Xem mẫu
- TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN HỌC
TIỂU LUẬN
ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG
MÔĐUN ARTIN
Thầy giáo hướng dẫn Sinh viên thực hiện
GS.TS LÊ VĂN THUYẾT PHAN HỮU HIỆU
MSSV: 19S1011009
Huế, 6-2021
- TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN HỌC
MÔĐUN ARTIN
TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG
Thầy giáo hướng dẫn
GS.TS LÊ VĂN THUYẾT
Huế, 6-2021
- 1
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN 2
LỜI GIỚI THIỆU 3
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4
1.1 Môđun, môđun con, môđun thương . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Môđun con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Môđun thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Đồng cấu môđun, tự đồng cấu môđun . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Tích trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Tổng trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Chương 2. MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN ARTIN 12
KẾT LUẬN 19
TÀI LIỆU THAM KHẢO 20
- 2
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện tiểu luận: “Môđun Artin” cùng
với sự cố gắng, nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận được sự hướng dẫn và
giúp đỡ tận tình của Giáo sư - Tiến sĩ Lê Văn Thuyết, người đã trực tiếp
giảng dạy và hướng dẫn tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá
trình thực hiện đề tài, đồng thời tôi cũng nhận được sự giúp đỡ, động viên
của các thầy cô giáo và của các bạn sinh viên khoa Toán.
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn Giáo sư - Tiến
sĩ Lê Văn Thuyết đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình để tôi hoàn thành tốt
tiểu luận của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo
và các bạn sinh viên trong khoa đã tạo điều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thành
tiểu luận này.
Do thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế. Hơn nữa do lần đầu
tiên làm quen với việc làm tiểu luận nên không tránh khỏi những thiếu
sót. Rất mong được sự góp ý của quý thầy giáo, cô giáo và các bạn. Xin
chân thành cám ơn!
Thừa Thiên Huế, tháng 06 năm 2021
Người thực hiện.
- 3
LỜI GIỚI THIỆU
Trong sự phát triển của toán học hiện đại, Đại số là môn học quan
trọng, là cơ sở tiên đề cho sự phát triển của đại số hiện đại. Ngày nay nhu
cầu học hỏi toán học nói chung và môn Đại số nói riêng của sinh viên khoa
Toán ngày càng tăng. Để đi sâu nghiên cứu môn Đại số thì cần có sự hiểu
biết một cách sâu sắc về cấu trúc đại số.
Trong đó một trong các đối tượng chủ yếu của Đại số là cấu trúc môđun.
Vì vậy trong tiểu luận này tôi tập trung trình bày về "Môđun Artin"
với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn Đại số.
Nội dung tiểu luận gồm hai chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Trong phần này tôi nhắc lại một số định nghĩa về môđun, môđun con,
môđun con sinh ra bởi một tập, môđun thương, đồng cấu, tự đồng cấu,
tích trực tiếp và tổng trực tiếp cũng như trình bày một số tính chất của
phần này có liên quan đến môđun Artin.
Chương 2. Trình bày cách giải một số bài tập liên quan đến môđun
Artin.
Trong phần này tôi trình bày tổng cộng 7 bài tập liên quan đến môđun
Artin.
- 4
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Môđun, môđun con, môđun thương
1.1.1 Môđun
Định nghĩa 1.1.1. Cho R là vành có đơn vị 1R 6= 0R ; một R - môđun
trái (hay còn gọi là môđun trái trên R) là một nhóm Abel cộng M cùng
với một ánh xạ
f :R×M →M
(a, x) 7→ f (a, x) = ax
được gọi là phép nhân với vô hướng, thỏa mãn các điều kiện:
1. a(x + y) = ax + ay
2. (a + b)x = ax + bx
3. (ab)x = a(bx)
4. 1R x = x
với mọi a, b ∈ R và x, y ∈ M .
Định nghĩa 1.1.2. Tương tự, ta cũng có một định nghĩa cho R - môđun
phải (hay còn gọi là môđun phải trên R) là một nhóm Abel cộng M cùng
với một ánh xạ
f :M ×R→M
(x, a) 7→ f (x, a) = xa
được gọi là phép nhân với vô hướng, thỏa mãn các điều kiện:
- 5
1. (x + y)a = xa + ya
2. x(a + b) = xa + xb
3. x(ab) = (xa)b
4. x1R = x
với mọi a, b ∈ R và x, y ∈ M .
Về kí hiệu nếu M là một R - môđun trái (phải) ta kí hiệu R M (MR )
để chỉ rõ vành cơ sở R khi cần thiết. Nếu không ta sẽ nói môđun thay cho
môđun phải.
Ví dụ 1.1.3.
(i) Mỗi nhóm cộng Abel M đều được coi là Z - môđun.
(ii) Nếu K là một trường thì các K - môđun chính các không gian vectơ
trên trường K .
(iii) Mỗi iđêan phải của vành R - là một R - môđun. Đặc biệt, mỗi
iđêan của R là một R - môđun và bản thân R cũng là một R - môđun.
1.1.2 Môđun con
Định nghĩa 1.1.4. Cho M là một R - môđun phải. Tập con N của M
được gọi là môđun con của M nếu N là môđun trên R với phép cộng và
phép nhân với vô hướng của M hạn chế trên N .
Ví dụ 1.1.5.
(i) Mỗi R - môđun M luôn chứa hai môđun con tầm thường là bản
thân M và môđun con {0}. Môđun con N của M được gọi là môđun con
thực sự nếu N 6= {0} và N 6= M .
(ii) Cho R - môđun M và x là một phần tử của M . Khi đó tập con:
xR = {xr | r ∈ R}
- 6
là một môđun con của M . Nó còn được gọi là môđun con xyclic sinh bởi
phần tử x.
(iii) Mọi nhóm con của một nhóm Abel M đều là một Z - môđun con
của M .
(iv) Mọi iđêan của một vành R có đơn vị 1R 6= 0R đều là một môđun
con của R.
Bổ đề dưới đây sẽ cho ta một để cách kiểm tra các môđun con hiệu quả.
Bổ đề 1.1.1. Cho M là một R - môđun phải. Nếu N là tập con khác rỗng
của M thì các điều kiện sau tương đương:
(i) N là môđun con trong M .
(ii) ∀x, y ∈ N, ∀r ∈ R : x + y ∈ N, xr ∈ N .
(iii) ∀x, y ∈ N, ∀r, s ∈ R : xr + ys ∈ N .
Mệnh đề 1.1.2. Giao của một họ bất kì những môđun con của của R -
môđun M là một môđun con của M .
Định nghĩa 1.1.6. Cho X là một tập con của R - môđun M . Môđun
con bé nhất N chứa X được gọi là môđun con sinh bởi X và X được gọi
là một tập sinh hay hệ sinh của N , kí hiệu N = |X) . Trong trường hợp
N = M ta nói X là một hệ sinh của M hay M được sinh bởi X .
Nếu M có một hệ sinh hữu hạn ta nói rằng M là R - môđun hữu hạn
sinh. Môđun con sinh bởi 1 phần tử chính là môđun con xyclic.
Định nghĩa 1.1.7. Cho A là một môđun con thực sự của R - môđun M .
Khi đó A là môđun con cực đại của M nếu A 6= M và nó không chứa
trong một môđun con thực sự nào của M .
- 7
Một cách tương tự, cho A là một môđun con thực sự của R - môđun
M . Khi đó A là môđun con cực tiểu của M nếu A 6= {0} và nó không
chứa một môđun con thực sự nào của M .
Mệnh đề 1.1.3. Nếu A, B là các môđun con của R - môđun M với A ⊂ B .
Khi đó với mọi môđun con C của M ta đều có:
(C + A) ∩ B = (C ∩ B) + A
Chứng minh.
- Với mọi x ∈ (C + A) ∩ B , ta có:
x ∈ C + A
∃a ∈ A, c ∈ C : x = c + a
⇒ ⇒c+a=b
x ∈ B
∃b ∈ B
:x=b
⇒c=b−a∈B
c ∈ C
⇒ c ∈ C ∩ B ⇒ x = c + a ∈ (C ∩ B) + A
c ∈ B
Do đó (C + A) ∩ B ⊂ (C ∩ B) + A.
- Với mọi x ∈ (C ∩B)+A, khi đó: ∃n ∈ C ∩B, a ∈ A sao cho: x = n+a
n ∈ B
n ∈ C
⇒ x = n + a ∈ B; ⇒ x = n + a ∈ C + A.
a ∈ B
a ∈ A
Suy ra: x ∈ (C + A) ∩ B
Do đó (C + A) ∩ B ⊃ (C ∩ B) + A
Vậy (C + A) ∩ B = (C ∩ B) + A
- 8
1.1.3 Môđun thương
Cho M là R - môđun, N là môđun con của M . Khi đó:
M/N = {x + N : x ∈ M }
là một nhóm thương, đó cũng là nhóm Abel với phép cộng:
(x + N ) + (y + N ) = (x + y) + N
với mọi x + N , y + N ∈ M/N .
Trên M/N xác định phép nhân vô hướng như sau:
a(x + N ) = ax + N
với mọi a ∈ R, x + N ∈ M/N .
Thì phép nhân vô hướng này thoả mãn các điều kiện của tích vô hướng.
Định nghĩa 1.1.8. Cho M là R - môđun, N là môđun con của M . Khi
đó R - môđun M/N , với phép cộng và phép nhân vô hướng được xác định
ở trên được gọi là môđun thương của R - môđun M trên môđun con N
của nó.
Ví dụ 1.1.9.
(i) Xét môđun con nZ của Z - môđun Z. Khi đó ta có môđun thương
của Z trên nZ là:
Z/nZ = {0, 1, ..., n − 1}.
(ii) Cho I là một iđêan hai phía của vành R có đơn vị 1R 6= 0R . Khi
đó R/I vừa có cấu trúc vành thương của vành R trên iđêan I , vừa có cấu
trúc môđun thương của R - môđun R trên môđun con I .
- 9
1.2 Đồng cấu môđun, tự đồng cấu môđun
Định nghĩa 1.2.1. Cho hai môđun M, N là các R - môđun. Khi đó, một
ánh xạ f : M → N thỏa mãn
f (x + y) = f (x) + f (y) và f (xa) = f (x)a
với mọi x, y ∈ M , a ∈ R, được goi là một đồng cấu R - môđun từ M vào
N . Nếu N = M thì f được gọi là một tự đồng cấu của M .
Nếu đồng cấu f là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì nó tương ứng
được gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu.
Ví dụ 1.2.2.
(i) Cho N là một môđun con của R - môđun M , thì ta có môđun thương
M/N . Khi đó quy tắc:
f : M → M/N
x 7→ p(x) = x = x + N
là một đồng cấu R - môđun. Hơn thế nữa, p là một toàn cấu, được gọi là
phép chiếu chính tắc. Toàn cấu này có Kerp = N .
(ii) Với mỗi môđun con N của R - môđun M , ánh xạ cho bởi:
i:N →M
x 7→ i(x) = x
là một đơn cấu R - môđun, được gọi là phép nhúng chính tắc từ N vào
M.
Mệnh đề 1.2.1. Cho đồng cấu môđun f : M → N và U, V tương ứng là
môđun con của M, N . Khi đó:
(i) f (U ) là môđun con của N .
(ii) f −1 (V ) là môđun con của M .
- 10
Nhận xét 1.2.3. Im(f ) và Ker(f ) là những môđun con tương ứng của
N, M.
1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp
1.3.1 Tích trực tiếp
Cho một họ các R - môđun (Mi )i∈I ; và xét tích Descartes của họ này
Y
Mi = {(xi )i∈I | xi ∈ Mi }
i∈I
Q
Trên Mi ta định nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng như sau:
i∈I
(xi )i∈I + (yi )i∈I = (xi + yi )i∈I
(xi )i∈I a = (xi a)i∈I
Q
với mọi (xi )i∈I , (yi )i∈I ∈ Mi , a ∈ R.
i∈I
Q
Định nghĩa 1.3.1. Mi là R - môđun được gọi là tích trực tiếp của họ
i∈I Q
R - môđun (Mi )i∈I . Nếu Mi = M với mọi i ∈ I thì ta kí hiệu Mi bởi
i∈I
MI.
1.3.2 Tổng trực tiếp
Q
Định nghĩa 1.3.2. (xi )i∈I ∈ Mi được gọi là có giá hữu hạn nếu xi = 0
i∈I
tất cả trừ một số hữu hạn i ∈ I .
Q
Đặt ⊕ Mi = {(xi )i∈I ∈ Mi | (xi )i∈I có giá hữu hạn} là một tập con
i∈I i∈I
Q
của Mi .
i∈I
Khi đó với mọi (xi )i∈I , (yi )i∈I ∈ ⊕ Mi , a, b ∈ R, vì (xi )i∈I và (yi )i∈I có
i∈I
giá hữu hạn, nên
(xi )i∈I a + (yi )i∈I b = (xi a + yi b)i∈I
- 11
cũng có giá hữu hạn. Do đó:
(xi )i∈I a + (yi )i∈I b ∈ ⊕ Mi .
i∈I
Q
Vậy ⊕ Mi là một R - môđun con của Mi .
i∈I i∈I
Định nghĩa 1.3.3. ⊕ Mi là R - môđun được gọi là tổng trực tiếp của họ
i∈I
các R - môđun (Mi )i∈I . Nếu Mi = M với mọi i ∈ I thì ta kí hiệu ⊕ Mi
i∈I
(I)
bởi M .
Q
Nhận xét 1.3.4. Nếu I = {1, 2, ..., n} thì ⊕ Mi = Mi .
i∈I i∈I
- 12
CHƯƠNG 2
MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN ARTIN
Định nghĩa 2.0.1. Một R - môđun M được gọi là môđun Artin nếu mỗi
tập khác rỗng các môđun con của M luôn chứa ít nhất một phần tử cực
tiểu theo quan hệ bao hàm.
Bài tập 2.1. Chứng minh rằng môđun M là Artin nếu và chỉ nếu mọi
dãy giảm các môđun con của nó:
M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ ...
đều dừng, tức là có một số n sao cho Mn = Mn+1 = ...
Lời giải. (⇒) Giả sử M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ ... là một dãy giảm các môđun
con của M .
Vì M là môđun Artin nên tập {Mi | i ≥ 0} các môđun con của M có
một phần tử cực tiểu, chẳng hạn đó là Mn , khi đó Mk = Mn , ∀k ≥ n (theo
tính chất của môđun con cực tiểu).
(⇐) Giả sử S là một tập con khác rỗng các môđun con của M và S
không có phần tử cực tiểu.
Vì S 6= ∅ nên ta chọn được một môđun con M0 ∈ S .
Khi đó, vì M0 không cực tiểu nên sẽ tồn tại M1 là môđun con thực sự
của M0 .
Cứ tiếp tục như thế, ta sẽ chỉ ra tồn tại một dãy giảm M0 ⊃ M1 ⊃
M2 ⊃ ... không dừng các môđun con của M (mâu thuẫn).
- 13
Bài tập 2.2. Giả sử N là một môđun con của M . Chứng minh rằng M
là Artin nếu và chỉ nếu các môđun N và M/N đều Artin.
Lời giải. (⇒) Giả sử M là môđun Artin. Trước hết, ta sẽ chứng minh N
là môđun Artin.
Thật vậy, vì mỗi tập hợp khác rỗng các môđun con trong N cũng là
tập hợp khác rỗng các môđun con trong M nên trong tập hợp này cũng
có phần tử cực tiểu. Do đó N là môđun Artin.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh M/N là môđun Artin.
Giả sử M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ ... là dãy giảm các môđun con của môđun
M/N . Xét phép chiếu chính tắc:
p : M → M/N
Khi đó sẽ tồn tại một dãy giảm các môđun con của M là N0 ⊃ N1 ⊃
N2 ⊃ ... sao cho p(Ni ) = Mi , với i ≥ 0.
Nhưng vì M là môđun Artin nên dãy N0 ⊃ N1 ⊃ N2 ⊃ ... là dãy dừng
tức là tồn tại một số n sao cho Nn = Nn+1 = ..., từ đó suy ra tồn tại một
số n sao cho p(Nn ) = p(Nn+1 ) = ... hay Mn = Mn+1 = ....
Do đó M/N là môđun Artin.
(⇐) Giả sử N và M/N là môđun Artin.
Xét dãy giảm bất kì các môđun con của M : M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ ....
Khi đó ta có dãy giảm tương ứng các môđun con của N :
M0 ∩ N ⊃ M1 ∩ N ⊃ M2 ∩ N ⊃ ...
Và dãy giảm tương ứng các môđun con của M/N :
p(M0 ) ⊃ p(M1 ) ⊃ p(M2 ) ⊃ ...
- 14
với p là phép chiếu chính tắc.
Do N và M/N là môđun Artin nên tồn tại hai số n1 và n2 sao cho
Mn1 ∩ N = Mn1 +1 ∩ N và p(Mn2 ) = p(Mn2 +1 ).
Đặt n = max (n1 , n2 ).
Khi đó Mn ∩ N = Mn+1 ∩ N và p(Mn ) = p(Mn+1 ).
Từ p(Mn ) = p(Mn+1 ) ta suy ra Mn + N = Mn+1 + N . Theo mệnh đề
1.1.3, ta có: Mn = (Mn + N ) ∩ Mn = Mn = (Mn+1 + N ) ∩ Mn
= Mn+1 ∩ (N + Mn ) = Mn+1 ∩ (N + Mn+1 ) = Mn+1 = ....
Do đó M là môđun Artin.
Bài tập 2.3. Chứng minh rằng Z-môđun Z không Artin.
Lời giải. Để chứng minh Z-môđun Z không Artin ta sẽ chỉ ra một dãy
giảm các môđun con của ZZ sao cho dãy này không dừng.
Thật vậy, với mọi a ∈ Z, a ∈
/ {0, ±1}, ta có dãy giảm không dừng các
môđun con của ZZ là:
aZ ⊃ a2 Z ⊃ a3 Z ⊃ ...
Do đó Z-môđun Z không Artin.
Bài tập 2.4. Các ví dụ về môđun Artin.
Lời giải. Trước tiên ta sẽ chấp nhận một mệnh đề như sau:
Mệnh đề 2.4.1. Dãy các môđun con của môđun M :
M = M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ ... ⊃ Mn = 0
- 15
(bao hàm ngặt) là dãy thoả mãn không có môđun con của M nào có thể
bổ sung vào dãy khi và chỉ khi Mi−1 /Mi là đơn.
(i) Mọi môđun đơn (nghĩa là không có môđun con nào ngoài 0 và chính
nó) đều là môđun Artin.
(ii) Mọi không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường đều là môđun
Artin. Thật vậy, giả sử VK là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên
trường K và {x1 , x2 , ..., xn } là một cơ sở của nó. Khi đó:
V ⊃ x1 K + x2 K + ... + xn K ⊃ ... ⊃ x1 K + x2 K ⊃ x1 K ⊃ 0
là một dãy các môđun con của V .
Vì x1 K+...+xi K là các môđun con cực đại của môđun x1 K+...+xi+1 K
nên (x1 K + ... + xi+1 K)/(x1 K + ... + xi K) là các môđun đơn.
Do đó VK là môđun Artin.
Mặt khác, nếu VK là không gian vectơ vô hạn chiều thì không là môđun
Artin.
a
(iii) Cho p là số nguyên tố và Qp = { | a ∈ Z, i ∈ N}, tức là Q là tập
pi
hợp tất cả các số hữu tỉ mà mẫu số là lũy thừa của p (bao gồm cả p0 = 1).
Như vậy Qp là nhóm con (xem như nhóm cộng) của Q và Z ⊂ Qp .
Khi đó: Z - môđun Qp là môđun Artin. Ta có thể tham khảo chứng
minh sau đây.
-
- 1
Giả sử
nguon tai.lieu . vn
