- Trang Chủ
- Toán học
- Tích chập với hàm trọng γ(y) = cos αγ đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine
Xem mẫu
- TẠP CHÍ KHOA HỌC – ĐẠI HỌC TÂY BẮC Nguyễn Minh Khoa và nnk (2021)
Khoa học Tự nhiên và Công nghệ (24): 77 - 81
TÍCH CHẬP VỚI HÀM TRỌNG γ (y) = cos α y ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI
TÍCH PHÂN FOURIER COSINE
Nguyễn Minh Khoa*, Trần Văn Thắng
Đại học Điện Lực
Tóm tắt: Trong bài báo này chúng tôi đã xây dựng và nghiên cứu tích chập với hàm trọng đối với phép biến
đổi tích phân Fourier. Các tác giả đã phát biểu và chứng minh đẳng thức nhân tử hóa, một số tính chất và thiết
lập quan hệ với tích chập đã biết. Sau cùng các tác giả áp dụng tích chập được đưa ra để giải phương trình tích
phân kiểu Toeplitz-Hankel.
Từ khóa: Phương trình tích phân kiểu Toeplitz-Hankel; Tích chập; Tích chập với hàm trọng; Phép biến đổi
tích phân Fourier; Phép biến đổi tích phân Fourier cosine.
1. MỞ ĐẦU
hàm f , g đối với phép biến đổi tích phân Fourier
Tích chập của phép biến đổi tích phân có nhiều sine được nghiên cứu trong [7, 10].
ứng dụng lý thú trong các bài toán tính toán giá 1
∞
γ (5)
trị tích phân, tổng của chuỗi, giải phương trình và f F*S g ( x )
= ∫ f ( t )[g ( x + 1 + t )
π 2π
phép toán giải phương trình vi tích phân ([1, 3, 5, 0
6, 9, 11, 12, 14]). Khởi đầu, năm 1941 Churchill + g ( x + 1 − t ) sign ( x + 1 − t )
[11] đã đưa ra tích chập của hai hàm f và g đối + g ( x − 1 + t ) sign ( x − 1 + t )
với phép biến đổi tích phân Fourier F :
+ g ( x − 1 − t ) sign ( x − 1 − t ) ]dt ,
(
L f *g
L
) ( y ) = ( Lf )( y ).( Lg )( y ) , ∀y > 0. (1)
thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: với đẳng thức nhân tử hóa
= (
F f * g ( y)
F
) ( Ff )( y ) .( Fg )( y ) , ∀y ∈ . (2) γ
FS f * g ( y ) = sin y ( Fs f )( y ) . ( Fs g )( y ) ,
Sau đó, một số tích chập của các phép biến FS
đổi tích phân khác như Mellin, Laplace, Fourier
∀y > 0. (6)
cosine, Hilbert được nghiên cứu [2]. Chẳng hạn,
tích chập của hai hàm f và g đối với phép biến Tích chập của hai hàm f , g của phép biến
đổi tích phân: đổi tích phân Fourier cosine cũng được đưa ra
( )
x
bởi Churchill năm 1941
( x)
f * g= ∫ f ( x − t ) g ( t ) dt , (3)
( f * g )( x) =
L
0 1
+∞
(7)
có đẳng thức nhân tử hóa:
2π
∫ f ( y )[g (| x − y |)
( ) ( y ) = ( Lf )( y ).( Lg )( y ) , ∀y > 0.
Fc
−∞
L f *g (4)
L + g ( x + y ) ]dy
Tích chập với hàm trọng đối với phép biến
đổi tích phân Mehler Fox được nghiên cứu bởi I. với đẳng thức nhân tử hóa
( ) ( y ) = ( F f )( y ).( F g )( y ) ,
Ya. Vlenkin năm 1958 [13]. Sau đó, năm 1967,
Fc f * g (8)
V. A. Kakichev [7] đưa ra phương pháp xây Fc
c c
dựng tích chập với hàm trọng tổng quát hơn. ∀y > 0.
*
Tel: 0904367812, Email: khoanm@epu.edu.vn Trong bài báo này các tác giả xây dựng
Với ý tưởng đó các tích chập mới với hàm và nghiên cứu tích chập mới với hàm trọng
trọng của phép biến đổi tích phân Meijer, Hankel, γ (y) = cos α y đối với phép biến đổi tích phân
Fourier sine, Sommerfeld được xây dựng. Cụ thể Fourier cosine đồng thời giải một lớp phương
như tích chập với hàm trọng γ (y) = sin y của trình tích phân kiểu Toeplitz-Hankel. Cho đến
77
- nay phương trình tích phân kiểu Toeplitz-Hankel Từ (11), (12) và (13) ta nhận được
vẫn là bài toán mở. Tích chập mới được xây +∞ +∞ +∞
γ
2
dựng ở đây tổng quát hon tích chập cùng loại đã ∫ | ( f * g ) ( x ) | dx ≤
FC π ∫ | f (t ) | dt ∫ | g(t ) |dt< + ∞
biết, do đó các ứng dụng sẽ được mở rộng hơn. 0 0 0
γ
2. TÍCH CHẬP VỚI HÀM TRỌNG Vậy ta có ( f * g ) ( x ) ∈ L( + ). Sau đây, ta chứng
FC
Định nghĩa 2.1. Tích chập với hàm trọng minh đẳng thức nhân tử hóa (10). Từ
+∞ +∞
=γ (y) cos α y,(α > 0) của hai hàm f , g đối với 2
cos α x( Fc f )( x)( Fc g )( x) = ∫ ∫ cos α x
phép biến đổi tích phân Fourier cosine được xác π 0 0
định bởi: cos xu cos xvf (u ) g(v)dudv
∞
γ 1 (9)
f F*C g ( x )
= ∫ f ( t )[g ( x + α + t )
π 2π 0 và
+g ( x + α − t ) + g ( x −α + t ) 1
cos α x cos xu=
cos xv [ cos x(u + α + v)
4
+ g ( x − α − t ) ]dt ,
+cosx(u + α − v) + cosx(u − α + v)
Định lý 2.2. Cho f , g là các hàm liên +cosx(u − α − v) ] ,
tục thuộc L( + ) . Tích chập với hàm trọng
γ (y) = cos α y của hai hàm f , g đối với phép ta thu được
biến đổi tích phân Fourier cosine thuộc L( + ) 1
+∞ +∞
và thỏa mãn nhân tử hóa: cos α x( Fc f )(=
x)( Fc g )( x)
2π ∫ ∫ [cos x(u + α + v)
0 0
γ
Fc f * g ( y ) = cos α y ( Fc f )( y ) . ( Fc g )( y ) , cos x(u + α − v) + cos x(u − α + v)
FC
+ cos x(u − α − v) ] f (u ) g(v)dudv. (14)
∀y > 0. (10)
Chứng minh. Ta có: Với phép đổi biến u = y và u + α + v =t ta có
+∞ +∞ +∞
γ
1
∫0 | ( f F* g ) ( x ) | dx = π 2π
+∞ +∞
∫ ∫ | f (t ) | [ 1
∫ ∫ cos x(u + α + v) f (u ) g(v)dudv
C
0 2π 0 0
g(x + α + t) + g ( x + α − t ) 1
+∞ +∞
= ∫ ∫α cos xt f (y) g(t − y− α )dtdy
+ g ( x − α + t ) + g ( x − α − t ) ]dtdx 2π 0 y+
+∞ +∞
1
1
+∞
+∞ = ∫ ∫ cos xt f (y) g(| t − y− α |)dtdy
≤
π 2π ∫0 | f (t ) | ∫0 | g ( x + α + t ) |dx 2π 0 0
+∞ y +α
1
+∞
+ ∫ | g (| x + α − t |) |dx +
+∞ −
2π ∫ ∫ cos xt f (y) g(y + α − t )dtdy. (15)
0
∫ | g (| x − α + t |) |dx
0
0 0
Tương tự, với phép đổi biến u = y, u + α − v =−t
+∞
+ ∫ | g (| x − α − t |) |dx dt (11) ta được
0 1
+∞ +∞
Mặt khác 2π ∫ ∫ cos x(u + α − v) f (u ) g(v)dudv
0 0
+∞ +∞
+∞ +∞
∫ | g ( x + α + t ) |dx + ∫ | g (| x − α − t |) |dx=
= 1
2π ∫ ∫
cos xt f (y) g(t + y + α )dtdy
0 0
0 − y −α
+∞ +∞
+∞ +∞
1
∫α
t+
| g (u ) |du + ∫α | g (u ) |du
−t −
=
2π ∫ ∫ cos xt f (y) g(t + y+ α )dtdy
0 0
+∞ +∞ t +α +∞ 0
1
= ∫α | g (u ) |du + ∫ | g (u ) |du + ∫ | g (u ) |du
t+ 0 0
+
2π ∫ ∫ α cos xt f (y) g(y+ t + α )dtdy.
0 − y−
(16)
+∞
= 2 ∫ | g (u ) |du (12) Hơn nữa ta có
0
Tương tự, không mất tính tổng quát ta giả
thiết t > α ,
78
- +∞ 0 Mặt khác,
∫ ∫ α cos xt f (y) g(y+ t + α )dtdy α 0
0 − y−
+∞ 0
∫ ∫α cos xt f (y) g(t − y+ α )dtdy
0 y−
=−∫ ∫α cos xt f (y) g(y+ α − t )dtdy α α−y
∫∫
0 y+
+∞ y +α
= cos xt f (y) g(α − y − t )dtdy, (21)
∫ ∫
0 0
= cos xt f (y) g(y + α − t )dtdy (17)
0 0 và
+∞ 0
Từ (15), (16) và (17) ta nhận được: ∫ ∫
α α−y
cos xt f (y) g(t + y − α )dtdy
+∞ +∞
1
2π ∫ ∫ [cos x(u + α + v) +∞ y −α
0 0 = ∫ ∫ cos xt f (y) g(y − α − t )dtdy. (22)
+ cos x(u + α − v) ] f (u ) g (v)dudv α 0
1
+∞ +∞
Từ (19), (20), (21) và (22), ta nhận được:
=
2π ∫ ∫ cos xt [ g (| t − y − α |) +∞ +∞
0 0 1
+ g (t + y + α ) ] f ( y )dtdy. (18) 2π ∫ ∫ [cos x(u − α + v)
0 0
Tương tự, + cos x(u − α − v) ] f (u ) g (v)dudv
+∞ +∞ +∞ +∞
1 1
∫
2π 0 0 ∫ cos x(u − α + v) f (u ) g(v)dudv =
2π ∫ ∫ cos xt [ g (| t − y + α |)
0 0
1
+∞ +∞ + g (| t + y − α |) ] f ( y )dtdy (23)
2π ∫ ∫α cos xt f (y) g(t − y + α )dtdy
0 y− Từ (14), (18) và (23), ta có
α +∞
1 1
+∞
+∞
=
2π ∫ ∫α cos xt f (y) g(t − y+ α )dtdy cos α x( FC f )( x)( FC g )( x) = ∫0 cos xt ∫0 f ( y)
0 y− 2π
+∞ +∞
1 [ g (t + α + y ) + g (| t + α − y |)
+
2π ∫ ∫α cos xt f (y) g(t − y+ α )dtdy
α y− + g (| t − α + y |) + g (| t − α − y |) ] dy} dt. (24)
+∞ +∞
1
=
2π ∫ ∫ cos xt f (y) g(| t − y+ α |)dtdy
0 0
Từ (9) và (24) ta có:
γ
1
α 0 FC f * g ( x ) = cos x ( FC f )( x ) . ( FC g )( x ) .
+
2π ∫ ∫α cos xt f (y) g(t − y+ α )dtdy
0 y−
FC
+∞ y −α Định lý được chứng minh.
1
−
2π ∫ ∫
α 0
cos xt f ( y ) g ( y − α − t )dtdy. (19)
Định lý 2.3. Trong không gian các hàm
liên tục thuộc L( + ) , tích chập với hàm trọng
Với phép đổi biến u =y, u − α − v =−t , ta γ (y) = cos α y đối với phép biến đổi tích phân
thu được: Fourier cosine là giao hoán, kết hợp và phân phối.
+∞ +∞
1 Chứng minh. Trước hết ta chứng minh tính
2π ∫ ∫ cos x(u − α − v) f (u ) g(v)dudv
0 0 chất kết hợp, nghĩa là:
+∞ +∞
1 γ γ γ
γ
=
2π ∫ α∫ cos xt f (y) g(t + y − α ) dtdy
f F*C g F*C h = f F*C g F*C h . Thực vậy,
0 −y
α +∞
1
=
2π ∫ α∫
0 −y
cos xt f (y) g(t + y − α ) dtdy γ γ
FC f * g * h ( y )
+∞ +∞ FC FC
1
+
2π ∫ ∫
α α−y
cos xt f (y) g(t + y − α ) dtdy γ
= cos α yFC f * g (y) ( FC h ) (y)
+∞ +∞ FC
1
= ∫ ∫ cos xt f (y) g(| t + y− α |)dtdy = cos α y cos α y ( FC f ) (y) ( FC g ) (y) ( FC h ) (y)
2π 0 0
γ
= cos α y ( FC f ) (y) FC g * h (y)
α α−y
1
−
2π ∫∫ 0 0
cos xt f (y) g(α − y − t ) dtdy
FC
1
+∞ 0 γ
γ
= FC f * g * h ( y ).
+
2π ∫ ∫
α α −y
cos xt f (y) g(t + y − α ) dtdy. (20)
FC
FC
79
- γ γ γ
γ
f * g
Suy ra F F * h = f * g F*C h .
C C FC
1 + λ cos α y ( FC g)( y ) ≠ 0, ∀y ∈ + ,phương
Tính giao hoán, tính phân phối được chứng trình tích phân (25) tồn tại duy nhất nghiệm
minh tương tự. thuộc L( + ) xác định bởi:
γ
Định nghĩa 2.4. Chuẩn của hàm f trong f = h − λ h * ϕ .
không gian L( + ) được xác định bởi: FC
+∞
Ở đây, ϕ ( x) ∈ L( + ) và được xác định bởi:
2 .
|| f ||=
π ∫ | f ( x) | dx
0 ( FCϕ )(y) =
( FC g )(y)
.
1 + λ cos α y ( FC g)( y )
Định lý 2.5. Nếu f , g là các hàm liên tục
Chứng minh. Phương trình (25) có thể viết
trong L( + ) thì ta có bất đẳng thức sau:
lại ở dạng:
γ γ
f F*C g ≤|| f || . || g || . f +λ f * g = h.
FC
Theo Định lý 2.2, ta có
Chứng minh. Từ chứng minh Định lý 2.2
ta có ( FC f )( y ) + λ cos α y ( FC f )( y )( FC g )( y )
+∞ +∞ +∞ = ( FC h)( y ).
γ
2
∫ | ( f * g ) ( x ) | dx ≤
FC π ∫ | f ( x) |dx ∫ | g ( x) |dx. Từ điều kiện 1 + λ cos α y ( FC g)( y ) ≠ 0 ta
0 0 0
nhận λ cos α y ( FC g )( y )
=( Fđược
C f )( y ) ( FC h)( y ) 1 − .
Suy ra 1 + λ cos α y ( FC g )( y )
2
+∞ γ Theo Định lý Wiener-Levi, tồn tại hàm
∫ |(f * g ) ( x ) | dx
π FC ϕ ( x) ∈ L( + ) sao cho:
0
( FC g )( y )
+∞ +∞ ( FCϕ )( y ) = .
2 2 1 + λ cos α y ( FC g )( y )
≤
π ∫ | f ( x) |dx
0
π ∫ | g ( x) |dx.
0 Điều đó dẫn tới
γ
( FC f )( y ) = ( FC h)( y )[1- λ cos α y ( FCϕ )( y )].
Vậy ta có f F*C g ≤|| f || . || g || .
Do đó
Định lý 2.6. Nếu f , g là các hàm liên tục
trong L( + ) thì ta có đẳng thức liên hệ sau: f ( x) = h( x) - λ FC [cos α y ( FC h)( y )( FCϕ )( y )].
γ 1 Như vậy ta có
f F*C g ( x) = ( f F*C g ) (x + 1) γ
2 f = h − λ h * ϕ .
FC
Theo Định lý 2.2, f ∈ L( + ) . Định lý được
+ ( f * g )(| x − 1|) , ∀x > 0,
FC chứng minh.
REFERENCE
ở đây ( f F* g ) được xác định trong (2).
C
[1]. H. Bateman and A. Erdélyi (1954), Tables
3. ÁP DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
of Integral Transforms Vol. 1, McGraw-
TÍCH PHÂN
Hill, New YorkToronto-London.
Trong phần này chúng ta áp dụng tích chập
[2]. V. A. Ditkin and A. Prudnikov (1974),
được đưa ra để giải phương trình tích phân kiểu
Integral Transformations and Operator
Toeplitz-Hankel sau:
λ +∞ Calculus (in Russian), Moscow.
f ( x) +
2 2π 0
∫ f (t ) [ g ( x + α + t ) [3]. F. D. Gakhov and Yu. I. Cherski (1978),
+ g (| x + α − t |) + g (| x − α + t |) Equations of Convolutions Type (in
Russian), Nauka, Moscow.
+ g (| x − α − t |) ] dt =
h( x), (25)
[4] . I. M. Gelfand, V. A. Raikov and G. E.
Silov (1951), Commutative Normalized
ở đây λ ∈ và g , h là các hàm liên tục
Rings, Nauka, Moscow.
trong L( + ) , f là ẩn hàm.
[5] . I. S. Gradstein and I. M. Ruzuk (1962),
Định lý 3.1. Với điều kiện
80
- Integrals, Sums, Chains and Products [11]. I. N. Sneddon (1951), Fourier Transforms,
Calculation Table, Moscow. McGraw-Hill, New York.
[6]. I. I. Hirchman and O. V. Widder (1955), [12]. E. C. Titchmarch (1937), Introduction
The Convolution Transform, Princeton, to Theory of Fourier Integrals, Oxford
New Jersey. Univ. Press.
[7] . V. A. Kakichev (1967), On the convolution [13]. I. Ya. Vilenkin (1958), Matrix elements of
for integral transforms (in Russian), Izv. indecomsable unitary representations for
AN BSSR, Ser. Fiz. Mat., no. 2, 48-57. motions group of the Labachebski’s space
and generalized Mehler-Fox transforms
[8]. A. Kakichev, Nguyen Xuan Thao and (in Russian), Dokl. Akad. Nauk. USSR,
Nguyen Thanh Hai (1996), Composition
118 no. 2, 219-222.
method to construting convolutions for
integral transform, Integral Transforms [14].. S. B. Yakubovich and Yu. F. Luchko
and Special Functions, 4, no. 3, 235-242. (1994), The Hypergeometric Approach
to Integral Transforms and Convolutions,
[9]. O. I. Marichev (1983), Handbook
Kluwer.
of Integral Transforms of Higher
Transcendeltal Functions. Theory and KẾT LUẬN
Algorithmic Tables, New York - Bribane Trong bài báo này chúng tôi đã xây dựng
- Chicherter - Toronto. và nghiên cứu tích chập mới với hàm trọng
[10] . Nguyen Xuan Thao and Nguyen Thanh γ (y) = cos α y đối với phép biến đổi tích phân
Hai (1997), Convolution for Integral Fourier cosine đồng thời áp dụng để giải một lớp
Transforms and Their Applications, phương trình tích phân kiểu Toeplitz-Hankel.
Russian Academy, Moscow.
ON THE CONVOLUTION WITH A WEIGHT FUNCTION γ (y) = cos α y
FOR FOURIER COSINE TRANSFORM
Abstract: The convolution with the weight function γ (y) = α cos y for Fourier cosine integral
transform is formulated and studied. The factorization equality, some properties and the relationship
between the convolution with known convolution are established. In this paper, we also apply the
new convolution to slove a class of integral equation of Toeplitz-Hankel type.
Keywords: Integral equation of Toeplitz-Hankel type; Convolution; Convolution with weight
function; Fourier integral transform; Fourier cosine integral transform.
__________________________________________
Ngày nhận bài: 26/11/2020. Ngày nhận đăng: 23/03/2021.
Liên lạc: Nguyễn Minh Khoa, e - mail: khoanm@epu.edu.vn
81
nguon tai.lieu . vn
