1. Trang Chủ
  2. Toán học
  3. Tính ổn định của ánh xạ nghiệm cho bài toán tựa cân bằng véctơ mạnh phụ thuộc tham số và ứng dụng

Tính ổn định của ánh xạ nghiệm cho bài toán tựa cân bằng véctơ mạnh phụ thuộc tham số và ứng dụng

Bài viết Tính ổn định của ánh xạ nghiệm cho bài toán tựa cân bằng véctơ mạnh phụ thuộc tham số và ứng dụng nghiên cứu bài toán tựa cân bằng véctơ mạnh và bài toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ mạnh phụ thuộc tham số. Sau đó, thiết lập các điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên, nửa liên tục trên Hausdorff, tính đóng, nửa liên tục dưới Hausdorff và tính liên tục Hausdorff của ánh xạ nghiệm cho các bài toán này. 74 Phan Thanh Kiều, Nguyễn Văn Hưng TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM CHO BÀI

Thể loại Tài liệu miễn phí Toán học

Số trang 4

Ngày tạo 4/9/2023 12:20:10 PM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 0.72 M

Tên tệp

Tải Tính ổn định của ánh xạ nghiệm cho bài toán tựa câ... (.pdf)

Xem mẫu

  1. 74 Phan Thanh Kiều, Nguyễn Văn Hưng TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM CHO BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG VÉCTƠ MẠNH PHỤ THUỘC THAM SỐ VÀ ỨNG DỤNG ON THE STABILITY OF SOLUTION MAPPINGS FOR PARAMETRIC STRONG VECTOR QUASI-EQUILIBRIUM PROBLEMS AND APPLICATION Phan Thanh Kiều, Nguyễn Văn Hưng Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông TP.Hồ Chí Minh, Việt Nam; ptkiieu@ptithcm.edu.vn, nvhung@ptithcm.edu.vn Tóm tắt - Trong bài báo này, đầu tiên chúng tôi nhắc lại bài toán Abstract - In this article, we revisit parametric strong vector quasi- tựa cân bằng véctơ mạnh phụ thuộc tham số. Sau đó, thiết lập các equilibrium problems. Afterwards, we establish the sufficient điều kiện đủ cho tính chất ổn định nghiệm như tính nửa liên tục conditions for stability properties such as upper semi-continuity, trên, tính nửa liên tục trên Hausdorff, tính đóng, tính nửa liên tục Hausdorff upper semi-continuity, closedness, lower semi- dưới, tính nửa liên tục dưới Hausdorff và tính liên tục Hausdorff continuity, Hausdorff lower semi-continuity and Hausdorff cho ánh xạ nghiệm của bài toán này. Trong phần ứng dụng, chúng continuity for solution mappings for these problems. As regards tôi cũng nhận được các kết quả về tính chất ổn định như như tính application, we also obtain results on stability such as Hausdorff nửa liên tục trên Hausdorff, tính đóng, tính nửa liên tục dưới upper semi-continuity, closedness, Hausdorff lower semi- Hausdorff và tính liên tục Hausdorff của các nghiệm cho bài toán continuity, and Hausdorff continuity of solutions for the parametric bất đẳng thức tựa biến phân véctơ mạnh phụ thuộc tham số. Kết strong vector quasi-variational inequality problems. The results quả nhận được trong bài báo này là mới và hoàn toàn khác với các presented in the article are novel and completely different from kết quả đã tồn tại trong tài liệu tham khảo. existing ones in the related literature. Từ khóa - Bài toán tựa cân bằng; bài toán tựa bất đẳng thức biến Key words - Quasi-equilibrium problem; quasi-variational phân; tính nửa liên tục trên Hausdorff; tính đóng; tính nửa liên tục inequality problem; Hausdorff upper semi-continuity; closedness; dưới Hausdorff; tính liên tục Hausdorff Hausdorff lower semi-continuity; Hausdorff continuity 1. Giới thiệu Y và P tương ứng và CZ là Bài toán cân bằng lần đầu được giới thiệu trong năm các nón lồi đóng có đỉnh. Lấy K : A   A và 1994 bởi Blum và Oettli [1]. Mô hình này là tổng quát một T : A   B là hai hàm đa trị, f : A B  A   Z số bài toán liên quan đến tối ưu như: Bài toán điểm trùng, là hàm véctơ. Với mỗi    , chúng ta xét bài toán tựa cân bài toán mạng giao thông, bài toán cân bằng Nash,... Trong bằng véctơ mạnh phụ thuộc tham số sau đây: những thập kỷ gần đây, đã có nhiều nhà khoa học nghiên cứu về các chủ đề khác nhau cho bài toán cân bằng véctơ (SQEP) Tìm x  K  x,   sao cho tồn tại t  T  x,   và các bài toán liên quan đến tối ưu, (xem [2-8] và các tài thỏa mãn: f  x, t , y,    C, y  K  x,   . liệu tham khảo ở trong đó). Mặt khác, tính chất ổn định nghiệm của bài toán liên Với mỗi    , lấy: E      x  A : x  K  x,   và quan đến tối ưu bao gồm tính nửa liên tục, liên tục và liên tục Lipschitz là một trong những chủ đề quan trọng trong lý chúng ta ký hiệu tập nghiệm của (SQEP) bởi S    . thuyết tối ưu và ứng dụng của nó. Gần đây, Anh và Hung [2] Định nghĩa 2.1 (xem [9]) Cho X, Y là các không gian đã giới thiệu và nghiên cứu bài toán tựa cân bằng véctơ mạnh véctơ tôpô và G : X  Y là một ánh xạ và bài toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ mạnh phụ thuộc tham số, sau đó các tác giả nghiên cứu tính ổn định đa trị, x0  X là một điểm cho trước. của nghiệm cho các bài toán này bởi sử dụng hàm đánh giá (i) G được gọi là nửa liên tục dưới (lsc) tại x0 nếu trên cơ sở hàm vô hướng hóa. Tuy nhiên, mô hình này vẫn G ( x0 )  U   với một tập mở U  Y thì sẽ tồn tại một là một chủ đề thú vị và đang thu hút được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu. Xuất phát từ động cơ nghiên cứu lân cận N của x0 sao cho G ( x)  U  , x  N . ở trên, trong bài báo này nhóm tác giả tiếp tục nghiên cứu (ii) G được gọi là nửa liên tục trên (usc) tại x0 nếu với bài toán tựa cân bằng véctơ mạnh và bài toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ mạnh phụ thuộc tham số. Sau đó, thiết mọi tập mở U  G ( x0 ) thì tồn tại một lân cận N của x0 lập các điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên, nửa liên tục sao cho U  G ( x), x  N . trên Hausdorff, tính đóng, nửa liên tục dưới Hausdorff và (iii) G được gọi là nửa liên tục dưới Hausdorff tính liên tục Hausdorff của ánh xạ nghiệm cho các bài toán này. Các kết quả nhận được của bài báo này là mới và khác (H-lsc) tại x0 nếu với mỗi lân cận B của gốc trong Y , thì với các kết quả đã tồn tại trước đó. tồn tại một lân cận N của x0 sao cho F ( x0 )  F ( x)  B, x  N . 2. Mô hình bài toán và kiến thức chuẩn bị Cho X , Y , Z và P là các không gian véctơ tôpô (iv) G được gọi là nửa liên tục trên Hausdorff Hausdorff A , B và  là các tập con lồi khác rỗng của X , (H-usc) tại x0 nếu với mỗi lân cận B của gốc trong Y ,
  2. ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 18, NO. 3, 2020 75 thì tồn tại một lân cận N của x0 sao cho f  x , t , y ,     C với mọi t  T  x ,    và một số F ( x)  F ( x0 )  B, x  N . y  K  x ,    . (v) G được gọi là liên tục (liên tục Hausdorff) tại x0 Khi đó S là nửa liên tục trên Hausdorff trên  . nếu nó vừa nửa liên tục dưới (H-lsc), vừa nửa liên tục trên Hơn nữa, S ( 0 ) là tập compắc và S là đóng trên  . (H-usc) tại x0 . Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh S là nửa liên tục (vi) G được gọi là đóng tại x0  dom G nếu với trên. Giả sử ngược lại rằng, ánh xạ nghiệm S không nửa mọi lưới  x  trong X hội tụ về x0 và  y  trong Y hội tụ liên tục trên tại  0 . Khi đó, tồn tại một tập mở U sao cho về y0 sao cho y  G ( x ) , thì ta có y0  G( x0 ) . S ( 0 )  U , và lưới      và x  S (  ) sao cho Nếu A  X , thì G được gọi là lsc (usc, H-usc, H-lsc,     0 và x  U với mọi  . Từ tính compắc của  , liên tục, liên tục Hausdorff, đóng) trên A nếu G là lsc (usc, ta có thể giả sử rằng     0 với  0   . Vì x  E    H-usc, H-lsc, liên tục, liên tục Hausdorff, đóng) tại mọi x  domG  A . Nếu X  A thì ta bỏ cụm từ “trên A” trong và E là nửa liên tục trên với giá trị compắc, ta giả sử rằng các phát biểu. x  x0  E  0  . Vì x  S (  ) với mọi  , ta có Mệnh đề 2.2. (xem [9]) Giử sử X, Y là các không gian f  x , t , y ,     C (1) véctơ tôpô và G : X  Y là một ánh xạ đa trị, x0  X là Bây giờ ta chứng tỏ x0  S ( 0 ) . Nếu x0  S ( 0 ) , khi một điểm cho trước. (i) Nếu G là usc tại x0 và G ( x0 ) đóng, thì G đó với mọi t0  T  x0 ,  0  tồn tại y0  K  x0 ,  0  sao cho là đóng tại x0 . f  x0 , t0 , y0 ,  0   C (ii) Nếu G là usc tại x0 , thì G là H-usc tại x0 . Ngược Vì K là nửa liên tục dưới tại  x0 ,  0  , tồn tại lại, nếu G là H-usc tại x0 và G ( x0 ) là compắc, thì G là usc y  K  x ,    sao cho y  y0 . Từ tại x0 . (iii) Nếu G là H-lsc tại x0 , thì G là lsc tại x0 . Ngược lại,  x , y ,      x0 , y0 ,  0  và điều kiện (ii), tồn tại  , sao nếu G là lsc tại x0 và G ( x0 ) là compắc, thì G là H-lsc tại x0 . cho f  x , t , y ,     C , điều này mâu thuẩn với (1). Vì (iv) Nếu G nhận các giá trị compắc, thì G là usc tại x0 vậy x0  S  0  , điều này lại mâu thuẫn vì x U với mọi nếu và chỉ nếu với mọi lưới {x }  X mà hội tụ về x0 và  . Do đó, S là nửa liên tục trên trên  . Từ Mệnh đề với mọi lưới { y }  G ( x ) , thì tồn tại y  G ( x) và một 2.2(ii), ta có S là nửa liên tục trên Hausdorff trên  . lưới con { y } của { y } sao cho y  y. Bây giờ ta chứng tỏ S  0  là compắc. Đầu tiên ta sẽ kiểm tra S  0  là tập đóng. Điều này có thể thấy rõ ràng, 3. Các kết quả chính Trong mục này, nhóm tác giả nghiên cứu tính nửa là nếu S  0  không đóng, thì sẽ tồn tại một lưới liên tục trên, tính nửa liên tục trên Hausdorff, tính đóng, x   S  0  sao cho x  x0 nhưng x0  S  0  . Với tính nửa liên tục dưới Hausdorff và tính liên tục Hausdorff của ánh xạ nghiệm cho bài toán tựa cân bằng véctơ mạnh lý luận tương tự như trên ta sẽ chứng tỏ được S  0  là tập phụ thuộc tham số. đóng. Hơn nữa, vì S  0   E ( 0 ) và E ( 0 ) là tập compắc Đầu tiên ta sẽ nghiên cứu tính nửa liên tục trên, tính nửa nên S  0  cũng là tập compắc. Từ đây, áp dung Mệnh đề liên tục trên Hausdorff và tính đóng. 2.2 (i), ta có S là đóng tại  0 . Vì S đóng tại mọi điểm Định lí 3.1. Cho X , Y , Z và P là các không gian véctơ trong  . Vì vậy, S đóng trên  . tôpô Hausdorff A , B và  là các tập con lồi khác rỗng của X , Y và P tương ứng và C  Z là các nón lồi đóng có Tiếp theo, chúng ta thiết lập tính nửa liên tục dưới đỉnh với phần trong khác rỗng. Lấy K : A   A và Hausdorff và tính liên tục Hausdorff của ánh xạ nghiệm T : A   B là hai ánh xạ đa trị, f : A  B  A    Z là cho bài toán tựa cân bằng véctơ mạnh phụ thuộc tham số. hàm véctơ. Giả sử rằng  là compắc và các điều kiện sau Định lí 3.2. Cho X , Y , Z và P là các không gian véctơ đây xác định: tôpô Hausdorff A , B và  là các tập con lồi khác rỗng i) E là nửa liên tục trên với giá trị compắc và K là của X , Y và P tương ứng, C  Z là các nón lồi đóng có nửa liên tục dưới; đỉnh với phần trong khác rỗng. Lấy K : A   A và ii) x0  K  x0 ,  0  ,  x , y ,      x0 , y0 ,  0  và T : A   B là hai ánh xạ đa trị, f : A  B  A    Z là hàm véctơ. Giả sử rằng tất cả các giả thiết trong Định lí f  x0 , t0 , y0 ,  0   C với mọi t0  T  x0 ,  0  và một số 3.1 thỏa mãn và bổ sung thêm các điều kiện sau đây: y0  K  x0 ,  0  suy ra rằng tồn tại  sao cho iii) E là nửa liên tục dưới;
  3. 76 Phan Thanh Kiều, Nguyễn Văn Hưng iv) x0  K  x0 ,  0  ,  x , y ,      x0 , y0 ,  0  và tồn (SQVI) Tìm x  K  x,   sao cho tồn tại t  T  x,   tại t0  T  x0 ,  0  sao cho f  x0 , t0 , y0 ,  0   C với mọi thỏa mãn y0  K  x0 ,  0  , suy ra rằng tồn tại  sao cho tồn tại t , y  g ( x,  )  C, y  K  x,   . t  T  x ,    sao cho f  x , t , y ,     C với mọi Với mỗi    , chúng ta ký hiệu tập nghiệm của y  K  x ,    . (SQVI) bởi     . Khi đó S là liên tục Hausdorff trên  . Đầu tiên, chúng ta nghiên cứu tính nửa liên tục trên Hausdorff và tính đóng của ánh xạ nghiệm cho bài toán bất Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh S là nửa liên tục đẳng thức tựa biến phân véctơ mạnh phụ thuộc tham số. dưới trên  . Giả sử ngược lại rằng ánh xạ nghiệm S không Định lí 4.1. Cho X , Y , Z và P là các không gian véctơ nửa liên tục trên tại  0 . Khi đó, tồn tại một lưới      tôpô Hausdorff A , B và  là các tập con lồi khác rỗng sao cho     0 và x0  E  0  với mọi lưới x  S (  ) , của X , Y và P tương ứng và C  Z là các nón lồi đóng x không hội tụ về x0 . Vì E nửa liên tục dưới tại  0 , có đỉnh với phần trong khác rỗng, L( X , Y ) là không gian     0 và x0  E  0  nên tồn tại x*  E    sao cho các toán tử tuyến tính từ X vào Y . Lấy K : A   A và T : A   B là hai ánh xạ đa trị và g : A    A là hàm x*  x0 . Từ sự mâu thuẩn ở trên, không mất tính tổng quát, véctơ, t, x biểu thị giá trị tuyến tính t  L( X , Y ) tại nếu x*  S (  ) , khi đó với mọi t *  T x* ,     tồn tại x  X . Giả sử rằng  là compắc và các điều kiện sau đây y *  K  x* ,    sao cho: xác định: i) E là nửa liên tục trên với giá trị compắc và K là f  x* , t * , y* ,     C (2) nửa liên tục dưới; ii) x0  K  x0 ,  0  ,  x , y ,      x0 , y0 ,  0  Vì x0  S ( 0 ) nên tồn tại t0  T  x0 ,  0  với mọi và t0 , y0  g ( x0 ,  0 )  C với mọi t0  T  x0 ,  0  và một số y0  K  x0 ,  0  sao cho y0  K  x0 ,  0  suy ra rằng tồn tại  sao cho f  x0 , t0 , y0 ,  0   C . t , y  g ( x ,   )  C với mọi t  T  x ,    và một số Do x *  , y* ,      x0 , y0 ,  0  kết hợp với giả thiết y  K  x ,    . (iv), tồn tại  sao cho tồn tại t  T  x ,    sao cho Khi đó  là nửa liên tục trên Hausdorff trên  . f  x , t , y ,     C , y  K  x ,    , Hơn nữa, ( 0 ) là tập compắc và  là đóng trên  . điều này mâu thuẩn với (2). Vì vậy, S là nửa liên tục dưới Chứng minh. trên  . Đặt f ( x, t , y,  )  t , y  g ( x ,  ) , khi đó bài toán tựa Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh S là nửa liên tục dưới cân bằng véctơ mạnh phụ thuộc tham số trở thành bài toán Hausdorff trên  . Từ chứng minh của Định lí 3.1 rằng bất đẳng thức tựa biến phân véctơ mạnh phụ thuộc tham S ( 0 ) là tập compắc. Từ Mệnh đề 2.2 (iii), ta có S là nửa số. Ta thấy rằng tất cả các giả thiết của Định lí 3.1 thỏa liên tục dưới Hausdorff trên  . Vì vậy, S là liên tục mãn. Vì vậy, áp dụng Định lí 3.1 ta có điều phải chứng Hausdorff trên  . minh. Áp dụng Định lí 3.2, chúng ta cũng nhận được định lí sau. 4. Ứng dụng cho bài toán bất đẳng thức tựa biến phân Định lí 4.2. Cho X , Y , Z và P là các không gian véctơ Vì bài toán tựa cân bằng chứa nhiều bài toán liên quan đến tối ưu như: Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân, bài tôpô Hausdorff A , B và  là các tập con lồi khác rỗng toán tối ưu, bài toán điểm bất động, … Trong mục này của X , Y và P tương ứng và C  Z là các nón lồi đóng nhóm tác giả chỉ nghiên cứu cho bài toán bất đẳng thức tựa có đỉnh với phần trong khác rỗng, L( X , Y ) là không gian biến phân như là một ví dụ. Đầu tiên, nhóm tác giả nhắc lại các toán tử tuyến tính từ X vào Y . Lấy K : A  A bài toán bất đẳng thức tựa biến phân đã được nghiên cứu và T : A   B là hai ánh xạ đa trị và g : A    A là trong Anh và Hung [2]. hàm véctơ, t , x biểu thị giá trị tuyến tính t  L( X , Y ) tại Lấy X , Y , Z , P, A, B, C, , K , T như trong Mục 2, và L( X , Y ) là không gian các toán tử tuyến tính từ X vào Y x  X . Giả sử rằng tất cả các giả thiết trong Định lí 4.1 thỏa mãn và bổ sung thêm các điều kiện sau đây: và g : A    A là hàm véctơ, t , x biểu thị giá trị tuyến iii) E là nửa liên tục dưới; tính t  L( X , Y ) tại x  X . Với mỗi    , chúng ta xét iv) x0  K  x0 ,  0  ,  x , y ,      x0 , y0 ,  0  và tồn bài toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ mạnh phụ thuộc tham số sau đây: tại t0  T  x0 ,  0  sao cho t0 , y0  g ( x0 ,  0 )  C với mọi
  4. ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 18, NO. 3, 2020 77 y0  K  x0 ,  0  suy ra rằng tồn tại  sao cho tồn tại problems”, Journal of Industrial & Management Optimization, 14 (2018), 65-79. t  T  x ,    sao cho t , y  g ( x ,   )  C với mọi [3] Hung N.V, “On the stability of the solution mapping for parametric traffic network problems”, Indagationes Mathematicae, 29(2018), y  K  x ,    . 885-894. [4] Hung N.V., Tam V.M., Tuan N.H., O’Regan. D, “Regularized gap Khi đó  là liên tục Hausdorff trên  . functions and error bounds for generalized mixed weak vector quasivariational inequality problems in fuzzy environments”, Fuzzy 5. Kết luận Sets and Systems, (2019), online first. https://doi.org/10.1016/j.fss.2019.09.015 Trong nghiên cứu này, nhóm tác giả đã thiết lập tính ổn [5] Hung N.V., Tam V.M., Tuan N.H., O’Regan. D, “Convergence định của ánh xạ nghiệm cho bài toán tựa cân bằng véctơ analysis of solution sets for fuzzy optimization problems”, Journal mạnh phụ thuộc tham số (Định lí 3.1 và Định lí 3.2) và bài of Computational and Applied Mathematics, (2019), online first. toán bất đẳng thức tựa biến phân véctơ mạnh phụ thuộc tham https://doi.org/10.1016/j.cam.2019.112615 số (Định lí 4.1 và Định lí 4.2). Các kết quả nhận được là mới [6] Hung N.V., O’Regan. D, “Bilevel equilibrium problems with lower và hoàn toàn khác với các kết quả trong Anh và Hung [2]. and upper bounds in locally convex Hausdorff topological vector spaces”, Topology and its Applications 269 (2020), 1-13. [7] Kien B.T, “On the lower semicontinuity of optimal solution sets”, TÀI LIỆU THAM KHẢO Optimization., 54 (2005), 123-130. [1] Blum, E., Oettli, W, “From optimization and variational inequalities [8] Lalitha C. S., Bhatia G, “Stability of parametric quasivariational to equilibrium problems”. Mathematics Student-India, 63 (1994), inequality of the Minty type”, Journal of Optimization Theory and 123-145. Applications. 148 (2011), 281-300. [2] Anh L.Q., Hung N.V, “Gap functions and Hausdorff continuity of [9] Aubin J. P., Ekeland I, Applied Nonlinear Analysis, John Wiley and solution mappings to parametric strong vector quasiequilibrium Sons, New York, 1984. (BBT nhận bài: 13/11/2019, hoàn tất thủ tục phản biện: 02/3/2020)
nguon tai.lieu . vn
Toán học Môi trường Vật lý Sinh học Địa Lý Hoá học Nông - Lâm - Ngư Cơ khí - Chế tạo máy Tiếng Anh phổ thông Khoa học ứng dụng Nông - Lâm Kiến thức tổng hợp Giáo dục học Xã hội học