- Trang Chủ
- Toán học
- Tính ổn định Lipschitz trong bài toán nguồn ngược cho một lớp phương trình Parabolic suy biến - kì dị một chiều
Xem mẫu
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0
TÍNH ỔN ĐỊNH LIPSCHITZ TRONG BÀI TOÁN NGUỒN
NGƯỢC CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC
SUY BIẾN / KÌ DỊ MỘT CHIỀU
Vũ Mạnh Tới
Trường Đại học Thủy lợi, email: toivm@tlu.edu.vn
1. ĐẶT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
ở đó P , u x u x x u thỏa mãn một
Bài toán ngược trong phương trình đạo x
hàm riêng bằng cách sử bất đẳng thức trong các giả thiết sau (xem lí giải trong [4]
Carleman được nghiên cứu đầu tiên bởi nhà liên quan bất các đẳng thức Hardy):
toán học Imanuvilov và Yamamoto (xem Trường hợp dưới tới hạn:
[3,5]). Cụ thể, các tác giả nghiên cứu tính ổn [0, 2), 0 2 , ¡ ;
định Lipschitz trong bài toán nguồn ngược (1 ) 2 (2)
cho lớp phương trình parabolic đều. Gần đây, [0, 2) \ 1 , 2 , : .
4
các kết quả về tính ổn định Lipschitz trong Trường hợp tới hạn:
bài toán nguồn ngược cho các lớp phương 0, 2 \ 1 , 2 , .
trình parabolic suy biến một chiều được Trong nghiên cứu này, ta sẽ xét bài toán
nghiên cứu bằng cách sử dụng bất đẳng thức (1) trong trường hợp dưới tới hạn, tức là khi
Carleman (được cải tiến so với bất đẳng thức
(2) được thỏa mãn. Khi đó H 1 ,0 (0,1) được
Carleman dung cho tính điều khiển được về 0
trong [1]) tương ứng (xem [2]). Trong [4], định nghĩa như sau:
các tác giả đã thiết lập ước lượng Carleman H1 ,0 (0,1) u H1 (0,1) | u(0) u(1) 0 ,0 1;
để nghiên cứu tính điều khiển được về 0 cho
H1 ,0 (0,1) u H1 (0,1) | u(1) 0 ,1 2,
lớp phương trình parabolic suy biến/kì dị.
1/2
Các kết quả cho bài toán nguồn ngược cho
lớp phương trình parabolic suy biến/kì dị
với chuẩn u 1
H ,0
0
1
x u x2 dx , ở đó
chưa được nghiên cứu.
H1 (0,1) u L2 (0,1) Hloc
1
(0,1] | x ux2dx .
1
0
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Miền xác định của toán tử P , được cho bởi
Sử dụng ước lượng Carleman tương ứng D ( P , ) u H 1 ,0 (0,1) H loc
2
(0,1] |
để đi nghiên cứu bài toán nguồn ngược.
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ( x u x ) x
u L2 (0,1)
x
3.1. Đặt bài toán và phát biểu kết quả Ta có kết quả sau về tính đặt đúng và tính
chính trơn của nghiệm.
Cho T 0 , ta xét bài toán Mệnh đề 1 [4]. a) Với mọi u0 L2 (0,1) và
ut P , u g ( x , t ), ( x , t ) (0,1) (0, T ), g L2 (0, T ; L2 (0,1)) cho trước, (1) có duy nhất
u (0, t ) u (1, t ) 0, 0 1, t (0, T ), nghiệm u thỏa mãn với mọi (0, T ) ,
(1)
x u x (0, t ) u (1, t ) 0, 1 2, t (0, T ), u C 0 ([0, T ]; L2 (0,1)) L2 ( , T ; D( P , ))
u ( x , 0) u ( x ), x (0,1),
0 H 1 ( , T ; L2 (0,1)).
65
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-5957-0
Hơn nữa, nếu g H 1 (0, T ; L2 (0,1)) , thì C0 : sup Rt ( x, t ) / inf R ( x, T1 ).
x[0,1]
( x ,t )[0,1][0,T ]
u C 0 ([0, T ]; L2 (0,1)) C ([ , T ]; D( P , ))
3.2. Ước lượng Carleman
C1 ([ , T ]; L2 (0,1)).
Ta thiết lập ước lượng Carleman đối với
b) Với mọi u0 D(P , ) và g H 1 (0, T ; L2 (0,1)) nghiệm của bài toán
cho trước, (1) nghiệm u thỏa mãn wt P , w g ( x, t ), ( x, t ) QT0 ,T ,
0
u C (0, T ; D ( P , )) C (0, T ; L (0,1)). 1 2
w(0, t ) w(1, t ) 0, 0 1, t (T0 , T ),
Từ bây giờ trở đi, xét T0 (0, T ) cố định, kí (3)
x wx (0, t ) w(1, t ) 0,1 2, t (T0 , T ),
hiệu QT ,T 0,1 T0 , T . Đặt T1 : (T0 T ) / 2
0
w( x, T ) wT ( x), x (0,1),
và với bất kì C0 0 , xét
trong trường hợp dưới tới hạn.
G(C0 ) : {g H 1 (0, T ; L2 (0,1))| Cho cố định sao cho 0 2 , đặt
g t ( x, t ) C0 g ( x, T1 ) h.k. ( x, t ) [0,1] (0, T )}. k : 1 2 / . Như trong [4], ta sử dụng
Ta quan tâm tới bài toán nguồn ngược sau hàm trọng ( x, t ) : (t ) p ( x) với
cho (1): Với g ( x, t ) G(C0 ) , liệu ta có thể 2 x 2 1
p ( x) : 2
, (t ) : k
.
khôi phục lại nguồn g từ dữ kiện đã biết 2 (t T ) T t
0
của u (., T1 ) và các quan sát trên biên Ta thiết lập bất đẳng thức Carleman sau.
ut x (1,.) |(T ,T ) ? 0
Định lí 3. Giả sử rằng
Hai định lí sau là các kết quả chính của 0, 2 , 0 2 và ¡ . Khi đó tồn
báo cáo này. tại C 0 và s0 s0 (2 , ) 0, sao cho với
Định lí 1. Cho u0 L2 (0,1) . Khi đó, với mọi mọi s s0 , nghiệm w của (3) thỏa mãn
C0 0 , tồn tại một hằng số 1 2 e 2 s w2
s x e 2 s wx2 dxdt
C C ( , T0 , T , C0 ) 0 , sao cho với mọi 4 x 2
QT0 ,T
g G(C0 ) , nghiệm u của (1) trong trường T
C ge s dx .
2
hợp dưới tới hạn sẽ thỏa mãn s e 2 s wx2 (4)
L2 ( QT0 ,T ) 0 | x 1
g
2
L2 ( QT0 ,T )
C u (., T1 )
2
D ( P , )
ut x (1,.)
2
L2 (T0 ,T ) . Giả sử rằng và 0, 2 \ 1 , 2
( ) . Khi đó tồn tại C 0 và
Định lí 2. Cho u0 L2 (0,1) . Cho trước
s0 s0 (2 , ) 0, sao cho với mọi s s0 ,
R C 1 ([0,1] [0, T ]) sao cho R ( x, T1 ) 0 với nghiệm w của (3) thỏa mãn
mọi x [0,1] . Giả sử rằng u0 L2 (0,1) . Khi max{0, } 2 s 2
đó, tồn tại hằng số C C ( , T0 , T , R ) 0 sao
s 1 x e wx dxdt
( ) Q T0 ,T
cho với mọi f1 , f 2 L2 (0,1) , ta có T 2
2 2
C ge s 2
2
s e s wx dt . (5)
f1 f 2 2 C u1 (., T1 ) u2 (., T1 ) L ( QT0 ,T ) 0 | x 1
L (0,1) D ( P , )
2
trong đó
C (u1 u2 )t x (1,.) , s3
L2 ( T0 ,T ) 3 2 2 s
x e w2 dxdt
2
3
ở đó u1 và u2 là hai nghiệm của (1) trong QT0 ,T
trường hợp dưới tới hạn tương ứng với e 2 s w2 1 2 s 2
s dxdt e wt dxdt
g1 f1R và g 2 f 2 R . QT0 ,T
x
QT ,T
s
0
Định lí 2 là hệ quả trực tiếp của Định lí 1 Chứng minh. Thiết lập (4) và (5) được dựa
cho g : g1 g 2 và u u1 u2 vì g thuộc vào trên một số đánh giá và một số bổ đề trong
G(C0 ) với C0 0 được xác định bởi [2] và sử dụng khéo một số đánh giá để có
66
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0
được đánh giá cho số hạng tích phân toàn cục C 1
chọn s đủ lớn để , và với sao cho
của wt cần thiết cho bài toán nguồn ngược. s 2
3.3. Chứng minh Định lí 1 e 2 s ( x ,T1 ) , x [0,1] ta nhận được
1
Đặt w ut , ở đó u thõa mãn (1). Từ tính |g ( x, T1 ) |2 dx
0
trơn của nghiệm (xem Mệnh đề 1), khi đó w
thỏa mãn
C (ut ) x (1,.)
2
L2 ( T0 ,T )
u (., T1 )
2
D ( P , ) .
t
wt P , w g t ( x, t ), ( x, t ) QT0 ,T , Ta có g ( x, t ) g ( x, T1 ) g t ( x, ) d và vì
T1
w(0, t ) w(1, t ) 0, 0 1, t (T0 , T ),
(6) g G(C0 ) , khi đó với ( x, t ) (0,1) (T0 , T ) ,
x w x (0, t ) w (1, t ) 0, 1 2, t ( T 0 , T ), 2 1 2
g ( x, t ) dxdt C g ( x, T1 ) dx
w( x, T ) u ( x, T ), x (0,1).
0
0 t 0 QT0 ,T
Trường hợp [0, 2), 0 2 , ¡ . Kết hợp hai bất đẳng thức cuối ta kết thúc
Áp dụng (4) trong Định lí 3 cho w thỏa chứng minh của Định lí 1 trong trường hợp
mãn (6), tồn tại C 0 và s0 s0 (2 , ) sao [0, 2), 0 2 , ¡ .
cho với mọi s s0 , ta có Trường hợp [0, 2) \ {1}, 2 và
( ) . Việc chứng minh giống như trường
1 2 e 2 s w2
s 2
2 s 2
x e wx dxdt hợp trước, với chú ý thay bởi việc sử dụng
4 x (4) ta sử dụng (5).
QT0 ,T
T
C g t e s 2 s e 2 s (1,t ) wx2| x 1dt .
2
4. KẾT LUẬN: Bài báo đã thiết lập ước
L ( QT0 ,T ) T0 lượng Carleman mới để sử dụng cho việc
Đầu tiên, từ tính chất hàm trọng, chú ý chứng minh tính ổn định Lipschitz cho bài
w ut , sử dụng g G(C0 ) và bất đẳng toán nguồn ngược đối với phương trình
|g ( x, T ) | 1
2
e 2 s dxdt parabolic suy biến/kì dị một chiều.
QT0 ,T
C 1
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
|g ( x, T1 ) |2 e 2 s ( x ,T1 ) dx
s 0 [1] P. Cannarsa, P. Martinez and J.
ta thu được Vancostenoble (2008), Carleman estimates
2 T for a class of degenerate parabolic
g t e s 2
s e 2 s (1,t ) wx2|x 1dt operators, SIAM J. Control Optim. 47, 1-19.
L ( QT0 ,T ) T0
[2] P. Cannarsa, J. Tort and M. Yamamoto
1 1 2
C |g ( x, T ) | 1
2
e2 s ( x ,T1 ) dx C (ut ) x (1,.) L2 (T0 ,T )
. (2010), Determination of source terms in a
0
s degenerate parabolic equation, Inverse
Sau một số tính toán và sử dụng bất đẳng Problems 26, 105003, 20 pp.
thức Young, ta thu được đánh giá [3] O.Yu. Imanuvilov and M. Yamamoto
1 2 (1998), Lipschitz stability in inverse
w( x, T1 ) e 2 s ( x ,T1 ) dx
0 parabolic problems by the Carleman
2
1 e 2 s w2 estimate, Inverse Problems 14, 1229-1245.
s ( 2
x e2 s wx2 )dxdt. [4] J. Vancostenoble (2011), Improved Hardy-
QT0 ,T
4 x Poincaré inequalities and sharp Carleman
Từ đó ta có estimates for degenerate/singular parabolic
1 problems, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S 4,
0
2
w( x, T1 ) e 2 s ( x ,T1 ) dx C (ut ) x (1,.) 2
L2 (T0 ,T ) 761-790.
1 1 [5] M. Yamamoto (2009), Carleman estimates for
|g ( x, T1 ) |2 e 2 s ( x ,T1 ) dx
parabolic equations and applications, Inverse
0
s Problems 25, 123013, 75 pp.
Vì w( x, T1 ) ut ( x, T1 ) P , u ( x, T1 ) g ( x, T1 ) và
67
nguon tai.lieu . vn
