Xem mẫu
- LEBESGUE INTEGRAL
ThS. Nguyễn Thị Hằng
Đại học Hàng Hải Việt Nam
TÍCH PHÂN LEBESGUE
Email: hang1903@vimaru.edu.vn
LEBESGUE INTEGRAL
Ngày tòa soạn nhận được bài báo:09/03/2021
ThS. Nguyễn Thị Hằng Ngày phản biện đánh giá: 19/03/2021
Đại học Hàng Hải Việt Nam
Email: hang1903@vimaru.edu.vn Ngày bài báo được duyệt đăng: 26/03/2021
Ngày tòa soạn nhận được bài báo:09/03/2021
Tóm tắt: Lý thuyết tích phân tổng quát được nhà toán Ngày học
phảnHenri Lebesgue
biện đánh giá: 19/03/2021
xây dựng vào đầu thế kỷ XX. Sau đó, nó được hoàn thiện đáng kể bởi nhiều
Ngày bài báo được duyệt đăng: 26/03/2021
nhà toán học lớn. Lý thuyết này đã khắc phục được những khiếm khuyết của
tích tắt:
Tóm phân Riemann. Ngoài ra, lý thuyết tích phân của Lebesgue còn đáp ứng
được
Lý các tích
thuyết yêu phân
cầu phát
tổngtriển
quát trong
được các
nhà lĩnh
toánvực: Xác suất,
học Henri Phương
Lebesgue xâytrình
dựngđạovào đầu
hàm
thế kỷ XX.riêng,
Sau đó,Cơnó
học lượng
được tử…
hoàn thiện đáng kể bởi nhiều nhà toán học lớn. Lý thuyết này
đã khắc phục được những khiếm khuyết của tích phân Riemann. Ngoài ra, lý thuyết tích
phânTừ khóa:
của Hội tụcòn
Lebesgue tuyệt đối,
đáp ứngtíchđược
phân,các
khả tích,
yêu cầuđộphát
đo hữu
triểnhạn,
tronghội
cáctụlĩnh
đều,vực:
bị Xác
suất,chặn hầu trình
Phương khắp đạo
nơi.hàm riêng, Cơ học lượng tử…
Abstract:
Từ Thetụtheory
khóa: Hội of general
tuyệt đối, integral
tích phân, wasđộestablished
khả tích, by hội
đo hữu hạn, Henri Lebesgue
tụ đều, bị chặn hầu
khắpinnơi.
the early twentieth century. After that, it was perfected by many great
mathematicians. This theory has overcome the shortcomings of Riemann
Summary:
integral. In addition, the integral theory of Lebesgue also satisfied
The theory of general integral was established by Henri Lebesgue in the early
requirements
twentieth development
century. After that, it wasinperfected
many fields
by manysuch
greatasmathematicians.
probability, partial
This theory
derivative equation, quantum mechanics... absolute convergence, integral,
has overcome the shortcomings of Riemann integral. In addition, the integral theory of
intergrability,
Lebesgue finite measure,
also satisfied requirementsuniformly convergent,
development blocked.
in many fields such as probability,
partial derivative equation, quantum mechanics... absolute convergence, integral,
Key words:
intergrability, absolute
finite measure,convergence, integral, intergrability,
uniformly convergent, blocked. finite measure,
uniformly convergent, blocked.
Key words: absolute convergence, integral, intergrability, finite measure, uniformly
convergent, blocked.
1.TÍCH PHÂN CỦA HÀM ĐƠN GIẢN
Xét các hàm đơn giản trên ( X , A , µ ) . Chú ý rằng trong chủ đề này tất cả các hàm
ta nói đến đều đo được nên không cần nói đến f hay g ,... là đo được. Ngoài ra, f
chỉ có thể nhận 1 số hữu hạn các giá trị và các tổng lấy theo mọi giá trị của f có
thể chỉ là một số hữu hạn các số hạng, nhưng ta vẫn sẽ dùng thuật ngữ “Chuỗi” để
nói về những tổng như vậy và tổng hữu hạn luôn được coi là chuỗi hội tụ, thậm
chí là hội tụ tuyệt đối.
TẠP CHÍ KHOA HỌC 33
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
- Giả sử f là hàm đơn giản và f ( X ) = { y1 , y2 ,..., yk ,..} . Đặt Ak = f −1 ({ yk }) và ký
hiệu Y1 , Y2 lần lượt là tập các giá trị không âm và không dương của f , (khi
đó Y1 ∩ Y2 = ∅ hoặc Y1 ∩ Y2 ={0} ) Xét các chuỗi sau
∑
yk ∈ f ( X )
yk µ ( Ak ) (1.1)
∑ y µ(A )
yk ∈Y1
k k (1.2)
∑ y µ(A )
yk ∈Y2
k k (1.3)
Dễ thấy chuỗi (1.1) hội tụ tuyệt đối khi và chỉ khi 2 chuỗi (1.2 ) và (1.3) đều hội tụ.
Trong trường hợp đó tổng của chuỗi (1.2 ) là số không âm, còn tổng của chuỗi
(1.3) là số không dương.
Định nghĩa 1.1: Nếu chuỗi (1.1) là hội tụ tuyệt đối thì tổng của nó được gọi là tích
phân của hàm f trên X và ký hiệu bằng một trong các biểu thức sau:
∫ f ( x ) d µ , ∫ f ( x ) µ dx , ∫ fd µ , ∫ fd µ
X X X
Trong trường hợp này, ta nói f khả tích (hay khả tổng) trên X
Từ định nghĩa ta có thể có được các mệnh đề đơn giản sau:
• f khả tổng khi và chỉ khi f − và f + đều khả tổng. Khi đó ∫f
+
d µ và ∫f
−
d µ lần
lượt là các tổng của các chuỗi (1.2 ) và (1.3) ; do đó:
∫ fd µ
= ∫f
+
d µ − ∫ f −d µ (1.4 )
X X X
Từ đó cũng suy ra rằng f khả tổng khi và chỉ khi f khả tổng. Khi đó
∫=
f dµ ∫ f +
d µ + ∫ f −d µ (1.5)
X X X
Và do đó
∫ fd µ ≤ ∫ f dµ (1.6 )
X X
• Mọi hàm đơn giản bị chặn, trong đó có tất cả các hàm bậc thang, đều khả tổng
trên không gian với độ đo hữu hạn. Với những hàm như vậy ta có
∫ fd µ ≤ Sup f ( x ) µ ( X ) (1.7 )
X
x∈ X
• I A khả tổng khi và chỉ khi µ ( A) < ∞ và khi đó ∫ fd µ = µ ( A)
34
TẠP CHÍ KHOA HỌC
• Nếu
QUẢN vàCÔNG
≥ 0VÀ
f LÝ khả tổng
NGHỆ thì ∫ I A d µ ≥ 0
• Nếu f , g khả tổng (trên X ) thì với mọi α , β ∈ � hàm α f + β g đều khả tổng và
- ∫ fd µ ≤ Sup f ( x ) µ ( X ) (1.7 )
X
x∈ X
• I A khả tổng khi và chỉ khi µ ( A) < ∞ và khi đó ∫ fd µ = µ ( A)
• Nếu f ≥ 0 và khả tổng thì ∫ I A d µ ≥ 0
• Nếu f , g khả tổng (trên X ) thì với mọi α , β ∈ � hàm α f + β g đều khả tổng và
∫ (α f + β g ) d µ = α ∫ fd µ + β ∫ gd µ
X X X
(1.8)
Ta sẽ có hệ quả 1.1: Nếu f và g cùng khả tổng và f ≥ g trên X thì
∫ fd µ ≥ ∫ gd µ
X X
2. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN TRONG TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT.
Trước hết giả sử µ là độ đo hữu hạn. Định nghĩa tích phân của hàm tùy ý, ta cần
bổ đề sau:
Bổ đề 2.1: Nếu { f n } là dãy hàm đơn giản khả tổng hội tụ đều thì dãy {I n } ,với
In = ∫ fn ( x ) d µ
X
Là dãy hội tụ.
Chứng minh: Ta có
Im =
− In ∫ ( f ( x ) − f ( x )) d µ
X
m n ≤ sup ( f m ( x ) − f n ( x ) ) .µ ( X )
Do tính liên tục nên sup ( f m ( x ) − f n ( x ) ) → 0 khi m, n → ∞ . Do đó, dãy {I n } là dãy cơ
bản nên nó hội tụ (đpcm).
Bổ đề 2.2: Nếu { f n } và { g n } là 2 dãy hàm đơn giản khả tổng và cùng hội tụ tới f thì
lim ∫ f n ( x ) d µ = lim ∫ g n ( x ) d µ
X X
Việc chứng minh thực hiện bằng các xen kẽ 2 dãy hàm.
Hai bổ đề trên đảm bảo tính hợp lý cho định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.1: Nếu { f n } là dãy hàm đơn giản khả tổng hội tụ đều tới f thì
lim ∫ f n ( x ) d µ được gọi là tích phân của hàm f trên X và ký hiệu là ∫ f ( x) d µ (
n
X X
hoặc ∫ f ( x ) µ ( dx ) ,...) Khi đó
X
n f cũng được gọi là hàm khả tích hay khả tổng.
Định nghĩa này không có mâu thuẫn với định nghĩa tích phân và tính khả tổng của
các hàm đơn giản.
TẠP CHÍ KHOA HỌC 35
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
Định nghĩa 2.2: Cho ( X , A , µ ) là không gian với độ đo σ − hữu hạn. Ta nói hàm
f khả tổng trên X , nếu:
- lim ∫ f n ( x ) d µ được gọi là tích phân của hàm f trên X và ký hiệu là ∫ f ( x) d µ (
n
X X
hoặc ∫ f ( x ) µ ( dx ) ,...) Khi đó
X
n f cũng được gọi là hàm khả tích hay khả tổng.
Định nghĩa này không có mâu thuẫn với định nghĩa tích phân và tính khả tổng của
các hàm đơn giản.
Định nghĩa 2.2: Cho ( X , A , µ ) là không gian với độ đo σ − hữu hạn. Ta nói hàm
f khả tổng trên X , nếu:
i. f khả tổng trên mọi tập hợp A∈ A với µ ( A) < +∞ ( A xem như là không gian con
của X )
∞
X và µ ( X n ) < +∞ thì dãy
ii. Với mọi dãy X 1 , X 2 ,..., X n ,... ∈ A sao cho X n ⊂ X n +1 , X n =
n =1
số
In = ∫ f ( x) d µ
Xn
n ( 2.1)
Đều hội tụ.
Khi đó, giới hạn của dãy ( 2.1) (có thể chứng minh rằng không phụ thuộc vào việc
chọn dãy X 1 , X 2 ,... ) được gọi là tích phân của f trên X và cũng ký hiệu ∫ f ( x ) d µ ,(
X
hay ∫ f ( x ) µ ( dx ) ,...)
X
Từ các định nghĩa trên suy ra các mệnh đề sau:
• Hàm bị chặn trong không gian với độ đo hữu hạn luôn khả tổng. Có thể thay
tính bị chặn thành tính bị chặn hầu khắp nơi.
• Nếu f , g khả tổng với mọi α , β ∈ � , hàm α f + β g đều khả tổng và
∫ (α f + β g )d µ = α ∫ fd µ + β ∫ gd µ
X X X
Tính chất này được chứng minh bằng cách xét các dãy hàm đơn giản { f n } , { g n } và
{α f n + β g n } rồi chuyển qua giới hạn.
• Nếu f khả tổng trên A và B sao cho A ∩ B =∅ thì f khả tổng trên A ∪ B và
A∪ B
∫=
fd µ ∫ fd µ + ∫ fd µ
A B
(tính cộng được của tích phân)
Tính chất này được chứng minh bằng nhận xét là I A∪=
B I A + IB
• Nếu f khả tổng trên mọi tập con đo được của A .
• Nếu µ ( A) = 0 thì ∫ fd µ = 0
A
Để chứng minh tính chất này, trước hết ta xét hàm đơn giản g trên A , với
36 TẠP CHÍ KHOA HỌC
g ( QUẢN
A ) = {LÝ
y1 , VÀ
y2 ,...} . Ta
CÔNG có:
NGHỆ
∫ gd µ = ∑ y µ ( A )
A
k k
- • Nếu f khả tổng trên mọi tập con đo được của A .
• Nếu µ ( A) = 0 thì ∫ fd µ = 0
A
Để chứng minh tính chất này, trước hết ta xét hàm đơn giản g trên A , với
g ( A ) = { y1 , y2 ,...} . Ta có:
∫ gd µ = ∑ y µ ( A )
A
k k
Trong đó Ak = g −1 ({ yk })
Vì µ ( Ak ) ≤ µ ( A)
Nên µ ( Ak ) = 0 .
Suy ra ∫ gd µ = 0
A
Vì trên A thì f là giới hạn (hội tụ đều) của dãy hàm đơn giản nên chính f có tích
phân bằng 0
• Nếu f khả tổng trên X và g tương đương với f thì g khả tổng và tích phân của
Nếu bằng
•chúng f khảnhau.
tổng trên X và g tương đương với f thì g khả tổng và tích phân của
chúng
gd µ = bằng
fd µ nhau.
∫ ∫
∫ gd µ = ∫ fd µ
X X
• Nếu f và g khả tổng và
X X f ≤ g hầu khắp nơi thì
• fdNếu
∫X µ ≤ ∫X fgdvൠg khả tổng và f ≤ g hầu khắp nơi thì
∫ fd µ ≤ ∫ gd µ
•X Nếu X f khả tổng và g ≤ f hầu khắp nơi thì g khả tổng.
•Từ Nếu
mệnhf đề khảtrên
tổng và dễ
cũng f hầu
g ≤suy khắp nơi
ra rằng f và thìf hoặc
g khả cùng
tổng.khả tổng hoặc cùng không
Từ
khảmệnh
tổng.đề trên cũng dễ suy ra rằng f và f hoặc cùng khả tổng hoặc cùng không
khả tổng.
3.TÍNH σ − CỘNG ĐƯỢC CỦA TÍCH PHÂN.
3.TÍNH σ − CỘNG ĐƯỢC CỦA TÍCH PHÂN.
∞
Định lý 3.1: Giả sử f khả tổng trên A = ∞
An , với An ∈ A , Am ∩ An =
∅, m ≠ n
Định lý 3.1: Giả sử f khả tổng trên A = An , với An ∈ A , Am ∩ An =
n =1
∅, m ≠ n
Khi đó n =1
Khi đó ∞
∫ fd µ = ∑ ∫ ∞
fd µ ( 3.1)
∫ fd µ = ∑ ∫ ( 3.1)
n =1 An
A
fd µ
Ngoài
A ra A phải của ( 3.1) là chuỗi hội tụ tuyệt đối.
n =1 vế n
Ngoài raminh:
Chứng vế phải
Trước ( 3.1giả
của hết ) là sử
chuỗi
f làhội
hàmtụ đơn
tuyệtgiản
đối.trên A với các giá trị y , y ,... Đặt
1 2
Chứng −1minh: Trước hết giả sử f là hàm đơn giản trên A với các giá trị y , y ,... Đặt
Bk = f ({ yk } ) và Bnk= An ∩ Bk . Khi đó 1 2
µ =f ({yykµ} )( và
B ) Bnk= An ∩ Bk . Khi đó
−1
Bfd
k =
∫ ∑ k k
∫
A
fd µ = ∑ y µ (B ) k
k k
= ∑ y ∑µ (B )
A k
k
nk
= ∑ y ∑µ (B )
k n
( 3.2 )
= ∑∑ y µ ( B )
k nk
k nk nk
( 3.2 )
= ∑∑ y µ ( B )
n k
k nk
= ∑ ∫ fd µ
n k
TẠP CHÍ KHOA HỌC 37
= ∑ ∫ fd µ
n An
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
n A thời các chuỗi trong 3.2 đều hội tụ tuyệt đối.
Đồng n ( )
Đồng thời
Bây giờ giảcác
sửchuỗi trongkhả
f là hàm ) đềutùy
( 3.2tổng hộiý.tụKhi
tuyệt
đó,đối.
với mỗi k nguyên dương đều tồn
- = ∑ yk ∑ µ ( Bnk )
k n
( 3.2 )
= ∑∑ yk µ ( Bnk )
n k
= ∑ ∫ fd µ
n An
Đồng thời các chuỗi trong ( 3.2 ) đều hội tụ tuyệt đối.
Bây giờ giả sử f là hàm khả tổng tùy ý. Khi đó, với mỗi k nguyên dương đều tồn
tại hàm đơn giản f k khả tổng trên A sao cho
1
fk ( x ) − f ( x ) < ( 3.3)
k
Theo chứng minh trên thì
∫ f dµ = ∑ ∫ f dµ
A
k
n An
k ( 3.4 )
Và chuỗi ở vế phải của ( 3.4 ) là chuỗi hội tụ tuyệt đối.
Mặt khác, vì
1
∫ fd µ − ∫ f d µ ≤ ∫
k f − f k d µ ≤ .µ ( An )
An An An
k
Nên
−1
.µ ( An ) + ∫ f k d µ ≤ ∫ fd µ
k An An
1
≤ .µ ( An ) + ∫ f k d µ
k An
Từ đó suy ra tính tính hội tụ tuyệt đối của chuỗi ∑ ∫ fd µ . Ngoài ra
n An
−1 1
.µ ( An ) + ∫ f k d µ ≤ ∫ fd µ ≤ .µ ( An ) + ∫ f k d µ ( 3.5)
k An An
k An
Từ ( 3.3) suy ra ∫ f d µ → ∫ fd µ . Kết hợp điều này với (1.5) ta có:
k
A A
∑ ∫ fd µ = ∫ fd µ
n An A
Định lý đã được chứng minh.
Hệ quả 3.1: Nếu f là hàm khả tổng không âm trên ( X , A , µ ) thì ánh xạ từ A vào
� + biến A thành ∫ fd µ là hàm độ đo trên X.
A
Theo một nghĩa nào đó ta có thể coi đây là mệnh đề đảo của định lý 3.1
Định lý 3.2: Nếu
A1 , A2 ,... ∈ A , A i ∩ Aj =∅(i ≠ j ), A = An
n
Và38chuỗi
TẠP CHÍ KHOA HỌC
∑∫
n An
QUẢN
f d µ LÝ VÀ CÔNG NGHỆ ( 3.6 )
Hội tụ thì f khả tổng trên A
- Định lý 3.2: Nếu
A1 , A2 ,... ∈ A , A i ∩ Aj =∅(i ≠ j ), A = An
n
Và chuỗi
∑∫
n An
f dµ ( 3.6 )
Hội tụ thì f khả tổng trên A
Chúng ta thừa nhận định lý này.
4.BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHOV
Ta chứng minh một bất đẳng thức về tích phân cần dùng cho bài toán sau.
Cho f ≥ 0 và khả tổng. Khi đó, với α > 0 thì
1
µ ({ x ∈ X : f ( x ) ≥ α } ) ≤ ∫ fd µ ( 4.1)
α X
(bất đẳng thức Chebyshov)
Thật vậy, với C ={ x ∈ X : f ( x ) ≥ α } thì
∫ fd µ = ∫ fd µ + ∫ fd µ ≥ ∫ fd µ ≥ α ∫ fd µ = α .µ ( C )
X C c C C
C
1
Suy ra µ ( C ) ≤ ∫ fd µ
α X
Vậy công thức ( 4.1) được chứng minh.
Hệ quả 4.1: Nếu f ≥ 0 , khả tổng và ∫ fd µ = 0 thì f ( x ) = 0 hầu khắp nơi.
X
Chứng minh: Với mỗi n nguyên dương, thì
1
µ x ∈ X : f ( x ) ≥ ≤ n ∫ fd µ =
0
n X
Do đó
∞
1
µ ({ x ∈ X : f ( x ) > 0=
}) µ x ∈ X : f ( x ) ≥ n
n =1
∞
1
≤ ∑ µ x ∈ X : f ( x) ≥ =0
n =1 n
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.
[2] Nguyễn Minh Chương, Ya. D. Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992) , Giải
TẠP CHÍ KHOA HỌC 39
xấp xỉ phương trình toán tử, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật.
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
[3] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2001), Giáo trình hàm thực và giải tích
hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.
- TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.
[2] Nguyễn Minh Chương, Ya. D. Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992) , Giải xấp xỉ phương trình
toán tử, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật.
[3] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2001), Giáo trình hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại
học quốc gia Hà Nội.
[4] B. N. Mandal, A. Chakrabarti (2011), Applied singular intergral equations, Science Publishers.
[5] A. Chakrabarti (2008), Applied intergral equations, Vijay Nicole Imprints Pvt. Ltd. Chennai.
40 TẠP CHÍ KHOA HỌC
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ
nguon tai.lieu . vn
