Xem mẫu
- CHƯƠNG III. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
§1. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU
Định nghĩa hàm số nhiều biến số
1.1.
2
D là một tập hợp trong , người ta gọi ánh xạ f : D , tức là một quy tắc cho
tương ứng với mỗi cặp số thực x, y D một số thực duy nhất z , ký hiệu là f x, y là
hàm số hai biến số, x và y là hai biến số độc lập. Ta ký hiệu
f : x, y z f x, y
D được gọi là miền xác định của hàm số f . Tập hợp
fD z z f x, y , x, y D
gọi là miền giá trị của hàm số f .
2
Chú ý: Theo định nghĩa trên thì miền xác định của f thuộc , còn miền giá trị của nó
thuộc .
Hàm số n biến số f x 1 , x2 ,..., xn được định nghĩa tương tự.
Miền xác định
1.2.
Nếu người ta cho hàm số hai biến số bởi biểu thức z f x, y mà không nói gì về miền
xác định của nó thì miền xác định của hàm số đó được hiểu là tập hợp những cặp x, y
sao cho biểu thức f x, y có nghĩa.
2
Ví dụ 1: Hàm số z 2 x 3 y 5 xác định với mọi cặp x, y , miền xác định của nó là
toàn bộ mặt phẳng.
1 x2 y 2 xác định khi 1 x 2 y2 0 hay x 2 y 2 1 , miền xác định
Ví dụ 2: Hàm số z
của nó là hình tròn đóng, tâm O , bán kính I ( hình 1).
Ví dụ 3: Hàm số z ln x y 1 được xác định khi x y 1 0 hay x y 1 , miền xác
định của nó là nửa mặt phẳng mở ở phía trên đường thẳng x y 1 (hình 2).
- y
y
1
x x
O O 1
1
( hình 1) (hình 2)
Giới hạn của hàm số hai biến số
1.3.
2
Ta nói rằng điểm M n xn , yn dần tới diểm M 0 xo , y0 trong và viết M n M0
(hay xn , yn x0 , y0 )khi n nếu
2 2
lim xn x0 yn y0 0
n
Cho hàm số f M f x, y xác định trong miền D chứa điểm M 0 x0 , y0 , có thể trừ
điểm M 0 . Ta nói rằng L là giới hạn của f x, y khi điểm M x, y dần tới điểm M 0 là
L hay lim f M L.
lim f x, y
x, y x0 , y0 M M0
xy
Ví dụ 4: Tính f x, y với f x, y
lim
2
y2
x, y 0,0
x
Giải:
2
Hàm số f x, y xác định trên \ 0, 0 .
x
Vì 0, 0 , nên
1, x, y
x2 y2
- x
f x, y y y, x, y 0, 0
2
y2
x
Do đó với mọi dãy dần tới 0, 0 , ta đều có 0.
xn , yn lim
xn , yn 0,0
Vậy lim 0
x, y 0,0
xy
Ví dụ 5: Tính g x, y với g x, y .
lim 2
y2
x
x, y 0,0
Giải:
2
Hàm số g x, y xác định trên \ 0, 0 .
Ta thấy rằng g x, y không tồn tại.
lim
x, y 0,0
Thật vậy, ta có:
+ Với dãy dần tới 0, 0 , ta chọn yn 0 , do đó g xn , 0 0 thì
xn , yn 0, xn
lim g xn , yn 0
xn , yn 0,0
+ Với dãy dần tới 0, 0 , ta chọn xn , do đó
xn , yn yn
2
xn 1 1
0 thì .
g xn , xn , xn lim g xn , yn
2
2 xn 2 2
xn , yn 0,0
1
Vì 0 nên không tồn tại g x, y .
lim
2 x, y 0,0
Tính liên tục của hàm số hai biến số
1.4.
Cho hàm số f x, y xác định trong miền D . M 0 x0 , y0 là điểm thuộc D . Ta nói rằng
hàm số f x, y liên tục tại M 0 nếu:
i) Tồn tại f x, y ,
lim
x, y x0 , y0
ii) (1.1)
lim f x0 , y0
x, y x0 , y0
- Hàm số f x, y được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm của miền
D.
xy
, x, y 0, 0
2
y2
x
Ví dụ 6: Xét tính liên tục của hàm số G x, y
0, x, y 0, 0
Giải:
2
G x, y xác định trên toàn . Nó liên tục tại mọi điểm x, y 0, 0 vì nó là thương của
hai hàm sô liên tục với mẫu số khác 0. Chỉ còn phải xét tính liên tục của G x, y tại
xy
0, 0 . Vì không tồn tại (xem ví dụ 5) nên G x, y không liên tục tại
lim 2
y2
x
x, y 0,0
0, 0 . Tóm lại G x, y liên tục tại mọi điểm x, y 0, 0 .
Chú ý: Nếu đặt x x0 y , ta có
x, y y0
f x, y f x0 x, y 0 y
Lại đặt f f x0 , y0 . Khi đó công thức (1.1) có thể được viết là
f x0 x , y0 y
(1.2)
lim f 0
x, y 0,0
Nói cách khác, hàm số f x, y liên tục tại M 0 x0 , y0 nếu hệ thức (2) được thỏa mãn.
§2. ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN TOÀN PHẦN
2.1. Đạo hàm riêng
2.1.1. Định nghĩa: z f x, y là một hàm số xác định trong miền D , x0 , y0 là
một điểm thuộc D . Nếu cho y y0 , y0 là hằng số, mà hàm số một biến số x f x , y0
có đạo hàm tại x x0 thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng đối với x của hàm số f x, y
f
tại x0 , y0 và được ký hiệu là: f x x0 , y0 hay x0 , y0 .
x
Vậy theo định nghĩa của đạo hàm hàm số một biến số, ta có:
- f x0 x, y0 f x0 , y0
f x x0 , y0 lim
x
x 0
Tương tự, đạo hàm riêng đối với y của hàm số f x, y tại x0 , y0 ký hiệu là
f x0 , y0 y f x0 , y0
f y x0 , y0 lim
y
y 0
Như vậy khi tính đạo hàm riêng đối với x của f , chỉ việc xem y là hằng số và lấy đạo
hàm của f đối với x ; khi tính đạo hàm riêng đối y của f chỉ việc xem x là hằng số và
lấy đạo của f đối với y .
x 4 5x3 y 2 2 y 4
Ví dụ 1: Tính các đạo hàm riêng của z
Giải:
z z
4 x3 15 x 2 y 2 ; 10 x3 y 8 y 3
x y
xy
Ví dụ 2: Tính đạo hàm riêng của z 0.
x
Giải:
z z
yx y 1 ; x y ln x
x y
x
Ví dụ 3: Tính đạo hàm riêng của z cos ,y 0
y
Giải:
z x x 1 x
sin . .sin
x yxy y y
z x x x x
sin . sin
2
y yyy y y
Chú ý 1: Đạo hàm riêng của hàm số n 2 biến số được định nghĩa tương tự. Khi tính
đạo hàm riêng của f đối với một biến số nào đó, ta xem các biến số khác là hằng số và
tính đạo hàm của f đối với biến số ấy.
- 2
Ví dụ 4: Tính các đạo hàm riêng của hàm số u e x y cos z
Giải:
u u u
2 2 2
e x y .2 x cos z; e x y x 2 cos z; e x y sin z
x x z
2.1.2. Đạo hàm riêng cấp cao
Các đạo hàm riêng f x , f y gọi là đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số z f x, y . Chúng là
những hàm số của x, y . Vì vậy có thể xét các đạo hàm riêng của chúng: f x x , f x y ,
fy , fy gọi là đạo hàm riêng cấp hai của f x, y . Ta dùng các ký hiệu sau:
y
x
2 2
f f z
fx f xx 2
x2
x
x x x
2 2
f f z
fx f xy
y
y x xy xy
2 2
f f z
fy f yx
x y xy xy
x
2 2
f f z
fy f yy 2
y2
y y y
y
x 2e y x3 y 2 y5
Ví dụ 5: f x, y
Giải:
x 2e y 2 x3 y 5 y 4
2 xe y 3 x 2 y 2 , fy
fx
2 xe y 6 x 2 y
2e y 6 xy 2 f xy
f xx
x 2e y 2 x 3 20 y 3
2 xe y 6x2 y f yy
fyx
Các đạo hàm riêng cấp cao hơn được định nghĩa tương tự. Chẳng hạn:
2 3
f f
f xyy f xy 2
y yx yx
y
- Ta thừa nhận mà không chứng minh định lý quan trọng sau
Định lý 1(Schwarz): Nếu hàm số f x, y có các đạo hàm riêng f xy và f yx trong một
miền D và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tịa điểm x0 , y0 D thì
f xy x0 , y0 f yx x0 , y0
Ta đã thấy kết quả này ở ví dụ 5. Từ định lý Schwarz dễ dàng suy ra rằng f xyy f yxy f yyx
nếu chúng liên tục.
Đạo hàm riêng cấp cao của hàm số n 2 biến số được định nghĩa tương tự.
z 2e x yz
Ví dụ 6: u
Giải:
z 2e x yz
z 2e x yz
ux u xx
z 2e x yz
z 3 .e x yz
3z 2e x yz
z 3e x yz
3z 2e x yz
yz 3e x yz
u xxy z u xxyz y
2.2. Vi phân toàn phần
2.2.1. Định nghĩa: Biết rằng nếu hàm số của một biến số f x xác định trong khoảng
và nếu tồn tại đạo hàm f ' x0 , x0 I thì số gia f x0 f x0 , trong
f x0 x
I
đó x0 I , có thể được biểu diễn dưới dạng:
x
x , trong đó 0 khi 0 . Biểu thức f ' x0 x ( phần chính
f x0 f ' x0 x x
của f x0 khi x 0 ) gọi là vi phân của f x tại x0 . Vậy nếu đạo hàm f ' x0 tồn tịa
thì f x khả vi tại x0 .
2
Bây giờ, xét hàm số hai biến số f x, y xác định trong miền D . M 0 x0 , y0
và là hai điểm thuộc D. Nếu số gia
M 0 x0 x, y0 y
f x0 , y0 có thể biểu diễn dưới dạng:
f x0 , y0 f x0 x, y0 y
y, (2.1)
f x0 , y0 Ax By x
trong đó A, B là những số không phụ thuộc x, y , còn 0 và 0 khi
0, 0 (tức là M M 0 ) thì ta nói rằng hà số f x, y khả vi tại M 0 , biểu thức
x, y
- A x B y gọi là vi phân toàn phần của hàm số f x, y tại x0 , y0 ứng với các số gia
x, y và được ký hiệu là df x0 , y0 .
Nếu hàm số f x, y khả vi tại x0 , y0 thì nó liên tục tại đó, vì từ công thức (2.1) suy ra
0 khi 0, 0 .
f x0 , y0 x, y
Hàm số f x, y gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc D .
Chú ý 2: Nếu khả vi tại thì nó tồn tại các đạo hàm riêng
f x, y x0 , y0
f x x0 , y0 , f y x0 , y0 .
Chú ý 3: Khác với hàm số một biến số, nếu hàm số hai biến số f x, y có các đạo hàm
riêng f x x0 , y0 và f y x0 , y0 thì chưa chắc nó đã khả vi tại x0 , y0 . Chẳng hạn như, xét
hàm số sau:
xy
, x, y 0, 0
2
y2
x
G x, y
0, x, y 0, 0
Theo định nghĩa của đạo hàm riêng ta có
G h, 0 G 0, 0 G h, 0
0 vì G h, 0 0, h 0
Gx 0, 0 lim lim
h h
h 0 h 0
Tương tự ta có: Gy 0, 0 0.
Vậy tồn tại các đạo hàm riêng Gx 0, 0 , Gy 0, 0 , nhưng hàm số G x, y không liên tục
tại 0, 0 nên không khả vi tại 0, 0 .
2.2.2. Điều kiện khả vi của hàm số nhiều biến số
Định lý 2: Nếu hàm số f x, y có đạo hàm riêng trên một miền D chứa điểm M 0 x0 , y0
và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại M 0 thì hàm số f x, y khả vi tại M 0 , vi phân
toàn phần của f x, y tại M 0 được tính bằng công thức:
(2.2)
df x0 , y0 f x x0 , y0 . x f y x0 , y0 y
- Chú ý 4: Cũng như đối với hàm số một biến số, vì x, y là biến số độc lập nên ta có
x dx, y dy , do đó công thức (2.2) còn được viết là:
df x0 , y0 f x x0 , y0 .dx f y x0 , y0 .dy
x2 y2 .
Ví dụ 7: Tính vi phân toàn phần của hàm số z
Giải:
2
Hàm số xác định trên toàn .
z x z y
Vì các đạo hàm riêng là liên tục tại mọi x, y 0, 0 nên
,
x y
2 2 2
y2
x y x
xdx ydy
2
z khả vi trên \ 0, 0 và dz .
2
y2
x
Chú ý 5: Đối với hàm số n 2 biến số, định nghĩa hàm số khả vi, điều kiện khả vi của
hàm số, công thức của vi phân toàn phần cũng tương tự như hàm số của hai biến số.
xe yz .
Ví dụ 8: Tính vi phần toàn phần của hàm số u
Giải:
3
Hàm số xác định trên toàn . Các đạo hàm riêng:
u u u
e yz ; xze yz , xye yz
x y z
3 3
liên tục trên toàn nên hàm số u khả vi trên toàn và
e xz dx xze yz dy xye xz dz e yz dx xzdy xydz
du
2.2.3. Ứng dụng vi phân toàn phần vào tính gần đúng
Từ định lý 2 ta có công thức:
f x0 , y0 f x x0 , y0 x f y x0 , y0 y x y
- x2 y2
Ta thấy rằng f x x0 , y0 y là vô cùng bé bậc nhất đối với
x f y x0 , y0
khi 0 , còn y là vô cùng bé cấp cao đối với . Vì vậy, khi x, y khá nhỏ,
x
ta có thể xem f x0 , y0 df x0 , y0 , tức là:
f x0 , y0 f x x0 , y0 . x f y x0 , y0 y
Hay f x0 (2.3)
x, y0 y f x0 , y0 f x x0 , y0 x f y x0 , y0 y
x 2 2 xy y 2 . Tính
Ví dụ 9: Cho hàm số và df x, y , nếu
f x, y f x, y
0.02 .
x0 2, y0 3, x 0.03, y
Giải:
df x, y 2x 2 y . x 2x 2 y y
df 2,3 2.2 2.3 0.03 2.2 2.3 . 0.02 0.34
2 2
2 2 2.2. 3 32
f 2,3 f 2.03; 2.98 f 2,3 2.03 2.2, 03.2,98 2.98 0.3434
Ta thấy df 2,3 f 2,3 nhưng tính df 2,3 dễ hơn.
1.02
Ví dụ 10: Tính gần đúng arctg
0.95
Giải:
y
Ta cần tính z x0 y , trong đó z
x, y0 acrtg , x0 1, y0 1, x 0.05, y 0.02
x
z 1 1 x
z 1 y y
Ta có , .
2
2 2
y2
x2 2 2
y x x
x x y y
y
1
1
x x
Theo công thức (3)
z 1 0.05;1 0.02 z 1,1 z x 1,1 x z y 1,1 y
1.02 1.0, 05 1.0, 02
hay arctg 0.35 0.785 0.035 0.82 radian
arctg1
0.95 2 4
2.2.4. Điều kiện để biểu thức P x, y dx Q x, y dy là một vi phân toàn phần
- Ta biết rằng vi phân toàn phần của hàm số khả vi f x, y là
f f
df .dx .dy
x y
Bây giờ, cho hai hàm số P x, y , Q x, y . Định lý sau cho ta biết khi nào biểu thức
P x, y dx Q x, y dy là một vi phần toàn phần của một hàm số f x, y nào đó
Định lý 3: Giả sử các hàm số P x, y , Q x, y có các đạo hàm riêng liên tục trong một
miền D nào đó. Biểu thức P x, y dx Q x, y dy là một vi phân toàn phần khi và chỉ khi:
P Q
(4)
, x, y D
y x
Chú ý 6: Nếu điều kiện (4) được thỏa mãn, ta có thể tìm được hàm số f x, y sao cho
P x, y dx Q x, y dy . Việc tìm hàm số f x, y được trình bày trong ví dụ sau
df
Ví dụ 12: Chứng minh rằng biểu thức sau đây là vi phân toàn phần
2 x 5 y 2 dx 6 y 2 10 xy dy ,
a) 1
x3
3x 2 1 ln y dx
b) dy , với y 0.
2y
2
y
Tìm các hàm số fi x, y sao cho dfi i 1, 2 .
,
i
Giải:
Ta có:
P Q
2 x 5 y 2 , Q x, y 6 y 2 10 xy , do đó .
P x, y 10 y
y x
Vậy là một vi phân toàn phần. ta phải tìm hàm số f1 x, y sao cho df1 , do dó:
1 1
f1
2x 5 y2 (*)
x
f1
6 y 2 10 xy (**)
y
- Lấy nguyên hàm theo x hai vế của (*) ta được
x2 5 y2 x (***)
f1 x, y y
Trong đó y là một hàm số khả vi bất kì của biến số y , y được xem là hằng số tùy
ý đối với x , vì x và y là hai biến số độc lập. Lấy đạo hàm đối với y của hai vế của
(***) ta được:
f1
(****)
10 xy 'y
y
6 y 2 . Do đó 2 y 3 C , C là một hằng số tùy
So sánh (**) và (****) ta được 'y y
ý. Thay y vào (***) ta được:
x 2 5 xy 2 2 y 3 C
f1 x, y
Lưu ý rằng ta cũng có thể bắt đầu tính bằng cách lấy nguyên hàm theo y hai vế của (**)
như trong phần b) dưới đây
x3
3x 2 1 ln y , Q x, y
b) Ta có P x, y 2 y . Do đó
y
3x 2
P Q
y y x
Vậy là một vi phân toàn phần.
2
Ta sẽ tìm hàm số f 2 x, y sao cho df 2 , do đó 2
f2
3 x 2 1 ln y (i)
x
x3
f2
(ii)
2y
y y
Lấy nguyên hàm theo y hai vế của (ii) ta được
x 3 .ln y y 2 x, (iii)
f 2 x, y
trong đó, x là một hàm số khả vi bất kì. Lấy đạo hàm theo x hai vế của (iii) ta được:
- f2
3x 2 ln y (iv)
'x
x
3x 2 . Do đó x 3 C , C là một hằng số tùy ý.
So sánh (iv) với (i), ta được 'x x
Thay x vào (iii) ta được:
x 3 1 ln y y2 C
f 2 x, y
§3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SÔ HỢP – ĐẠO HÀM CỦA HÀM
SỐ ẨN
3.1. Đạo hàm của hàm số hợp
3.1.1. Cho hàm số z f u , v trong đó u u x , v v x là những hàm số của x . Ta nói
rằng z là hàm số hợp của x qua các biến số trung gian u , v . Định lý sau
f u x ,v x
đây cho ta quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp z f u x ,v x .
Định lý 1: Nếu z f u , v là hàm số khả vi của u , v và nếu u u x , v v x là những
hàm số khả vi của x thì z là hàm số khả vi của x và ta có
dz f du f dv
dx u dx v dx
dz
u 2 uv 2v 2 , u e x , v sin x .
Ví dụ 1: Tính nếu z
dx
Giải:
Theo công thức trên ta có:
dz z du z dv x x x x
2u v e u 4v cos x 2e sin x e 4sin x e cos x
dx u dx v dx
Chú ý 1: Nếu z f x, y là hàm số khả vi của x, y và nếu y y x là hàm số khả vi của
x thì z là hàm số hợp của x , khả vi dối với x và ta có:
f x, y x
dz z z dy
(3.1)
dx x y dx
- dz z
Đạo hàm ở vế trái gọi là đạo hàm toàn phần của z đối với x , còn đạo hàm ở vế
dx x
phải là đạo hàm riêng của z f x, y đối với x .
dz
ln x 2 y2 , y sin 2 x .
Ví dụ 2: Tính nếu z
dx
Theo công thức trong chú ý 1 ta có
2 x 4sin 3 x cos x
dz z z dy 2x 2y
.2sin x cos x
x2 y2 x y2
2
x 2 sin4 x
dx x y dx
3.1.2. Bây giờ xét hàm số z f u , v trong đó u u x, y , v v x, y là những hàm số
của hai biến độc lập x, y . Khi đó z là hàm số hợp của x, y thông
f u x, y , v x, y
qua các biến số trung gian u , v .
Để tính đạo hàm riêng của x đối với hàm số z ta xem y không đổi, khi đó
là hàm số hợp của một biến số độc lập x thông qua hai biến số
z f u x, y , v x, y
trung gian u , v . Do định lý 1, ta có
z fu fv
..
.
x ux vx
z
Cũng lập luận tương tự như vậy khi tính , ta được định lý sau:
y
Định lý 2: Nếu hàm số z là hàm số khả vi của u , v và các hàm số
f v, u
có các đạo hàm riêng như u x , u y , vx , v y thì tồn tại các đạo hàm
u u x , y , v v x, y
z z
riêng và ta có
,
x y
z fu fv
. .
x ux vx
z fu fv
. .
y uy vy
z z x
eu cos v,
Ví dụ 3: Tính , nếu z .
, u xy, v
x y y
- Giải:
z z u u v 1 v x
eu cos v, eu sin v,
Ta có: y, x, ,
y2
u v x y x y y
Do đó:
z x x1 x 1 x
e xy cos . y e xy .sin e xy y cos
. sin
x y yy y y y
z x x x x x x
e xy cos .x e xy .sin e xy x cos
. sin
y2 2
y y y y y y
Chú ý 2: Quy tắc tính đạo hàm của ham số hợp cũng được mở rộng cho trường hợp hàm
số f phụ thuộc vào nhiều biến số trung gian hơn và các biến số trung gian phụ thuộc
nhiều biến số độc lập hơn.
3.2. Đạo hàm của hàm số ẩn
3.2.1. Giả sử hai biến số x, y được ràng buộc với nhau bởi phương trình F x, y 0 (3.2)
Nếu y f x là một hàm số xác định trong một khoảng nào đó sao cho khi thế y fx
vào phương trình (3.2) ta được một đồng nhất thức thì ta nói rằng y f x là hàm số ẩn
xác định bởi phương trình (2). Chẳng hạn phương trình x 2 y2 a2 0 xác định hai hàm
a2 x 2 và y a2 x 2 trong khoảng
số ẩn y a , vì khi thế chúng vào
a x
phương trình x 2 y2 a2 0 ta được đồng nhất thức.
x2 a2 x2 a2 0, x a, a
Chý ý rằng không phải mọi hàm số ẩn đều có tể biểu diễn được dưới dạng y f x.
Chẳng hạn, hàm số ẩn xác định bởi phương trình:
xy e x e y 0
không thể biểu diễn dưới dạng y f x.
- Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số F x, y khả vi trừ một số điểm, hàm số
f x khả vi. Lấy đạo hàm hai vế phương trình F x, y 0 theo x , công thức (3.1)
y
cho ta:
Fx x, y Fy x, y . y ' 0
Do đó Fy x, y 0 ta có
Fx x, y
(3.3)
y'
Fy x, y
Ví dụ 4: Tính y ' nếu x3 y 3 3axy 0 .
Giải:
x3 y 3 3axy khả vi trên toàn 2
Vì F x, y nên theo công thức (3.3) ta có
3 x 2 3ay x 2 ay
Fx x, y
nếu y 2 ax
y' 0
3 y 2 3ax 2
Fy x, y y ax
Ví dụ 5: Tính y ' nếu xy e x e y 0
Giải:
xy e x e y khả vi trên toàn 2
Vì F x, y nên
y ex
Fx x, y
nếu x e y
y' 0
y
Fy x, y xe
3.2.2. Ta nói rằng hàm số hai biến số z f x, y là hàm số ẩn xác định bởi phương trình:
(3.4)
F x, y , z 0
nếu
F x , y , f x, y 0
Với mọi x, y thuộc miền xác định của f . Cũng như trong trường hợp trước, nếu
F x, y, z khả vi thì trừ tại một số điểm đặc biệt hàm số f x, y khả vi. Lấy đạo hàm hai
vế phương trình (3.4) đối với x và đối với y ta được lần lượt
- F F z
x, y , z x, y , z . 0
x z x
F F z
x, y , z x, y , z . 0
y z y
F
Do đó, nếu 0 ta có
x, y , z
z
Fx x, y, z
z
x Fz x, y, z
Fy x, y, z
z
y Fz x, y , z
z z
Ví dụ 6: Tính , nếu xyz cos x y z .
,
x y
Giải:
3
Vì F x, y, z xyz cos x y z khả vi trên nên công thức trên cho ta
Fx x, y, z yz sin x yz
z
x Fz x, y, z xy sin x yz
Fy x, y, z xz sin x y z
z
y Fz x, y , z xy sin x y z
§4. CỰC TRỊ
4.1. Cực trị của hàm số hai biến số
4.1.1. Định nghĩa: Ta nói rằng hàm số z f x, y đạt cực trị tại điểm M 0 x0 , y0 nếu với
mọi điểm M x, y khá gần với M 0 nhưng khác M 0 một hiệu f M có dấu
f M0
không đổi, nếu f M 0 thì f M 0 là cực tiểu, nếu f M 0 thì
f M0 f M0
f M 0 là cực đại. Cực đại và cực tiểu được gọi chung là cực trị và điểm M 0 được gọi là
điểm cực trị.
- x2 y 2 đạt cực tiểu tại 0, 0 vì x 2 y2
Ví dụ 1: Hàm số z 0, 0, 0 .
x, y
4.1.2. Điều kiện cần của cực trị
Định lý 1: Nếu hàm số f x, y đạt cực trị tại điểm M 0 x0 , y0 và tại đó các đạo hàm
riêng tồn tại thì:
(4.1)
f x x0 , y0 0; f y x0 , y0 0
Điều kiện (4.1) là điều kiện cần của cực trị, nó không là điều kiện đủ vì tại những điểm
mà các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0 chưa chắc hàm số đạt cực trị. Tuy nhiên định lý 2 sau
đây cho phép ta chỉ tìm cực trị tại những điểm mà ở đó các đạo hàm riêng cấp 1 đều bằng
0, gọi là điểm dừng.
4.1.3. Điều kiện đủ của cực trị
Định lý 2: Giả sử rằng M 0 x0 , y0 là một điểm dừng của hàm số f x, y và hàm số
f x, y có đạo hàm riêng cấp 2 ở lân cận điểm M 0 . Đặt:
r f xx x0 , y0 , s f xy x0 , y0 , t f yy x0 , y0
Khi đó:
1) Nếu s 2 rt 0 thì f x, y đạt cực trị tại điểm M 0 . Đó là điểm cực tiểu nếu r 0 ,
là cực đại nếu r 0 .
2) Nếu s 2 rt 0 thì f x, y không đạt cực trị tại M 0 .
3) Nếu s 2 rt 0 thì chưa kết luận được f x, y đạt cực trị hay không đạt cực trị tại
M 0 (trường hợp nghi ngờ).
x2 y2
Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số z 4x 2 y 8
Giải:
Ta có:
zx 2 x 4; z y 2y 2
Tọa độ của điểm dừng là nghiệm của hệ
- 2x 4 0
2y 2 0
Vậy điểm dừng duy nhất là điểm 2, 1 .
2 nên s 2 rt
Vì z xx 4 0 , còn r 2 0 , vậy ham số đạt cực tiểu
2; z xy 0; z yy
22 12 4. 2
tại điểm 2, 1 và zmin 2.1 8 3 .
2 2 2
Nếu viết lại z 3 , ta thấy z 3 tại mọi x, y , đẳng thức xảy ra khi
x2 y1
và chỉ khi x 1 ta đã thấy kết quả trên.
2, y
x3 y 3 3xy
Ví dụ 3:Tìm cực trị của hàm số z
Giải:
Ta có:
3 x 2 3 y; 3 y 2 3x
zx zy
Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ:
x2 y 0
y2 x 0
Đó là một hệ phương trình đối xứng. Thế y x 2 từ phương trình đầu vào phương trình
sau ta được
x4 x x3 1 x x 1 x2
0 x x1
Phương trình này có hai nghiệm x 0; x 1.
Vậy ta có hai điểm dừng M 0 0, 0 và M 1 1, 1 .
Vì z xx 6 y nên:
6 x, z xy 3, z yy
Tại M 0 0, 0 ta có s 2 rt 9 0 , điểm M 0 không là điểm cực trị.
s 2 rt
Tại ta có 27 0 , 6 0, là điểm cực tiểu,
M 1 1,1 M1
9 36 r
1.
zmin 113
- x3 y3 .
Ví dụ 4: Tìm cực trị của hàm số z
Giải:
Ta có:
3x 2 , z y 3y2
zx
Vậy chỉ có một điểm dừng là M 0 0, 0 .
6 y , nên tại M 0 ta có s 2 rt
Vì z xx 0 . Vậy chưa kết luận ngay
6 x, z xy 0, z yy
x3 y 3 . Hiệu ấy là dương nếu
được. Chú ý rằng z M 0 z 0, 0 0, z x, y z 0, 0
điểm M x, y nằm trong góc phần tư thứ nhất, là âm nếu M x, y nằm trong góc phần tư
thứ ba. Do đó dấu của hiệu z M z M 0 thay đổi ở lân cận điểm M 0 nên M 0 không là
điểm cực trị.
Ví dụ 5: Tìm khoảng cách ngắn nhất từ điểm 1, 2, 0 đến mặt phẳng 3 x 2 y z 1 .
Giải:
Khoảng cách từ điểm 1, 2, 0 đến điểm x, y, z bằng:
2 2
z2
d x1 y2
Vì điểm cực trị của d trùng với điểm cực trị của d 2 , ta tìm cực trị của:
2 2
d2 z 2 : f x, y , z (*)
x1 y2
Vì điểm x, y, z nằm trên mặt phẳng 3x 2 y z 1 nên các biến số x, y, z trong (*) thỏa
mãn điều kiện
(**)
3x 2 y z 1
Thế z 1 3 x 2 y trong (**) vào (*) ta được:
2 2 2
d2 x1 y2 1 3 x 2 y : F x, y
Bài toán trở thành tìm cực tiểu của hàm số hai biến số F x, y . Ta có:
nguon tai.lieu . vn
