- Trang Chủ
- Vật lý
- Tính vững, ổn định và hội tụ của phương pháp sai phân hữu hạn cho phương trình nhiệt
Xem mẫu
- Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Số 43B, 2020
TÍNH VỮNG, ỔN ĐỊNH VÀ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN
HỮU HẠN CHO PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT
NGÔ NGỌC HƢNG
Trường Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
ngongochung@iuh.edu.vn
Tóm tắt. Trong bài báo này tôi sẽ bàn về phƣơng pháp số để giải phƣơng trình nhiệt với điều kiện ban
đầu và điều kiện biên Dirichlet. Xấp xỉ của các đạo hàm bằng phƣơng pháp sai phân hữu hạn giữ vai trò
quan trọng trong phƣơng pháp số trong lĩnh vực phƣơng trình đạo hàm riêng, đặc biệt các bài toán biên.
Việc nghiên cứu tính nhất quán và tính ổn định của nghiệm xấp xỉ là cần thiết. Vì có các tính chất này,
nghiệm xấp xỉ mới đảm bảo hội tụ về nghiệm chính xác. Ví dụ số cũng sẽ đƣợc thực hiện để minh họa
cho các kết quả lý thuyết.
Từ khóa. Phƣơng trình nhiệt, phƣơng pháp sai phân hữu hạn, tính vững, tính ổn định.
CONSISTENCY, STABILITY AND CONVERGENCE OF FINITE
DIFFERENCE SCHEMES ON THE HEAT EQUATION
Abstract. This paper deal with a numerical method for the solution of the heat equation together with
initial condition and Dirichlet boundary conditions. The approximation of derivatives by finite differences
plays a central role in finite difference methods for the numerical solution of differential equations,
especially boundary value problems. The consistency and the stability of the schemes are described.
Futhermore, numerical simulations are performed to illustrate the accuracy and stability of the regularized
solution.
Keywords. Heat equation, finite difference method, consistency, stability.
1 GIỚI THIỆU
Trong thực tế, nhiều vấn đề trong vật lý nhƣ phƣơng trình truyền nhiệt, phƣơng trình sóng, phƣơng trình
Poisson và phƣơng trình Laplace đƣợc mô hình hóa bằng các phƣơng trình đạo hàm riêng. Một số phƣơng
trình đạo hàm riêng này có nghiệm chính xác trong những miền đặc biệt. Nhƣng nói chung việc xác định
nghiệm chính xác của các phƣơng trình đạo hàm riêng trên miền bất kỳ gặp nhiều khó khăn. Do đó, việc
nghiên cứu phƣơng pháp tính số để tìm nghiệm gần đúng là rất quan trọng.
Phƣơng pháp sai phân hữu hạn là một trong những phƣơng pháp dùng để tìm nghiệm xấp xỉ của
phƣơng trình vi phân. Bằng việc phân hoạch miền xác định thành hữu hạn các lƣới nhỏ. Nghiệm xấp xỉ
đƣợc tính tại các điểm lƣới của miền xác định [1].
Bài viết này liên quan đến phƣơng pháp sai phân hữu hạn cho phƣơng trình nhiệt trong thanh vật liệu
có chiều dài L , phƣơng trình có dạng nhƣ sau
ut uxx f x ,t , x ,t (0, L) (0,T ], (1)
với điều kiện ban đầu
u( x,0) g( x), x [0, L], (2)
và điều kiện biên Dirichlet
u(0, t) h(t), t [0, T], (3)
u( L, t) k(t), t [0, T], (4)
trong đó hàm chƣa biết u( x , t) là giá trị nhiệt độ tại vị trí ở thời điểm t , ut ( x, t ) và uxx ( x , t) tƣơng ứng là
đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của hàm u( x, t) theo biến thời gian t và không gian x . Hằng số là
© 2020 Trƣờng Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
- 106 TÍNH VỮNG, ỔN ĐỊNH VÀ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN
HỮU HẠN CHO PHƢƠNG TRÌNH NHIỆT
độ dẫn nhiệt của vật liệu. Hàm số g( x) là phân bố nhiệt độ tại thời điểm ban đầu. T là thời điểm cuối.
Các hàm số theo biến thời gian h(t ) và k(t) mô tả dòng nhiệt tại hai biên. Ở đây tôi giả định là vật liệu
đồng nhất và bề mặt của thanh đƣợc cách nhiệt để nhiệt chỉ truyền theo hƣớng x. Giả sử thêm là bài toán
trên là chỉnh và có nghiệm duy nhất u( x, t) .
2 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN
Đầu tiên, ta tiến hành rời rạc hóa miền liên tục [0, L] [0,T ] thành một tập N x Nt điểm lƣới. Ở đây tôi
sử dụng các điểm chia cách đều nhau, nghĩa là ta chia miền của x thành tập các điểm cách đều nhau
L
xi i x , x , i 0 , , Nx , (5)
Nx
tƣơng tự, đối với miền của t đƣợc chia nhƣ sau
T
t j i j , j , j 0 , , Nt . (6)
Nt
Ta ký hiệu uij là giá trị của u( x, t) tại điểm lƣới ( xi , t j ). Ta xấp xỉ đạo hàm riêng ut ( xi , t j ) của phƣơng
trình (1) nhƣ sau
uij 1 uij
ut ( xi , t j )
, j 0,, Nt 1, (7)
t
trong đó chú ý, từ điều kiện ban đầu (2) ta có
u( xi ,0) ui0 g(xi ), i 0,, Nx . (8)
Tƣơng tự, đối với đạo hàm riêng cấp hai uxx ( xi , t j ) ta có xấp xỉ nhƣ sau
uij1 2uij uij1
uxx ( xi , t j ) , i 1,, N x 1, j 0,, Nt 1, (9)
2 x
và theo điều kiện Dirichlet, ta có
u(0, t j ) u0j h(t j ), j 0,, Nt 1, (10)
và
u( L, tj ) uNj x k(t j ), j 0,, Nt 1. (11)
Vậy ta có công thức xấp xỉ cho (1) nhƣ sau
uij 1 uij u j 2uij uij1
i 1 fi j
t 2 x , i 1, , N x 1, j 0 ,, Nt 1 (12)
u j h( t ), u j k(t ), u0 g( x )
0 j Nx j i i
trong đó fi j f ( xi ,t j ) . Chi tiết, với j 0,, Nt 1 ta có
u1j 1 u1j u0j 2u1j u2j
i 1, f10 ,
t 2
x
u2j 1 u2j u j 2u2j u3j
i 2, 1 f20 ,
t x2
(13)
uNj x11 uNj x 1 uNj x 2 2uNj x 1 uNj x
i N x
1, f20 .
t 2 x
Do điều kiện biên, u0j h(t j ) và uNj x k(t j ) , hệ phƣơng trình (13) đƣợc viết lại nhƣ sau
© 2020 Trƣờng Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
- TÍNH VỮNG, ỔN ĐỊNH VÀ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN 107
HỮU HẠN CHO PHƢƠNG TRÌNH NHIỆT
u1j 1 u1j 2u1j u2j
i 1, f10 2 h(t j ),
t 2
x x
j 1
u2 u2 j j
u 2u2 u3j j
i 2 , 1 f20 ,
t 2x (14)
uNj x11 uNj x 1 uNj x 2 2uNj x 1
i N x 1, f 2j 2 k(t j ).
t x2
x
Sắp xếp lại các số hạng trong hệ phƣơng trình (14) ta đƣợc hệ tƣơng đƣơng nhƣ sau
t t
i 1, u1j 1 u1j 2 ( 2u1j u2j ) f1j t 2 h(t j ),
x x
i 2, t
u2j 1 u2j 2 (u1j 2u2j u3j ) f2j t ,
x (15)
i N 1, u j 1 u j t (u j t
2uNj x 1 ) f Nj x 1t 2 k(t j ).
x N x 1 N x 1 2
x
Nx 2
x
t
Để đơn giản trong trình bày, ta đặt r 2 . Hệ phƣơng trình (15) đƣợc viết lại nhƣ sau
x
t
i 1, u1j 1 u1j 2ru1j ru2j f1j t 2 h(t j ),
x
j 1 j j j j j
i 2, u 2
u 2
r u 1
2ru 2
ru 3
f 2
t,
j 1 j
i 3, u3 u3 ru2 2 ru3 ru4 f 2j t ,
j j j
(16)
i N 2, u j 1 u j ruNj 3 2ruNj 2 ruNj 1 f Nj x 1t ,
x Nx 2 Nx 2
j 1 j t
i N x 1, uNx 1 uNx 1 ruNj x 2 2ruNj x 1 f Nj x 1 t 2 k(t j ).
x
j 1
Vậy, ta có đƣợc ui , i 1 N 1 đƣợc tính nhƣ sau
t
i 1, u1j 1 (2r 1)u1j ru2j f1j t h(t j ),
2 x
i 2, u2j 1 ru1 ( 2r 1)u2 ru3 f2j t ,
j j j
i 3, u3j 1 ru2j ( 2r 1)u3j ru4j f2j t ,
(17)
i N 2, uNj x1 2 ruNj 3 (2r 1)uNj 2 ruNj 1 fNj x 1 t ,
x
t
i N x 1, uNj x11 ruNj x 2 (2r 1)uNj x 1 f Nj x 1 t k(t j ).
2 x
Đặt các ma trận
© 2020 Trƣờng Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
- 108 TÍNH VỮNG, ỔN ĐỊNH VÀ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN
HỮU HẠN CHO PHƢƠNG TRÌNH NHIỆT
j t
f1 t 2 h(t j ) u1j
x j
f2j t u2
Fj , uj , trong đó F j , u j Nx 1
1
.
j
uN x 2
j
f Nx 2 t
j
f j t t k(t ) uNx 1
N x 1 2 j
x
và ma trận
2r 1 r 0 0 0 0
r 2r 1 1 0 0 0
0 r 2r 1 r 0 0 N x 1 N x 1
A , A . (18)
0 0 0 0 0
0 0 0 r 2 r 1 r
0 0 0 0 r 2r 1
Hệ phƣơng trình (15) tƣơng đƣơng với phƣơng trình ma trận nhƣ sau
u j 1 Au j F j , j 0,, Nt 1. (19)
j 1
Sau khi giải hệ trên ta đƣợc u i
,i 1 N 1 . Giá trị biên u j 1
0
h(t j 1 ) và uj 1
N
k(t j 1 ) .
3 HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP
n
Bổ đề 1. Cho ma trận vuông A n có dạng 3 đƣờng chéo nhƣ sau
b c 0 0
a b c 0 0
A , a, b,c . (20)
0 0 a b c
0 0 a b
Trị riêng và vector riêng của A tƣơng ứng nhƣ sau
a 1/2 1 j
sin
c n1
1/ 2
a 2 j
j sin
j b 2 ac cos , v j c n 1 , j 1,, N.
n1
1/ 2
a sin n j
c n 1
Chứng minh. Xem [2, 3].
Định nghĩa 2 (Chuẩn của sai số). Với mọi điểm trên lƣới ( xi , t j ) (0,1) (0, T) , gọi uij là giá trị xấp xỉ
của nghiệm chính xác u( xi , t j ) . Sai số
Err(tj ) (u0j u( x0 , t j ), u1j u( x1 , t j ),, uNj x u( xN x , t j ))
i) Cố định thời gian t j , chuẩn của sai số theo không gian
© 2020 Trƣờng Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
- TÍNH VỮNG, ỔN ĐỊNH VÀ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN 109
HỮU HẠN CHO PHƢƠNG TRÌNH NHIỆT
Nx
‖ Err(t j ) ‖ 2L2 x(uij u( xi , t j ))2
i 1
ii) Chuẩn của sai số theo không gian và thời gian
Nt N x
‖ Err() ‖ 2L2 tx(uij u( xi , t j ))2
j 1 i 1
3.1 Tính vững
Nhìn chung tại các điểm lƣới ( xi , t j ) , nghiệm chính xác không thỏa công thức rời rạc (12), sai số sẽ có
dạng nhƣ sau
u( xi , t j 1 ) u( xi , t j ) u(xi 1 , t j ) 2u( xi , t j ) u( xi 1 , tj )
ij f ( xi , t j ) . (21)
t 2 x
Định lý 2. Xấp xỉ theo công thức (12) có tính vững, nghĩa là ij sẽ hội tụ về 0 khi x và t tiến đến 0 .
Chứng minh. Khai triển chuỗi Taylor của hàm u( x , t) theo biến t tại điểm t j , ta đƣợc
utt ( xi , t j )
u( xi , t) u(xi , t j ) ut ( xi , t j )(t t j ) ( t t j )2 ,
2
suy ra
utt ( xi , t j )
u( xi , t j 1 ) u( x i , t j ) ut ( xi , t j )(t j 1 t j ) ( t j1 t j )2
2
utt ( xi , t j )
u( xi , t j ) ut ( xi , t j ) t ( t) 2 ,
2
vậy, ta rút ra đƣợc
u( xi , t j 1 ) u( xi , t j ) utt ( xi , t j )
t O(( t)2 )
ut ( xi , t j ) (22)
t 2
Tƣơng tự, khai triển chuỗi Taylor của hàm u( x, t ) theo biến x tại điểm xi , ta đƣợc
uxx ( xi , t j )
u( x , t j ) u(xi , t j ) ux (xi , t j )( x xi ) (x xi )2
2
uxxx ( xi , t j ) uxxxx ( xi , t j )
( x xi ) 3 ( x xi )4
6 24
với x xi 1 , ta đƣợc
uxx ( xi , t j )
u( xi 1 , t j ) u( xi , t j ) ux ( xi , t j )( xi 1 xi ) ( xi 1 xi )2
2
uxxx ( xi , t j ) uxxxx ( xi , t j )
( xi 1 xi )3 ( xi 1 xi )4
6 12
(23)
uxx ( xi , t j ) 2
u( xi , t j ) ux ( xi , t j ) x ( x )
2
uxxx ( xi , t j ) uxxxx ( xi , t j )
( x )3 ( x )4 ,
6 24
và với x xi 1 , ta đƣợc
© 2020 Trƣờng Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
- 110 TÍNH VỮNG, ỔN ĐỊNH VÀ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN
HỮU HẠN CHO PHƢƠNG TRÌNH NHIỆT
uxx ( xi , t j )
u( xi 1 , t j ) u( xi , t j ) ux ( xi , t j )( xi 1 xi ) ( xi 1 xi )2
2
uxxx ( xi , t j ) uxxxx ( xi , t j )
( xi 1 xi )3 ( xi 1 xi ) 4
6 12
(24)
uxx ( xi , t j ) 2
u( xi , t j ) ux ( xi , t j ) x ( x )
2
uxxx ( xi , t j ) uxxxx ( xi , t j )
( x )3 ( x )4 ,
6 24
Từ (23) và (24) ta đƣợc
u( xi 1 , t j ) 2u(xi , t j ) u( xi 1 , t j ) uxxxx ( xi , t j )
uxx ( xi , t j ) ( x )2 (25)
x 2
12
Từ (21), (22) và (25) ta suy ra đƣợc
utt ( xi , t j ) uxxxx ( xi , t j )
ij ut ( xi , t j ) t uxx ( xi , t j ) ( x )2 f ( xi , t j )
2 12
utt ( xi , t j ) uxxxx ( xi , t j )
t ( x )2
2 12
O( t ( x )2 ),
trong đó, ta sử dụng giả thiết phƣơng trình ut uxx f x, t . Ta thấy rằng ij sẽ hội tụ về 0 khi x và
t tiến đến 0 . Do đó, xấp xỉ của ta có tính chất vững.
3.2 Tính ổn định
t
Để thuận tiện, ta đặt r . Theo bổ đề 1, ma trận (18) có trị riêng và vector riêng tƣơng ứng nhƣ sau
2 x
1 j
sin
n1
2 j
j sin
j 2r 2r cos , v n 1 , j 1, , N .
n1 j
n j
sin
n1
Do đó, ta có
( N x 1)
min Nx 1 1 2r 2r cos
Nx
1 2r 2r cos
max 1
Nx
Nếu / Nx 1 , ta có đƣợc
2
min N 1 1 4r r ,
Nx
x
2
max 1
1 r ,
Nx
© 2020 Trƣờng Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
- TÍNH VỮNG, ỔN ĐỊNH VÀ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN 111
HỮU HẠN CHO PHƢƠNG TRÌNH NHIỆT
Điều kiện hội tụ cho min dẫn đến
2 1
r , (26)
2
2
4
Nx
với điều hiện này, (19) sẽ ổn định.
4 VÍ DỤ SỐ
Hình 1. Nghiệm xấp xỉ hội tụ về nghiệm chính xác.
Phần này, tôi sẽ xét 2 ví dụ cho hai trƣờng hợp: đầu tiên là r thỏa điều kiện (26), và trƣờng hợp r không
thỏa điều kiện (26) để ta khảo sát tính ổn định của nghiệm.
Ví dụ 1. Ta xét phƣơng trình đạo hàm riêng
ut uxx , ( x, t) (0,1) (0,T), 0 T ,
với điều kiện ban đầu
u( x,0) sin( x), x (0,1) ,
và cho biết thêm, bài toán có biên Dirichlet
u(0, t) u(1, t) 0, t (0,T ) .
1
Cho trƣớc , dễ dàng kiểm tra đƣợc bài toán này có nghiệm chính xác
16
© 2020 Trƣờng Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
- 112 TÍNH VỮNG, ỔN ĐỊNH VÀ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN
HỮU HẠN CHO PHƢƠNG TRÌNH NHIỆT
1
2t
u( x, t ) e 4
sin(2 x)
Mục tiêu bài toán ở đây, ta tìm giá trị xấp xỉ cho u( x , t) , uij u( xi , t j ) .
Trường hợp 1. Chọn t sao cho (26) đƣợc thỏa, nghĩa là
1 t 1 t
r suy ra 2 8
16 2 x 2 x
Ta có kết quả so sánh nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ tại t 4 và ta chọn t 4 2 x . Tại t 4 , tôi so
sánh giá trị của nghiệm chính xác u( x) : u( x,4) với nghiệm xấp xỉ. Khi N x càng lớn thì nghiệm xấp xỉ
càng gần với nghiệm chính xác xem (Hình 1).
Trường hợp 2. Chọn t sao cho điểu kiện (26) bị vi phạm, nghĩa là
1 t 1 t
r suy ra 2 8
16 2 x 2 x
Ta có kết quả so sánh nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ tại t 4 và ta chọn t 16 2 x . Khi điều kiện
(26) bị vi phạm, nghiệm xấp xỉ không hội tụ về nghiệm chính xác. Điều này phản ánh đúng kết quả lý
thuyết đã trình bày, xem (Hình 2).
Hình 2. Nghiệm xấp xỉ không hội tụ về nghiệm chính xác.
5 KẾT LUẬN
Trong bài này tôi đã trình bày phƣơng pháp số để giải phƣơng trình nhiệt bằng phƣơng pháp sai phân hữu
hạn. Để đảm bảo phƣơng pháp hội tụ, tôi khảo sát tính vững và tính ổn định bằng phân tích phổ của ma
trận. Kết quả bài báo chỉ ra rằng phƣơng pháp sai phân hữu hạn trong trƣờng hợp này có tính vững và tính
ổn định chỉ đúng với một số cách chọn r . Ví dụ số cũng đƣợc thiết lập để minh họa kết quả lý thuyết.
© 2020 Trƣờng Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
- TÍNH VỮNG, ỔN ĐỊNH VÀ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN 113
HỮU HẠN CHO PHƢƠNG TRÌNH NHIỆT
REFERENCES
[1] K. Sayevand, "Convergence and stability analysis of modified backward time centered space approach for non-
dimensionalizing parabolic equation," J. Nonlinear Sci., pp. 11-17, 2014.
[2] V. FACK, G. VANDEN BERGHE, H.E. DE MEYER , "Some finite difference methods for computing
eigenvalues and eigenvectors of special two-point boundary value problems," Journal of Computational and
Applied Mathematics , pp. 211-217 , 1987.
[3] S. Sajavicius, "On the eigenvalue problems for differential operators with coupled boundary conditions,"
Nonlinear Analysis: Modelling and Control, vol. 15, p. 493–500, 2010.
[4] J.Wang, "A model of competitive stock trading volume," Journal of Political Economy, vol. 102, p. 127–168,
1994.
Ngày nhận bài: 11/11/2019
Ngày chấp nhận đăng: 19/03/2020
© 2020 Trƣờng Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
nguon tai.lieu . vn