Xem mẫu
- TẠP CHÍ KHOA HỌC – ĐẠI HỌC TÂY BẮC Đoàn Thị Chuyên và nnk (2021)
Khoa học Tự nhiên và Công nghệ (24): 109 - 112
TÍNH TAUT MẠNH CỦA KHÔNG GIAN PHỨC
Đoàn Thị Chuyên
Trường Đại học Tây Bắc - TBU
Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi sẽ xây dựng một phản ví dụ về một không gian phức là taut nhưng không
là taut mạnh. Tiếp theo, chúng tôi phát biểu và chứng minh một mở rộng của định lý Eastwood cho tính taut mạnh
của không gian phức.
Từ khóa: Định lý của Eastwood; Tính taut; Tính taut mạnh; Không gian phức; Không gian phức hyperbolic.
I. Đặt vấn đề Mục đích chính thứ hai của bài báo này là
mở rộng định lý của Eastwood cho tính taut
Các khái niệm về tính taut, tính taut mạnh
mạnh của không gian phức.
của không gian phức đã được S. Kobayashi đưa
ra vào đầu những năm 70 của thế kỉ trước (xem Cụ thể, chúng tôi sẽ chứng minh định lý sau.
[6, p.240]). Những khái niệm này đóng vai trò Định lý A: Giả sử π : X → Y là ánh xạ chỉnh
quan trọng trong Hình học phức hyperbolic. Có hình riêng giữa các không gian phức sao cho
rất nhiều sự quan tâm được dành cho các khái mỗi tập mở U của Y thì π −1 (U ) là taut trong X.
niệm này và các kết quả liên quan về vấn đề này Khi đó nếu Y là taut mạnh thì X là taut mạnh.
được áp dụng cho nhiều lĩnh vực của toán học.
Chi tiết xem trong [2][3][4][6][8]. Toàn bộ nội dung bài báo được chúng tôi
trình bày thành 3 mục. Mục 1 chúng tôi trình
Trong [6], Kobayashi đã chỉ ra một không bày một số kiến thức chuẩn bị. Mục 2 chúng
gian phức là taut mạnh thì nó là taut (Định lý 2). tôi dành cho việc xây dựng phản ví dụ về một
Tuy nhiên, một không gian phức là taut thì có không gian phức taut nhưng không phải taut
là taut mạnh hay không thì chưa được ông cũng mạnh. Mục 3 chúng tôi sẽ phát biểu và chứng
như các nhà toán học khác chỉ ra. minh định lý của Eastwood cho tính taut mạnh
Mục đích chính đầu tiên của bài báo này là của không gian phức.
xây dựng một phản ví dụ về một không gian II. Nội dung
phức là taut nhưng không là taut mạnh. Điều
1. Nhắc lại một số kiến thức
này chỉ ra rằng trường hợp ngược lại của Định
lý 2 là không đúng. Giả sử X là một không gian phức. Kí hiệu
Như chúng ta đã biết, Eastwood [5] (hoặc
∆={z ∈ : z < 1} là đĩa đơn vị mở trong mặt
|a −b|
xem [6]) đã đưa ra điều kiện để một không gian phẳng phức và d ∆ (a, b) := tanh −1 là
phức là hyperbolic Kobayashi, kết quả này là khoảng cách Poincare trên đĩa ∆ . |1 − ab |
một trong những kết quả quan trọng của Hình
Kí hiệu Hol (∆, X ) là họ các ánh xạ chỉnh
học phức hyperbolic. Ta nhắc lại định lý này.
hình từ ∆ vào không gian phức X.
Định lý (Eastwood): Giả sử X, Y là các không Bây giờ ta nhắc lại các khái niệm về tính taut
gian phức và π : X → Y là ánh xạ chỉnh hình. và tính taut mạnh của không gian phức.
Nếu Y là hyperbolic (hyperbolic đầy) và nếu Y
có một phủ mở {U i } sao cho mỗi π −1 (U i ) là Định nghĩa 1 (xem [6, p.239]): Cho X là một
hyperbolic (hyperbolic đầy) thì X là hyperbolic không gian phức. Ta nói rằng X là taut nếu họ
(hyperbolic đầy). Hol (∆, X ) là chuẩn tắc, nghĩ là với mọi dãy
{ f n } trong Hol (∆, X ) thì một trong hai điều sau
Nhiều tác giả đã mở rộng kết quả này cho xảy ra:
các tính chất khác của không gian phức như tính
hyperbolic modulo một tập con giải tích, tính i) tồn tại một dãy con của dãy { f n } hội tụ
taut, tính taut modulo một tập con giải tích, xem đều tới hàm f ∈ Hol (∆, X ) trong Hol (∆, X ) ;
[2][3][4][6][7][8]. ii) dãy { f n } là dãy phân kì compact trong
109
- Hol (∆, X ) , nghĩa là với mỗi tập compact
trong Hol (∆, X ) . Mỗi số nguyên dương n, ta
K ⊂ ∆ và với mỗi tập compact L ⊂ X , tồn tại
lấy tự đẳng cấu g n : ∆ → ∆ sao cho g n ( 0 ) ∈ K
một số nguyên dương N sao cho f n ( K ) ∩ L =∅
và f n ( g n ( 0 ) ) ∈ L. Từ g n ( 0 ) là các điểm nằm
với mọi n ≥ N .
trong một tập compact cố định K nên bằng cách
Định nghĩa 2 (xem [6, p.240]): Cho X là lấy dãy con ta có thể giả sử dãy { g n } hội tụ
không gian phức. Ta nói rằng X là taut mạnh đến một tự đẳng cấu g của ∆. Đặt hn = f n g n .
nếu với mỗi tập compact K trong ∆ và mỗi tập Nếu ta chứng minh được dãy con của dãy {hn }
compact L trong X, tồn tại các tập con compact hội tụ đều đến một ánh xạ h ∈ Hol ( ∆, X ) thì
L1 , L2 ,..., Lm của L và các tập con mở taut điều này có nghĩa là dãy con tương ứng của
U1 ,U 2 ,...,U m của X sao cho: { f n } hội tụ đến ánh xạ f = h g −1. Với mỗi số
thực cố định r < 1, dãy {hn } luôn có một dãy
m
i) L = L j và L j ⊂ U j với mọi j = 1, 2,..., m
, j =1 con hội tụ đều trên đĩa ∆ r = { z ∈ : z ≤ r}. Từ
định nghĩa của tính taut mạnh ta có các tập con
ii) nếu f : ∆ → X là ánh xạ chỉnh hình và compact L1 , L2 ,..., Lm của L và các tập con mở
f (0) ∈ L j thì f ( K ) ⊂ U j . taut U1 ,U 2 ,...,U m của X sao cho:
m
Định lý 1: (Xem [6]) Giả sử X là một không i) L = L j và L j ⊂ U j với mọi j = 1, 2,..., m
gian phức. Khi đó X là taut khi và chỉ khi với , j =1
mọi dãy { f n } trong Hol (∆, X ) luôn tồn tại một
{ }
dãy con f n j sao cho một trong hai điều sau ii) nếu f : ∆ → X là ánh xạ chỉnh hìnhm và
f (0) ∈ L j thì f (∆ r ) ⊂ U j . Từ hn ( 0 ) ∈ L =
Lj
xảy ra:
với mọi n. Bằng cách lấy dãy con của dãy {hn } j =1
{ }
a) dãy f n j hội tụ đều tới hàm f ∈ Hol (∆, X ) nếu cần thiết, ta có thể giả sử rằng hn ( 0 ) thuộc
trong Hol (∆, X ) ; một tập con compact cố định L j với mọi n và
b) dãy f n j { } là dãy phân kì compact trong ( )
do đó hn ∆ r ⊂ U j . Lại do U j là taut và hn ( 0 )
Hol (∆, X ). thuộc một tập con compact cố định L j với
mọi n nên dãy {hn } hội tụ đều đến một ánh xạ
Chứng minh: Dễ thấy, nếu X là taut thì các
h ∈ Hol ( ∆, X ) trên ∆ r .
điều kiện a), b) trong Định lý 1 được thỏa mãn.
Bây giờ giả sử các điều kiện a), b) trong Định lý Định nghĩa 3 (xem [1]): Ánh xạ f : X → Y từ
1 được thỏa mãn ta sẽ chứng minh X là taut. Giả không gian phức X vào không gian phức Y được
sử ngược lại X không là taut. Lấy một dãy tùy gọi là ánh xạ riêng nếu với mọi tập compact L
ý { f n } trong Hol (∆, X ) , do X không là taut nên trong Y thì f −1 ( L ) là tập compact trong X.
cả hai điều kiện trong Định nghĩa 1 đều không Một số tính chất của ánh xạ chỉnh hình riêng
thỏa mãn. Từ điều kiện ii) trong Định nghĩa 1 có thể xem trong [1].
ta suy ra tồn tại tập compact K ⊂ ∆ và tồn tại
tập compact L ⊂ X sao cho f n ( K ) ∩ L = ∅ với 2. Phản ví dụ cho tính taut mạnh của
{ }
mọi n. Do đó, mọi dãy con f n j của dãy { f n } không gian phức
đều phân kì compact. Do đó dãy { f n } không có Trong mục này chúng tôi sẽ xây dựng một
bất kì một dãy con nào thỏa mãn một trong hai không gian phức taut X nhưng không phải là
điều kiện của Định lí 1. Điều này là vô lý. Vậy không gian phức taut mạnh bằng cách dính một
X là taut. số đếm được các đĩa mở đơn vị ∆1 , ∆ 2 ,... với
Định lý 2 (xem Định lý 5.1.3 [6]): Cho X là nhau theo cách sau đây.
một không gian phức. Nếu X là taut mạnh thì X Với mỗi n, trong đĩa đơn vị ∆ n thứ n, ta chọn
1
là taut. điểm an sao cho d ∆n (an ,0) = n .
2
Chứng minh: Giả sử X là taut mạnh và dãy Đầu tiên, ta dính đĩa ∆ 2 với đĩa ∆1 bằng
{ f n } là một dãy tùy ý trong Hol (∆, X ). Giả cách đồng nhất điểm a1 của ∆1 với gốc 0 của
sử tồn tại một tập compact K ⊂ ∆ và một tập ∆ 2 . Tiếp theo, ta dính đĩa ∆ 3 với đĩa ∆ 2 bằng
compact L ⊂ X sao cho f n ( K ) ∩ L = ∅ với cách đồng nhất điểm a2 của ∆ 2 với gốc 0 của
mọi n. Ta sẽ chứng minh tồn tại một dãy con ∆ 3 . Tổng quát, ta dính đĩa ∆ n +1 với đĩa ∆ n bằng
của dãy { f n } hội tụ đều tới hàm f ∈ Hol (∆, X ) cách đồng nhất điểm an của ∆ n với gốc 0 của
110
- Đặt L j = π −1 ( L′j ) và U j = π −1 (U ′j ). Do π là
∆ n +1 . Ta kí hiệu không gian kết quả là X. Ta
ánh xạ chỉnh hình riêng nên L j là compact của
thấy các đĩa ∆ n , n = 1, 2,... là những thành phần
L và U j là các tập mở taut trong X.
không thể thiếu của X. Do mọi ánh xạ chỉnh m
hình f : ∆ → X biến ∆ vào ∆ n , là một trong Hiển nhiên L = L j and L j ⊂ U j .
j =1
các thành phần không thể thiếu nào đó của X nên Lấy f : ∆ → X là ánh xạ chỉnh hình và
họ Hol (∆, X ) là hợp của các họ con Hol (∆, ∆ n ). f (0) ∈ L j . Khi đó π ( f (0)) ∈ π ( L j ) = L′j
Lấy { f j } là một dãy bất kỳ trong Hol (∆, X ). và do đó π ( f ( K )) ⊂ U ′j . Từ đây suy ra
Giả sử rằng { f j } không có bất kì một dãy con U j . Vậy X là taut mạnh.
f ( K ) ⊂ π −1 (U ′j ) =
hội tụ nào. Ta sẽ chứng minh dãy { f j } phân kì
Hệ quả: Giả sử π : X → Y là ánh xạ hữu hạn
compact và do đó X là taut. Thật vậy, ta lấy một
riêng giữa hai không gian phức X, Y. Khi đó nếu
{ }
dãy con f n j của dãy { f j } gồm tất cả các ánh
Y là taut mạnh thì X là taut mạnh.
xạ f j : ∆ → ∆ n . Do họ Hol (∆, ∆ n ) là chuẩn tắc
{ }
nên dãy f n j phải phân kì compact. Giả sử L là
một tập compact tùy ý trong X. Dễ thấy L sẽ chứa III. Tài liệu tham khảo
trong tập ∆1 ∪ ∆ 2 ∪ ∪ ∆ k với một số nguyên
dương k nào đó. Lấy K là một tập compact tùy [1]. Bedford E., Proper holomorphic
ý trong ∆ . Khi đó với mỗi số nguyên dương n mappings. Bull. Amer. Math. Soc.
mà n ≤ k ta luôn có f n j ( K ) ∩ L = ∅ với mọi 10(1984), 157-175.
f n trừ một số hữu hạn. Do ∆ n ∩ L =∅ với mọi
j [2]. Do Duc Thai and Pham Viet Duc, On the
n > k nên f n j ( K ) ∩ L = ∅ với mọi n > k . Do complete hyperbolicity and the tautness
đó dãy { f j } là phân kì compact và do đó X là of the Hartogs domains, Intern. J. Math.
taut. 11 (2000), 103-111.
Bây giờ ta sẽ chứng minh X không phải là taut [3] Do Duc Thai, Pascal J. Thomas, Nguyen Van
mạnh. Lấy dãy điểm { zn }n ≥1 trong ∆ thỏa mãn Trao, and Mai Anh Duc, On hyperbolicity
1 and tautness modulo an analytic subset
d ∆ ( zn ,0 ) = n . Lấy =
K { zn } ∪ {0} là tập con
2 of hartogs domains, Proceedings Of The
1 American Mathematical Society, Volume
compact của ∆. Lấy L = ∆ 1 = a ∈ ∆1 : a ≤
2 2 141, Number 10, October 2013, Pages
là tập con compact và U = ∆1 là tập mở taut 3623–3631
[4]. Do Duc Thai, Royden-Kobayashi
trong X. Xét ánh xạ chỉnh hình f : ∆ → X được pseudometrie and tautness of normalizations
xác định f ( zn ) = an và f ( 0 ) = 0. Dễ thấy rằng of complex spaces, Bolletino U. M. L (7)
f ( 0 ) ∈ L nhưng f ( K ) ⊄ U . Vậy X không phải 5-A (1991), 147-156.
là taut mạnh.
[5]. Eastwood, A. Apropos des variétés
3. Định lý Eastwood cho tính taut mạnh của hyperboliques complètes. C. R. Acad.
không gian phức Sci. Paris 280 (1975), 1071-1074.
Định lý A: Giả sử π : X → Y là ánh xạ chỉnh [6]. S. Kobayashi, Hyperbolic complex spaces,
hình riêng giữa các không gian phức sao cho Springer-Verlag, Berlin, 1998., p64
mỗi tập mở U của Y thì π −1 (U ) là taut trong X.
Khi đó nếu Y là taut mạnh thì X là taut mạnh. [7]. Nguyen Van Trao and Tran Hue Minh,
Remarks on the Kobayashi hyperbolicity
Chứng minh: Lấy K là tập compact trong of complex spaces, Acta Math. Vietnam.
∆ và L là tập compact trong X. Đặt L′ = π ( L). 34 (2009), 375-387.
Khi đó L′ là tập compact trong Y. Theo giả
thiết, Y là taut mạnh nên tồn tại các tập compact [8]. Pham Viet Duc, Mai Anh Duc, Pham
Nguyen Thu Trang, On Tautness Modulo
L1′, L2′ ,..., Lm′ của L′ các tập mở taut U1′,U 2′ ,...,U m′ an Analytic Subset of Complex Spaces,
m
của Y sao cho L′ = L′j và L′j ⊂ U ′j . Acta Math Vietnam (2017) 42:717-726.
j =1
111
- ON STRONG TAUTNESS OF COMPLEX SPACES
Đoan Thi Chuyen
Tay Bac University - TBU
Abstract: In this paper, we will construct a counter example about a complex space namely “taut”,
but it is not strongly taut. Next, we claim and prove an extension version of Eastwood theorem for strong
tautness of complex spaces.
Keywords: Eastwood theorem; Tautness; Strong tautness; Complex spaces; Hyperbolic
complex spaces.
_______________________________________________
Ngày nhận bài: 09/01/2021. Ngày nhận đăng: 23/03/2021.
Liên lạc: Đoàn Thị Chuyên; e-mail: doanchuyenkt@utb.edu.vn
112
nguon tai.lieu . vn
