Xem mẫu
- OÂN THI CAO HOÏC
MOÂN TOAÙN KINH TEÁ
(GV: Traàn Ngoïc Hoäi - 2008)
PHAÀN III: THOÁNG KEÂ
§1. CAÙC ÑAËC TRÖNG MAÃU
1.1. Baûng soá lieäu
Khi khaûo saùt ñaùm ñoâng X ta thu thaäp soá lieäu cuûa maãu côõ n:
(X1, X2,…, Xn) vaø thöôøng laäp baûng soá lieäu theo caùc daïng sau:
Daïng 1: Lieät keâ döôùi daïng:
x1, x2,…, xn
trong ñoù moãi soá lieäu coù theå laëp laïi nhieàu laàn.
Daïng 2: Laäp baûng coù daïng:
Xi x1 x2 ……………………….. xk
ni n1 n2 …………………………. nk
trong ñoù x1 < x2
- Daïng 3 ñöôïc ñöa veà Daïng 2 baèng caùch thay caùc khoaûng
xi + xi +1
x'i =
xi-xi+1 baèng giaù trò trung bình cuûa hai ñaàu muùt .
2
Trong caùc phaàn sau, ta xeùt maãu cuûa ñaùm ñoâng X coù daïng 2.
1.2. Kyø voïng maãu
1) Ñònh nghóa. Kyø voïng maãu hay Trung bình maãu cuûa
ñaùm ñoâng X öùng vôùi maãu (X1, X2,…, Xn), kí hieäu X n hay X laø ñaïi
löôïng ngaãu nhieân ñònh bôûi:
1k
∑ X in i
X=
n i =1
n→∞
2) YÙ nghóa. Khi kyø voïng maãu X n hoäi tuï veà kyø
voïng ñaùm ñoâng μ = M(X). Do ñoù khi n khaù lôùn ta xaáp xæ:
μ = M (X ) ≈ Xn
1.3. Phöông sai maãu vaø ñoä leäch maãu
1) Ñònh nghóa. Phöông sai maãu cuûa ñaùm ñoâng X öùng vôùi
2
xσ 2 σ2 ) laø ñaïi
maãu (X1, X2,…, Xn), kí hieäu S (coøn kí hieäu laø hay
n n
löôïng ngaãu nhieân ñònh bôûi:
1k 2
2
S = ∑ X i n i − (X)2
n i =1
Caên baäc hai cuûa phöông sai maãu cuûa X goïi laø ñoä leäch maãu,
xσ n σn ):
S (coøn kí hieäu laø
kí hieäu hay
1k 2
∑ X i ni − (X)2
S=
n i =1
2) Phöông sai maãu vaø ñoä leäch maãu hieäu chænh
Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa ñaùm ñoâng X öùng vôùi
xσ2 −1 hay σ2 −1 )
S2 (coøn
maãu (X1, X2,…, Xn), kí hieäu kí hieäu laø n n
laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñònh bôûi:
1k2
n n
2
∑ X i ni − n − 1 (X)2
2
S= S=
n −1 n − 1 i =1
2
- Caên baäc hai cuûa phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X goïi laø
xσ n −1
S
ñoä leäch maãu hieäu chænh, kí hieäu (coøn kí hieäu laø hay
σn −1 ):
1k2 n
∑ X i ni − n − 1 (X)2
S=
n − 1 i =1
3) YÙ nghóa. Khi n → ∞ phöông sai maãu hieäu chænh hoäi
tuï veà phöông sai ñaùm ñoâng σ2 = D(X). Do ñoù khi n khaù lôùn ta xaáp
xæ:
σ2 = D(X) ≈ S2
1.4. Tæ leä maãu
1) Ñònh nghóa. Ta xeùt ñaùm ñoâng vôùi tæ leä caùc phaàn töû coù
tính chaát A laø p. Daáu hieäu X maø ta quan taâm laø caùc phaàn töû cuûa
ñaùm ñoâng coù tính chaát A hay khoâng: Neáu coù, ta ñaët X = 1; neáu
khoâng, ta ñaët X = 0. Nhö vaäy, ñaùm ñoâng X coù phaân phoái Bernoulli
X ∼ B(p) nhö sau:
X 0 1
P q p
(q = 1-p). Khi ñoù moät maãu côõ n laø moät boä goàm n ñaïi löôïng ngaãu
nhieân (X1, X2, …, Xn) maø moãi Xi ñeàu coù cuøng phaân phoái Bernoulli
vôùi X: Xi ∼ B(p), nghóa laø
Xi 0 1
P q p
Noùi caùch khaùc, moãi Xi chæ nhaän hai giaù trò: 0 (vôùi xaùc suaát q) vaø 1
(vôùi xaùc suaát p).
Tæ leä maãu cuûa ñaùm ñoâng X öùng vôùi maãu (X1, X2,…, Xn), kí
hieäu Fn, laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñònh bôûi:
1k
Fn = ∑ X in i
n i =1
n → ∞ tæ leä maãu Fn hoäi tuï veà tæ leä
2) YÙ nghóa. Khi ñaùm
ñoâng p. Do ñoù khi n khaù lôùn ta xaáp xæ:
p ≈ Fn
3
- 3) Chuù yù. Döôùi Daïng 2 cuûa baûng, vieäc tính giaù trò cuûa tæ
leä maãu raát ñôn giaûn vì ta chæ caàn xaùc ñònh soá phaàn töû m thoûa tính
chaát A cuûa maãu côõ n. Khi ñoù
m
Fn = .
n
Ví duï. Ñeå khaûo saùt chæ tieâu X cuûa moät loaïi saûn phaåm, ngöôøi
ta quan saùt moät maãu vaø coù keát quaû sau:
X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39
Soá saûn phaåm 8 9 20 16 16 13 18
Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu X töø 19 cm trôû xuoáng ñöôïc xeáp
vaøo loaïi B. Haõy xaùc ñònh kyø voïng maãu, phöông sai maãu, phöông
sai maãu hieäu chænh, ñoä leänh maãu, ñoä leänh maãu hieäu chænh cuûa chæ
tieâu X vaø tæ leä maãu caùc saûn phaåm loaïi B.
Giaûi. Tröôùc heát ta thay caùc khoaûng xi - xi+1 baèng giaù trò trung bình
xi + xi +1
x'i =
cuûa hai ñaàu muùt .
2
Xi 13 17 21 25 29 33 37
ni 8 9 20 16 16 13 18
Ta coù:
- Côõ maãu n = 100.
- Kyø voïng maãu cuûa X laø
1
∑ X i ni = 26,36 (cm).
X=
n
Phöông sai maãu cuûa X laø:
-
1
2
S = ∑ X i2n i − X 2 =(7, 4452)2 (cm2 ).
n
Ñoä leäch maãu cuûa X laø: S = 7, 4452 (cm)
-
Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø:
-
n 2
S= S = (7, 4827)2 (cm2 ).
2
n −1
Ñoä leäch maãu hieäu chænh cuûa X laø: S = 7, 4827(cm)
-
Tæ leä maãu caùc saûn phaåm loaïi B laø:
-
m 17
Fn = = = 0,17 = 17%.
n 100
4
- vì trong n = 100 saûn phaåm coù m = 8 + 9 = 17 saûn phaåm coù chæ tieâu
X nhoû hôn hay baèng 19 cm, nghóa laø coù m = 17 saûn phaåm loaïi B.
1.5. Höôùng daãn söû duïng phaàn meàm thoáng keâ trong caùc
maùy tính boû tuùi CASIO 500MS, 570MS,..) tính caùc ñaëc tröng
maãu:
Ví duï: Xeùt laïi ví duï treân. Ta baám maùy nhö sau:
Vaøo MODE SD: Baám MODE (vaøi laàn...) vaø baám soá öùng
1)
vôùi SD, treân maøn hình seõ hieän leân chöõ SD.
Xoùa boä nhôù thoáng keâ: Baám SHIFT MODE 1 (maøn
2)
hình hieän leân Stat clear) = AC . Kieåm tra laïi: Baám nuùt
troøn (leân hoaëc xuoáng) thaáy n = vaø ôû goùc soá 0 laø ñaõ xoùa.
Nhaäp soá lieäu: Baám xi SHIFT , ni M+
3) (khi baám
treân maøn hình hieän leân daáu ;). Cuï theå, ta baám:
SHIFT ,
M+
1 3 SHIFT , 8
M+
1 7 SHIFT , 9
M+
2 1 SHIFT , 2 0
M+
2 6 SHIFT , 1 6
M+
2 9 SHIFT , 1 6
M+
3 3 SHIFT , 1 3
M+
3 7 SHIFT , 1 8
Kieåm tra vaø söûa soá lieäu sai: Baám nuùt troøn xuoáng ñeå
4)
kieåm tra vieäc nhaäp soá lieäu. Thaáy soá lieäu naøo sai thì ñeå
maøn hình ngay soá lieäu ñoù, nhaäp soá lieäu ñuùng vaø baám =
thì soá lieäu môùi seõ thay cho soá lieäu cuõ.
Ví duï. Nhaäp sai 1 3 SHIFT , 7 M+ . Khi kieåm tra ta
thaáy treân maøn hình hieän ra:
- x1 = 13 (sai).
- Freq1 = 7 (sai)
Söûa nhö sau: Ñeå maøn hình ôû Freq1 = 7, baám thì
8 =
nhaän ñöôïc soá lieäu ñuùng Freq1 = 8.
5
- Soá lieäu naøo bò nhaäp dö thì ñeå maøn hình ôû soá lieäu ñoù vaø
baám SHIFT M+ thì toøan boä soá lieäu ñoù (goàm giaù trò cuûa X vaø xaùc
suaát töông öùng) seõ bò xoùa. Chaúng haïn, nhaäp dö
M+ . Khi kieåm tra ta thaáy x8 = 47 (dö). Ta ñeå
4 7 SHIFT , 1 8
maøn hình ôû soá lieäu ñoù vaø baám SHIFT M+ thì toøan boä soá lieäu dö
(goàm giaù trò cuûa X = 47 vaø taàn soá töông öùng 18) seõ bò xoùa.
Chuù yù. Sau khi kieåm tra vieäc nhaäp soá lieäu xong, phaûi baám
AC ñeå xoùa maøn hình vaø thoùat khoûi cheá ñoä chænh söûa.
5) Ñoïc keát quaû:
Baám SHIFT 1 1 = ta ñöôïc ∑ X i 2n i =75028.
-
∑X n =2636.
Baám SHIFT 1 2 = ta ñöôïc
- i i
Baám SHIFT 1 3 = ta ñöôïc n = 100.
-
Baám SHIFT 2 1 = ta ñöôïc kyø voïng M(X) = 26,36.
-
Baám SHIFT 2 2 = ta ñöôïc ñoä leäch chuaån S = 7, 4452 .
-
Suy ra phöông sai D(X) = [σ(X)]2= (7,4452)2.
Baám SHIFT 2 3 = ta ñöôïc ñoä leäch chuaån hieäu chænh
-
S = 7, 4827. Suy ra phöông sai maãu hieäu chænh
S2 = (7, 4827)2 .
§2. ÖÔÙC LÖÔÏNG
2.1. Öôùc löôïng ñieåm
Xeùt ñaùm ñoâng X vaø maãu (X1, X2,..., Xn) ta coù caùc öôùc löôïng
ñieåm khoâng cheäch sau:
1) Kyø voïng maãu X laø öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa kyø voïng
ñaùm ñoâng:
μ = M (X ) ≈ X
2) Phöông sai maãu hieäu chænh S2 laø öôùc löôïng khoâng
cheäch cuûa phöông sai ñaùm ñoâng:
σ2 = D(X) ≈ S2
3) Tæ leä maãu Fn laø öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa tæ leä ñaùm
ñoâng:
p ≈ Fn
Ví duï: Ñeå khaûo saùt chæ tieâu X cuûa moät loaïi saûn phaåm, ngöôøi
ta quan saùt moät maãu vaø coù keát quaû sau:
6
- X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39
Soá saûn phaåm 8 9 20 16 16 13 18
Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu X töø 19cm trôû xuoáng ñöôïc xeáp vaøo loaïi
B. Haõy öôùc löôïng giaù trò trung bình, phöông sai cuûa chæ tieâu X vaø
tæ leä caùc saûn phaåm loaïi B.
Giaûi. Trong Ví duï 1 ôû §1, ta ñaõ tìm ñöôïc:
- Kyø voïng maãu cuûa X laø X = 26,36 (cm).
Phöông sai ñaõ hieäu chænh cuûa X laø
-
n 2
S2 = S = (7, 4827)2 = 55, 9903 (cm2 ).
n −1
Tæ leä maãu caùc saûn phaåm loaïi B laø Fn = 17%.
-
Ta öôùc löôïng:
- Giaù trò trung bình cuûa X laø
M(X) ≈ X = 26,36 (cm).
Phöông sai cuûa X laø
-
D(X) ≈ S2 = 55, 9903 (cm2 ).
Tæ leä caùc saûn phaåm loaïi B laø
-
p ≈ Fn = 17%.
2.2. Öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng
1) Öôùc löôïng hai phía: Xeùt ñaùm ñoâng X vaø maãu (X1, X2,...,
Xn), ta coù caùc coâng thöùc öôùc löôïng khoûang (hai phía) cho kyø voïng
μ = M(X) vôùi ñoä tin caäy γ = 1 - α nhö sau:
BAÛNG 1A
ÖÔÙC LÖÔÏNG KHOAÛNG CHO KYØ VOÏNG μ = M(X) (ÑOÄ TIN CAÄY γ = 1 - α)
Phöông sai σ2
Tröôøng hôïp Coâng thöùc
σ σ
n ≥ 30 Ñaõ bieát
(X − zα ; X + zα )
n n
S S
Chöa bieát
(X − zα ; X + zα )
n n
σ σ
n < 30 vaø X coù phaân Ñaõ bieát
(X − zα ; X + zα )
phoái chuaån n n
kS S
Chöa bieát k
(X − t α ; X + tα )
n n
• zα thoaû ϕ(zα) = (1 - α)/2 = γ/2 tra töø Baûng giaù trò haøm Laplace
k
• t α vôùi k = n-1 vaø α = 1 - γ tra töø Baûng Phaân phoái Student
7
- 1−α γ
• Tra Baûng haøm Laplace ñeå xaùc dònh zα thoûa ϕ(zα ) = =
2 2
ta ñöôïc:
γ = 1- α ϕ(zα) = γ/2 zα
90% 0,45 1,65
91% 0,455 1,70
92% 0,46 1,75
93% 0,465 1,81
94% 0,47 1,88
95% 0,475 1,96
96% 0,48 2,06
97% 0,485 2,17
98% 0,49 2,33
99% 0,495 2,58
• Ñoâi khi giaù trò zα ñöôïc cho döôùi daïng P(|Z|≤ zα) = 1- α = γ
1−α γ
hay P(Z ≤ zα) = 0,5 + = 0, 5 + , trong ñoù Z ∼ N(0,1).
2 2
• Baûng phaân phoái Student öùng vôùi k = n – 1 vaø α = 1 - γ cho
k k k
ta giaù trò t α thoûa P(|T|> t α ) = α = 1 - γ, nghóa laø P(|T|≤ t α ) =
1- α = γ. Ví duï. Khi k = 12, α = 0,01 ta coù t α = 3,055.
k
Ví duï. Ñeå khaûo saùt chæ tieâu X cuûa moät loaïi saûn phaåm, ngöôøi
ta quan saùt moät maãu vaø coù keát quaû sau:
X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39
Soá saûn phaåm 8 9 20 16 16 13 18
Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu X töø 19 cm trôû xuoáng ñöôïc xeáp vaøo
loaïi B.
a) Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X vôùi ñoä tin caäy
95%.
b) Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa nhöõng saûn
phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 99% (Giaû söû X coù phaân phoái chuaån).
Giaûi. a) Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X)
vôùi ñoä tin caäy γ = 1 - α = 95% = 0,95.
Vôùi caùc soá lieäu treân, trong §1, ta ñaõ tìm ñöôïc:
- Côõ maãu n = 100.
- X = 26,36 (cm).
8
- S 2 = (7,4827) 2 (cm 2 ).
-
Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng
khoaûng cho kyø voïng:
S S
(X − zα ; X + zα )
n n
trong ñoù ϕ(zα) = γ/2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm Laplace
ta ñöôïc zα = 1,96. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø:
7,4827 7,4827
(26,36 − 1,96 ; 26,36 + 1,96 ) = (24,89; 27,83).
100 100
Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, giaù trò trung bình cuûa chæ
tieâu X töø 24,89cm ñeán 27,83 cm.
b) Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μB = M(XB)
cuûa chæ tieâu X = XB cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy
γ = 1 - α = 99% = 0,99.
Ta laäp baûng soá lieäu cuûa XB:
XBi 13 17
nBi 8 9
Töø baûng treân ta tính ñöôïc:
∑ X Bi nBi =257; ∑ X Bi nBi =3.953.
nB = 17;
2
Kyø voïng maãu cuûa XB laø
-
1
∑ X BinBi = 15,1176 (cm).
XB =
nB
Phöông sai maãu cuûa XB laø:
-
1
2
∑ X Bi2nBi − X B2 =(1, 9965)2 (cm2 ).
SB =
nB
Phöông sai maãu ñaõ hieäu chænh cuûa XB laø:
-
nB 2
SB 2 = SB = (2, 0580)2 (cm2 ).
nB − 1
Vì nB < 30, XB coù phaân phoái chuaån, σ2B= D(XB) chöa bieát,
neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng:
kS kS
(X B − t α B ; X B + t α B )
nB nB
k
trong ñoù t α ñöôïc xaùc ñònh töø baûng phaân phoái Student vôùi k = nB –1
= 16 vaø α = 1 - γ = 1 – 0,99 = 0,01. Tra baûng phaân phoái Student
k
ta ñöôïc t α = 2, 921 .
Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø:
2,0580 2,0580
(15,1176 − 2,921 ; 15,1176 + 2,921 ) = (13,66; 16,58).
17 17
9
- Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 99%, giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X
cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi B töø 13,66cm ñeán 16,58cm.
2) Öôùc löôïng moät phía: Xeùt ñaùm ñoâng X vaø maãu (X1, X2,...,
Xn), ta coù caùc coâng thöùc öôùc löôïng khoûang moät phía cho kyø voïng
μ = M(X) vôùi ñoä tin caäy γ = 1 - α nhö sau:
BAÛNG 1B
ÖÔÙC LÖÔÏNG KHOAÛNG BEÂN TRAÙI CHO KYØ VOÏNG μ = M(X) (ÑOÄ TIN CAÄY γ = 1 - α)
Phöông sai σ2
Tröôøng hôïp Coâng thöùc
σ
n ≥ 30 Ñaõ bieát
(−∞; X + z2α )
n
S
Chöa bieát
(−∞; X + z2α )
n
σ
n < 30 vaø X coù phaân Ñaõ bieát
(−∞; X + z2α )
phoái chuaån n
S
Chöa bieát k
(−∞; X + t 2α )
n
• z2α thoaû ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 (α = 1 - γ) tra töø Baûng giaù trò haøm Laplace
k
• t 2α vôùi k = n-1 vaø α = 1 - γ tra töø Baûng Phaân phoái Student
BAÛNG 1C
ÖÔÙC LÖÔÏNG KHOAÛNG BEÂN PHAÛI CHO KYØ VOÏNG μ = M(X) (ÑOÄ TIN CAÄY γ = 1 - α)
Phöông sai σ2
Tröôøng hôïp Coâng thöùc
σ
n ≥ 30 Ñaõ bieát
(X − z2α ; +∞)
n
S
Chöa bieát
(X − z2α ; +∞)
n
σ
n < 30 vaø X coù phaân Ñaõ bieát
(X − z2α ; +∞)
phoái chuaån n
S
Chöa bieát k
(X − t 2α ; +∞)
n
• z2α thoaû ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 (α = 1 - γ) tra töø Baûng giaù trò haøm Laplace
k
• t 2α vôùi k = n-1 vaø α = 1 - γ tra töø Baûng Phaân phoái Student
Chuù yù:
• Khi coù öôùc löôïng khoaûng beân traùi cho kyø voïng μ vôùi ñoä tin
caäy γ laø (−∞; X + ε) , ta noùi giaù trò toái ña cuûa kyø voïng μ ñoä tin caäy γ
laø X + ε .
10
nguon tai.lieu . vn
