1. Trang Chủ
  2. Toán học
  3. Tính liên tục Holder của ánh xạ nghiệm bài toán cực tiểu hóa có điều kiện

Tính liên tục Holder của ánh xạ nghiệm bài toán cực tiểu hóa có điều kiện

Bài viết cải tiến các kết quả trong các tác giả Li and Li (2014) và Anh et al. (2015). Cụ thể là, chúng tôi muốn giảm nhẹ các điều kiện về tính lồi/lõm trong các kết quả trên mà vẫn đạt được tính liên tục Hölder/Lipschitz của ánh xạ nghiệm bài toán cực tiểu hóa có điều kiện. Nhiều ví dụ cũng được đưa ra để minh họa cho các kết quả chính của chúng tôi là mới và khác với các kết quả trước đây. Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 11 - 2021 TÍNH LIÊN TỤC H𝐎̈LD

Thể loại Tài liệu miễn phí Toán học

Số trang 10

Ngày tạo 5/20/2021 10:09:25 PM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 0.52 M

Tên tệp

Tải Tính liên tục Holder của ánh xạ nghiệm bài toán cự... (.pdf)

Xem mẫu

  1. Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 11 - 2021 TÍNH LIÊN TỤC H𝐎̈LDER CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM BÀI TOÁN CỰC TIỂU HÓA CÓ ĐIỀU KIỆN Nguyễn Hữu Danh1* và Trần Ngọc Tâm2 1 Khoa Cơ bản, Trường Đại học Tây Đô 2 Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Cần Thơ (*Email: nhdanh@tdu.edu.vn) Ngày nhận: 17/12/2020 Ngày phản biện: 11/01/2021 Ngày duyệt đăng: 25/02/2021 TÓM TẮT Trong nghiên cứu này, chúng tôi quan tâm đến bài toán cực tiểu hóa có điều kiện dưới sự nhiễu của cả hàm mục tiêu và các ràng buộc. Với các giả thiết về tính tựa lồi mạnh, tính liên tục Hölder của hàm mục tiêu cùng với tính liên tục Hölder của ánh xạ ràng buộc, các điều kiện đủ cho sự ổn định theo nghĩa liên tục Hölder/Lipschitz của ánh xạ nghiệm các bài toán trên được thiết lập. Mục đích nghiên cứu của chúng tôi là tiếp tục cải tiến các kết quả trong các tác giả Li and Li (2014) và Anh et al. (2015). Cụ thể là, chúng tôi muốn giảm nhẹ các điều kiện về tính lồi/lõm trong các kết quả trên mà vẫn đạt được tính liên tục Hölder/Lipschitz của ánh xạ nghiệm bài toán cực tiểu hóa có điều kiện. Nhiều ví dụ cũng được đưa ra để minh họa cho các kết quả chính của chúng tôi là mới và khác với các kết quả trước đây. Từ khóa: Bài toán cực tiểu hóa có điều kiện, liên tục Hölder, liên tục Lipschitz, tính tựa lồi mạnh Trích dẫn: Nguyễn Hữu Danh và Trần Ngọc Tâm, 2021. Tính liên tục Hölder của ánh xạ nghiệm bài toán cực tiểu hóa có điều kiện. Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô. 11: 117-126. *Ths. Nguyễn Hữu Danh – Giảng viên Khoa Cơ bản, Trường Đại học Tây Đô 117
  2. Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 11 - 2021 1. GIỚI THIỆU Khanh (2009) đã thu được tính liên tục Phân tích sự ổn định của tập nghiệm Hölder của ánh xạ nghiệm của bài toán của các bài toán liên quan đến tối ưu là cân bằng vô hướng. Các tác giả trong Li một chủ đề quan trọng và thú vị trong lý et al. (2013) và Anh et al. (2015) đã thay thuyết tối ưu và ứng dụng. Nó có ý nghĩa thế các giả thiết liên quan đến tính đơn trong việc xây dựng mô hình, các đặc điệu mạnh và tính giả đơn điệu mạnh trưng tối ưu, và đối với các giải thuật số. bằng tính lồi mạnh để thiết lập các điều Cho đến nay, hầu hết các kết quả ổn định kiện đủ cho sự liên tục Hölder của ánh xạ nghiệm bao gồm tính ổn định định tính nghiệm của các bài toán cân bằng vô như tính đóng, sự hội tụ, tính nửa liên hướng; và với cùng ý tưởng, trường hợp tục/liên tục theo nghĩa Berge hoặc vectơ được nghiên cứu trong Anh et al. Hausdorff (Li et al., 2015; Khan et al., (2018). Trong Li et al. (2009) và Li et al. 2015; Li et al., 2016; Khushboo and (2011), để đạt được tính liên tục Hölder, Lalitha, 2018; Kapoor and Lalitha, các tác giả đã sử dụng các giả thiết liên 2019,… và các tài liệu tham khảo trong quan đến tập nghiệm, điều này rất khó áp đó), và tính ổn định định lượng như tính dụng cho các bài toán thực tế. liên tục Hölder/Lipschitz, tính khả vi, tính Từ những quan sát trên, trong bài báo dưới vi phân của tập nghiệm (Guo et al., này, chúng tôi đưa ra mục tiêu nghiên cứu 2012; Eichfelder and Ha, 2013; Gfrerer, về tính liên tục Hölder của ánh xạ nghiệm 2013, 2014; Li and Li, 2014; Gfrerer and cho bài toán cực tiểu hóa có điều kiện. Klatte, 2015,… và các tài liệu tham khảo Các giả thiết chính của bài báo này là một trong đó). Bằng cách sử dụng các giả thiết sự cải tiến so với các giả thiết tương ứng liên quan đến tính lồi mạnh và tính liên đã được sử dụng trong các bài báo trước tục Lipschitz của hàm mục tiêu, Li and Li đây. Dựa trên một lớp hàm tựa lồi mạnh, (2014) đã đạt được tính liên tục Hölder chúng tôi thiết lập tính liên tục Hölder của của ánh xạ nghiệm bài toán cực tiểu hóa nghiệm cho bài toán cực tiểu hóa có điều có điều kiện. kiện. Chúng tôi cũng đưa ra một ví dụ để Gần đây, tính liên tục Hölder của ánh minh họa rằng các kết quả chính của xạ nghiệm của bài toán cân bằng đã được chúng tôi có thể áp dụng được nhưng các nghiên cứu và nhận được nhiều sự quan kết quả trước đó thì không. Ngoài ra tâm của nhiều nhà nghiên cứu (Anh and chúng tôi còn cung cấp một phản ví dụ để Khanh, 2009; Li et al., 2009; Li et al., chỉ ra sự thiết yếu của các giả thiết. 2011; Li et al., 2013; Chen et al., 2013; Phần còn lại của bài báo được trình bày Anh et al., 2015; Anh et al., 2018). Ta như sau. Mục 2 giới thiệu bài toán cực thấy rằng các giả thiết liên quan đến tính tiểu hóa có điều kiện và nhắc lại các khái đơn điệu mạnh, giả đơn điệu mạnh hoặc niệm cần thiết cho phần sau. Trong Mục lồi mạnh đóng vai trò quan trọng trong 3, chúng tôi thiết lập các điều kiện đủ cho các bài báo được đề cập. Bằng các giả tính liên tục Hölder của ánh xạ nghiệm thiết về tính đơn điệu mạnh, Anh and 118
  3. Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 11 - 2021 bài toán đã nêu. Cuối cùng, Mục 4 là phần (a) một hàm 𝑔: 𝑋 → ℝ là 𝑛. 𝛾-liên tục kết luận. Hölder tại 𝑥̅ ∈ 𝑋 nếu tồn tại một lân cận 2. MỞ ĐẦU 𝑈 của 𝑥̅ sao cho, với mọi 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑈, Cho 𝑋, 𝑌, 𝑍 là các không gian định |𝑔(𝑥1 ) − 𝑔(𝑥2 )| ≤ 𝑛 ∥ 𝑥1 , −𝑥2 ∥𝛾 ; chuẩn, và 𝐴 ⊂ 𝑋, Λ ⊂ 𝑌, 𝑀 ⊂ 𝑍 là các (b) một ánh xạ đa trị 𝐾: Λ ⇉ 𝑋 là 𝑛. 𝛾- tập con khác rỗng. Cho 𝐾: Λ ⇉ 𝐴 là ánh liên tục Hölder tại 𝜆̅ ∈ Λ nếu và chỉ nếu xạ đa trị có giá trị lồi, khác rỗng và 𝑓: 𝐴 × tồn tại một lân cận 𝑁 của 𝜆̅ sao cho, với 𝑀 → ℝ. Ta xét bài toán cực tiểu hóa có mọi 𝜆1 , 𝜆2 ∈ 𝑁, điều kiện phụ thuộc tham số (𝜆, 𝑝) ∈ Λ × 𝑀 sau đây: 𝐾(𝜆1 ) ⊂ 𝐾(𝜆2 ) + 𝑛𝔹(0, ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥𝛾 ). (CMP) min 𝑓(𝑥, 𝑝). Nếu 𝛾 = 1, thì tính liên tục Hölder 𝑥∈𝐾(𝜆) được gọi là liên tục Lipschitz. Với mỗi (𝜆, 𝑝) ∈ Λ × 𝑀, ta ký hiệu tập nghiệm của (CMP) là Ta nói rằng một tính chất nào đó được thỏa mãn trên một tập con 𝐵 ⊂ 𝑋 nếu và 𝑆(𝜆, 𝑝): = {𝑥̅ ∈ 𝐾(𝜆)|𝑓(𝑦, 𝑝) − 𝑓(𝑥̅ , 𝑝) chỉ nếu nó thỏa mãn tại mọi điểm của 𝐵. ≥ 0, ∀𝑦 ∈ 𝐾(𝜆)}. Định nghĩa 2.2 Xét 𝑔: 𝑋 → ℝ, 𝐵 ⊂ 𝑋, Trong bài báo này, ta sử dụng ký hiệu và ℎ, 𝛽 là các số dương. Ta nói rằng ∥⋅∥ cho chuẩn trong không gian định chuẩn bất kỳ. Ký hiệu ℝ+ là tập hợp các (a) 𝑔 là ℎ. 𝛽-lồi mạnh trên một tập con số thực không âm và 𝔹(𝑥, 𝑟) là quả cầu lồi 𝐵 nếu và chỉ nếu, với mọi 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐵 đóng bán kính 𝑟 ≥ 0 có tâm tại 𝑥. và 𝑡 ∈ (0,1), conv(𝐴) ký hiệu cho bao lồi của tập 𝐴 ⊂ 𝑔((1 − 𝑡)𝑥1 + 𝑡𝑥2 ) 𝑋. Với hai tập 𝐴, 𝐵 ⊂ 𝑋, ta sử dụng khái ≤ (1 − 𝑡)𝑔(𝑥1 ) + 𝑡𝑔(𝑥2 ) niệm khoảng cách sau − ℎ𝑡(1 − 𝑡) ∥ 𝑥1 − 𝑥2 ∥𝛽 . 𝜌(𝐴, 𝐵): = sup ∥ 𝑎 − 𝑏 ∥. (b) 𝑔 là ℎ. 𝛽-tựa lồi mạnh trên một tập 𝑎∈𝐴,𝑏∈𝐵 con lồi 𝐵 nếu và chỉ nếu, với mọi 𝑥1 , 𝑥2 ∈ Chú ý rằng 𝜌(𝐴, 𝐵) = +∞ khi 𝐴 hoặc 𝐵 và 𝑡 ∈ (0,1), 𝐵 không bị chặn. Ta nhắc lại một số khái niệm cần thiết trong phần tiếp theo. 𝑔((1 − 𝑡)𝑥1 + 𝑡𝑥2 ) ≤ max{𝑔(𝑥1 ), 𝑔(𝑥2 )} Định nghĩa 2.1 Cho 𝑛, 𝛾 > 0. Ta nói − ℎ𝑡(1 − 𝑡) ∥ 𝑥1 − 𝑥2 ∥𝛽 . rằng (c) 𝑔 là ℎ. 𝛽-giống lồi mạnh trên 𝐵 (𝐵 không cần thiết phải lồi) nếu và chỉ nếu, 119
  4. Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 11 - 2021 với mọi 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐵 và 𝑡 ∈ (0,1), tồn tại giả thiết rằng các tập nghiệm là khác rỗng 𝑧 ∈ 𝐵 sao cho, trong một lân cận của điểm đang xét. 𝑔(𝑧) ≤ (1 − 𝑡)𝑔(𝑥1 ) + 𝑡𝑔(𝑥2 ) − ℎ𝑡(1 Định lý 3.1 Xét (CMP), giả sử rằng − 𝑡) ∥ 𝑥1 − 𝑥2 ∥𝛽 . tập nghiệm của (CMP) tồn tại trong lân cận 𝑁 × 𝑈 của điểm (𝜆̅, 𝑝̅ ) ∈ Λ × 𝑀. Giả (d) 𝑔 là ℎ. 𝛽-tựa giống lồi mạnh trên sử thêm rằng 𝐵 (𝐵 không cần thiết phải lồi) nếu và chỉ nếu, với mọi 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐵 và 𝑡 ∈ (0,1), tồn (i) 𝐾 là ℓ. 𝛼-liên tục Hölder trên một tại 𝑧 ∈ 𝐵 sao cho, lân cận 𝑁 của 𝜆̅; 𝑔(𝑧) ≤ max{𝑔(𝑥1 ), 𝑔(𝑥2 )} − ℎ𝑡(1 − 𝑡) (ii) với mỗi 𝑝 ∈ 𝑈, 𝑓(⋅, 𝑝) là 𝑚. 𝛿-liên ∥ 𝑥1 − 𝑥2 ∥𝛽 . tục Hölder cũng như ℎ. 𝛽-tựa lồi mạnh trên conv(𝐾(𝑁)); Chú ý 2.1 Dễ thấy rằng tính lồi mạnh (giống lồi mạnh) suy ra tính tựa lồi mạnh (iii) với mỗi 𝑥 ∈ 𝐾(𝑁), 𝑓(𝑥,⋅) là 𝑛. 𝛾- (tựa giống lồi mạnh). Ví dụ sau đây chỉ ra liên tục Hölder trên 𝑈. chiều ngược lại không đúng. Khi đó, trên 𝑁 × 𝑈, ánh xạ nghiệm 𝑆 Ví dụ 2.1 Cho 𝑔: ℝ → ℝ được xác là đơn trị và thỏa mãn điều kiện Hölder định bởi 𝑔(𝑥) = −𝑥 2 − 2𝑥 với mọi 𝑥 ∈ sau: với mọi (𝜆1 , 𝑝1 ), (𝜆2 , 𝑝2 ) ∈ 𝑁 × 𝑈, [0,1]. Khi đó, 𝑔 là 1.2-tựa lồi mạnh trên 1 [0,1] nhưng, nó không những không lồi 4𝑚ℓ𝛿 𝛽 mạnh mà còn không lồi trên [0,1]. 𝜌(𝑆(𝜆1 , 𝑝1 ), 𝑆(𝜆2 , 𝑝2 )) ≤ ( 𝛿 ) 2 ℎ 1 Ta nói rằng 𝑔 là ℎ. 𝛽-tựa lõm mạnh 𝛼𝛿 8𝑛 𝛽 (giống tựa lõm mạnh) trên 𝐵 nếu −𝑔 là ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥𝛽 + ( ) ℎ ℎ. 𝛽- tựa lồi mạnh (giống tựa lồi mạnh) 𝛾 trên 𝐵. ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥ . 𝛽 Chứng minh. Ta chia nội dung chứng 3. TÍNH LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM minh thành ba bước. Trong mục này, chúng tôi phát biểu Bước 1. Xét 𝑥11 ∈ 𝑆(𝜆1 , 𝑝1 ) và 𝑥21 ∈ các kết quả chính của bài báo. Cụ thể, các 𝑆(𝜆2 , 𝑝1 ) tùy ý. Ta chứng minh rằng điều kiện đủ cho tính liên tục Hölder của 1 𝛼𝛿 các ánh xạ nghiệm đối với các bài toán 4𝑚ℓ𝛿 𝛽 ∥ 𝑥11 − 𝑥21 ∥≤ ( ) ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥ 𝛽 . (1) 2𝛿 ℎ cực tiểu hóa có điều kiện phụ thuộc tham số được thiết lập. Vì sự tồn tại của các tập Từ tính liên tục Hölder của 𝐾, tồn tại nghiệm đã được nghiên cứu nhiều, chúng 𝑥1 ∈ 𝐾(𝜆1 ) và 𝑥2 ∈ 𝐾(𝜆2 ) sao cho tôi không nghiên cứu về sự tồn tại và luôn 120
  5. Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 11 - 2021 ∥ 𝑥11 − 𝑥2 ∥≤ ℓ ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥𝛼 , ∥ 𝑥21 − 𝑚 𝛼𝛿 𝑚ℓ𝛿 𝑥1 ∥≤ ℓ ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥𝛼 . ≤ ( ℓ ∥ 𝜆1 − 𝜆 2 ∥) = (2) 2𝛿 2𝛿 𝛼𝛿 𝑥1 +𝑥11 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥ , Vì 𝐾 có giá trị lồi, ta có ∈ 𝐾(𝜆1 ) 2 𝑥2 +𝑥21 suy ra và ∈ 𝐾(𝜆2 ). Theo định nghĩa của 2 1 tập nghiệm, ta có, 4𝑚ℓ𝛿 𝛽 ∥ 𝑥11 − 𝑥21 ∥≤ ( ) ∥ 𝜆1 − 2𝛿 ℎ 𝑥1 +𝑥11 𝑓( , 𝑝1 ) − 𝑓 (𝑥11 , 𝑝1 ) ≥ 0 và 𝛼𝛿 2 𝜆2 ∥ .𝛽 (5) 𝑥2 +𝑥21 𝑓( , 𝑝1 ) − 𝑓(𝑥21 , 𝑝1 ) ≥ 0. (3) Trường hợp 2: 2 max{𝑓(𝑥11 , 𝑝1 ), 𝑓(𝑥21 , 𝑝1 )} = Sử dụng giả thiết tựa lồi mạnh trong 𝑓(𝑥21 , 𝑝1 ), khi đó (4) suy ra (ii), ta có ℎ 𝑓( 𝑥11 +𝑥21 , 𝑝1 ) ≤ ∥ 𝑥11 − 𝑥21 ∥𝛽 2 4 ℎ ≤ 𝑓(𝑥21 , 𝑝1 ) max{𝑓(𝑥11 , 𝑝1 ), 𝑓(𝑥21 , 𝑝1 )} − ∥ 𝑥11 − 𝑥11 + 𝑥21 4 𝑥21 ∥ .𝛽 (4) −𝑓( , 𝑝1 ) 2 Trường hợp 1: 𝑥11 + 𝑥21 ≤ 𝑓(𝑥21 , 𝑝1 ) − 𝑓 ( , 𝑝1 ) max{𝑓(𝑥11 , 𝑝1 ), 𝑓(𝑥21 , 𝑝1 )} = 2 𝑓(𝑥11 , 𝑝1 ), khi đó (4) suy ra 𝑥2 + 𝑥21 +𝑓( , 𝑝1 ) 2 ℎ − 𝑓(𝑥21 , 𝑝1 ) ∥ 𝑥11 − 𝑥21 ∥𝛽 4 ≤ 𝑓 (𝑥11 , 𝑝1 ) 𝑥2 + 𝑥21 𝑥11 + 𝑥21 𝛿 𝑚 ≤𝑚∥ − ∥ = 𝛿 𝑥11 + 𝑥21 2 2 2 −𝑓( , 𝑝1 ) ∥ 𝑥2 − 𝑥11 ∥𝛿 2 𝑥11 + 𝑥21 𝑚 𝑚ℓ𝛿 ≤ 𝑓(𝑥11 , 𝑝1 ) − 𝑓 ( , 𝑝1 ) ( ≤ 𝛿 ℓ ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥) 𝛼𝛿 = 𝛿 2 2 2 𝑥1 + 𝑥11 ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥𝛼𝛿 , +𝑓( , 𝑝1 ) 2 − 𝑓(𝑥11 , 𝑝1 ) suy ra 1 𝑥1 + 𝑥11 𝑥11 + 𝑥21 𝛿 𝑚 4𝑚ℓ𝛿 𝛽 ≤𝑚∥ − ∥ = 𝛿 ∥ 𝑥11 − 𝑥21 ∥≤ ( ) ∥ 𝜆1 − 2 2 2 2𝛿 ℎ 𝛿 𝛼𝛿 ∥ 𝑥1 − 𝑥21 ∥ 𝜆2 ∥ .𝛽 (6) 121
  6. Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 11 - 2021 Từ (5) và (6), ta được bất đẳng thức 𝑥21 + 𝑥22 +𝑓 ( , 𝑝2 ) − 𝑓(𝑥22 , 𝑝2 ) (1). 2 Bước 2. Với mọi 𝑥21 ∈ 𝑆(𝜆2 , 𝑝1 ) và ≤ 𝑛 ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛾 + 𝑛 ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛾 = 2𝑛 𝑥22 ∈ 𝑆(𝜆2 , 𝑝2 ), ta có 𝑓(𝑥22 , 𝑝1 ) − ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛾 , 𝑓(𝑥21 , 𝑝1 ) ≥ 0 và 𝑓(𝑥21 , 𝑝2 ) − suy ra 𝑓(𝑥22 , 𝑝2 ) ≥ 0. Ta chứng minh rằng 1 𝛾 1 8𝑛 𝛽 8𝑛 𝛽 𝛾 ∥ 𝑥21 − 𝑥22 ∥≤ ( ) ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛽 . (10) ℎ ∥ 𝑥21 − 𝑥22 ∥≤ ( ) ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥ . (7) 𝛽 ℎ 𝑥21 +𝑥22 Trường hợp 2: Vì 𝐾 có giá trị lồi, ta có ∈ max{𝑓(𝑥21 , 𝑝2 ), 𝑓(𝑥22 , 𝑝2 )} = 2 𝐾(𝜆2 ). Theo định nghĩa của tập nghiệm, 𝑓(𝑥22 , 𝑝2 ), khi đó (9) suy ra ta có ℎ 𝑥21 +𝑥22 ∥ 𝑥21 − 𝑥22 ∥𝛽 𝑓( , 𝑝2 ) − 𝑓(𝑥22 , 𝑝2 ) ≥ 0 4 2 ≤ 𝑓(𝑥22 , 𝑝2 ) 𝑥21 +𝑥22 và 𝑓 ( , 𝑝1 ) − 𝑓(𝑥21 , 𝑝1 ) ≥ 0. (8) 𝑥21 + 𝑥22 2 −𝑓( , 𝑝2 ) 2 Sử dụng tính tựa lồi mạnh trong (ii), ta 𝑥21 + 𝑥22 có ≤ 𝑓(𝑥22 , 𝑝2 ) − 𝑓 ( , 𝑝2 ) 2 𝑥21 +𝑥22 + 𝑓(𝑥21 , 𝑝2 ) − 𝑓(𝑥22 , 𝑝2 ) 𝑓( , 𝑝2 ) ≤ 2 max{𝑓(𝑥21 , 𝑝2 ), 𝑓(𝑥22 , 𝑝2 )} − ∥ 𝑥21 − ℎ 𝑥21 + 𝑥22 4 +𝑓 ( , 𝑝1 ) − 𝑓(𝑥21 , 𝑝1 ) 2 𝑥22 ∥𝛽 . (9) ≤ 𝑛 ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛾 + 𝑛 ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛾 = 2𝑛 Trường hợp 1: ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛾 , max{𝑓(𝑥21 , 𝑝2 ), 𝑓(𝑥22 , 𝑝2 )} = 𝑓(𝑥21 , 𝑝2 ), khi đó (9) suy ra suy ra 1 ℎ 8𝑛 𝛽 𝛾 ∥ 𝑥21 − 𝑥22 ∥𝛽 ∥ 𝑥21 − 𝑥22 ∥≤ ( ) ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛽 . (11) 4 ℎ ≤ 𝑓(𝑥21 , 𝑝2 ) Từ (10) và (11), (7) được chứng minh. 𝑥21 + 𝑥22 −𝑓( , 𝑝2 ) 2 Bước 3. Với mọi 𝑥11 ∈ 𝑆(𝜆1 , 𝑝1 ) và 𝑥21 + 𝑥22 𝑥22 ∈ 𝑆(𝜆2 , 𝑝2 ), từ (1) và (7), ta có ≤ 𝑓(𝑥21 , 𝑝2 ) − 𝑓 ( , 𝑝2 ) 2 ∥ 𝑥11 − 𝑥22 ∥≤∥ 𝑥11 − 𝑥21 ∥ + + 𝑓(𝑥22 , 𝑝1 ) − 𝑓(𝑥21 , 𝑝1 ) ∥ 𝑥21 − 𝑥22 ∥, 122
  7. Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 11 - 2021 suy ra thiết của Định lý 3.1 đều thỏa mãn với 1 𝑙 = 1, 𝛼 = 1, ℎ = 2, 𝛽 = 1, 𝑚 = 2, 𝛿 = 𝛿 𝛽 1, 𝑛 = 2, 𝛾 = 1. Tập nghiệm là 𝑆(𝜆, 𝑝) = 4𝑚ℓ 𝜌(𝑆(𝜆1 , 𝑝1 ), 𝑆(𝜆2 , 𝑝2 )) ≤ ( ) {0} liên tục Hölder với mọi (𝜆, 𝑝). 2𝛿 ℎ 1 Rõ ràng điều kiện lồi mạnh của 𝑓 𝛼𝛿 8𝑛 𝛽 𝛾 không được thỏa mãn. Nghĩa là, các kết ∥ 𝜆1 − 𝜆2 ∥𝛽 + ( ) ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛽 . ℎ quả trong Li and Li (2014) và Anh et al. Đặt 𝜆2 = 𝜆1 và 𝑝2 = 𝑝1 trong bất đẳng (2015) không áp dụng được. thức trên, ta thấy rằng đường kính của Ví dụ tiếp theo chỉ ra rằng các giả thiết 𝑆(𝜆1 , 𝑝1 ) bằng 0 với (𝜆1 , 𝑝1 ) tùy ý, nghĩa trong Định lý 3.1 là thiết yếu. là, ánh xạ nghiệm 𝑆 là đơn trị trên 𝑁 × 𝑈. Định lý 3.1 đã được chứng minh. ∎ Ví dụ 3.2 (tính tựa lồi mạnh là quan trọng) Cho 𝑋 = 𝐴 = ℝ, Λ = 𝑀 = [0,1], Chú ý 3.1 Định lý 3.1 đã cải thiện 𝐾(𝜆) = [𝜆, 2], (𝜆̅, 𝑝̅ ) = (0,0), và Định lý 3.3 trong Li and Li (2014) và Hệ 2 2 𝑓(𝑥, 𝑝) = 𝑝 (−𝑥 ). Khi đó, giả thiết (i) quả 4.1 trong Anh et al. (2015) theo hai thỏa mãn với 𝑙 = 1, 𝛼 = 1, và tính liên phương diện sau: tục Hölder trong (ii) được thỏa mãn với 1. Tính lồi mạnh của hàm mục tiêu 𝑓 𝑚 = 4, 𝛿 = 1. Giả thiết (iii) thỏa mãn với trong thành phần thứ nhất được giảm nhẹ 𝑛 = 8, 𝛾 = 1. Tập nghiệm là thành tựa lồi mạnh. Ta biết rằng tính lồi [0,2], 𝑝 = 0, mạnh là một điều kiện nặng và do đó điều 𝑆(𝜆, 𝑝) = { {2}, 𝑝 ≠ 0. kiện này khó áp dụng trong các tình huống thực tế. Vì vậy, sự giảm nhẹ này là Do đó, 𝑆(0,0) là không đơn phần tử và rất có ý nghĩa. thậm chí 𝑆 không nửa liên tục dưới tại (𝜆̅, 𝑝̅ ) = (0,0). Nguyên nhân là tính tựa 2. Tính chất Lipschitz của hàm mục lồi mạnh của 𝑓 trong (ii) bị vi phạm. tiêu 𝑓 trong thành phần thứ hai được tổng quát lên thành tính liên tục Hölder. Trong trường hợp đặc biệt khi 𝐾(𝜆) ≡ 𝐾 (𝐾 là một tập khác rỗng), thì tính tựa Ví dụ sau đây chỉ ra trường hợp Định lồi mạnh trong giả thiết (ii) của Định lý lý 3.1 có thể áp dụng được trong khi các 3.1 có thể được giảm xuống thành giống kết quả trong Li and Li (2014) và Anh et tựa lồi mạnh, và chúng ta thu được kết al. (2015) thì không. quả sau. Ví dụ 3.1 Cho 𝑋 = 𝐴 = ℝ, Λ = 𝑀 = Định lý 3.2 Xét (CMP) với 𝐾(𝜆) ≡ 𝐾, [0,1], 𝐾(𝜆) = [0, 𝜆], và 𝑓(𝑥, 𝑝) = (𝑝 + giả sử tập nghiệm tồn tại trong lân cận 𝑈 1)𝑥. Khi đó, ta thấy rằng tất cả các giả 123
  8. Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 11 - 2021 1 của điểm 𝑝̅ ∈ 𝑀. Giả sử thêm rằng các 8𝑛 𝛽 𝛾 điều kiện sau được thỏa mãn ∥ 𝑥21 − 𝑥22 ∥≤ ( ) ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛽 . (14) ℎ (i) với mỗi 𝑝 ∈ 𝑈, 𝑓(⋅, 𝑝) là ℎ. 𝛽- Trường hợp 2: giống tựa lồi mạnh trên conv(𝐾); max{𝑓(𝑥1 , 𝑝1 ), 𝑓(𝑥2 , 𝑝1 )} = 𝑓(𝑥2 , 𝑝1 ), khi đó (13) suy ra (ii) với mỗi 𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓(𝑥,⋅) là 𝑛. 𝛾-liên tục Hölder trên 𝑈. ℎ ∥ 𝑥1 − 𝑥2 ∥𝛽 ≤ 𝑓(𝑥2 , 𝑝1 ) − 𝑓(𝑧̅, 𝑝1 ) 4 Khi đó, trên 𝑈, ánh xạ nghiệm 𝑆 là đơn trị và thỏa mãn điều kiện Hölder sau: với ≤ 𝑓(𝑥2 , 𝑝1 ) − 𝑓(𝑧̅, 𝑝1 ) + 𝑓(𝑧̅, 𝑝1 ) mọi 𝑝1 , 𝑝2 ∈ 𝑈, 𝜌(𝑆(𝑝1 ), 𝑆(𝑝2 )) ≤ − 𝑓(𝑥1 , 𝑝1 ) + 𝑓(𝑥1 , 𝑝2 ) 1 𝛾 − 𝑓(𝑥2 , 𝑝2 ) 4𝑛 𝛽−1 ( ) ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛽−1 . ℎ ≤ 𝑛 ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛾 + 𝑛 ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛾 = 2𝑛 Chứng minh. Với mọi 𝑥1 ∈ 𝑆(𝑝1 ) và ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛾 , 𝑥2 ∈ 𝑆(𝑝2 ), ta có suy ra 𝑓(𝑥2 , 𝑝1 ) − 𝑓(𝑥1 , 𝑝1 ) ≥ 0, 𝑓(𝑥1 , 𝑝2 ) − 1 𝛾 8𝑛 𝛽 𝑓(𝑥2 , 𝑝2 ) ≥ 0. (12) ∥ 𝑥21 − 𝑥22 ∥≤ ( ) ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥ . (15) 𝛽 ℎ Theo tính giống tựa lồi mạnh của 𝑓 Do đó trên 𝐾, tồn tại 𝑧̅ ∈ 𝐾 sao cho 1 8𝑛 𝛽 𝛾 𝑓(𝑧̅, 𝑝1 ) ≤ max{𝑓(𝑥1 , 𝑝1 ), 𝑓(𝑥2 , 𝑝1 } − 𝜌(𝑆(𝑝1 ), 𝑆(𝑝2 )) ≤ ( ) ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛽 . ℎ ℎ ∥ 𝑥1 − 𝑥2 ∥𝛽 . (13) 4 Đặt 𝑝2 = 𝑝1 trong bất đẳng thức ở trên, Trường hợp 1: khi đó đường kính của 𝑆(𝑝1 ) bằng 0 với max{𝑓(𝑥1 , 𝑝1 ), 𝑓(𝑥2 , 𝑝1 )} = 𝑓(𝑥1 , 𝑝1 ), 𝑝1 tùy ý, nghĩa là, ánh xạ nghiệm 𝑆 là đơn khi đó (13) suy ra trị trên 𝑈. ∎ ℎ 4. KẾT LUẬN ∥ 𝑥1 − 𝑥2 ∥𝛽 ≤ 𝑓(𝑥1 , 𝑝1 ) − 𝑓(𝑧̅, 𝑝1 ) 4 Trong bài báo này, bằng cách sử dụng ≤ 𝑓(𝑥1 , 𝑝1 ) − 𝑓(𝑧̅, 𝑝1 ) + 𝑓(𝑧̅, 𝑝2 ) các giả thiết về tính tựa lồi mạnh, chúng − 𝑓(𝑥2 , 𝑝2 ) + 𝑓(𝑥2 , 𝑝1 ) tôi thiết lập các điều kiện đủ cho tính liên − 𝑓(𝑥1 , 𝑝1 ) tục Hölder của ánh xạ nghiệm cho bài toán cực tiểu hóa có ràng buộc phụ thuộc ≤ 𝑛 ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛾 + 𝑛 ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛾 = 2𝑛 tham số. Chúng tôi cung cấp các ví dụ và ∥ 𝑝1 − 𝑝2 ∥𝛾 , phản ví dụ để minh họa khả năng áp dụng cũng như sự thiết yếu của các giả thiết. suy ra 124
  9. Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 11 - 2021 Các kết quả đạt được rất có ý nghĩa trong 6. Guo, L., Lin, G.H., Ye, J.J., 2012. toán học ứng dụng. Hơn nữa, chúng tôi Stability analysis for parametric tin rằng cách tiếp cận này có thể áp dụng mathematical programs with geometric cho các bài toán quan trọng khác như các constraints and its applications. SIAM bài toán quan hệ biến phân, bài toán bao Journal of Optimization. 22: 1151–1176. hàm thức biến phân,… 7. Gfrerer, H., 2013. On directional TÀI LIỆU THAM KHẢO metric subregularity and second-order 1. Anh, L.Q., Khanh, P.Q., 2009. optimality conditions for a class of Hölder continuity of the unique solution nonsmooth mathematical programs. to quasiequilibrium problems in metric SIAM Journal of Optimization. 23: 632– spaces. Journal of Optimization Theory 665. and Applications. 141: 37–54. 8. Gfrerer, H., 2014. Optimality 2. Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, conditions for disjunctive programs T.N., 2015. On Hö lder continuity of based on generalized differentiation with solution maps of parametric primal and application to mathematical programs dual Ky Fan inequalities. TOP. 23: 151– with equilibrium constraints. SIAM 167. Journal of Optimization. 24: 898–931. 3. Anh, L.Q, Duoc, P.T, Tam, T.N., 9. Gfrerer, H., Klatte, D., 2015. 2018. On Lipschitz continuity of Lipschitz and Hölder stability of solution maps to parametric vector optimization problems and generalized primal and dual equilibrium problems. equations. Mathematical Programming. Optimization. 67:1169–1182. 10. Khan, A.A., Tammer, C., 4. Chen, C.R., 2013. Hölder Zălinescu, C., 2015. Set-Valued continuity of the unique solution to Optimization: An Introduction with parametric vector quasiequilibrium Applications. Springer, Berlin. problems via nonlinear scalarization. 11. Khushboo, Lalitha, C.S., 2019. Positivity. 17: Scalarizations for a set optimization 133–150. problem using generalized oriented 5. Eichfelder, G., Ha, T.X.D., 2013. distance function. Positivity. Optimality conditions for vector 12. Li, X.B., Li, S.J., Wang, L.N., optimization problems with variable Teo, K.L., 2009. The Hölder continuity ordering structures. Optimization. 62: of solutions to generalized vector 597–627. equilibrium problems. European Journal of Operational Research. 199: 334–338. 125
  10. Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 11 - 2021 13. Li, S., Li, X., 2011. Hölder 14. Li, X., Li, S., 2014. Hölder continuity of solutions to parametric continuity of perturbed solution set for weak generalized ky fan inequality. convex optimization problems. Applied Journal of Optimization Theory and Mathematics and Computation. 232: Applications. 149: 540–553. 908–918. H𝐎̈LDER CONTINUITY OF SOLUTION MAPPINGS TO CONSTRAINED MINIMIZATION PROBLEMS Nguyen Huu Danh1* and Tran Ngoc Tam2 1 Faculty of Basic Sciences, Tay Do University 2 Faculty of Natural Sciences, Can Tho University (*Email: nhdanh@tdu.edu.vn) ABSTRACT In this paper, we are concerned a constrained minimization problem under perturbations of both objective functions and constraints. Under the key assumptions of the strong quasiconvexity, Hölder continuity of objective functions, the Hölder continuity of constrained mapping, sufficient conditions for the stability in the sense of Hölder/Lipschitz continuity of solution mappings to such problems are established. Our study aimed at improving the problem from the results of Li and Li (2014), and Anh et al. (2015). More precisely, we want to relax the strong convexity conditions in the above results to the weaker one whereas Hölder/Lipschitz continuity for solution mappings to the constrained minimization problem is also archived. Numerous examples are also given to illustrate that our main results are new and different from the ones in literature. Keywords: Constrained minimization problems, Hölder continuity, Lipschitz continuity, Strong quasiconvexity 126
nguon tai.lieu . vn
Toán học Môi trường Vật lý Sinh học Địa Lý Hoá học Nông - Lâm - Ngư Cơ khí - Chế tạo máy Tiếng Anh phổ thông Khoa học ứng dụng Nông - Lâm Kiến thức tổng hợp Giáo dục học Xã hội học