hình
kính biểu diễn
tròn ngoại của hai
tiếp hình chéo nha
i dạy
ét các chủhìnhđề sauhai cóđường phải làthẳng
Cho
hình biểu
chéodiễn
SAB nhau,
có AB
của cóhaic; thểhình
SAB cho
SAB. =
a chéo học sinh
SBA =
nhau.(HS) SAB.
. SAB.
SAB.
a/ Tạo cơ hội giúp HS hình dung các hình không gian qua
c hình a biểu diễn
ét các hình sau có phải là
a hình biểuadiễn của hai hình Việc
SAB. chéo a giải nhau. c/
Rbài Cho phép
= toán này.tương HS Việc tưởng
Việcđốigiải
Việc giải
dễgiải tượng
bài bàitoán
bài
dàng: toán
toán phânnày nàytương
này tích
tương
tương chuyển
đối đốidễ
đối dễ dễdàn
dà hd
Ví dụ 1: KhiViệc dạygiải chủbài ađềtoán hainày đường tươngthẳng đốiÁp dễbộ dàng:
chéo
dụng phận nhau,
định của2lísin có
một
hàm 2thể hình
số sin choÁpkhông
Áp
taÁp học
dụng
dụng
có: a gian
dụng sinh
định
định
định (HS)
lílí
khác líhàm
hàmhàm số
nhằm sốsốsinsin
sin tatatacó:
đưa có: vấn đ
có:
b trảihình a/
a. Tạo
a Tạo cơcơ hộihội giúpgiúp HS hình
Áp HS
dụng dung hình
địnha các dung
líhình không
hàm các
số hình
gian
sin ta quakhông
có:
b gian
c. Cho phépqua HShình tưởng biểutượng diễnphân tích chuyển hóa hình
nghiệm xem a/xét Tạocác cơhình hội agiúpsau có HSphải hình làdunghìnhthuộc. cácbiểu hình
c/nhau, diễn
giankhông
Cho củasang
phép hai bộhình
gian
HS qua
tưởng chéo hình
tượng nhau. biểu phân diễn tíchkhác chuyển hó
b Ví biểu dụ adiễn
1: Khi dạy chủb đề hai đường
a thẳng chéo bkhông này
có thể cho phận
học của
b
một
sinh hình
ccc (HS)
không gian
Hình
a trảiHình 1 Ví dụ 1: Khi dạy chủ đề hai
1: Khi đường
dạy thẳng bchủ chéo Hình
nhau,
đềlàhình có
haibiểu 2
thể
đường nhằm
thẳng
cđưa vấn
chéo đề cần
nhau, giải quyết
có về
thể dạng
cho quen = thuộc
2 R
2học sinhthể(HS)
a/ Tạo cơ hội giúpVí HS dụ Sau khi học công o o o thức tính R R tíchvấn của đề tứ
bVí dụ 3:
bộ phận của một = 2hình không gian = = 2 2
−−khác nhằm đưa
hình dung các hình không gian qua diễn R
nghiệmbVíhọc 1dụ 1:sinh
xem axét các haibhình có Hình 2(HS)
csau có phải thể hình họcbiểu diễn của ) hai hình chéo nhau.
o
2 sin(
sin( 180
sin( 180
180 2−2 )) )của
cho Khi (HS) trảiđề nghiệm Hình xem 1
xét các 2hình
=nhau,R cósau phải sinhsin( 180
Ví dụ −3: Sau khi học Hình
công thức 2 tính thể tích tứ diện V,
a trải
dạy
nghiệm
chủ
sauxem
đường
xét
thẳng
là Hình bcác
chéo
b
) 2diễnhình của sau
cho
a hìnhcóchéo phải làchướng a tạobiểu
hình diễn củalớn hai bchéo nhau.
thuộc. chohình
o
a trảilà Hình
nghiệm
hình xem
biểu 1xétdiễn
các củaHình
hình hai 2sin(
có
hình 180
phải chéo hình 2biểu
−nhau.
b hai Hình
rabài
nhau. toán 2c ngại ra chướng lớn ngại cho HS. HS.ccc
Hình 2 R = 22. “Tính
c Hình ba 1 R= . RRHình == ..
R = Hình . 2 a Ví 2 sin dụ M 23: Sau khi y học công 22sin
2sin
sin2B
thức2 tính thể tích tích của củatứ tứ
a a
2 sin Hình 2
2
ax HS tưởng tượng c/c/c/Cho Chophép HSAC =hóa BD =bphân và AD
a b b a a c/ Cho aphép HS tưởng ra c/chướngCho phép ngại b lớn cho HS. Cho
phân atíchHS
phép
phép HS
chuyển tưởng
tưởng
tưởng tượng
tượng
tượng
hình phân
phân
không tíctí
a 1 b a tượng phân
bộ phận của A tích chuyển
một hình a không hóa bộbộhình
bộ phận
phận
gian phậnkhông của
kháccủa Nmột
của gian
một
nhằmmộthình này
hìnhđưakhông
hình Chướng
sang
không
không
vấn đềgian
gian
gian
cầnngạikhác
khác
khác
giải thể nhằm
nhằmhi
nhằ
quyế
aHình M y B “Tính
bb
HìnhHình
a a bộ 1 phận của một hình không 2 a
gian thuộc.khác nhằm Hình
đưa . Bvấn
b
2
. B đề cần
thuộc.
thuộc. giải
thuộc. quyết về dạng ađược đường cao vẽd
quen thể tích của tứ
thuộc. a xz C . B = BD =b và1AD
AC
Hình 1 b b a . B aa . B Ví dụ
Hình 2 3: Sau khi học . B
côngb VíVí
thứcVí dụdụ dụ 3:
tính3:3: Q
Sau
Sau
thểSau khi
khi
tíchkhi họckhông
học
củahọccông công
tứcông tính
diện thức
thứcVđược
thức tính
=tính tính Bh đtht
th
b
Ví dụ 3: Sau khi học công thức tính thể tích của tứ
a
. B A 1N
diện2V = Bh thì bài toán tạo . B Chướng ngại thể 3 hiệ
b a b Hình 1 Hình rararachướng
chướng
chướng 3 ngại ngạilớn
ngại lớnlớncho choHS.
cho HS.HS.
b Hình 3 ra . B
chướng
. B Hình 4
ngại lớn cho HS. được đường cao vẽ
ra chướng ngại lớn cho HS. b . B MHình 4 y P a M M D
M thể tích yyycủa tứ diện BBBABCD“Tính
“Tínhthể
“Tính thể
th
b Hình 3 B “Tính biế
M Hình 3yHình 4 B “Tính Hình 4= CD
b
a z
thể C
tích của tứ diện ABCD x biết Q AB không=a; tính đượcAC c”.==BB
= độ
b Hình Hình 4 x 4a của tứ diệnxxABCD AC biết = BD AB=b và =AD = BC = =AC AC
Hình 3 3 Hình
“Tính thể tích = CD a; AC
HS dễ dàng thấy được hình x 1, hình 2Hình và có
Hình 34thể
Hình 4
gặp AAC khó =BD BD khăn
=b=b và và
Việc ở hình
AD AD
khắc
= BC =N3, =BC
phục A
c”.hình
.A=ABnhờc”.4.
ahình sử dụng
Chướng Hình ngại mối 4 NN
thể liên
hiệnhệ
N ở chỗ giữaChướngHStứkhd
Chướn
Chướ
HS dễHS dàng thấy a được hình dễ 1, hình
dàng Hình 2
thấy và 4 có
được thể hình gặp khó khăn ở hình 3, 4.
viên
thấy sẽđượcđịnhHS hướng
hình
dễdàng
dễ dàng để
thấy
1,hướng
thấy
hình cho
được Ađược
bHS
hình
24. và
HS
Hình tưởng
1, hình
có
1,2 và
thể
Hình có tượng
gặp
2 và
thể gặp
khó
Nđược:
có
khó thểkhăn gặp khó
ở hình Chướng
3, thểP 1,
hình xây
4. hình
ngại
Chướng thể
dựng 2 hiện
ngại và thểcó
từ ởhiện
tứ thểởHS
chỗ
diện gặp
D
chỗ
bằng không
HS
được khó xác
không
cáchđường khăn qua định
xáccao ởcác hình
định
vẽ cặp từđược 3,cạnh
một hình
được
được
đỉnhđược đối 4.
đư
nà đ
hình
iáo 1, Giáo
viên hình
sẽ
HS
khăn định 2ởsẽ Hình
dễ và hướng
dàng có3, thể
Hình đểđể
thấy gặp
chođược
Giáo aviên
khó
HS hình khăn
tưởng
sẽ 1,
định Hình
ở hình
tượng
hình
hướng 4khăn
2để 3,
được:
và
cho hìnhởHS
có hình
được 4.
thể đường
đường
3, hình
gặp caokhó
cao vẽ 4.
khăn
từ
vẽ một
từ . ởB
đỉnh
một hình
nào
đỉnh đó.3,
nào Từ hìnhđó
đó. 4.
không
Từ đó tính được độ
- Đốiđược
thấy vớitưởng
viên
hình
định
với3,
1,hình ta
hình Giáo
3,chiếu
cho
2 và
HS
viên
hai
tưởng
có sẽtượng
đường
thể định được:
gặp hướng
thẳngkhó chéo
khănđể choởnhau hìnhHS
song theotưởng
3, lần phương
hình tượng
lượt 4.theo chứa được:
nằm zzztrong
các
Q C CCkhông
cạnh đó; bakhó
tính cặp
đượcmặt độQQ Q đường
phẳng
dài không
không
khôn
song
hướng
ho Giáo
HS - để
tưởng
Đối cho
viên
- Đối
với HS
tượng
sẽ tượng
hình
định tưởng
được:
được:
3,
hướng btaztượng
ta chiếu
chiếu
C
hai
để được:
đường
cho hai HS
thẳng
HS đường dễ
chéo
tưởng dàng
nhau
thẳng
theo thấy
tượng
Q
phương
chéo
z nằm
được
được:
không
C trong
dài
nhau hình
đường
tính theo 1,
được caohình
phương
độ dàia,2b,đường
vàc.
nằm có thể
caotrong . gặp
theoB a, b, c. khăn ở hình 3,cah
thấy
hẳng được
song hình
song song1,
với songhình
hai 2 và có
- haiĐối thể với gặp hình khó khăn
3, nhau ta ở
chiếu hình hai
ngoại 3,
Việc hình
đường
tiếp khắc tứ 4. thẳng
diện.
phục chéo
nhờ
nhờ nhau
xem
sử xét
dụng theo mốimối phương
liênliên hệhệtrên nằm
vàgiữa đã trongtứthúd
hướng để cho HS tưởng 3ta3,đường
tượng thẳng
được: chéo nhau lên mặt phẳng chiếu;
mặt phẳng với hai đường thẳng chéo nhau lên mặt phẳng chiếu;
ình
hiếuthấy 3,
hai tađường
được chiếu - Đối
-hình Hình
với
hai1,
thẳng
Hình
đường
hình4,chéo
ta chiếu
2 thẳng
vànhauGiáocó
đường
chéo
thể viên
theo b gặp
thẳng
nhau
sẽ
phương định
khó
chéo
nhautheo hướng
khăn
nằm
theo
phương
ở để
hình
trong cho Việc
nằm
3, HS khắc
hình Hình
trong phục
tưởng4. 4nhờtượng sử dụng được: mối liên hệ giữa tứ diện
ặt
hướng phẳng song
- Đối song
Đối với
với hình với
hình hai 3,
chiếu đường
ta
hai chiếu
đường thẳng
thẳng hai chéo chéo
đường nhau
theo thẳng
phương lên song mặt
chéo song phẳng
nhau chiếu;
theo phương P P P nằm trong D D D
ng- Đối
ình 3, để
với với
ta
hai
cho
phương
hình
với chiếu
một
đườngtrongHS 4,tưởng
nằm
hai
hai trong
ta
đường
đường
thẳng
mặt
chiếumặt
thẳng tượng
chéo
P
phẳng
phẳng
đó hai
thẳnglên mặt được:
nhau
song song
đườngchéo
phẳng song
lên
- chiếu.
Đối
song
với
thẳng
nhau
mặt
haivới
với
đường
theo
phẳng
D chéo
hình
haiphương
thẳngP
đường
thểtađối
nhau
chiếu;
3, xây hình
theo
chiếu
thẳng
tượng,
nằm hộp;
dựng phương chéo
hình
trong
hai
hoạt
từ đườngtứđộng
hộp D
nhau
có
diện
song thể điều
thẳng
lên
xây
bằng
song mặt
dựngứngcách
chéo
từphẳng
đểtứ qua
nhau
cấubằng
diện chiếu;
trúccách
các
theo
lại qua
cặpphương
bài
cạnh toán, đối
nằm
từd
hướng
đường
ình mặt-
3, tađể
thẳng
Đối
phẳngchovới
chéo
chiếu HS
chéo
song
Hình
nhau hình tưởng
nhau
lên
haithẳng 4,
song ta
3đườngđóthẳng
mặt tượng
lênvới
phẳng mặt
chiếu hai
chiếu; được:
phẳng
hai
đường
chéo đường chiếu;
thẳng
nhau thẳng chéo
theo chéo
nhau nhau
lên
các mặt
cặp theo
Hình
cạnh phẳng phương
đối4thẳngdựng chiếu;các songcặp mặt song phẳng song song lần lượt
ột
ng trong
với hai
hai
b/
đường
Giúp
đường
HS
chuyển
bộdễ thẳng
dàng
bài toán
chéo thấy -lên
không
Đối
nhau
gian
đượcmặt với
về
lên
bài
phẳng
hình hình
toán
mặt 1, 4,
phẳng
chiếu.
phẳng
hình ta phương
thông
chiếu
qua
song
chiếu;
2 và
việc
Thể
có hai
phân
lầnnằm
thể đường
tích
lượtgặp
trong
tứchứa diện
khó bằng
các
khăn chéo cạnh thể
ởViệc nhau
hình tích
đó; theo
hình
ba
3,song hình cặp phương
hộp
4.mặt trừ phẳngsong
đi tổng song
song thể
ới nh
ình
iếu một4,
3,
hai ta
ta chiếu
tích, - Đối
chiếu
đường
trong -
tách
Đối hai hai
cácvới
hai
thẳng
với
đường đường
Hình
phận
đường
hình
4, ta
phẳng
chéo Hình
thẳng
của
4, thẳng
chiếu
thẳng mặt
hình
nhau
ta đó 3
hai
không
chiếu chéo
phẳng
đường
chéo
theo
lên
gian
hai
mặt nhau
song
thẳng
nhau
liên
phương
quan
đường
phẳng
chéotheo
song
theo
đến điều phương
nhau
song
thẳng
chiếu. với
theo
phương
kiện hai
Việc
bài
song
toán
chéo
chứa song
đường
đề các
khắc
nằm nhau song
phục thẳng
cạnh
trong theo
đó;
nhờbaphương chéoHình
sửcặp dụngmặt nhau
ViệcViệc
4mối
phẳng khắc
song lên
khắc
khắc
song
liên mặt
phục
phục
hệphục
song phẳng
nhờ
giữanhờnhờ
này sử
tứ sử
tạosử chiếu;
dụng
dụng
dụng
thành
diện vàmốimối
mối
hình liên
liên
liê
hộ
ng
nh
b/ với
4,
Giúp tahai đường
chiếu
chuyển
giảiphương
các bài toán
hai
song thẳng
đường
bài
phẳng
song với
toán
quen chéo
với một
thẳng
Việc
thuộc.
một không nhau
trong
khắc
trong chéo
hai lên
gian
phụchai
đường mặt
nhauđường
về
nhờ phẳng
bài
thẳngsửtheo đóthẳng
toán
dụng lên chiếu;
phương
mối
mặt đó
ngoại
phẳng bằng
liênlên
hìnhtiếp
song
hệ nhau.
mặt
thông
hộp tứ
giữa phẳng
song
ngoạidiện.
tứqua diện
tiếp chiếu.
nhờ
việc
tứ
thể
thể và
diện.
thể xây xem
phân
hình
xây
xây Nhờ
dựng
dựng xét
hộp;
dựng xem từtừ mối
hình
từxét
tứtứ tứ mối
diệnhộp
diện
diện liên
liên
bằngcó
bằng hệ
bằng hệ trên
cáchtrên
cách
cách đã qua
quađã
qua các
cácthú
các cặ cm
gđường
ng với
đóvớilên Giáo
thẳng
hai
mặt Víviên
đường đó
phẳng 2:lênsẽthẳngđịnh
mặt
chiếu. hướng
phẳng
chéo nhau đểđáy-cho
chiếu. lên Đối HS
mặt với tưởng
phẳng hình thểtượng4,
xây
chiếu; tadựng được:
chiếu
= c,từ tứ hai diện đường bằng cách thẳng quachéo các cặp nhau cạnh theo đối dựng phương các cặp song
nh b/ta
4, một
Giúp HS
chiếu
phẳngtrong chuyển
dụ
dễhai
chiếu. hai
dàng
Cho đường
hình
đường
thể bài
thấy
chóp
xây toánthẳng
S.ABC
thẳng
dựngđược có
b/3,chiếu.không
Giúp
từ chéođó
hình
tứ
ABC lên
chuyển
diện
là mặt
gian
1,
nhau
tam
hình
bằng về
giácphẳng
theo bài
cáchbài
2
vuông
và tại
phương
toán
qua chiếu.
toán
có
C;
các
AB
thể phẳng
thúc
không song
cặp gặp
đẩy
cạnh thông
khó
song
các
gian đốihoạt khăn
vềdựng qua
động
bài
song ở việc
biến
các hình
toán
lần cặp đổi
lượt phân
3,
đối
phẳng
mặt chứahình
tượng,
phẳng thông
các 4.
hoạt
songx
cạnh
2
động
+ quay
đó;
2
điều
= baa
việc
2
cặp phânmặt
đường
ách các thẳng
bộtoán đó
phận lênphẳng mặt phẳng
của 1,đối tượng, hoạt động điều ứng để cấu trúc lại bài toán, từ
đáy hình không gian liên song quan
tiếplần đến
lượt
chóp chứađiều kiện
các cạnh bài song
songtoán
đó; lầnlần
ba đề
lượt
cặplượt chứa
mặt chứa phẳngcác các cạnh
cạnh
song đó;
đó;
song ba ba cặp
này cặp mặt
tạomặ
yểntách
nh
án 4, bài
khôngta
các cạnh
chiếu
b.Giúp
gian Giúp Đối
- không
bên nghiêng
hai
về với
đều với
đường
chuyển
bài gian
HS hình
bài
toán dễ về
thẳng
toán
góc
với
dàng
phẳng bài
khôngta
. Tính
mộtchéo chiếu
toán
thấy
bán
giantrong
thông
kính
nhauvềhai
phẳng
được
mặt cầu
hai
bài
qua đường
theo
toán
ngoại
đường
hình thông
việc phương
phẳng thẳng
phân
hình
thẳng
qua
hình ứng chéo
songđó
2việc
đểvà cấulênnhau
phân
có
song
trúc mặt
thể lại theophẳng
gặp
bài phương
4toán,khó chiếu.
từ 1khăn
đó tìm nằmra ở trong
hình
hướng giải 3,
2 quyết.hình 4.
ch,
đường Giáo các
thẳng b/
viên
S.ABC. bộ
đóqua
Việc sẽ phận
lên
chuyển chuyển
định mặt
về phẳng
song hướng
tích,
bài phẳng
lần
toán bài của
tách
phẳng để
lượt toán hình
cho
chiếu.
chứa
các
dựa trên không
bộHS
sự không
các tưởng
phận
phân cạnh
tích gian
gian đó;
phẳng
sau: tượngvề
baliên bài
cặp
của quan
được:mặttoán
hình đến
phẳng phẳng
không
V điều
song = gian kiện
thông
xyz song
ngoại
ngoại bài
này
liên
−ngoại qua
xyz tiếp
tiếptoán
tạo
=quan
tiếp việc
tứtứ đề
thành
tứdiện.
xyz đến
diện. phân
hệ với
diện. hình
nhờ
điều
nhờ
nhờ hộp
xem
xxem
xem + zxét
kiện xét
2
bài
xét= mối
mối
b mối
2
liên
toán liênliên hệ
đềhệ h
ácyểnbài
hận toán
bài
phẳng toán
mặtthông phẳng
phẳng
của giảkhông
hình
Giáo quen
song
việc ragian
phân
không
suyviên thuộc.
song tích,
sẽ làvề với
giantách
định bài hai
các
liên toán
b/
hướng bộđường lênphẳng
phận
quan
SGiúp để thẳng
phẳng
đến
chuyển
cho
ngoại
thông
của
thì điều
HS làchéo Thể
hình tiếp
kiện
bài
tưởng quanhau tích
tứ
bài
toán Thể diện.
việc
tượnglêntứ
tích
toán
không diện
ABCDnhờ
phân
mặt
tứ diện
đề
được: bằng
xem
phẳng
gianbằngxét 6 thể
vềthể mối
chiếu;
tích
bài tíchliên
3hìnhtoán hình
hộp trên
trừ
phẳng hộpđiđã tổng trừ
thúc thểđi
thông tíchtổng
đẩy
qua
các thể
hoạt
việc
đường
của
ải
yển cáchình
tích, thẳng
bàibài
táchkhông
Từ
toán đó
các
-tiếpĐối
toán lên
thiết
gian
phẳng
khôngbộ
với mặt liên
phận
ngoại
hình
nếu
phẳng
quen
gianđến
H
quan
phẳng
tiếp
3, về
hình
thuộc.
tứchiếu.
tabài
chiếu
đến của
diện.
chiếu
của
toánđiềuhình
nhờhai
(ABC)
kiện
xem
phẳng không
đường bài
xét H
thông
đối
tâm
toán
gian
mối
thẳng
tượng,
đường
liên
quađề
liên hệ
chéo
tròn
hoạt quan
trên
việc nhau
động đãđến
phân thúc
theo
điều điều đẩy
đối
ứngđối kiện
các
phương
đối tượng,
tượng,
tượng,
để cấu bài
hoạt trúc toán
động
nằmlạitrong
hoạt
hoạt
hoạt động
động
động đề
biếnđiều
bài toán,
điều
điềuđổi ứng
ứngứng đểđể
từy đó= tìmđểcấu
cấu
cấu
c ra hướntrúc
trúc trúc lại
lạ l
Ví dụ
hận phẳng 2:
ngoạikhông
Cho của -
gian
hình
hình
ABC.
Đối
liênchóp
với giải
quan
không hình các
S.ABC gianđiều
4, ta
kiện
liêncóchiếu
bàiđáy
quan phẳng
toán
haiABC đề
đến giải
đường quen
là các
điều tam thuộc.
bằng
bài
kiện
thẳng giác 4nhau.
hình
bài vuông
chéo
chóp
toán nhau
có tại
đề thểC; tích
theo ABbằng
phương =hướng
nhau.c, song song
2
z +điều
2 2
hẳng
yển
thuộc. quen
bài toán thuộc. Chokhông đối
hình -
gian Đối
tượng,
chóp về tích,
vớihoạt
bài
S.ABC tách
hìnhđộng
toán 3,các
cóđiều ta
phẳng
đáy bộchiếu
ứng phận
đểthông hai
cấu phẳng đường
trúc
qua lại của
bài
việc thẳng hình
toán,
phân không
chéo
từ đó Thể
Thể nhau
tìm
Thể gian
ra
tích
tích
tích theo
tứtứliên
tứdiện
diện quan
phương
giải
diện bằng
bằngquyết.
bằng đến
thểthểnằm
thể tích
tích
tích trong
hìnhkiện
hình
hình 4 hộphộp bàitrừ
hộp trừtrt
Ví các
giải
mặt dụ
phẳng 2:
bài toán
song phẳng
song với quen hai thuộc.
đường thẳng đếnABC chéo là
nhau tam lêngiác mặt vuông phẳng tại C;hình
chiếu; AB =dung c,
Vì ABC vuông tại C H là trung điểm AB.
hận phẳng toán của phẳng
hình quen khôngthuộc
gian
Ví dụ liên 2: quan
Cho hình Thể
điều
chóp tích
kiệnS.ABC tứbài diện toán
có bằng đáy đề thểABC tích là tam hộp giáctrừ đivuông tổng thể
tại2 tíchC; 2 AB hình = ch
c,
ạnh
ho hẳng bên
hình quennghiêng
với
chóp một HS làđều
thuộc.
Ví S.ABCdụtrong trục đườngvới
hai
Thể
cóhìnhđáy đáy
đường
tròn
tích ngoại tứ góc
ABC tiếp
thẳng
diện
ABC..
làbằng Tính
tamđó
đáythể lên bán
giáctíchmặt kính
hình
vuông phẳng mặt
hộp cầu
chiếu.
trừ ngoại
điAB d/tổng TTTKG tiếp
thể tích hình
giúp4 nhau. chóp
hình hình chópchiếu; được
có thể tích x 2
+ hình
y = khai
a triển
phận
ác cạnh
hẳng phẳng
S.ABC bên
quen Ví - của
có đáy
nghiêng
dụ
Đối
thuộc.
mặt
2: Cho
hình
2: ABC
với phẳng
Cho không
đều
hìnhcác là
hìnhvớisong
chóp
tam
4,
cạnh
giải
gian đáyS.ABC
tagiác
chóp các
song
liên
chiếu
bên góc cóbài
O với
vuông
làS.ABC quan
nghiêng hai . toán
hai
ABC
Tính đến
tại
có
đường đều
phẳng
đường
là
C; tam
điều
bán
đáy bằng
AB giác
kính
ABC
thẳng
với =tạiphẳng.
quen
thẳng
kiện
nhau.
đáy c,mặt
chéoC;
làbài
góc
thuộc.
chéo
tam toán
cầu
nhau .
=
nhau
ngoại
giácTính
đềc,
theo lên
vuông bằng
bằng
4tiếp
bán
mặt
bằng
phương hình
tại
kính
phẳng
nhau.
nhau.
1C;mặt chóp
ABcầu
song =song c, toán
ngoại ztiếp hình 2chóp
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SH.
ho
C. Việc
hình chuyển
chóp vuông S.ABC
b/ về
tại C;
Giúp bài
AB có
bằng =toán
chuyểnc,đáy
nhau.
các phẳng
ABC
cạnh bài bên dựa
là tam
nghiêng
toán trên không sự
giác
đều vớiphân
vuông
đáy
gian tích
góc về tại sau:
bài C; V AB
toán Từ = = đó c,
phẳng
xyz chuyển
− thông
xyz = việc qua
xyz giải việc bài
với phân
2
2 x song hình
+vuông 2
=songbkhông
2 gian
êng đều với đáy góc .ĐốiTính với bán hình kính
Ví 4,dụ mặt ta 2: cầu
Cho
chiếu ngoại
hình
hai tiếp
chóp
đường hìnhS.ABC
thẳng chóp chéocó đáy nhau ABC theo là tam
phương giác tạixxC;x2+ ++yA y2y
2
hẳng
đáy
ABC. các
vớiquen
gócViệc
cạnh
một
.
(ASB)
thuộc.
Tính
chuyển
bên
trong
cắt
bán
nghiêng
hai
mặt
về - cầu
kính
bài
đường
ngoại
đều toán
tiếp
mặt với
thẳng
theo
cầu
phẳng
đường
đáy đó ngoại
tròn
dựa
góc
lên
lớn.
tiếp
trên
mặt
. hình
sự
Tính
phẳng phân
bán chóp
chiếu. tích
kính sau:
mặt
ABCD
cầu ngoại6 tiếp 3
x
hình
2
+ y 2
chóp = a
ho
êngTừhình
giảbài
đều chóp
thiết
với . S.ABC
Tính
suy
đáy kính mặtcó
bán
rachất
góc kính
nếu S.ABC.
mặt
Hđáy
.giải
Tínhcầu
làtiếp ABC
hìnhViệc
ngoại
bán tiếplàchuyển
chiếu
kính tam
hình
mặt chóp
của giác vềS.ABC.
S không
cầu vuông
bài
lên ngoại toán
Việc
(ABC) xtại quen
tiếp yC;
phẳng thì = ABaHdựa
thuộc. là4=tâm c, 1đường
trên sự phân Vtròn tích sau: 4 4 4 2xyz
1 1 1
=hình chóp
Bán cầu
dựa ngoại bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp 2SAB.
+ 2 2
==
tích, tách các bộ phận phẳng của hình gian liên quan =đến điều kiện bài toán =2đề = vớicvới
2với xx2x 2 2 22
ển về toán phẳng trên các sự cạnhphân bên tích sau:
nghiêng đều với đáy góc . Tính Vbán
với VABCD 2=
xkínhxyz
+xyzxyz
z 2−−mặt=− bxyzxyz zcầu ==+ xyz yxyz
xyz
2
ngoại tiếp
hìn +++zz z
oán hình
phẳng
Từ
S.ABC. chóp
giả dựa Việc
chuyển
b/ Vấn S.ABC
thiết
Giúp
đề với
trên
về suy
chuyển
thựcbài một
sự có
ra
toán
chuyển phân
là trong
đáy
nếu
về
phẳng tích
bàibài H ABC
dựa
bài
toán hai
là sau:
toán
trên
toán
hình đường
hình là
học sự tam
phẳng
4 chiếu
phân
không
phẳng. thẳng
giác
1dựa
tích của
sau:
gian đó
vuông
trênS lên
lên
về sự
mặt
Vtại
bài(ABC)
phân C;phẳng
toán
xyz
AB
tíchthì − chiếu.
=H xyz
sau:
phẳng c, là tâm xyz
thông đường qua
ABCDABCD
tròn
việc phân
6 6 6 3 3 3
êng đều với đáy góc . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
ABCD
tiếp
ển vềra
bài toán phẳng dựa trên Từ làsự giả phân thiết tích suy ra(ABC) nếu H
với 2 2
Ví
là hình chiếu của S lên (ABC)
2 6dụ 4: Cho
3 hình lập phương
z 2 + y 2thì cH là tâm đường
ABCD . A 1 1 1 zz1ztròn
B C D ; Gọ
3Ssau:
ABC. V = xyz − xyz = xyz x + z = b 2 2 2 22
suy giải
nếu Từcác
H là
giả bàihình
thiết toán
suy chiếuraphẳng
nếu của
HS.ABC. quen
S
hình lên chiếu6thuộc.
(ABC)
Việc của chuyển
lênthì H vềlà tâm
bài
thì đường
toán phẳng tròn dựa trên sự phân tích sau: +++yyyc
2
b/ Giúp
ABCD
chuyển bài toán không gian về bài toán phẳng thông = qua việc phân triển
êng
H
goại
ển đều
làtích,
hình
tiếp với
Từchiếu
tách đáy
giả
ABC. các góc
của
thiết bộ Sphận
suy . Tính
lênngoại (ABC)
ra nếu
phẳng bán H kính
thì
củalà Hhình mặt
là tâm
hình cầu
chiếu
không đườngngoại
của gian tiếp
Stròn
z lên +liên d/
hình
y d.(ABC)
=quanTTTKG chóp thìtượng
đến BH giúp
Bđiều làkhông hình
tâm
kiện đường
dung
bài toán được
tròn ;đề hình khai
Vì vềrabài nếuHtoán làphẳng dựa
ngoại trên tiếp sựStrung 5phân ABC. tích sau: cạnh cAD và 1 sao cho AM BN
= hình Gọi I,dungJdunglần lượt làhìnhtr
2 2 2
suy ABC Hvuông
là tâm
Ví hình
đường
dụ tại
2: CCho
chiếu
tròn H
của
hình là
tiếp lên
chóp ABC. điểm
(ABC)
S.ABC AB.
thì có Hđáy làratâm ABC đường Trí
là tam tròn
tưởng
giác vuông d/d/gian
d/ TTTKG
tại
TTTKG giúp
TTTKG C; AB giúp
giúp giúp dung
=hìnhhình
hình được
c,hình dung hình được
đượcđược hình hìn
.ển về
ngoại
Vì
giảibài toán
ABC
tiếp tích,
phẳng
vuông
ABC. tách
dựa tại các
trên
C bộsự H phận
phân
làTừ trunggiả
phẳng
tích thiết
sau:
điểm của suy AB.hình d/
phẳng.nếu TTTKG
không H Từ làgian hình
giúp
đó liên
chuyển chiếu
hình dung
quan của
việc được
đến Sgiải lên
điềuhình (ABC)
bài kiệnkhai
toán thì
triển
bài H
toáncủalà
không tâm
hình
đề đườn
khôn
gian
làcác Hbài toán chiếu phẳng quen thuộc.
.suy ra nếu làđườnghình của Stiếp lên (ABC) thì HđượcClà tâm đường tròn
Vì ABC vuông tại C H là ABCtrung điểm
vuông AB. khai triển của hình không gian lên mặt phẳng. Từ đó chuyển
Vì tại Hđó làkính trung điểm AB.
HS trục tròn d/
ngoại TTTKG giúp quen hình
ABC. dung hình khai triển của phẳng.hình
phẳng.
phẳng. không
TừTừTừ đóđó gian
đóhình
chuyển
chuyển
chuyển lênviệc mặt
việc
việc giải
giải giảibài bài
bàitoántoán
toánhình hìn
hìn
vuông
suy Hra làcác
tại
nếu C
trungcạnh
H là H
HS
điểmbên
giải
hình là
là nghiêng
trung
các
trục
AB.chiếu
đườngbài điểmcủa
tròn đều
ngoại
toán AB.
S
ngoại với
phẳng
lêntiếptiếp đáy
(ABC) góc
ABC.
ABC. thuộc.
thì H. Tính
phẳng.
là quen
tâm
Từbán thuộc.
đường
việc chuyển
giải mặt
tròn
bài việc
toán cầu giải
hình ngoạibài
không tiếp
toán gian hình
sang khôngchóp
vấn đềgian bài sang toán vấn đề
. Tâm HS Vì Ví là trục
dụ ABC 2: đườngvuông
Cho
phẳng. tròn
hình Từtại ngoại
đóC
chóp HS
chuyển làH tiếp
S.ABC là
trụcviệc trung
ABC.
có
giải điểm
đáy
bài ABC
toán AB. hình là tam
không giác
gian vuông
sang vấn tại đề C; bài AB toán = c,
phẳng 6
vuông
c đường tại mặt
S.ABC.C cầu
tròn H
Việc
Tâm
ngoại ngoại
làmặt tiếpcầutiếp
trung
chuyển điểm
ngoại ABC.
hình
vềtiếpbàiAB. chóp
hình toán
Vì chóp làphẳng
là O
ABC Ođường
SH. SH.
dựaquen
vuông
tròntrênthuộc.
tại
ngoại
sự
Cphẳng phân tiếp
quen
H tích
là
ABC.
thuộc
trung sau:
quen
quen quenthuộc.
điểm
thuộc.
thuộc.
AB.
òn ngoại
cáctạicạnhtiếp
Tâm HSmặt là
ABC.cầutrục Ví
ngoại dụ
đường 2:
tiếp Cho
tròn hình hình
ngoại
chóp chóp
tiếp là O S.ABC SH.
ABC. có đáy
Ví dụ ABC 4: Cho là tamhình giác lập vuông
phương tại C;lập
ABCD AB .phương
AM, = 1C
1 BN
c,1DABCD ;cácGọ.
vuông
c
(ASB)
đường
Ccắt
tròn bên H là
(ASB)
mặt
ngoại
nghiêng
cầu
quen
trung
cắt
tiếp mặt
ngoại
đều
thuộc.
điểm
cầu ABC.ngoại
tiếpvới
AB.
Tâm tiếp đáy
theo mặt
theo góc cầu
đường
đường
tròn.tròn
Tính
ngoại lớn.lớn. bán
tiếpVí dụ kính
hình Ví4:dụ mặt
chóp
Cho 4: Cho cầu
là
hình O
hình ngoại
lập lập
SH.
phương
phươngtiếp
VíVíVí dụ
dụ dụhình
4:4:4:Cho
ABCD Cho. chóp
Cho A1B a)hình
hình hình
1CXác
lập
1 D1 ; Gọi
lập
Gọi
định phương
phương
M, vị NtrílàABCD
1 ABCD
của đ
vuông
tiếpcầuS.ABC.
ngoại
hìnhtại C
chóp tiếp Từ các
H
là giả
hìnhOlà thiết
cạnhchóp
trung suy
bên là
điểm
Ví O
dụ ra
nghiêng
nếu
AB.
4: SH.
Cho H HS
đều
hìnhlà hình
là
với
lập trục chiếu
đáy
phương đường
góc của
cạnh tròn S
.AD lên
.Tính ngoại
và (ABC)
bán
DB tiếp
;sau:
Gọi
B kính thì
saoM,cạnh H
mặt
cạnhNABC.
cho là
làAD cầutâm
các
AM điểmđường
ngoạiBN ;
thuộctiếp
Gọi tròn cáchình
I, J =chóp
lần lượt; ;Gọi
Gọi là I,tru
I, J lJ
c đường (ASB)
tròn Tâm
Việc cắt
Bán
ngoại mặtmặt
chuyển
kính tiếp cầu
SH.
mặt cầu cầuvề ngoại
ngoại bài
ngoại
làABC. tiếp
toán
tiếp
(ASB) tiếp bằng theo
hình
phẳng bán
cắt đường
chóp
kính
mặt dựa là
đường trên
cạnh
cầu tròn
O tròn
ngoại
ABCD
sự
AD lớn.
SH.phân
là
và tiếp
A1B
các
B B 1C1sao
tích
điểm
theo 1 thuộc
cho
đường
cạnh
các
AM cạnh
= BN
tròn
AD AD; vàvà
Gọi
lớn.
và
và =
B B
I, BBB
gócvị J B saosao
1sao
1lần
với
sao cho
cho
cho
lượtIJ.
cho AM
làAMAM =
trung =
BNBNBN ;
điểmGọi I,
của J A
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp
1
cầu ngoại tiếp hình chóp O a) Xác định vị trí của đường thẳng IJ v
ngoại Cho tiếp SAB ABC. có AB = c; SH. = = . Tính bán kính
1
đường a)
SAB.
tròn Xácngoại định tiếp
1
trí của đường thẳng IJ v
ắtcgoại
mặt
đường cầu
tiếp Bán ngoại
ngoại
tròn
theo
Từ ngoại
(ASB)
kính
tiếp
S.ABC.
tiếp
đường
giả
SAB.
mặt
thiết theo
cạnh
tiếp
cắt tròn
cầu Việc
mặt
suy đường
AD
lớn.
raABC.
cầu
ngoại và
chuyển
nếu
B tròn
ngoại
tiếpB1 SAB
Hhình
sao
làvề lớn.
Tâm
tiếp
bằng cho
hìnhbàiSBA AMmặt
toán
theo
bán chiếu
= BN cầu
đường
kính
phẳng; Gọi
của ngoại
đường I,dựa
Stròn
J tiếp
Gọi
lên
lầnI, Jlượt
trên
lớn.
tròn
(ABC) hình
lầnsự
ngoại chóp
là phân
lượt trung
thì
là trung
tiếpH là
điểm
tích O
điểm
làđườngtâm
của
SAB. củaSH.
sau: ABABvà
đường
và C1D1 ..
vàtròn
cầu ngoại tiếp hình chóp là O
Bán
toán SH. kính mặt cầu ngoại tiếp bằng bán góc
góc kính với
với IJ.đường
IJ. tròn b) Dựng
ngoại tiếp thiết diệnSAB. tạo bở
ắtVấnmặt
mặt đề
cầucầu
SAB.thực ngoại
Vấn
ngoại chất
Vì đề tiếp
thực
ABC
tiếp là giải
theo
chất
bằng Từ
là bài
đường
giải
vuông
bán
giả toán
bài
kính
thiết hình
trònsuyđường
học
lớn.học
tại C H là trung điểm AB.
(ASB)
ra nếu phẳng.
phẳng.
tròn cắt
H ngoại
là mặt hình cầu
tiếp chiếu
a)
ngoại
Xác
SAB.của
định
tiếp S
vị
theo
lên
trí của
đường
(ABC)
thẳng
thìtròn H
IJ
lớn.
là tâm
MN. Chứng
đường
minh
tròn 666
goạicầu
ắtmặtmặt ngoại
tiếp
Vấn
ngoạicầu bằng
Chođề
tiếp
tiếp
ngoại
Cho thực
Bán
bánhình ABC.
tiếp
SAB SAB kính
chất
kính cócóchóp
theo
AB là
mặt đường
AB là
giải cầu
==đường O
c;c;Vấn bài
SAB tròn
ngoại
SH.
toán
tròn
=đềSBA ngoại hình
tiếp
lớn.= bằng tiếp
.học Tính
.Tính phẳng.
bán
bánSAB. kính
bánkính kính đường
đường
MN cắthình tròn
tròn
và ngoại
vuông ngoại góc tiếpvới tiếp
b)IJ.
b) Dựng
Dựng SAB. 6
thiết diện
thiết c)
diện tạo Với
tạo bởi vị
bởi6 mặttrí nào
mặt phẳng của
phẳngđi M,
điqq
cầu ngoạiViệc tiếp
giải
HS bằng
bài
là toán
trục bán này
đường kính tương tròn thực
đường đối
ngoại chất
tròn
dễ là
dàng:
tiếpngoại giải bài
tiếp
ABC. toán
6 SAB. học phẳng.
i chất
ắt mặt
bài
mặt
làcầu
toán
SAB.
cầu
giải
Vấnngoại
hình
đường
Vì
ngoạiÁp
bàitròn
đềhọctoán
ngoại
tiếp
tiếp
dụng
ngoại
thực
ABC hình
bằng
định
tiếp
theo
phẳng. tiếp
chất
vuông lí
học
đường
là
bánhàm
ABC.
SAB. phẳng.
giải
tại kính
sốC trònbài
sin
toán
đường taHBán
lớn. là
có:
kính
hình
trung
tròn
mặt
học
ngoạiđiểm
cầu
phẳng.
tiếpAB. ngoại
b) Dựng
SAB.
tiếpthiết bằng diện bán tạoc) bởi
c) kính
Với
Với mặtvịđường
vị đó.nào
phẳng
trí
trí nàođi tròn
của
của quaM, M, ngoại
hai N Nđường tiếp
thì thiết
thì thiết diện SA
diện cc
chất là giải Việc bài toán
giảiTâm bài hình
mặt
toán này học
cầu tương phẳng.
ngoại đối dễ
Vấn tiếp
dàng: hình chóp là O thẳng SH. IJ và MN. Giải:
5 đề thực chất làlà giải bài toán hình
đó. học phẳng.
ABC vuông tạitròn C
HABC. trung điểm AB.
mặt cầu Việc
ngoại giải bài
tiếp toán
bằng này
Vì đường bántương kính đối dễ
đường dàng: ngoại tiếp SAB. đó.
chất là giải bài HS toán là trục
hình học tròn
sinphẳng. có: ngoại tiếp
Áp Áp dụng dụng
toánđịnh
(ASB)
định lí líhàmhàmsố
cắt HS
sốsin
mặt là tata có:
cầu ngoại
trục đường 5 tiếp
tròn theo
ngoại đường tiếp
c) Với vị trí nào của M, N thì thiết diện cóa)
tròn ABC. lớn. Giải:
Giải:
chu Đểvi giải bé nhất bàivàtoán này, t
chất là giảibài Tâm mặt hình
c cầu học phẳng. 5
5 =ngoại tiếp hình chóp là O SH. tìm giá trị nhỏ nhất đó. B’
B’
5 Báno kính mặt 2 Rcầu ngoại tiếp bằng 5 bán kính đường tròn ngoại a) Để
a) Đểtiếp giảiminh
giải bàiSAB.
bài toán
toán được này,
này, đường ta dễ
ta dễIJchứng là trục đối
chứng
− 25Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là Giải: O SH.
(ASB)
c 180 cắt
= 2 Rmặt cầu ngoại tiếp theo đường tròn lớn.
sin( )
a) Để giải bài minh minh
toán 5này, được
được ta dễ chứng(BC
đường
đường IJ là
IJ
minh là B1 ) và
C1trục
trục
được đối
đối (AD
đường xứng
xứng IJD1làcủa1 ). Suy ra
Acủa
sin(Vấn180 −đề o
2 )thực chất làcắt
5(ASB) giảimặt bàicầu toán ngoại hìnhtiếp họctheo phẳng. đường tròn lớn.
Bán kính c mặt cầu ngoại tiếp bằng bán kínhtrục đường đối xứng tròn của(BC ngoại
(BCCC11BBtiếp 11)) vàvà (AD
và (AD SAB.
đối xứng
DD11AA11).).. Suy IJ,
Suyra,
Suy điểm
ra,qua
ra, qua
qua B
trục biến
trục thành
trục I’I’
5
. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng
R =c đối bán
xứng kính
IJ, điểm đường
B biến thành tròn điểm ngoạidiểm
A, điểm tiếp biến
biến SAB.
thành
thành điểm điểm D. Kế
Vấn R = đề 2thực . 2chất là giải bài toán hình học phẳng.
đốixứng
đối xứngIJ, IJ, điểmđiểm BB biến biếnB thành điểm
1 thành điểm A, A,
sin
2 sin 2 Vấn đề thực chất là giải bài toán hình học phẳng. D. Kết hợp với giả thiết,
diểm BB11 biến
diểm suy ra điểm
biến thành thành N biến
giả điểm thiết,D.
điểm thành suyKết
D. điểm
Kếtra hợp M.
điểm Từ
hợp với N biếnAAth
với
c/ Cho phép HS tưởng tượng phân tích chuyển hóa hình không giansuynày sang 5
c/52ChoTẠPphép HSHỌC
tưởng tượng giảsang
giả
phân tích chuyển hóa hình không gian này thiết,
thiết, suy ra M. Từ
ra điểm
điểm NNđó,
biến
biếndễthành
dàngđiểm
thành chứng minh
điểm II
CHÍ KHOA GIÁO DỤC VIỆT NAM
bộ phận của một hình không gian khác nhằm đưa vấn đề cần
bộ phận của một hình không gian khác nhằm đưa vấn5 đề cần giải quyết về dạng giải quyết về
Từ đó,
Từ
M.quen
M. dạng
đó, dễ
dễ dàngquen
dàngMN cắt và
chứng
chứng vuông
minh
minh góc với
được
được BB IJ.
thuộc.
thuộc. 5 MN cắt
MN cắt và
và vuông
vuông gócgóc với
với IJ. dụng tính chất
b) Sử
IJ. NN giao
1 1 một mặt phẳng phân biệt với h
- Việc giải bài toán này tương đối dễ dàng:
b Áp a dụng định lí hàm số sin ta có: b
a) Xác định vị trí của đường thẳng IJ và MN. Chứng minh MN cắt và vuông Đào Tam, Đậu Anh Tuấn
ađường đường thẳng thẳng IJIJvà Hình vàMN. 1
MN.Chứng Chứng a)minh Xác MN
minh địnhMNcắt vịcắttrí và vàcủa vuông
vuông Hình
đường thẳng IJ và MN. Chứng minh MN cắt và vuông 2
góc với
a) Xác IJ. định vị trí của đường c thẳng IJ và MN. Chứng minh MN cắt và vuông
MN. Chứng minh MN cắt và
góc vớio IJ. = 2 R vuông
Chứng
Chứng
góc vớia) b)
minh
minh Dựng
IJ.Xác định vị trí sin( MNMN thiết cắt
cắt diện
vàvà vuông
vuông
của tạo 180 bởi
đường − 2a) mặt )thẳng phẳng
Xác định IJMN.đi vàvịMN.qua hai
trí của đường
Chứng đường thẳng
minh thẳng IJ và
MN IJcắt MN.
và và MN. vuông Chứng minh MN cắt và vuông
bởi bởimặt mặtc) phẳngphẳngVới đi
vị đi qua
tríqua nào hai hai đường
của đường M, thẳng
b)
N thẳng Dựng
thì IJ
thiết IJ và
thiết và diệnMN. diện có tạo
chu bởi
vi bé mặt nhất phẳng và tìmđi qua giá hai
trị đường
nhỏ nhất thẳng IJ và MN.
hứnghai góc đườngvới minh
b) IJ. Dựng MNthiết
thẳng cắt
IJ và vàMN.
diện vuông góc với
tạo bởi cmặt phẳng đi qua hai đường thẳng IJ và MN. IJ. tọa độ, có gốc tọa độ là giao của hai đường thẳng vuông góc
M,,N. N N thì thì thiết
thiết diện diện có có chu chu vi vi bé bé
= Nc)thìVới
nhất nhất và và tìm tìm
vị trí thiết giá giá nào củatrị trị nhỏ nhỏ nhấtnhất
M, Nbởi thì mặt thiết diện có chu vi
đường
hu
đó.
ường Chứng
vi bé thẳng
c)thẳng
b)Với nhất
minh
Dựng IJIJvị vàvà
MN và
trí
thiết tìm
cắt vàcủa
MN.
MN.
nào diện
giá vuông
trị RM,
tạo nhỏ 2 bởi sin nhất mặt
2
. Dựng
b)thiết phẳng diệnđicó qua diện
chu haivitạo bé nhất
đường thẳng vàmô phẳng
tìmtả đường
IJ và giá điMN. trịquaLênhỏ haibé
aHồng nhất đường nhất và
Phong và tìm
thẳng đường giávà
IJ trịMN.
Nguyễn nhỏVăn nhấtCừ có
a)giá Xác trịđịnh đó. vị trí của đường thẳng IJ và MN. xChứng chiều
thìminh MN cắttrục và hoànhvuôngtừ gốc tọa độ tới Hải quan và chiều
c)Giải:
i bé bé nhất nhất vàvà tìmtìm giá trị nhỏ nhỏavuông nhất
nhất c)cắt Với vịvuông tríB’có nàochu củaviM, dương
ờng
đó.
hứng
thẳng thẳng minh
IJ vàVới
góc
IJMN MN. và
với vịvà MN. trí
cắt
IJ. Chứng nào vàc/của minh M, N MN thì thiết và diện bé N nhất thiết
và C’tìmtrục
diện giátung có
trị chu nhỏ vinhất bé nhất và tìm giá trị nhỏ nhất
ai đường a)thẳng Để IJgiải MN.
bài toán Cho x
này,x phép
đó.tạo bởi Giải:
ta dễ HS chứng tưởng tượng phân tích dương
chuyển hóa hình từ gốc
x tọa độ
không gian tới này
Quánsang Bàu (xem hình). Khi
u
y,xxta
éđó. vinhất
tadễ bé xGiải:
dễchứng
và tìm
nhất
chứngđường và tìm giá B’B’trị nhỏ nhất
b) giá Dựng trị nhỏ thiết nhất diện
C’C’
mặt phẳng đi qua hai x
đường thẳng
đó, trường IJ B’
và MN.
Trung học phổ . B thông C’
Chuyên Phan Bội Châu nằm
ng minh thẳng được IJ và C’bộ phận
MN. IJ Chứnglà trục của minh mộta)xứng
đối hìnhĐểMNGiải: giải không
của cắt bài và
B’gian toánvuông này, ta
khác nhằm dễ chứng đưaC’vấn đề cần giải quyết về dạng quen
phẳng
ờng thẳng a) Giải:
đicủa Để qua IJ và giải hai c)MN. bài đường
Với toán vị trí này,
thẳng nào b của ta IJ dễ và M,MN. chứng N thì thiết diện có chu vi bé nhất x ở góc và tìm phần giá B’tưtrịthứ nhỏ nhất nhất x
sát với trụcC’ hoành cách tâm 0 gần 50
ối
đối xứng xứng của C’
C’ thuộc. minh Suy được
ra, qua đường trụcgiải IJI’B’ là trục đối xứng của
N.
minh c (BC định
Chứng x được Cvị
a) 1 Bđó.
Để )đường
1minh
trí và của
giải (AD MN đường
IJ
bài Dlà 1cắt
toán Atrục 1 ).và thẳng
này, đối vuông ta IJdễ
xứng và a) của
chứng MN.
Để Chứng bài toánminh này, MN ta cắt
dễ và
chứng
m.
C’ vuông
bé hiết
ra, ra, nhất qua diện
qua và
trục trục cótìm chu I’giáI’ vitrị bénhỏ nhấtnhất và C tìm giá trị nhỏDnhất
IJ làSuy ra,đối qua trục
C’ C’ (BC 1B 1 ) khi và (AD 1 A1 ).thức
I’ 1
mặt (BC đối phẳngCxứng B1 ) và IJ,
đi qua
(AD điểm Giải: hai Bđường biến
VíSuy dụ thành thẳng ra,Sau
3:
minh qua điểm IJ được vàcủa
trục A, học
MN.
đường I’công trục tính thể
x xứng tíchcủa của
Ví dụtứ 6: diện NgườiVta=có Bh thể biết thì bàicon toán
tàu ra tạo khơi ở vị trí nào nếu
minh 1được đường DIJ 1 Alà 1 ).trục đối xứng
nh hdiểm điểm điểm A, A, Hình 3 đối xứng IJ, điểm B biến B’ thành điểm A, C’ b/ Hình Giải 4
các 3bài toán cực trị trong thực tiễn liên quan đ
ai ng đường thiết )biến
1diện
thẳng tạo thành
IJ bởivà điểm
MN.
mặt phẳng D. Kết điqua hợp qua với
hai đường thẳng IJMra, và MN.trục I’
hì thiết Bdiện có chu vi bé nhất và tìm giá trị biết được kinh độ, vĩ độ và khoảng cách từ đó đến đất liền để
Để giải ).Mbài toán này, Bta )dễ chứng I’nhỏ AD1nhất ). Suy qua
a) (BC và (AD D C’’
đối (BC xứng b/C1Giải Bvới IJ, và điểm các (AD ra B
bài xDbiến
chướng 1A toán thành
Suy ngại
cực ra, điểm
lớn
trị C 1cho
trong A,1trục HS. thực tiễn A 1 liên
M
quan
o
đến tính chất lượng của các
Kết Kết hợp hợp 1với
diểm biến thành điểm nhấtD. Kết tìmhợp với
B1 đối D D C’’ C’’
trịtrungnhỏtâm cứu nạn xác Mo định được vị trí con tàu khi cứu C’’ nạn.
1M
giả thiết, suy ra AAđiểm Nthiết biến thành D
uiđối
diểm vị
vi trí
M xứng
bé Bo1nào nhất
B’C’
biến minh
IJ, của và thành
điểm
được
D B
tìm
M, N đường
giá
điểm biếnthìtrị M D. IJ
nhỏM
thành
M là
o
Kết đối
C’
o
trục
diện
nhất xứng
hợp
điểm cóđiểm với
y
xứng
chu
A,IJ, điểmvicủaIbé
A BBbiến Mvà
“Tính thànhMo thểđiểm
giá tích A,
Dcủa tứ
Anhất
hình. diện
M
ABCD C’’biết AB = CD =a;
hứng hành
thành hình.
M điểm
điểm ICI B ) và (ADgiả thiết,được
C’’
suybiến ra Bđiểm NI’ biến thành điểm Ví Idụ 7: Từ bản vẽ vẽ ngôi nhà, hình dung được hình dáng
1 ). Suy
giả M.
diểmoo thiết, suy
Từ đó, (BC
DD dễ
biến HS
ra thànhdàng
điểm
1 1
dễ chứng
điểmdàng
N x x biến
D1minh
D. thấy
A
C’’ diểm
thành
C’’
Kết hợp được Bra,
điểm 1 vớihình
qua trục
I A 1,điểm
thành hình MAC D.2MKết =o và CBD có=b
hợp thể
với
DvàQ AD gặpA=khó BC =khăn c”.8:MTrong o ở hình
mộtD 3, hình 4.
đợt tổ chức cho C’’
Ví dụ cáctham
HS gia dc
của
MM B của
M C’’
nh nh được được B ngôi nhà đó về chiều dài, độ cao, chiều rộng cácb/ gian phòng.
D C’’
M
MN
M
o
cắt
1 đối
và BB’ B xứng IJ, điểm M.
vuông góc Trong với B IJ.
một
biến Từ đó,
thành
C’
đợt tổ dễ điểm
chứcdàng A,xchứng minh
cho tham được gia dã ngoại ngoài trời. Để có thể
Giải bài toán
oễ chứng Ví dụ 8: giả thiết, suy ra điểm HS N biến thành điểm
N
M. giả Từ
rục I’C diểm
x
thiết,Giáo đó, D suy dễ
NN C’Qviên dàng
ra B1 biến điểm sẽ chứng định
AthànhMN N minh
biến hướng
C’’
điểm
C C thành
cắtD.
được B’ và
để
Kết
Q
điểm Q
vuông
cho B
hợp với HS
Ngóc với
I tưởng
A IJ.C’M C M
tượng
Chướng ngại được:Q
thể hiện ở chỗ HS
N D có chỗ nghỉ ngơi
I
C’’ không
C Q xác định
trong quá trình tham quan dã ngoại, các
ứng
MN giảicủa cắt
Từ bàiđó, b)toán
và Sử
vuông
dễ dụng
này,
dàng góctatính chứngdễ với chất
chứng IJ. minh giao
M. Từ
được giữa đó, dễ dàng
o
chứng minh được b. Giải
B vẽ các bài toán cực trị trong thực tiễn liên hình.quan đến
A,
ao M.
iao giữa có
giữa chỗ giả nghỉ -
thiết, Đối ngơi suy vớira trong điểm hình quá N biến 3,
trình ta
thành
Sử dụng chiếu
tham N Bđiểm quan
tínhgóc hai dã đường
chấtvới ngoại,được
giao thẳng
đường
các bạn chéo
cao
HS đã nhau
từdựng một theo
đỉnh
trên mặt phương
nào đó.
đất Từ nằm đó trong
IJ. giữa
I
đường một
CC C
mặtIJ Sử là
QQ
I’phẳng
Q
trục đối phân xứng biệt của với hai b)cắt mặt C Q chất lượng của các hình
N bằng phẳng một
C
chiếc
Q
ua
với MN trục cắt
mặt b) và
DM. phẳng dụng
vuông TừMđó, tính
gócdễ
song zdàng chất
với Csong giao
IJ.
chứng MN
D với minhvà
giữa
hai được vuông
đường BAC’’ Q thẳng khôngchéo tính
nhau
tính
được độmặt dài đường cao theolều a, b, bằngc. bạt từ mộtVítấm dụ bạt hình cm
8: Trong
1Qlên phẳng chiếu;
N
haio haimặt mặt C’’ 1
C
à (AD phẳng bằng A Q
song đó,phẳng dễ song
Suy dàng mộtra,
M
tạo chứng
o
chiếc
quachất hai một
minh
trục giao lều mặt
được bằng
tuyến phẳng
MN bạt cắt từphân
và một
vuông biệt tấm góc với bạt
với hai hình
IJ. mặt C chữ nhật DVí dụ có 8: chiều
Trong J’ dài
một là
đợt 12 tổ m
chức cho HS tham gia dã ngoại
1 ). dụng
C ’
ểm
một A,
mặt D1 AMN
I b)phẳng Sử cắtphân A A 1
và 1
tính vuông biệt với
gócgiao vớiI’IJ.
hai mặt
giữa b) Sử dụng N tính chất giao giữa
1
A1
và chiều có’chỗ nghỉ ngơi trong
oểm tuyến
tuyến
song
điểm Bsong. biến b) -
Từ Sử
thành Đối dụng
đó dễ với
điểm tính dàng hình
phẳng
chất
A, tìm giao 4, song
được giữa ta DD 11
chiếu
song
một 1 1
mặt tạo AJ’
hai
1J’
phẳng hai đường
giao
phân CC’ ’biệt tuyến thẳng
với J
chéo
ngoài trời. nhau Để córộng thể cólàphương
theo chỗ6 mnghỉ Dbằng
1
song
ngơi cách:J’ song
trong Gập quá Cđôi trìnhtấm thambạt lại theo
ợp với một mặt phẳng phân biệt với hai mặt
1
phẳng một B mặt phẳng
và song chiều song rộng b) phân tạo Sử là
J’ Pbiệt
dụng
hai 6 m giao bằng
tính
Cvới
chất
tuyếnhai cách: J giao Gậpgiữa B đôi tấm bạt
C’’ lại theo đoạn D1 nối trung J’ điểm hai
’ cạnh
tạomặt
A D 1 M M J’ C D ’ J D A1 song song. Từ
1
C J
được
1
m được P đó C1J quan dã ngoại, A1 bằng phẳng một chiếc
o
hai BDJB 1 mặt phẳng songsong song
’
song. haiTừ giaođó tuyến dễ dàng tìm được làC’’ chiều các
rộng bạncủa HS tấm đã dựng bạt1 trên
sao mặt choJ’đất haibằng mép phẳng
C ’ chiếu dài còn l
1 1
ovới một trong hai đường 1 A thẳng đó Molên mặt Dphẳng chiếu.
Cthiết diện 11là lục giác
1
MQJPNI. B1
hMnphẳng thành điểm một D.
mặt Kết J’J’ Chợp
phẳng phân với CP’biệt với hai mặt
1
ongđiểm Msong.
là song
chiều
QJD
ID
dễ Từ song
dàng
D
rộng đó tìm dễ
tạo
của dàng
11
được haitấm thiết
C
tìm
giao P
bạt
’Q phẳng
diệnđược
Ctuyến
C
sao
1C’’
là cho song
lục B
hai
giác
M song mépMQJPNI. tạo chiếuA hai giao
dài còn tuyến lại D
của
một 1
tấm
chiếc bạt J’ bằng Pbạt
lều sát đất C và ’từC1 một tấmDbạt
cách
1
hình chữ nhật có chiều
I. P P CD
1
NI. N 1 1
yhiết ra điểm
J
B c)
J
1 Cphẳng
1 1N Ta biến thấy,
song J’thành chu
song điểm thiết
vi
Ctạo của
hai diện lục
Igiao
là giác
tuyến lụcTừ giác
MQJPNI MQJPNI. bằng P hai C1 lần J chu D1
1vi của J’ hìnhCthang ’ J và chiều rộng là 6 m bằ
ược
aaIMQJ. song
lục
diện song.
Jgiác
là c)
MQJPNI
lục
Từ b/ Chu giác
đó Giúp vidễ 1
MQJPNI.
của
bằng dàngViệc chuyển lục ’ giác
haitìm khắc song được
lần
bài
phục
MQJPNI song.
chu
toán
nhờ
vi Bbằng 1 sử đó không
hai dễlần
dụng dàng mối
chu gian tìm vi liên về
được
của hệ bài
1
giữa
dài
J toán
làBtứ nhau
12m diện phẳng
và x chiều
m (xem
và hình thông
rộng hình
hộp; là 6m qua
vẽ).
hìnhbằng việc
Tìm
hộp cách: xcóphân
để
Gập khoảng
đôi tấm không
bạt gian phí
lụcnhau giác MQJPNI bằng hai lần
c)tìm xTa chu đểthấy, vicủa của B hình hình thangthang
lục chu viMQJPNI. của lụcphía Cgiác MQJPNI làbằng hai điểm lần chu vi của hìnhrộng thang
P P C C
ễằng dàng
1 1
chứng xchu
song mthang (xem
song.
minh Từ hình
được đó thang C vẽ).
dễ dàng Tìm Q được khoảng không gian P trong lều lớn nhất? P C 1
là chiều rộng của tấm b
ằng haitích, Nlần vi của hình củaBthiết tứdiện diệnlàMQJPNI giác
1 1
thiết c)
diện Tahìnhlàtách thấy,
lục các
giác
thể chu IMQJ.xây bộ
MQJPNI. vidựng phận lục
từ phẳng giác của
bằng hình
cách bằng không
qua hai
cácPcặp lần
gian C1chu lại
cạnh liên viđốiquan
theo củađoạn
dựng hìnhnối
đến các thang
trung điều
cặp mặt kiệnhai cạnh
phẳng bài là chiềuđề
toán
song của tấm
C1 hai C lần
thiết chuQ diện vi là của
lục giác hình
IMQJ. MQJPNI. thang C Q
c)DTa trải hình vuông BCDA BCDAc)và lênbằng mặt phẳng (AD A1 ) hai theo phương
vuông gócA với
iữa hai
hai lần
MQJ. lần chu
1
chu Ta
1 Ta thấy,
viviIJ. trải của của
J’ chu
hình hình
hình vuông
viClượt thang
thang
’của
N
lục giác vàTaCCthấy,
MQJPNI 1 D1 D chu lên mặt
vi của phẳng
hai lục
lần bạt sao
giác
chu D1cho
MQJPNI
vi mép
bằng chiếu haithành dài
lầncòn chu lại vi củacủa tấmhình bạt nhausátthang
đất
x mvà(xem hình vẽ
CDA
mặt CDA phẳng giải
và và CC
(AD các
CC D D 1D
bài
c) song
D1 )Ta lên lên
theo
1
toán lần
thấy,mặt mặt phương
phương phẳng
chu
phẳng D1 vi
phẳng chứa
vuông Tacủa
1
(ADquen
(AD các
trải
J’
lụcDD
góc
cạnh
hình
1A
tathuộc.
giác 1A 1lần ) theo C
1 ) vuông
đó;
MQJPNI
theo
lượt
’ ba
' ' được phương cặp
phương
BCDA bằng
các
mặt '' hai
hình và
phẳng
' lần CCcáchchu D
song
D
nhauvi của của
lên
song
x m
hình
hình
mặt
này
(xem
thang
thang
phẳng
tạo
hình (AD
vẽ). Tìm D
hình
A
x )
để
hộp
theo
khoảng phươngkhông gian
mặt
ai vuông
dụng lần tính góc
chuIMQJ. chất 1ta 1D lần
1A
giao lượt giữa được các
IMQJ. hình vuông B C DA và C C D D .
Avi của ' ' 1hình thang
J J
mặt IMQJ. 1'' phẳng
Ta trải (AD hình 1
'ngoại
D vuông
'A 1 ) và
tiếp theo BCDA
tứ ' ' diện.
'' 'phương vànhờ CCxem 1 D1 D xét lênmối mặtliên phẳng hệ1 trên 1(AD D A ) theo phương
1
đãtrong
1
1 thúc 1' ' đẩy các'' hoạt động biến đổi
1 1
ác
ẳngvà ác Khi
nphẳng
phẳng
hình
Bhình
C
C1phân
C1' Dvuông
'đó (AD
vuông
D
' điểm
(AD
.
vuông
biệt
1
Ví với
B B
Ihình lầnCdụ C
))hai
DA
theo
Ptheo DA 2:
lượt mặt và
C1phươngvà Cho vuông
thànhC
phương
C C C hình
D
1 1trung
'
D DgócD .
. . chóp
ta
điểm lần S.ABC
lượt '
của được có
' các
và đáy hình
''J thành ABCvuông phía
trung là B tam
điểmC lều
DA giác
và
là
J của' lớnC vuông
nhất?
C '
D
1 C1 .
' D . tại C; AB = c,
J’ Ihình
ra Dhướng
D1 11 Ta ' ' C AB
vuông ' góc
Ta
1
ta D
.D 'lần 1' 1A A1đối1lượt ' được
tượng, các
hoạt hìnhđộng vuông điều trải và1ứng để vuông
D’cấu và trúc BCDA 1lại
D1JDbài và
.(AD toán, CC 1 1D
từA111)D )đó lên
'tìmphương
mặt 1phẳng (AD
giải D1 A1 )' theo phương
quyết.
1 trải vuông BCDA 1 và lên mặt ' phẳng theo phương
'
và JC thành Cđiểm1 Dtrung DKhi Ta
điểm trải ' hình
của vuông ABCDA
1
CC DđiểmB1 D
CC C1 D ' DA1' I' lên Cmặt
AB' 'Cvà phẳng (AD ' DD 1A
theo 1
trungvàtrung điểm của đó
của điểm ' I lần
và và J 1J thành1lượt . đó
thành thành trungtrung trung điểm điểm của của của . .
'
JAB D
Khi C điểm I lần lượt thành trung điểm của J thành '' ' trung điểm của D1C1' .
'''' ' ' các Gọi cạnh I I
giao bên điểm AB nghiêng
của đường J
đều thẳng với đáy vớiJ góc
J AD D
' ' ' D
D
và C
.
11 Tính
C D 1 D'' lần bán lượt I kính tại mặt
AB' ',' M và cầu . ngoại tiếp hình J chóp
ợc
C song
hẳng
KhiC C
vuông C D
đó D tạo
(AD
D D 1.. vuông
điểm
góc hai D
D
I giao
A
1
lần ) góc Thểtheo tuyến
lượt ta tích
J’
phương
lần thành lượt
tứ vuông
trung
được
diện
C ’ ' điểm
các
bằng góc hình ta
thể I '
Jlần
vuông
'
của
tích lượt hình được
và
1
hộp J
1
và các
thành trừ
' J’
hìnhđitrung tổngvuông
. điểm C
thể
’ M
B C
tích 0 của DA 4 1 và
hình C . C
chóp D D .
có thể tích
IJIJta MP1được
Dcác 1hình vuông
B I '
AB J D C '
J và . ' '
Jthẳng B C DA C 1C D D
và 1thành 'trung Mđiểm của ..lượt
1 ' ' 1 ' ' '
và DMQJPNI lần lượt J 'tại
B, CMM DA C C D D
ác ai lần chu thành vi 1 bằng 1củatrung 0hai
hình
,điểm
vàJ'D
lần
. Jthang
Dcủa1chu vi của hình MMthang
'
ng thẳngD
với AD Dlần C1lượt
' và D11'1'lần tại 1 .1 .đường
1 1 1 1
ờng ' '
với AD Gọi giao tại điểm 0 ,của thẳng J với ' AD 'và 'DDDC
1 1
J1' lần lượttrung tại Mđiểm
1 1
0 , M 1 .'
1 1
C 1 1
Itrung
Từ
JCJKhi ' đó dễ
thành
thành
và D D Pchu
D
củađóS.ABC.
D .
Gọi Như
trung
trung
điểm
lầndàng
Khi giaoGọi lượt điểm
đó
I điểmtìmViệc
điểm
điểm
thiết
giao
lần bằngtại được
lượt J J
điểm
M I
của chuyển
' vậy,
củacủa
lần
nhau. thành
, lượt
D
đường
của
M D
diện C.
BC Khi
đường .
thành
trung về
. đó
thẳng bài
chu
thẳng điểm
trung
điểm toán
I ' điểm
J I'J' ' ' 0phẳng
II vớilần
với
của I AD'
vi
lượt
ADcủaAB và dựa
' thành
AB
và D
'
và
J D trên
thành của
trung
J thành
lần
lần sự điểm
lượt
trung phân tại điểmI thiết
điểm
M tích
của , J của
J 'AB
M củasau:
. và D 1 C
1diện .thành
'
. J của D1C1' .
vi của thiết diện
1 1 1 1
chu C vi của Như 2'thiết
P
' ' vậy, C diện chu ' viM I ,' ,MM, của thiết , M 1 .diện'
1 1 1 1 1 0 1 1 1
1 0 1
lục giác =MQJPNI. Gọi I0,'(giao +điểm của đường thẳng vớicủa AD và2 ) Dnhỏ lầnnhất2 lượt Jkhi
' tại
1 . vàdiện Q, J ' lần
'
D
D QJhành giác
D D 1 lần
P'1)MINPJQ lần
nhỏ lượt
MQJPNI
trung
NhưGọi lượt 2Pđiểm
nhất
lượt giao tạitại
Từ tạikhi M =bằng
M
điểmgiảJ2
'
IM
,của
vậy, M M thiết
M, 11...D'1đường
hai
của MQ
Q, C' 1suy
lần 'J
.+ QJ
'
chu ra + vi
chu
thẳng IJnếu
Gọi )của =giao
IH
(Ihình ' M
là Iđiểm
với
J+' MQ
' vi ' hình
thang
AD +chiếu
và QJ
đường
xD của ' ' 1ycủa
D2 1thẳng
lần= alượt S lên
' tại(ABC)
Ithiết với 0 AD
thì D H Dlà 1 tâm lượtđườngtại ' M 0tròn
của 0 , M 1 .'
0thiết diện Jphương +D M
QJ hẳng
QJ CC + IJ
+ với D (AD
)
IJ )hàngD= 2
= 2Nhưlên
(D I(I M
'IMQJ
M 'Amặt
M1Như +) MQtheo
MQ phẳng + phương
QJ
+ QJ )(AD
P)MINPJQ nhỏ nhỏ D A
nhất nhất ) theo khikhi I I , , M, M, Q, Q, J J nhỏ' nhất khi thiết I , M, Q, J
thẳng .+ điểm vậy, =diện 2điểm P chu =' 12(,IM +lần MQ vi chu +'QJ + với IJcủa ) =điểm 2 (I MM +thiếtMQ + QJ ) diện
+.'M trùng với điểm +Q QJtrùng 1 . I ' ,viM, Q, Jcủa
trùng
ng thấy, 'hai chu
lầnđiểm chu
vi =của 20vi
vậy, lục
của chu giác
'vihình của MQJPNIthang
thiết 2bằng hai ) 2 vi của hình thang
1 1 1 1 1 1
D P của
của
'lần lượt
ngoại =Như
nhỏ 2' CP'IMQJtại nhất tiếp thiết
thiết
M (,khi
IM M 1ABC.
'' vậy, MQ , +diệndiệnQJ + IJ −+chu
4)Như
' IMQJ
=xyz (= IM M0xyz + MQ vậy,
'vi với x +
nhỏ
của 2 chu
=nhất b 2nhấtkhi thiết diện diện
vuông
vớiCQJ D )D
điểm .B DA , và
điểm C QC ID V
trùng D' M, . =
với Q,
xyz điểm JQJ . ' z
với
1MINPJQ
ác vuông Dễ 1 1 điểm M
cânMINPJQ
P M nên
dàng , điểm
góc
= 2 P
chứng Q
' AM 0 Iminh 1 = trùng
1 2 (
ABCDthẳng
bằng được
IM + với MQ ' 'hàng điểm 6 +
A M MIJ
J 1điểm
)
' .
1I3 là M
= ' 2 ( I M
tam trùng
+ MQ
giác + với
QJvuông ) điểm nhỏ cân M nên, điểm
khi' gócQ I '
, trùng
M, Q, ' với J
bằng
'
điểm M .
ủa
)hẳng và nhỏ
nhỏ CC ' hàng nhất
nhấtD21'P D 'thiết
00
khi khi
lên
' ' điểm 2mặt ,.' ,MM,
' IMQJ
II(IM M,phẳngtrùng Q, Q,
diện ' với (AD
P JJMINPJQ +điểm D=
1)A= 21JP )1M (theo
0I ,M
' điểm =D+2phương (MQ IM' Q+ +trùngMQ ' 2+với QJ nhỏ 2+ điểmIJ 2) = M
nhất
0
2(x1I.=M
' ' A. khi
AM
+ ' MQB.+0xQJ I '
) Jnhỏ nhất khi
1
I , M,
'
Q, J '
trùng với điểm 2. I , M, =Q,
'
thành
ểm
được P
được 0I A=1A
trung
của thẳngAB điểm Vì
là là =tam
và
hàng M
tam J ABC
thành
của
giácgiác +điểm MQ D vuông vuông
trung
C
vuông +
M .QJ trùng điểm
câncân IJtại vớinên nên C 2' IMQJ
của
điểm góc góc H C, là .
điểm ' QJ
trung ' z) +
bằng
Q bằng trùng điểm y với= c AB.
điểm
1 là trung điểm của
nhỏ nhất khi1D I', . M, Q, J' thẳng hàng điểm M trùng với
M MINPJQ J J I ' IMQJ
I ' ' là
D Dễ dàng chứng M AM AM minh I I được A J I là M A.
tam x =
giác 2 vuông 4
cân C.
B.
nên x =góc 4D.
AM I '
bằng
C. D.
mặt
ải hình' phẳng
,'nhất hay vuông (AD I 'trung
.BCDA )M Ctheo điểm
và phương của AD. A1,Tương
lên mặt tự,
phẳng điểm (AD 1 1là A1trung )cântheo điểm phương của DD Q1 .'trùng
1 1 1 1
ngnh gác
nhỏ thẳngvới
45 vớivuông
vuông A. điểm
Dễđiểm
hàng
x
11 M
dàng
= Bkhi
cân 2 MC M
0 1DA 1nên.điểm
D
chứng 1,Avà 1M,
góc
1
minh
'' '
CQ,trùngB. DCC 1x JD được thẳng
' D D
1'.với
= 1 điểm
bằng
4 hàng J 'M IM '
là C. , điểm
'tam
điểm
0 00
M
giác
Q trùng
trùng
MD
vuông với
với D. điểm
1
điểm nên Mgóc
M 0 .,góc
1
điểm AM 0 II bằng
với điểm M 1 . 0
gD
,ủa
a1AD. N I lần lần
J '' 'Tương
với
lượt
lượt AD
điểm tại
là trung và
tự,M Dễ 0HS D
,,
điểmdàng
điểm M D 11là .lần của
Q AM
chứng lượt
1trùng AD
làlà,trung I minhvới tại điểm
M được
điểm của .. 'D
'
là tam
1 .1 .tiếp
giác vuông cân nên Giải: Qua
'
bàibằng toán gian thực tiễn, chúng
D1 . ta cần= 2tính thể tíchB. lều
Itrục đường
AD. Tương tự, 0 tròn A J
ngoại I AM
' điểm trung ' điểm là của ' D lầnABC.
d/của M M'1TTTKG hay ' giúp hình 1trung dung điểm
'DD ' của
được AD.
hình Tương
khai triển tự, điểm
của hình làkhông trung điểm củagóc
lên D
mặt
.
0
Khi .01đó, chu vi '45
0
1 thiết
Bdiện M 0 nhỏ
0
' nhất khi M, Nlà lượt là
1
M
và auông lần lượt được các hình Ivuông 'và ..thể J ' Itrung điểm 1của AD AM A. I 'xtích
1 0
vuông
gcủa
m 45 với điểm0C C
,1điểm hay là cân
Giải:cânD
1Dễ
' D
Itrung
1M nên
của
Mnên
Qua
dàng
0Dễ là
, điểm
hay góc
ABgóc
trung
dàng bài chứng và AM
toán
của
chứngAM điểm
là J 0thành minh
D
0trung thực
minh bằng
củabằng . điểm trung
tiễn,
được AD.
được của Cchúng điểm
Dễ
DA
TươngAAD. J dàng I JTương
ta là
'C
của
tự,
là cần chứng
tam Cđiểm
tam 1D tính
tự, 11C
giác D 1minh
giác
điểm M vuông1vuôngMđược
tích trung
cân
là lều cân
trung điểm
A1nên
theo Giải:
điểm x, của
'
góclà
từ
Qua
của tam
Dđó D bài
AM tìm
Dgiá giác
1 1.0toán
. I x' vuông
để
bằng
thực hàm tiễn, cân chúngnên ta cần tính 0thể bằng lều
ếtếtvà Mdiện nhỏ vi 45
nhấtthiết khi M
khiM, của 'N
Ddiện
Nlần lượt thiết làlà trung điểm diện của AD số đạt D trị lớn nhất. Dễ dàng tính được chiều cao h hạ t
Jdiện ' nhỏ nhất phẳng.
Tâm M, J1mặt ' Từ đó lần
cầu 0lượt
'chuyển Khingoại đó, trung
' chu
việc
M0tiếp
giải viđiểm
hình của
bài củathiết
toán
chóp AD diện
hình là Otừ nhỏ
không ' nhất
SH. gian khi ' sang M, Nvấn lầnđề lượt bàilàtoán trung phẳngđiểm của ADQua bài toán thực
Giải:
0 1 1 1
m
ông
M, và
hẳng là
nh
45IN
là lần
trung
0được
, B
trung
cân'thành
số IKhi
hay
lần lượt
B Jđạt '.
nên
1chu điểm
điểm
với
nên
lượtM trung
đó,thành
giávigóc AD
góc
là của
chu
của của
trị
Khi điểm
trung
trung 'trung
và
lớn
AM D
vi
thiết DD
đó, D D
nhất.
của diện
I
1chu
điểm
điểmD .điểm
.bằngcủa
bằnglần
thiết
nhỏ
vi Dễcủacủa D
45
củaIlượt
' 1dàng C
diệncủa
,,
'
.hay
hay
1thiết
AD.
AD tại AB
tính
nhỏ M
'diện
Tương và,
được
0nhất làlà
nhỏ MJtrung tự, thành
trung
.khi
nhất chiều
điểm 'M,
điểm
khitrung
điểm caoN
MM,của của
lần hđiểm
N
là AD.hạ AD.
lượt
lần
trung J
lượt là của
Tương
đỉnh
theo
điểm trung
là x, Dcủa
lều
trung 1C
từ tự,
điểm
1đó .điểm
xuống D điểm
tìmD của
x đáy
2 để
của
. MAD hàmlều là trung
sốlà đạt điểm
giá trị của
lớn D
nhất. DDễ . dàng tính
=nhỏ 2(I M nhất + MQ khi 0 + QJ I ), M,
quen nhỏ
0
thuộc. Q,và
1 nhất JB' 'B1 .
khi I , M, Q, J 1
1 1x
1 1
số đạt giá trị lớn nhất. D
và
à
và iaolần
hulần D
trungB điểm
lượt
DBlượt Vận
lần
điểm
1 .Khi của
là
là
Tương
và lượttrung
đó, vi
B dụng
trung
của
xđường
B21chu . (ASB)
tại
tự, D các
điểm
điểm
điểmM
D vi thẳng
0. ,của
tính
của củaMcủa cắt .làIchất
1 thiết AD AD mặt
Jtrung hình
với
diện cầu
điểm AD
thiết
Khi nhỏ học ngoại
củavà
đó, nhấtphẳng,
Dchu D1khi tiếp
. lần vi taM,
diện của tính
theo
lượt N tại
thiết được
lần đường Mdiện
lượt0, M
chunhỏ làtrònvi nhất
1 .trung
củahlớn.= thiết
điểm khi9 − M, diện
của . NAD nhỏ
lần lượt là trung điểm của ADx 2
mất tvới M
hìnhhình 0điểm
h, điểm
1
học
= học 9 M − Q
phẳng,1 . trùng
phẳng, . ta tavới
1
tính
tính
Ví điểm dụđược được 4: MCho chu
Vận . nhỏ
1 chu vi vi
hình
dụng của của lập các thiết
thiết
phươngtính diện
diện chất nhỏ nhỏ
ABCD hình . Ahọc B C phẳng,
D ; Gọi ta M, tính N 4 là được các điểm
chu vi thuộc
của các
thiết diện nhỏ .
ầnIJ vànhất
)'lượt=B ' của 2làB(Vận
là:
Ilà 'vậy,
M trung Khi
dụng
+ MQ 4 vi
đó,
Vận
điểm thiết
Bán
+các QJchu dụng ' chuvi
)của
tính kính nhỏ của
các
' chất AD thiết
tính
mặt nhất
và diện
hình diện
chất
Bnhỏ cầu Bvi khi
1 học. hình ngoại
nhất
I phẳng,
'
,học M, khi
' của
phẳng,
tiếp
M,
Q,
ta tính N
bằng
lần
Jta tính
' lượt
được thiết
bán được là
chukính
1 chu
1được
vi vi
1
đường
của
1 chiều
của diệnthiết cao
thiếtdiện
tròn
h hạ
diện nhỏ từ
nhỏ
ngoại
đỉnh lều
tiếp
xuống
tích
đáy
SAB.
lều là h = 9−
tính
ông
1 J ' I cân
được 1 .tam nên chu giác góc của
vuông
AM thiết
IAD cânbằng diện nên góc AM I bằng Không gian phía trong lều là thể tích hình
4 lăng trụ V
được
được 2nhỏ (chu
chu trung
nhấtnhất
+viviMQ của điểm
là:+Q
của khicạnh thiết
thiết của 0'AD
,phía
diện
diện M,=nhất
vàvà
nhỏ
(nhỏ Q, B là:1+Jlều
B . sao cho 0 AM =
nhỏ BN ;
nhất Gọi I,
khi J lần lượt
,= M, Không làQ, trung gian điểm
phía của
trong AB
lều là vàthể C D . hình lăng
điểm 0 , điểm Không gian
trùng )với 2trong
điểm Vận là+D thể
dụng )tích các hình tatính lăng chất trụ hình học.d ,của với
phẳng, JSlà làta diệntínhtích được đáy
củachu vi1 lăng
của thiết diện nhỏ
' ' ' ' '
QJ
nhất )= là: M IM QJ +I IJ IM M MQ 1 .học
QJ IVchu Svi vàS.d, dthiết chiều cao hình
1
trụ. Từ Không gian phía t
àương trung Vận
tự, điểm điểm dụng Vấncủa M các
D đề là Dcác tính
thực
trung
. chấtđiểm chất hình củalà giải
D phẳng,
bài
. toán tính
hình được học phẳng. diện nhỏ cao đó:
MQJ
Vận 3 2 dụng
x tính chất hình học phẳng, ta tính được chu vi trụ V = với S là diện tích đáy và d là chiều của hình
rùng
điểm và ' ' d là chiều cao của hình
với P M điểm
= trùng M với
1
.
1
điểm M nhất , lăng
điểm là:3điểm trụ. Q Từ
trùng
1
đó: với
0 I bằng
điểm M . và d là chiều cao của hì
ược A1chu I vi
làlà tam
của giác
thiết 1 3 vuông diện nhỏ cân 0 nên góc2 x AM '
nhất J là: Từ đó: V = 3x 36 − x 2 .
nhỏ
ần lượtnhất khi
của trung
3minh
M,
thiết
2điểm 2
x= 3 P điểm
N diện
= lần 2nhỏcủa
xlượt nhất AD là là:trung P = của AD 1
6
lăng trụ.
àng c vuông chứng được 10J .II bằng bằngdùng V = 3x 36 − x 2 .
D. Tương P =cân tự, Vnên góc 21 là Axtrung là điểm tamcủa giác
2 D vuông cân nên góc AM 0DễI dàng
' ' ' '
xM36 AM− 2
D1 . công dùng cụ đạocông hàm,cụtađạo tínhhàm, được ta Vmax =
3 M2không x làtinh
Dễ dàng tinh được Vmax
ện Mlà1nhỏ trung
là trung nhất điểm
Dễ 2điểm
32.2.2.khi 2dàng xcủa M, của
Thể AD.
dùngN hiện Dlần Tương
Dcôngcủa .
lượt trí cụ là tự,
tưởng đạo
trung điểm hàm,
tượng điểm ta của trung gian
ADđược điểm
trong Vmax của D = V(3
D . 2 ) .
.Từ Từ đó đó chọn chọn đáp đápán C. Dễ dàng dùng côn
ược ọc phẳng, chuP vi = ta của tính thiết được diệnchu 1
nhỏ vi của thiết diện P = 1
nhỏ 5 1
án C.
,ó,Nchu lần án vi lượt
C. của thực là2 thiết tiễn diện
trung điểm nhỏ củanhất ADkhi M, 2N lần lượt là trung điểmTrên của đây, ADchúng Trêntôiđây, đã làm sáng tỏ một số cơ hội
chúng tôi đã làm sáng
án C. giúp HS
tỏ một số cơ
a. Định hướng và xác định được vị trí địa lí của một hình, hoạt động trải nghiệm tưởng tượng không gian. Bạn đọcTrêncó đây, chúng
nh học phẳng, Trên ta đây, tính được chúngchu tôiviđãcủa làm thiết sáng diện tỏ nhỏ một số cơ hội giúp HS hoạt động trải
địa điểm, một vật: 7 7 thể phát nghiệm hiện thêm tưởng các cơ tượng hội khác không để HS gian. Bạn
trải nghiệm, nghiệm đọcchẳngcó
tưởng thểtượng
phát kh
dụng
nh được các chu tínhtưởng vichất7 của hình thiếthọc diện phẳng, nhỏgian. ta tính Bạnđóđược chuthểviphát của thiết diện 7 nhỏ
nghiệm Ví 7dụ 5: Chỉ tượng dẫn cho không một người nào 7
đọcchưa có từng tới thành hiệnhạn thêm tạo cơcác hội cơ giúp hộiHSkhác trải để
nghiệm tìm hiểu các lĩnh vực hội
phố Vinh đi từ vị trí A đến B thì người ta đặt B gắn với vị trí họa, kiến HStrúc, trảixây nghiệm, dựng,...chẳng hạn tạo cơ hội HSgiúp HS trảichẳng
trải nghiệm, nghiệ
HS trải nghiệm, chẳng hạn tạo cơ hội 7giúp HS trải nghiệm tìm hiểu 7 các lĩnh vực hội
khác liên quan, hình dung được khoảng cách từ A đến B và họa, kiến trúc, xây dựng, .... họa, kiến trúc, xây dựn
2x
họa, tốt kiến nhất trúc, là mô xâyhình dựng, hóa .... được nhờ sử dụng ngôn ngữ tọa độ 3. Kết luận
2 chỉ dẫn cho người đó, sơ đồ các đường thẳng cần đi. TTTKG có 3. vaiKết trò quan luậntrọng trong giáo dục toán học3.cho Kết luận
3. Kết luận
Định hướng từ Quảng trường Hồ Chí Minh đến Trường HS, không chỉTTTKG trong giảicó quyết vai các tròbàiquan toántrọngtoán học trong TTTKG
mà giáo
còn dục toán
có vai tr
7 giải quyết các bài toán
Trung TTTKG học phổ có thông vai trò Chuyên quan Phan trọngBội trong Châugiáo bằngdục cáchtoán sau học cócho nhiều giảiHS, ứng không
quyết dụng các chỉbài
trong trong
giảitoán quyếttoán vấn học đề thực màtế.còn Từ có cáchnhiều ứng d
giải 7quyết đây: Cócác bài toán toánhaihọc con mà cònLêcó nhiều ứngvàdụng hiểutrong giải thực tế. Từ cách hiểu v
thể xem góc giữa đường Hồng Phong vềthực TTTKG tế. quyết Từ quacách các vấn khả
hiểuđềnăng về đặcTTTKG trưng và qua đặc các biệt khảtừ năng đặc t
thực đường tế. TừNguyễn cách hiểu Văn về Cừ TTTKG là7 góc phần qua tư các thứ nhất khả của năng hệđặc trục trưng việcvà làmđặc sáng biệt tỏ một từ việcsố biểu làm hiện của TTTKG, đó là cơ sở số biểu hiệ
sáng tỏ một
sáng tỏ một số biểu hiện của TTTKG, đó là cơ sở để tiế
sáng tỏ một số biểu hiện của TTTKG, đó là cơ sở để tiếp tục nghiên cứu đề xuất các
Số 02, tháng 02/2018
9 53
9
- NGHIÊN CỨU LÍ LUẬN
để tiếp tục nghiên cứu đề xuất các biện pháp phát triển năng giai đoạn hiện nay, đặc biệt góp phần phát triển năng lực tư
lực TTTKG trong dạy học Hình học ở trường trung học phổ duy và suy luận, năng lực giải quyết vấn đề trong nội bộ môn
thông. Qua đó, góp phần đổi mới giáo dục toán học trong Toán cũng như trong thực tiễn.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Văn Thiêm, (1984), Tưởng tượng không gian, phát huy trí [6] Hoàng Phê (chủ biên), (1998), Từ điển Tiếng Việt, NXB Đà Nẵng.
tượng tượng không gian của học sinh khi dạy hình học phẳng, Tạp chí [7] Phạm Minh Hạc (chủ biên), (1988), Tâm lí học, Tập 1, NXB Giáo dục.
Nghiên cứu Giáo dục, số 11/1984, số 12/1984. [8] Đào Duy Anh, (2005), Hán Việt từ điển, NXB Văn hóa Thông tin.
[2] Bùi Văn Nghị, (2008), Giáo trình phương pháp dạy học những nội [9] Vũ Dũng (chủ biên), (2008), Từ điển Tâm lí học, NXB Từ điển Bách
dung cụ thể môn Toán, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội. khoa, Viện Tâm lí học, Hà Nội.
[3] Lê Thị Hoài Châu, (2004), Phương pháp Dạy - Học hình học ở trường [10] Bùi Hiền, (2001), Từ điển Giáo dục học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
trung học phổ thông, NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí [11] Nguyễn Bá Kim, (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại
Minh. học Sư phạm Hà Nội.
[4] Nguyễn Mạnh Tuấn, (2010), Trí tượng tượng không gian và việc phát [12] Phan Trọng Ngọ, (2005), Dạy học và phương pháp dạy học trong nhà
triển trí tượng tượng không gian cho học sinh những năm đầu tiểu học trường, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội.
(lớp 1, 2) bằng phần mềm giáo dục, Tạp chí Giáo dục, số 248. [13] Đào Tam, (2005), Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học
[5] Trần Trọng Thủy, (1998), Tâm lí học, NXB Giáo dục, Hà Nội. phổ thông, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội.
SPATIAL IMAGINATION AND ITS ROLE IN MATHS EDUCATION
Dao Tam ABSTRACT: The article introduces concepts of space, spatial imagination through specific
Vinh University abilities. In particular, the author emphasizes the role of developing spatial imagination
182 Le Duan, Vinh, Nghe An, Vietnam
in Geometric perception. Some expressions of spatial imagination in Maths learning and
Email: daotam.32@gmail.com
in reality. According to the author, spatial imagination plays an important role in Maths
Dau Anh Tuan
Nghe An College of Education education for students, not only in solving Maths problems but also in practical problem
389 Le Viet Thuat, Vinh, Nghe An, Vietnam solving applications.
Email: dauanhtuancdsp@gmail.com
KEYWORDS: Space; Spatial imagination; education; Maths.
54 TẠP CHÍ KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM
nguon tai.lieu . vn
