- Trang Chủ
- Toán học
- Tính (w,k) - lồi của nghiệm nhớt của một dạng phương trình k-Hessian
Xem mẫu
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0
TÍNH ( w, k ) - LỒI CỦA NGHIỆM NHỚT
CỦA MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH k - HESSIAN
Nguyễn Hữu Thọ
Trường Đại học Thủy lợi, email:nhtho@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG Nếu k = n và = 0, phương trình (1) trở
Trong báo cáo này, chúng tôi xét bài toán thành phương trình Monge-Ampere
n
Dirichlet cho một dạng phương trình det( D 2v) f ( x, v, Dv) 0, x .
k - Hessian với dữ kiện không trơn trong Nếu k = 1 và = 0, phương trình (1) trở
miền bị chặn. Chúng tôi xét nghiệm nhớt cho thành phương trình Poisson phi tuyến
bài toán này và sẽ đề xuất khái niệm về hàm
v f ( x, v, Dv) 0, x .
( w, k ) - lồi, từ đó chỉ ra rằng các nghiệm nhớt
trên, nghiệm nhớt dưới của bài toán Dirichlet Phương trình Monge-Ampere, phương
được xét ở đây cũng là các hàm ( w, k ) - lồi. trình Poisson nói riêng và phương trình
k - Hessian nói chung có nhiều ứng dụng
2. NỘI DUNG BÁO CÁO trong Vật lý, độ cong hình học… (xem [2],
[4]). Nếu các dữ kiện đủ trơn, nghiệm cổ điển
2.1. Đặt vấn đề
của bài toán Dirichlet đối với phương trình
Cho ¡ n là miền bị chặn, M n là tập Monge-Ampere đã được nghiên cứu, thậm
các ma trận vuông đối xứng cấp n với chuẩn chí đối với cả trường hợp tổng quát hơn các
max; với X , Y M n ta nói X Y nếu tác giả trong [5] cũng đã đạt được kết quả mở
i i , i 1,2,..., n , trong đó 1 2 ... n rộng rất đẹp.
và 1 2 ... n là các giá trị riêng tương Trường hợp 0 và f f ( x) , nghiệm
ứng của X , Y . Xét bài toán Dirichlet đối với nhớt của bài toán (1) - (2) đã được A.
Colesanti công bố trong [2].
dạng phương trình k Hessian dạng
Trong bài báo này, chúng tôi sẽ mở rộng
1/ k
k ( D 2v ( x, v, Dv))
các kết quả của Colesanti trong [2].
Trước hết, chúng ta nhắc lại khái niệm và
f ( x, v, Dv) 0 , x , (1)
một số kết quả quan trọng về nghiệm nhớt
v( x) ( x), x , (2) của phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp
n
ở đây : ¡ ¡ M n và 2 đã được công bố trong [1] và [3]. Xét bài
f :¡ ¡ n ¡ , f 0 toán Dirichlet tổng quát
là các hàm liên tục cho trước, F ( x, v, Dv, D 2v) 0, x
(3)
( X ) ( 1 ,..., n ) là n giá trị riêng của X , v ( x ) ( x ), x
k ( 1 ,..., n ) i1 ...ik cùng các điều kiện sau:
1i1 ...ik n F ( x, t , p, X ) F ( x, t , p, Y ), X Y (4)
là các đa thức cơ bản đối xứng bậc k ; y là (điều kiện này cho ta tính elliptic suy biến
hàm liên tục cho trước xác định trên ¶ W. của hàm F ),
83
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0
F ( x, t , p, X ) F ( x, s, p, X ), Fk ( x, v, Dv, D 2v)
(5)
( x, p, X ) ¡ n M n , t s.
Với mỗi 0 R , tồn tai hàm không
H k D 2v ( x, v, Dv) f ( x, v, Dv).
0 Khi đó phương trình (1) trở thành
giảm, liên tục R ( ) : R ( ) 0 sao
F ( x, v, Dv, D 2v) 0, x .
cho:
Xét
F ( x, t , p , X ) F ( y , t , p , X )
R | x y | (1 | p |) ,
(6)
k : ¡ n
: j ( ) 0, j 1,2,..., k .
với x, y , | t | R, p ¡ n , X M n . Dễ thấy rằng:
n : ¡ n : j 0, j 1,2,..., n
Ta nói rằng hàm tiệm cận hàm v từ
phía trên (t.ư. từ phía dưới) tại x0 nếu i j , i j.
v đạt cực đại (t.ư. cực tiểu) tại x0 và
Hơn nữa, toán tử k Hessian H k ( D 2v )
v( x0 ) ( x0 ) .
là elliptic suy biến trên k . Do đó để có được
Định nghĩa nghiệm nhớt của bài toán (3)
được phát biểu dưới đây. tính elliptic suy biến của Fk ta cần xét hàm
Định nghĩa 1.1([1]) thử C 2 () sao cho
a) Hàm nửa liên tục trên v trên được D 2 ( x) ( x, ( x), D ( x)) k .
gọi là nghiệm nhớt dưới của phương trình
Để đạt được điều đó, chúng tôi đề xuất
trong (3) nếu với C 2 () tiệm cận v từ
khái niệm tính ( w, k ) lồi như sau.
phía trên tại x0 , ta có
Định nghĩa 2.1 Hàm v C () được gọi
F x0 , ( x0 ), D ( x0 ), D 2 ( x0 ) 0. là
b) Hàm nửa liên tục dưới v trên được ( w, k ) lồi trên nếu với hàm
gọi là nghiệm nhớt trên của phương trình C 2 () , tiệm cận v từ phía dưới tại
trong (3) nếu với C 2 () tiệm cận v từ x0 ta có
phía dưới tại x0 , ta có
D 2 ( x) ( x, ( x), D ( x)) k .
2
F x0 , ( x0 ), D ( x0 ), D ( x0 ) 0. Từ đó dễ thấy rằng: nếu v C 2 () và v là
c) Hàm v là nghiệm nhớt của phương trình
trong (3) nếu v vừa là nghiệm nhớt trên, vừa ( w, k ) lồi trên thì
là nghiệm nhớt dưới. D 2v( x) ( x, v( x), Dv( x)) k , x ,
Trong [3] H. Ishii đã thiết lập được kết
quả về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của và với hàm thuộc lớp C 2 tính (0, n) lồi
bài toán (3) như sau. chính là tính lồi thông thường.
Định lý 2.1([3]) Cho F là hàm thỏa mãn Định lý dưới đây là kết quả về tính
các điều kiện (4), (5) và (6). Nếu phương ( w, k ) lồi của nghiệm nhớt trên và nghiệm
trình trong (3) có một nghiệm nhớt dưới v1 nhớt dưới của (1).
và một nghiệm nhớt trên v2 liên tục Lipschitz Định lý 2.2 Giải sử , f là các hàm liên
địa phương trên và v1 v2 trên , tục, f 0 . Nếu v là một nghiệm nhớt dưới
khi đó bài toán (3) sẽ tồn tại duy nhất một hoặc là một nghiệm nhớt trên của (1) thì v là
nghiệm nhớt. hàm ( w, k ) lồi trên .
2.2. Kết quả chính Chứng minh. Giả sử v là một nghiệm nhớt
1/ k dưới của (1) nhưng v không phải là hàm
Đặt H k ( 1 ,..., n ) k ( 1 ,..., n ) và ( w, k ) lồi trên , khi đó tồn tại x0 và
84
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0
một hàm hàm 0 C 2 () , 0 tiệm cận v từ 3. KẾT LUẬN
phía dưới tại x0 nhưng Báo cáo là một mở rộng các kết quả trong
D 20 ( x0 ) ( x0 ,0 ( x0 ), D0 ( x0 )) k . [2]. Qua việc đề xuất khải niệm hàm
( w, k ) - lồi, kết quả của chúng tôi đã mở rộng
tính lồi thành tính ( w, k ) - lồi của nghiệm
Chọn ( x) 0 ( x) | x x0 |2 , 0.
2 nhớt của bài toán Dirichlet cho một dạng
Khi đó, tiệm cận với v từ phía dưới tại phương trình k Hessian. Với kết quả này,
x0 với 0 và chúng tôi sẽ nghiên cứu tiếp về sự tồn tại và
tính duy nhất của nghiệm nhớt cho bài toán
C 2 (), ( x0 ) 0 ( x0 )
Dirichlet (1) - (2).
D ( x0 ) D0 ( x0 ),
2 2 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO
D ( x0 ) D 0 ( x0 ) I .
Theo định nghĩa nghiệm nhớt dưới ta có [1] M.G. Crandall, H. Ishii, P.L. Lions, (1992),
User’s guide to viscosity solution of
H k D 20 ( x0 ) I ( x0 ,0 ( x0 ), D0 ( x0 ) second-order PDEs, Bull. Amer. Math. Soc.
(N.S) 27, No. 1, pp. 1-67.
f ( x, v, Dv) 0. (8) [2] A. Colesanti, P. Salani, (1999), Hessian
Mặt khác, với đủ lớn equations in non-smooth domain, Nonlinear
D 20 ( x0 ) I ( x0 ,0 ( x0 ), D0 ( x0 )) Anal., Vol. 38, No. 6, Ser.A: Theory
Methods, pp. 803-812.
n k , [3] H. Ishii, P.L. Lions, (1990), Viscosity
từ đó sẽ tồn tại 0 sao cho solution of fully nonlinear second-order
elliptic PDEs, J. Diffrential equations, Vol.
D 20 ( x0 ) 0 I ( x0 ,0 ( x0 ), D0 ( x0 )) 83, pp. 26-78.
[4] F. Jiang, N.S. Trudinger, X.P. Yang (2015),
k .
On the Dirichlet problem for a class of
Do tính liên tục của Fk ta có augmented Hessian equations, J. Differential
equations, Vol. 248, pp. 1548-1576
H k D 20 ( x0 ) 0 I ( x0 , 0 ( x0 ), D0 ( x0 ) [5] H.T. Ngoan, T.T.K. Chung, (2019), Elliptic
0, solution to nonsymetric Monge-Ampere
điều này mâu thuẫn với (8) và từ đó ta có type equations II. A priori estimates and the
Dirichletp problem, Acta Math. Vietnam,
điều phải chứng minh.
No. 44, pp. 723-748.
85
nguon tai.lieu . vn
