Xem mẫu
- TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI
TÌM HIỂU MỘT SỐ ỨNG DỤNG
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS. Lê Hồng Lan
Sinh viên thực hiện: Trần Văn Định
Bùi Minh Chí
Lớp: Toán ứng Dụng 60
Tóm tắt. Đề tài nghiên cứu về mô tả toán học các mạch điện thông qua các phương trình
vi phân và tìm cách giải phương trình nhận được. Công cụ chủ yếu để giải quyết bài toán
là sử dụng phép biến đổi Laplace, ứng dụng trong lĩnh vực Điện – Điện tử. Nội dung cụ
thể của đề tài là nghiên cứu mạch điện RLC có các thành phần điện trở, cuộn cảm và tụ
điện được mắc nối tiếp với nhau và nối vào một nguồn điện áp.
Từ khóa: Phép biến đổi Laplace, hàm gốc, hàm ảnh Laplace, tích chập, định luật Kirchoff
2, phương trình mạch điện.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Phương trình vi phân xuất hiện trong hầu hết các bài toán của các lĩnh vực vật lý, kỹ
thuật, kinh tế và nhiều ngành khoa học khác. Trong lĩnh vực Điện – Điện tử, các nhà khoa
học thường nghiên cứu hoạt động của các mạch điện thông qua nghiên cứu các phương
trình vi phân mô tả mạch điện. Một công cụ hiệu quả là sử dụng phép biến đổi Laplace,
một biến đổi tích phân của hàm số từ miền thời gian thực sang miền tần số phức. Đây là
phép biến đổi đặc biệt hữu ích trong giải các phương trình vi phân, những phương trình
thường xuất hiện trong các bài toán vật lý, trong phân tích mạch điện.
Liên quan đến phép biến đổi Laplace, là loại hàm gốc. Hàm f (t ) của biến thực t ,
được gọi là hàm gốc nếu thỏa mãn các điều kiện:
+ Hàm f (t ) liên tục hoặc liên tục từng khúc (có thể trừ ra một số hữu hạn điểm gián
đoạn loại 1),
+ Nhận giá trị f (t ) = 0 với t 0
t
+ Tồn tại các hằng số dương M , 0 , sao cho: | f (t ) | M e 0 , t : 0 t +. .
+
Khi đó, tích phân suy rộng: F ( p) = e− pt f (t ) d t , p = a + ib, (a 0 ) được gọi là ảnh
0
của f (t ) qua phép biến đổi Laplace.
Kỷ yếu nghiên cứu khoa học sinh viên năm 2021 282
- TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI
2. NỘI DUNG CHÍNH
Mạch RLC là một mạch điện gồm một điện trở, một cuộn cảm và một tụ điện, mắc
nối tiếp hoặc song song. R, L, C là những ký hiệu thông thường tương ứng với trở kháng,
điện cảm và điện dung. Có thể sử dụng phép biển đổi Laplace để giải phương trình vi phân
mô tả mạch RLC, một loại mạch điện phổ biến trong lý thuyết mạch:
V- điện áp nguồn (V); I- cường độ dòng điện trong mạch (A)
Phương trình mạch điện theo định luật Kirchhoff 2:
vR ( t ) + vL ( t ) + vC (t ) = v (t ) (1)
với vR ( t ) , vL ( t ) , vC ( t ) là điện áp tương ứng giữa 2 đầu của R, L và C còn v ( t ) là
điện áp nguồn biến thiên theo thời gian t.
Trong phần trình bày dưới đây, sẽ xét trường hợp trong đó mạch điện gồm R, L với
giả thiết i ( 0 ) = 0 còn R, L là các giá trị không đổi. Theo Định luật Kirchhoff 2, phương
trình mô tả loại mạch này có dạng:
di(t )
(1) L + Ri(t ) = V (t ) (2)
dt
Trường hợp 1. Xây dựng biểu thức của dòng điện i ( t ) khi v ( t ) = v0 = const.
Từ biểu thức (2), ta có:
R V ( t ) v0
i ( t ) + i (t ) = = (3)
L L L
Chuyển phương trình vi phân (3) về phương trình đại số thông qua biến đổi Laplace:
I := I ( p ) = L i ( t ) , i ( 0) = 0
L i ( t ) = pI − i ( 0 ) = pI
v v 1
L v ( t ) = 0 = 0 .
L L p
Kỷ yếu nghiên cứu khoa học sinh viên năm 2021 283
- TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI
R v 1
( 3) pI + I = 0.
L L p
v0 1
.
R v0 1 L p v0 1 1
p+ I = . → I= = . .
L L p p+
R L p
p+
R
L L
v 1 1
→ I = 0{ − }
R p p+ R
L
Sử dụng ảnh Laplace, biểu diễn của dòng diện có dạng:
v0 − t
R
i ( t ) = L I = 1 − e L .
−1
R
Trường hợp 2. Xây dựng biểu thức của dòng điện i ( t ) khi v ( t ) = v0 sin t , = const.
Từ phương trình mạch điện:
di (t )
L + Ri (t ) = V (t )
dt
R V ( t ) v0 sin t
i ( t ) + i (t ) = = (4)
L L L
Chuyển phương trình vi phân (4) về phương trình đại số:
I := I ( p ) = L i ( t )
L i ( t ) = pI − i ( 0 ) = pI ,
L sin t =
p + 2
2
R v
( 4) pI + I= 0 2
L L p + 2
v0 1
→ I ( p) = . 2 ( 5)
L R p + 2
p +
L := F2 ( p )
:= F1 ( p )
Kỷ yếu nghiên cứu khoa học sinh viên năm 2021 284
- TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI
Để tìm dòng điện i ( t ) mà ảnh là I ( p ) định bởi (5), áp dụng tính chất về tích chập:
L ( f1 * f 2 )( t ) = F1 ( p ) .F2 ( p )
v0 −1 1
i ( t ) = L−1 I = L { } L−1{ 2 }
L R p + 2
p+
L
Biến đổi Laplace ta được:
v0 − RL t
i (t ) = e sint
L
t t R
v0 − RL (t −u ) v0 − RL t (u )
= e sinu du = e e L sinu du
L 0 L 0
J
Tính tích phân J bằng phương pháp tích phân từng phần, ta có:
t R
(u )
J = e L
sinudu
0
L2 L2
R R
t
LR t
=− 2 e cost + 2 e sint + 2
L L
R + L2 2 R + L2 2 R + L2 2
Từ kết quả này, nhận được biểu thức mô tả dòng điện:
R
− t
−v0 L vR v L e L
i (t ) = cost + 2 0 2 2 sint + 02
R +L
2 2 2
R +L R + L2 2
v − t
R
= 2 0 2 2 Rsint − Lcost + L e L .
R +L
3. KẾT LUẬN
Qua việc học tập, nghiên cứu để thực hiện đề tài, chúng em đã tìm hiểu được một số
ứng dụng của phương trình vi phân, biết cách áp dụng phép biến đổi Laplace để giải phương
trình vi phân trong lý thuyết mạch điện. Lý thuyết về hàm biến phức và phép biến đổi
Laplace là một nội dung quan trọng liên quan đến phương trình vi phân. Các nội dung
nghiên cứu là rất cần thiết đối với sinh viên ngành Toán ứng dụng.
Kỷ yếu nghiên cứu khoa học sinh viên năm 2021 285
nguon tai.lieu . vn
