- Trang Chủ
- Địa Lý
- Thủy văn học và phân tích vùng ngập lụt ( ĐH Quốc Gia Hà Nội ) - Chương 3
Xem mẫu
- ch−¬ng 3. ph©n tÝch tÇn suÊt
¶nh. Lò lôt ë s«ng Trinity c¹nh Dayton, Texas nawm 1990
3.1.
lêi giíi thiÖu
Ph¹m vi nghiªn cøu
Cã nhiÒu c¸c chu tr×nh thuû v¨n ph¶i ®−îc lµm râ vµ ®−îc gi¶i thÝch theo x¸c suÊt
lµ do sù biÕn ®æi ngÉu nhiªn vèn cã cña nã. cho vÝ dô kh«ng thÓ dù b¸o l−u l−îng vµ
l−îng m−a mét c¸ch chÝnh x¸c dùa vµo c¸c sè liÖu trong qu¸ khø hay t−¬ng lai do
kh«ng biÕt nguyªn nh©n c¬ chÕ ho¹t ®éng cña chóng. RÊt may lµ ph−¬ng ph¸p thèng kª
lµ rÊt phï hîp ®Ó cÊu thµnh vµ biÓu diÔn chuçi sè liÖu quan tr¾c thµnh mét d¹ng mµ cã
thÓ néi suy vµ −íc l−îng. Ch−¬ng nµy chØ ra c¸c ph−¬ng ph¸p ngÉu nhiªn mµ trong
thuû v¨n c¸c sè liÖu cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh vµ biÓu diÔn trong mét phu¬ng ph¸p thèng kª
chuÈn.
163
- C¸c biÕn cè ngÉu nhiªn
Mét biÕn cè ngÉu nhiªn lµ mét tham sè (nh− l−u l−îng, l−îng m−a, qu¸ tr×nh l−u
l−îng) nã cã thÓ ®−îc dù b¸o mét c¸ch chÝnh x¸c ®ã lµ, mét biÕn cè ngÉu nhiªn lµ kÕt
qu¶ cña mét qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn. Mét sè biÕn cè cã thÓ ®−îc xö lý b»ng thèng kª mét
c¸ch gi¸n ®o¹n hay liªn tôc. PhÇn lín c¸c sè liÖu thuû v¨n lµ liªn tôc vµ ®−îc ph©n tÝch
x¸c suÊt b»ng ph©n bè x¸c suÊt liªn tôc. Cho vÝ dô, gi¸ trÞ l−u l−îng trong biÓu ®å h×nh
3.1a cã thÓ b»ng bÊt cø mét gi¸ trÞ thùc nµo khi ®o ®¹c b»ng dông cô ®o, ®ã lµ c¸c sè
liÖu liªn tôc. Tuy nhiªn chÝnh b¶n th©n c¸c sè liÖu l¹i ®−îc biÓu diÔn mét c¸ch gi¸n
®o¹n lµ do c¸c qu¸ tr×nh ®o ®¹c. C¸c sè liÖu dßng ch¶y hµng ngµy cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh
mét c¸ch x¸c thùc nhÊt b»ng l−u l−îng n−íc m3/s. D¹ng biÓu diÔn nµy cña sè liÖu ®−îc
gäi lµ d¹ng gi¸n ®o¹n - liªn tôc. §ã lµ c¸c sè liÖu liªn tôc ®−îc quy thµnh gi¸n ®o¹n.
§iÒu nµy còng ®−îc minh ho¹ trong h×nh 3.1(a), trong ®ã l−u l−îng ®−îc gi¶ thiÕt d¹ng
m3/s gÇn nhÊt.
C¸c biÕn cè ngÉu nhiªn gi¸n ®o¹n cã thÓ chØ ®−îc lÊy trªn mét l−u vùc nhÊt ®Þnh
trong c¸c gi¸ trÞ rêi r¹c. Cho vÝ dô, tung mét ®ång xu kÕt qu¶ lµ mÆt sÊp hoÆc ngöa sÏ
xuÊt hiÖn; tung mét con sóc s¾c c¸c gi¸ trÞ xuÊt hiÖn tõ 1 ®Õn 6. KÕt qu¶ tõ thïng ®o
m−a lµ c¸c gi¸ trÞ thuû v¨n ®¬n gi¶n nh− trong h×nh 3.1(b): nã cã thÓ cã hay kh«ng cã
mét ®Ønh trong suèt kho¶ng thêi gian.
H×nh 3.1. C¸c sè liÖu liªn tôc vµ gi¸n ®o¹n a) sè liÖu liªn tôc vµ gi¸n ®o¹n b)sè liÖu gi¸n ®o¹n. KÕt
qu¶ biÓu ®å lÊy tõ thïng ®o m−a. Mçi mét ®¬n vÞ ®é cao lµ 0.01 inch l−îng m−a.
164
- C¸c sè liÖu gi¸n ®o¹n - liªn tôc cã thÓ ®−îc xö lý b»ng gi¸n ®o¹n. ThËt vËy chóng
®−îc gi¸n ®o¹n ho¸ bÊt cø lóc nµo c¸c b¶ng sè liÖu ®−îc s¾p xÕp tr×nh tù, do c¸c gÝa trÞ
nµy cßn ®−îc c¾t bít. (VÝ dô nh− gi¸ trÞ gÇn nhÊt cña 1 ft3/s l−u l−îng hay 0.1 inch
l−îng m−a). Tuy nhiªn, viÖc ph©n tÝch c¸c yÕu tè tÇn suÊt nµy lµ rÊt thuËn tiÖn do sè
liÖu tÝnh to¸n lín mµ ta cã thÓ xem xÐt. Cho vÝ dô, nÕu l−u l−îng dßng ch¶y ®−îc ®o ®¹c
gÇn ®óng nhÊt (ft3/s) trong kho¶ng tõ 0 ®Õn 5000 ft3/s th× ph¶i tÝnh to¸n 5000 kho¶ng
gi¸n ®o¹n. T−¬ng øng, c¸c ®iÓm liªn tôc sÏ dÔ dµng h¬n rÊt nhiÒu. MÆc dï c¸c ph©n bè
tÇn suÊt rêi r¹c thØnh tho¶ng ®−îc ¸p dông cho c¸c gi¸ tÞ liªn tôc (vÝ dô ®é lín l−îng
m−a cña mét trËn m−a), c¸c øng dông chñ yÕu cña ph©n bè rêi r¹c trong thuû v¨n lµ
mét biÕn cè ngÉu nhiªn mµ ë d¹ng sè ®Ó ®¸p øng mét sè tiªu chuÈn nhÊt ®Þnh, vÝ dô gi¸
trÞ lò ®−îc mong ®îi ®Ó v−ît qu¸ mét ®é lín nhÊt ®Þnh, trong thêi kú nhiÒu n¨m.
biÓu diÔn sè liÖu
Sè liÖu gi¸n ®o¹n - liªn tôc th−êng ®−îc biÓu diÔn d−íi d¹ng biÓu ®å h×nh cét hay
mét ®−êng cong. ChiÒu cao vµ h×nh d¹ng chung cña ®−êng cong lµ phï hîp víi c¸c ®Æc
tr−ng sè liÖu vµ lùa chän luËt ph©n bè c¸c sè liÖu mét c¸ch hîp lý, vÝ dô cã nh÷ng ph©n
bè nªn lµm ®èi xøng hay cã nh÷ng ph©n bè nªn chän bÊt ®èi xøng. Sö dông l−u l−îng
dßng ch¶y, vÝ dô, gi¸ trÞ l−u l−îng ®−îc ph©n chia thµnh tõng líp mét vµ t−¬ng øng víi
nã lµ mét tÇn suÊt xuÊt hiÖn cña líp ®ã. §é lín cña mçi líp nªn ®ñ nhá lµm sao c¸c
thµnh phÇn sè liÖu cã thÓ thÊy ®−îc nh−ng còng ph¶i ®ñ lín ®Ó cho c¸c thµnh phÇn
kh«ng bÞ lÉn lén. Gi¸ trÞ ®· sö dông trong c¸c líp cã thÓ thay ®æi h×nh ¶nh cña sè liÖu
(Benjamin vµ Cornel, 1970). Gi¸ trÞ nµy cã thÓ kh«ng thuËn tiÖn cho viÖc thay ®æi nhiÒu
ch−¬ng tr×nh tÝnh to¸n, v× vËy c¸c kü s− cã thÓ so s¸nh vµ ®−a ra mét vµi sù lùa chän
kh¸c nhau. Víi sù trî gióp cña Panofsky vµ Brier, 1968 ®· ®−a ra:
K = 5log10n (3.1)
ë ®©y K lµ sè kho¶ng líp vµ n lµ sè gi¸ trÞ. Kho¶ng líp kh«ng ph¶i lµ h»ng sè ®é réng.
NÕu kh«ng, thuËn lîi cho viÖc nhãm c¸c sè liÖu thµnh mét nhãm lín h¬n, kho¶ng ®−îc
kÕt hîp.
Nöa tung ®é cña ®å thÞ ®−îc ph©n chia bëi toµn bé sè lÇn quan s¸t ®−îc, tÇn suÊt
t−¬ng øng (x¸c suÊt ) cña mçi mét kho¶ng líp, nh− vËy tæng tung ®é b»ng 1.0 t¹o nªn
sù thay ®æi ph−¬ng ph¸p ®¸nh dÊu sè liÖu. Cho ®Õn c¸ch thø ba lµ d¹ng cña mét ph©n
bè tÇn suÊt luü tÝch, nã cho biÕt toµn bé ®−êng cong ph©n bè tÇn suÊt t−¬ng øng trªn
mét kho¶ng nhÊt ®Þnh vµ lµ x¸c suÊt mµ mét gi¸ trÞ ë hoµnh ®é lµ nhá h¬n hoÆc b»ng
®é lín ë mçi ®iÓm ®ã. C¶ hai tÇn suÊt trªn ®Òu ®−îc dïng nhiÒu trong thuû v¨n vµ ®−îc
minh ho¹ râ nÐt nhÊt trong mét sè vÝ dô .
VÝ dô 3.1
®å thÞ tÇn suÊt
Sè liÖu lò lín nhÊt trong 31 n¨m ®−îc ghi l¹i t¹i Cypress Creek, gÇn Horton,
Texas, ®−îc tr×nh bµy trong b¶ng 3.1. Ph−¬ng tr×nh 3.1 cho biÕt r»ng cã kho¶ng t−¬ng
øng 7 hay 8 líp. ë ®©y lµ nã cho phÐp giíi h¹n tiªu chuÈn lµ 2000ft3/s (tiªu chuÈn nµy
quan träng h¬n nh÷ng quy t¾c ®Õm tay kh¸c ®«Ý víi sè kho¶ng líp).
TÇn suÊt, tÇn suÊt t−¬ng øng, tÇn suÊt luü tÝch còng ®−îc x¸c ®Þnh trong b¶ng vµ
165
- biÓu diÔn trong h×nh 3.2 vµ 3.3. VÝ dô , trong h×nh 3.2 x¸c suÊt n»m trong kho¶ng 2000
vµ 4000 lµ 0.29. Tõ ®−êng cong x¸c suÊt luü tÝch (h×nh 3.3), x¸c suÊt mµ l−u l−îng nhá
h¬n hoÆc b»ng 4000 ft3/s lµ 0.58. Chó ý r»ng tæng cña tÇn suÊt t−¬ng øng lµ 1.0 ®−îc
chØ ra trong b¶ng 3.1 vµ tæng tung ®é ®−îc biÓu diÔn trong h×nh 3.3.
B¶ng 3.1 B¶ng tÝnh to¸n sè liÖu vµ tÇn suÊt ë Cypress Creek , gÇn Horton, Texas
Sè liÖu ch−a Sè liÖu ®· Sè liÖu ch−a Sè liÖu ®·
s¾p xÕp s¾p xÕp s¾p xÕp s¾p xÕp
Q(m3/s) Q(m3/s) Q(m3/s) Q(m3/s)
N¨m Stt N¨m Stt
1945 9840 1 15600 1961 6260 17 3310
1946 5170 2 10300 1962 1360 18 3210
1947 1620 3 9840 1963 1000 19 3000
1948 235 4 7760 1964 2770 20 2820
1949 15600 5 6560 1965 1400 21 2770
1950 4740 6 6260 1966 3210 22 2520
1951 427 7 5440 1967 1110 23 1900
1952 3310 8 5230 1968 5230 24 1620
1953 4400 9 5170 1969 4300 25 1400
1954 7760 10 4740 1970 2820 26 1360
1955 2520 11 4710 1971 1900 27 1110
1956 340 12 4400 1972 3980 28 1000
1957 5440 13 4300 1973 6560 29 427
1958 3000 14 3980 1974 4710 30 340
1959 3690 15 3690 1975 3460 31 235
1960 10300 16 3460
Kho¶ng líp Gi¸ trÞ trung b×nh TÇn suÊt TÇn suÊt t−¬ng øng TÇn suÊt l/t
0 - 2000 1000 9 0.29 0.29
2000 - 4000 3000 9 0.29 0.58
4000 - 6000 5000 7 0.23 0.81
6000 - 8000 7000 3 0.10 0.91
8000 - 10000 9000 1 0.03 0.94
10000 - 12000 11000 1 0.00 0.97
12000 - 14000 13000 0 0.03 0.97
14000 - 16000 15000 1 0.03 1.00
∑ = 31
166
- Mét c¸ch gi¸n ®o¹n ho¸ c¸c sè liÖu l−u l−îng liªn tôc sÏ ®−îc quy ®Þnh lµ mét biÕn
cè ngÉu nhiªn rêi r¹c cho mçi mét kho¶ng líp. BÊt kú mét gi¸ trÞ nµo n»m trong mét
líp sÏ ®−îc quy ®Þnh lµ gi¸ trÞ rêi r¹c t−¬ng øng cña c¸c líp ®ã, th«ng th−êng ®iÓm
trung b×nh hay ®iÓm gi÷a cña mçi líp. Trong tr−êng hîp nµy ®iÓm gi÷a sÏ ®−îc ®iÒn
vµo hoµnh ®é (h×nh 3.4). Mét gi¸ trÞ tÇn suÊt t−¬ng øng lµ gi¸ trÞ tÇn suÊt cña l−u l−îng
3000 ft3/s lµ 0.29 (gi¸ trÞ t−¬ng ®−¬ng nµy ®−îc lÊy dùa vµo nh÷ng hiÖn t−îng ®· biÕt
mµ mét biÕn cè ngÉu nhiªn liªn tôc cã thÓ cã, kh«ng cÇn x¸c ®Þnh chÝnh x¸c b»ng gi¸ trÞ
cô thÓ).
§−êng bÊt ®èi xøng l−u l−îng ë Cypress Creek ®−îc tr×nh bµy trong h×nh 3.2 vµ
3.4, ®ã lµ ®iÓm cuèi ë bªn ph¶i. Nã sÏ ®−îc x¸c ®Þnh vµ lÊy t−¬ng ®−¬ng víi sù thay ®æi
ph©n bè trong nhiÒu tr−êng hîp kh¸c.
H×nh 3.2. BiÓu ®å tÇn suÊt t−¬ng øng cho vïng Cypress Creek, gÇn Horton, Texas.
H×nh 3.3. BiÓu ®å tÇn suÊt luü tÝch cho vïng Cypress Creek.
167
- H×nh 3.4. BiÓu ®å tÇn suÊt rêi r¹c cña vïng Cypress Creek.
Nh÷ng tÇn suÊt nµy b»ng víi hµm khèi l−îng x¸c suÊt rêi r¹c (PMF).
3.2.
C¸c kh¸i niÖm x¸c suÊt
TiÕn hµnh mét thÝ nghiÖm víi N kÕt qu¶ ®¹t ®−îc, X1,X2,…Xi,…XN. C¸c kÕt qu¶
nµy lµ ®éc lËp, nÕu kh«ng hai trong sè ®ã cã thÓ x¶y ra cïng mét lóc. Nã lµ sè lÇn xuÊt
hiÖn c¸c mÆt, chóng ®Æc tr−ng cho toµn bé kÕt qu¶ ®¹t ®−îc khi tiÕn hµnh thÝ nghiÖm.
X¸c suÊt cña mét biÕn cè Xi cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh b»ng sè lÇn xuÊt hiÖn biÕn cè t−¬ng
øng trong rÊt nhiÒu phÐp thö. X¸c suÊt nµy cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh b»ng P(Xi) = ni/n, ë
®©y ni lµ sè lÇn xuÊt hiÖn (x¸c suÊt ) cña biÕn cè Xi trong n phÐp thö. Tuy nhiªn ni/n chØ
lµ tÇn suÊt t−¬ng øng hoÆc x¸c suÊt x¶y ra cña biÕn cè Xi.
Mét x¸c suÊt rêi r¹c lµ mét x¸c suÊt ®¬n gi¶n cña mét biÕn cè rêi r¹c. NÕu nh−
mét P(Xi) nhÊt ®Þnh b»ng víi x¸c suÊt cña biÕn cè ngÉu nhiªn Xi, c¸c ®iÒu kiÖn cho phÐp
tån t¹i nh÷ng x¸c suÊt rêi r¹c cña nh÷ng biÕn cè nµy khi xem xÐt c¸c kho¶ng ®¬n gi¶n
cña toµn bé kÕt qu¶ ®¹t ®−îc:
0 < P(Xi) < 1 (3.2)
N
∑ P( Xi) = 1 . (3.3)
i=1
X¸c suÊt hîp cña hai biÕn cè ®éc lËp lµ tæng x¸c suÊt cña mçi x¸c suÊt biÕn cè
thµnh phÇn:
P(X1∪ X2) = P(X1) + P(X2) (3.4)
Hai biÕn cè X1 vµ Y1 ®−îc gäi lµ ®éc lËp, nÕu viÖc x¶y ra biÕn cè nµy kh«ng ¶nh
168
- h−ëng ®Õn sù xuÊt hiÖn biÕn cè kia. X¸c suÊt giao (c¶ hai cïng x¶y ra ®−îc ký hiÖu ∩ )
cña hai biÕn cè ®éc lËp lµ tÝch cña chóng:
P(X1∩ Y1) = P(X1). P(Y1). (3.5)
§èi víi c¸c biÕn cè phô thuéc lÉn nhau:
P(X1∪ Y1) = P(X1) + P(Y1) - P(X1∩ Y1). (3.6)
X¸c suÊt ®iÒu kiÖn cña X1 khi biÕn cè Y1 ®· x¶y ra lµ:
P(X1/Y1) = P(X1∩ Y1)/ P(Y1) . (3.7)
NÕu biÕn cè X1 vµ Y1lµ ®éc lËp th× kÕt hîp 2 ph−¬ng tr×nh 3.5 vµ 3.7 trë thµnh:
P(X1/Y1) = P(X1).P(Y1)/P(Y1) =P(X1). (3.8)
Nh÷ng kh¸i niÖm nµy th−êng ®−îc minh ho¹ trong biÓu ®å Venn (H×nh 3.5) trªn
®ã diÖn tÝch lµ x¸c suÊt, víi tæng diÖn tÝch t−ong øng th× x¸c suÊt b»ng 1.0, hay 100%.
H×nh 3.5. BiÓu ®å Venn minh ho¹ x¸c suÊt
VÝ dô 3.2
C¸c x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn
LÊy biÕn cè Y1 lµ ®iÒu kiÖn mµ l−îng m−a x¶y ra trong mét ngµy nhÊt ®Þnh vµ
biÕn cè X1 lµ ®iÒu kiÖn mµ chíp quan s¸t ®ù¬c trong mét ngµy nhÊt ®Þnh. Cho x¸c suÊt
cña nh÷ng biÕn cè nµy:
P(X1) = 0.3 (x¸c suÊt chíp lµ 30%)
P(Y1) = 0.1 (x¸c suÊt m−a lµ 10% )
P(X1/Y1) = 0.5 (nÕu cã chíp xuÊt hiÖn th× m−a lµ 50% )
TÝnh x¸c suÊt c¶ m−a vµ chíp cïng x¶y ra (lµ x¸c suÊt ∩ cña X1 vµ Y1)?
Tõ ph−¬ng tr×nh 3.7:
P(X1∩ Y1) = P(Y1/X1).P(X1) = 0.15.
NÕu lµ ®éc lËp víi P(Y1/X1) = P(Y1) = 0.03.
X¸c suÊt cña c¸c biÕn cè ®éc lËp cïng x¶y ra lu«n lu«n nÕu chóng lµ phô thuéc.
169
- 3.3.
C¸c biÕn cè ngÉu nhiªn vµ c¸c luËt ph©n bè x¸c suÊt
C¸c biÕn cè ngÉu nhiªn vµ biÕn cè rêi r¹c
TÝnh chÊt cña c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn cã thÓ ®ù¬c miªu t¶ bëi quy luËt ph©n bè
x¸c suÊt cña nã. Mçi mét kÕt qu¶ ®¹t ®−îc trong mét phÐp thö ®ùoc quy ®Þnh lµ sè gi¸
trÞ phô thuéc vµo hµm khèi l−îng x¸c suÊt rêi r¹c (PMF) hay hµm mËt ®é x¸c suÊt liªn
tôc (PDF). Trong thuû v¨n, c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn rêi r¹c ®−îc sö dông rÊt réng r·i ®Ó
biÓu diÔn sè tr−êng hîp x¶y ra mµ phï hîp v¬Ý mét tiªu chuÈn nhÊt ®Þnh. VÝ dô, gi¸ trÞ
lò v−ît qu¸ gi¸ trÞ cô thÓ cho tr−íc, l−îng m−a x¶y ra t¹i mét n¬i nhÊt ®Þnh, … C¸c vÝ
dô trong ch−¬ng nµy ®Òu thuéc lo¹i nµy. Nh− mét quy t¾c, c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn rêi
r¹c ®−îc liªn kÕt chØ víi c¸c tham sè mµ cã thÓ chØ lµ c¸c sè nguyªn. Tuy nhiªn cã thÓ
nhãm c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn liªn tôc thµnh c¸c sè nguyªn gÇn ®óng nhÊt hay c¸c gi¸
trÞ nguyªn bá dÊu phÈy. Cho vÝ dô, l−îng m−a 2.18 inch thay lµ l−îng m−a 218 inch.
§«i khi biÕn ®æi ®Ó xö lý mét biÕn cè liªn tôc thµnh d¹ng rêi r¹c, nh− l−u l−îng
rêi r¹c trong h×nh 3.4. H·y chó ý P(x1) cã nghÜa lµ x¸c suÊt mµ biÕn cè ngÉu nhiªn rêi
r¹c X lÊy tõ gi¸ trÞ x1. BiÓu diÔn l¹i l−u l−îng x "rêi r¹c ", chóng ta cã thÓ lÊy x¸c suÊt
t−¬ng øng trong h×nh 3.4:
P(1000) = 0.29, P(9000) = 0.03
P(3000) = 0.29, P(11000) = 0.03
P(5000) = 0.23, P(13000) = 0.0
P(7000) = 0.10, P(15000) = 0.03
∑ P ( x)
P ( a ≤ x ≤ b) = (3.9)
a≤ x≤b
Chó ý r»ng c¸c gi¸ trÞ nµy phï hîp víi x¸c suÊt tuyÖt ®èi cña ph−¬ng tr×nh 3.2 vµ
3.3. H¬n n÷a c¸c x¸c suÊt lµ rêi r¹c.
Hµm ph©n bè luü tÝch (CDF) ®−îc x¸c ®Þnh lµ:
Tõ c¸c gi¸ trÞ trong b¶ng trªn, F(7000) = 29+29 + 23 +10 =91%.
∑ P ( Xi )
F ( x) = P ( X ≤ x) = (3.10)
Xi ≤ X
C¸c biÕn cè ngÉu nhiªn liªn tôc th−êng ®−îc sö dông ®Ó biÓu diÔn c¸c yÕu tè
thuû v¨n nh− l−u l−îng, thÓ tÝch, ®é s©u, vµ thêi gian. C¸c gi¸ trÞ nµy kh«ng ph¶i
chuyÓn vÒ d¹ng nguyªn, mÆc dï c¸c biÕn cè liªn tôc cã thÓ nhãm thµnh d¹ng nguyªn.
Cho mét biÕn cè ngÉu nhiªn liªn tôc, phÇn diÖn tÝch d−íi hµm mËt ®é ph©n bè x¸c suÊt
f(x) nh− sau (xem h×nh 3.6):
x2
∫ f ( x) dx
P(x1< x < x2) = (3.11)
x1
vµ phÇn diÖn tÝch d−íi PDF b»ng 1.0:
∞
∫ = 1 .0
f ( x ) dx (3.12)
−∞
170
- B¶n th©n CDF kh«ng ph¶i lµ mét x¸c suÊt vµ cã thø nguyªn nghÞch ®¶o víi thø
nguyªn cña X, vÝ dô nh− ft3/s-1 . Tuy nhiªn, kh«ng gièng víi c¸c nhµ tÝnh to¸n, nã
kh«ng tu©n theo c¸c ®¬n vÞ th−êng dïng cña PDF. Trong thùc tÕ, c¸c gi¸ trÞ cña PDF
rÊt Ýt khi dïng ®Õn. MÆt kh¸c nã lµ hµm mËt ®é luü tÝch (CDF) vµ rÊt quan träng v× nã
lµ x¸c suÊt CDF, liªn tôc ®−îc x¸c ®Þnh gièng víi c¸c thµnh phÇn rêi r¹c cña nã:
H×nh 3.6 .Hµm mËt ®é x¸c suÊt liªn tôc
X1
∫
F ( x1) = P ( −∞ ≤ x ≤ x1) = f ( x) dx (3.13)
−∞
c¸c gi¸ trÞ n»m trong kho¶ng:
0 ≤ f ( X ) ≤ 1 .0 (3.14)
vµ
P(x1 ≤ x ≤ x2 ) = F(x2 ) − F(xl )
1 (3.15)
PDF vµ CDF ®−îc lÊy t−¬ng øng víi ph−¬ng tr×nh (3.13) nghÞch ®¶o :
dF ( x)
= f ( x) .
dx
BiÓu ®å trong h×nh 3.2 cã thÓ ®−îc biÓu diÔn b»ng PDF liªn tôc nÕu c¸c tÇn suÊt
t−¬ng øng ®−îc t¹o ra tõ c¸c kho¶ng líp nhá h¬n x. PhÇn diÖn tÝch d−íi biÓu ®å lµ 1.0.
Cho vÝ dô , nÕu tung ®é cña biÓu ®å tÇn suÊt t−¬ng øng trong h×nh 3.2 cã kho¶ng chia lµ
2000 ft3/s, t−¬ng øng víi mét PDF. Nã minh ho¹ cho nh÷ng PDF cã thÓ cã h×nh d¹ng cè
®Þnh vµ d¹ng gi¸ trÞ ®¬n, chóng kh«ng cÇn gièng h×nh d¹ng ®−ßng cong tr¬n. BiÓu ®å
nµy cã ph©n bè hçn hîp, trong ®ã c¸c x¸c suÊt rêi r¹c biÓu diÔn x¸c suÊt mµ mét biÕn cè
lÊy mét gi¸ trÞ rêi r¹c cô thÓ, trong khi mét PDF liªn tôc cho biÕt ®Ønh cña c¸c gi¸ trÞ
víi mét diÖn tÝch b»ng 1,0 ngo¹i trõ c¸c hµm x¸c suÊt rêi r¹c. §Ó vÝ dô, mét ph©n bè
hçn hîp ®ùoc biÓu diÔn trong h×nh 3.7 trong ®ã x¸c suÊt lµ 0.15 t¹i l−u l−îng b»ng 0.0.
Chän mét ph©n bè liªn tôc PDF ®Ó biÓu diÔn c¸c sè liÖu lµ khã kh¨n bëi v× ng−êi
ta th−êng b¾t ch−íc h×nh d¹ng cña biÓu ®å tÇn suÊt (h×nh 3.2) c¸c PDF phÇn lín sö
171
- dông c¸c biÕn cè thuû v¨n sÏ ®ùoc tr×nh bµy trong phÇn sau ®©y.
H×nh 3.7.LuËt ph©n bè tÇn suÊt rêi r¹c. Sö dông c¸c hµm ph©n bè x¸c suÊt rêi r¹c (PMF)
cho x¸c suÊt cã gi¸ trÞ = 0 vµ c¸c hµm mËt ®é x¸c suÊt liªn tôc (PDF)
(®é lín diÖn tÝch = 0.85) ®èi víi x¸c suÊt cã gi¸ trÞ lín h¬n 0.
C¸c moment cña mét ph©n bè
Kh¸i niÖm moment lµ mét thuËt ng÷ c¬ häc. Mét PMF hoÆc PDF lµ mét d¹ng
hµm trong ®ã c¸c moment cã quan hÖ víi c¸c tham sè cña nã. Tuy nhiªn, nÕu c¸c
moment cã thÓ t×m ®−îc th× còng cã thÓ t×m thÊy c¸c tham sè ph©n bè. ChÝnh b¶n th©n
c¸c moment còng cho biÕt h×nh d¹ng cña c¸c ph©n bè.
Cho mét ph©n bè rêi r¹c, moment gèc bËc N cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau.
∑x
µN ' =
N
P( xi ) (3.17)
i
Vµ ®èi víi c¸c ph©n bè liªn tôc nh− sau:
∞
∫
µN' = x N f ( x) dx (3.18)
−∞
Moment gèc bËc mét lµ gi¸ trÞ trung vÞ, trung b×nh hay gi¸ trÞ kú väng, ®−îc tÝnh
b»ng E() ®èi víi kú väng nh− sau:
∞
∑ x p( x )
E ( x) ≡ µ = (3.19)
(cho PMF rêi r¹c)
i i
−∞
vµ
∞
∫
E( x) ≡ µ = x i f ( x i ) (cho PDF liª n tôc ) (3.20)
−∞
Trung vÞ lµ mét gi¸ trÞ ®−îc lÊy ë gi÷a hay còng ®ùoc gäi lµ mét tham sè vÞ trÝ v×
nã cho biÕt vÞ trÝ trôc quay x sè lín cña ph©n bè ®−îc thiÕt lËp.
Th«ng th−êng luËt ph©n bè cña mét biÕn cè sÏ ®−îc t×m vµ th«ng tin vÒ c¸c biÕn
cè quan hÖ sÏ ®−îc cung cÊp. §Ó vÝ dô, ph©n bè cña l−u l−îng dßng ch¶y cã thÓ ®−îc
biÕt vµ cho biÕt th«ng tin vÒ tr¹m ®ã, ®ã lµ mét hµm cña l−u l−îng. Gi¸ trÞ kú väng cña
172
- hµm g(x) ®èi víi biÕn cè ngÉu nhiªn x cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc c¨n nguyªn
cña x.
∞
∑ g( x ) f ( x )
E( g( x)) = (3.21)
i i
−∞
khi x lµ biÕn cè ngÉu nhiªn rêi r¹c, vµ
∞
∫
E[ g( x)] = g( x) f ( x) dx (3.22)
−∞
khi x lµ biÕn cè ngÉu nhiªn liªn tôc.
Kú väng lµ mét hµm tuyÕn tÝnh, nÕu a, b lµ h»ng sè.
E(a) = a (3.23)
E(bx) = bE(x) (3.24)
vµ
E(a + bx) = a + bE(x) (3.25)
C¸c moment gèc bËc cao h¬n cña luËt ph©n bè th−ßng kh«ng sö dông. Trong thùc
tÕ, c¸c moment trung t©m cña gi¸ trÞ trung b×nh ®−îc x¸c ®Þnh theo PMF rêi r¹c lµ:
∞
∑ (x
µN = − µ ) N p( x i ) (3.26)
i
−∞
vµ ®èi víi PDF liªn tôc:
∞
∫
µN = ( x − µ ) N f ( x) dx (3.27)
−∞
Nh÷ng moment nµy th−êng lµ c¸c gi¸ trÞ kú väng cña kho¶ng lÖch khái gi¸ trÞ
trung b×nh cña x ®−îc ®−a lªn mò N, trong ®ã moment trung t©m bËc nhÊt b»ng 0.
Moment trung t©m bËc hai ®−îc gäi lµ ph−ong sai vµ ®ãng vai trß rÊt quan träng.
∞
∑ (x
Var ( x) ≡ σ 2 = E[( x − µ ) 2 ] = − µ ) 2 f ( x) dx (3.28)
i
−∞
cho c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn liªn tôc
∞
∫
Var ( x) ≡ σ 2 = E[( x − µ ) 2 ] = ( x − µ ) 2 f ( x) dx (3.29)
−∞
Ph−¬ng sai lµ ®é lÖch khái gi¸ trÞ trung b×nh bËc hai, nã biÓu diÔn ®é lín hay
kho¶ng réng cña ph©n bè . Mét ®¬n vÞ t−¬ng ®−¬ng lµ ®é lÖch chuÈn σ , nã ®¬n gi¶n lµ
ph−¬ng sai bËc hai. Tõ c«ng thøc cña kú väng:
Var(x) = E[(x - µ )2] = E[x2 - 2x µ + µ 2]
= E[x2] - E[2 µ x]+E[ µ 2]
= E[x2] - 2 µ E[x]+ µ 2 = E[x2] - 2 µ 2 + µ 2]
µ2
=E[x2]-
= E[x2]-[E(x)]2 (3.30)
Ph−¬ng sai kh«ng ph¶i lµ mét biÕn ®æi tuyÕn tÝnh. Ta cã c¸c quan hÖ sau:
Var(a) = 0 (3.31)
2
Var(bx) = b Var(x) (3.32)
2
Var(a+bx) = b Var(x) (3.33)
ë ®©y a,b lµ c¸c h»ng sè
173
- C¸c moment bËc cao h¬n cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh nÕu cÇn thiÕt, nh−ng th−êng dïng
trong thuû v¨n lµ bÊt ®èi xøng, nã lµ moment trung t©m bËc 3 vµ ®−îc ®¬n gi¶n ho¸
b»ng ®é lÖch trung b×nh mò 3.
µ
g≡ 3 (3.34)
σ3
§é lÖch ph¶i hay lÖch tr¸i gi¸ trÞ trung b×nh lµ tham sè h×nh d¹ng vµ ®−îc biÓu
diÔn tong h×nh 3.8. NÕu nh− ph©n bè lµ ®èi xøng th× hÖ sè bÊt ®èi xøng b»ng 0.
§«i khi nã ®−îc sö dông ®Ó lµm ®¬n gi¶n ho¸ viÖc tÝnh to¸n møc ®é ph©n bè. HÖ
sè ph−¬ng sai ®−îc x¸c ®Þnh theo tû lÖ ®é lÖch khái gi¸ trÞ trung b×nh, hay nã cã thÓ
®−îc sö dông cho môc ®Ých tÝnh CV.
CV = σ / µ (3.35)
H×nh 3.8. ¶nh h−ëng cña hÖ sè bÊt ®èi xøng ®èi víi hµm mËt ®é x¸c suÊt (PDF)
vµ c¸c vÞ trÝ t−¬ng øng cña gi¸ trÞ sè ®«ng, trung vÞ, vµ ®Ønh (cña Haan 1977, H×nh 3.3)
Mét gi¸ trÞ tÝnh t¹i gi−· ®−êng cong lµ trung vÞ xm, nã kh«ng ph¶i lµ moment
nh−ng ®óng h¬n gi¸ trÞ cña x mµ CDF b»ng 0.5:
F(xm) = 0.5 (3.36)
C¸c tham sè kh¸c kh«ng ph¶i lµ moment nh− sè ®«ng cña ph©n bè. Gi¸ trÞ nµy
cña x ë PDF (hoÆc PMF) lµ mét ®iÓm cùc ®¹i. C¸c quan hÖ gi÷a gi¸ trÞ trung b×nh,
trung vÞ vµ sè ®«ng còng ®−îc minh ho¹ trong h×nh 3.8. C¸c ph©n bè chñ yÕu lµ mét
ph−¬ng thøc (ph©n bè hçn hîp cña h×nh 3.7 lµ nhÞ thøc).
C¸c moment vµ c¸c tham sè ®−îc tr×nh bµy trong phÇn nµy ®Ó xem xÐt quy luËt
ph©n bè x¸c suÊt vµ cã thÓ lÊy ®Ó ph©n tÝch. C¸c d¹ng hµm nh− PMF hay PDF cã thÓ
®−îc thay thµnh d¹ng tæng hay d¹ng tÝch ph©n vµ c¸c moment ®· x¸c ®Þnh tõ c¸c thµnh
phÇn cña c¸c tham sè trong ph©n bè. Nã kh«ng ®−îc minh ho¹ ë ®©y do mèi quan hÖ
gi÷a c¸c moment vµ c¸c tham sè ph©n bè sÏ ®−îc x¸c ®Þnh cho mçi mét ph©n bè khi
xem xÐt. C¸c mèi quan hÖ cho biÕt mét ph−¬ng ph¸p ®¬n gi¶n cña viÖc x¸c ®Þnh c¸c
tham sè ph©n bè nÕu nh− c¸c moment ®· biÕt. Víi môc ®Ých ®ã viÖc x¸c ®Þnh c¸c
moment ph¶i ®−îc lÊy tõ c¸c sè liÖu.
¦íc l−îng moment tõ c¸c sè liÖu
Cho c¸c gÝa trÞ tham sè cña ph©n bè, nã lµ mét chuçi x1, x2,…, xn cña c¸c biÕn
ngÉu nhiªn phô thuéc vµo viÖc cho PMF hay PDF. C¸c chuçi cã ®é dµi x¸c ®Þnh sÏ x©y
dùng mét c¸ch phæ biÕn toµn bé c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn dùa vµo PDF hay PMF ®· cho
víi c¸c tham sè nhÊt ®Þnh. T−¬ng tù cã thÓ x¸c ®Þnh c¸c tham sè tõ c¸c moment do
chóng cã quan hÖ víi nhau, nh− xem xÐt ë trªn (vµ ®−îc xö lý l¹i cho phï hîp). C¸c sè
liÖu thuû v¨n ®o ®¹c th−êng ®−îc t¹o ra tõ c¸c qu¸ tr×nh vËt lý hçn hîp(vÝ dô dßng ch¶y
174
- cã thÓ ®−îc t¹o ra tõ m−a hay tuyÕt tan), v× vËy cã thÓ kÕt hîp nhiÒu ph©n bè x¸c suÊt.
Trong ®ã c¸c sè liÖu quan s¸t lµ ®èi t−îng nghiªn cøu ®Ó thÊy sù kh¸c nhau cña nã víi
gi¸ trÞ thùc vµ t×m ra mét ph©n bè phï hîp. Do ®ã, c¸c gi¸ trÞ cña c¸c moment ®· tÝnh
tõ c¸c sè liÖu sÏ ®−îc sö dông ®Ó tÝnh ng−îc trë l¹i nh÷ng gi¸ trÞ ch−a biÕt. Tuy nhiªn
c¸c −íc l−îng cña chóng cã thÓ x¸c ®Þnh nhanh chãng t÷ c¸c sè liÖu, nh− tr×nh bµy ë
d−íi ®©y ®èi víi 3 tham sè moment chñ yÕu trong thuû v¨n. NÕu sè c¸c biÕn cè ngÉu
nhiªn lµ n, −íc l−îng trÞ trung b×nh lµ:
1n
~
∑ xi
µ=x= (3.37)
n i =1
C¸c moment bËc cao h¬n lµ c¸c ®èi t−îng ®Ó thÊy sù sai kh¸c trong viÖc −íc l−îng
chóng. ¦íc l−îng kh«ng cã sai sè lµ gi¸ trÞ kú väng vµ b»ng gi¸ trÞ sè ®«ng. Nã cã thÓ
®−îc tr×nh bµy (Benjamin vµ Cornel, 1970 ) nh− E ( x ) = µ khi cÇn thiÕt. Cho ph−¬ng
sai vµ −íc l−îng kh«ng chÝnh x¸c lµ:
1n
∑ ( xi − x ) 2
σ 2 ≡ S2 =
1 − n i =1
(3.38)
∑x − nx 2
2
=
i
,
n −1
ë ®©y mÉu sè n-1 (thùc chÊt lµ n) ®Ó gi¶m bít sai sè (ngo¹i trõ c¸c tr−êng hîp kh¸c,
céng tÊt c¶ tõ 1 ®Õn n ), trong ®ã cho nhiÒu gi¸ trÞ, mÉu n phÇn lín còng ®−îc −íc l−îng
t−¬ng tù, vµ c¶ 2 mÉu nµy ®Òu cã thÓ ®−îc t×m trong ®ã, mÆc dï c¸c −íc l−îng chÝnh, sai
sè th−êng ®−îc chó ý h¬n trong tÝnh to¸n. D¹ng thø hai cña ph−¬ng tr×nh 3.38 ®−îc −a
chuéng h¬n.
Do viÖc −íc l−îng cña c¸c moment lµ mét hµm cña c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn, chÝnh
b¶n th©n chóng còng lµ c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn. Ph−¬ng sai cña gi¸ trÞ trung b×nh còng
®−îc x¸c ®Þnh nh− sau:
2
Sx
Var( x ) ≡ Sx =
2
(3.39)
n
Tuy vËy, nÕu ph−¬ng sai cña gi¸ trÞ trung b×nh ®−îc coi lµ sai sè ®o ®¹c trong viÖc
−íc l−îng gi¸ trÞ trung b×nh, nã ®−îc t¹o nªn khi chuçi t¨ng, ®iÒu nµy ®óng khi x¸c
®Þnh toµn bé c¸c moment.
§é lÖch lµ hµm ®Æc biÖt do nã bao gåm tæng kho¶ng lÖch khái gi¸ trÞ trung b×nh
vµ lµ sai sè lín h¬n khi x¸c ®Þnh chóng (gi¸ trÞ cña nã). Mét −íc l−îng xÊp xØ gi¶m sai
sè lµ:
∑ ( xi − x ) 3
n
ˆ
CS ≡ g = . (3.40)
(n − 1)(n − 2) 3
1
Sx
Víi Sx2 ®−îc cho bëi ph−¬ng tr×nh 3.38. kh«ng dÔ ®Ó lÊy xÊp xØ lµm gi¶m sai sè
dùa vµo c¸c hµm ph©n bè (Bodee vµ Robitaille, 1975), nh−ng lÊy xÊp xØ CS1 lµ phï hîp
®Ó øng dông trong thuû v¨n (Tasker vµ Stedinger, 1986) lµ
CS2 = (1 + 6/n).CS1 (3.41)
C«ng thøc nµy chÝnh x¸c ®Ó øng dông ®−êng cong ph©n bè Pearson - 3 (phÇn 3.5)
nh−ng còng tho¶ m·n c¸c ph©n bè kh¸c khi CS1 ®−îc xö lý. ¦íc l−îng bÊt ®èi xøng ®·
tÝnh to¸n sö dông ph−¬ng tr×nh 3.41 ®−îc gäi lµ kho¶ng −íc l−îng, cã nghÜa lµ viÖc −íc
l−îng toµn bé sè liÖu t¹i tr¹m ®o mµ ta quan t©m.
175
- C¸c sai sè vµ c¸c lçi trong khi −íc l−îng c¸c hÖ sè bÊt ®èi xøng t¨ng lªn khi sè
tr¹m ®o n gi¶m xuèng. C¸c sè liÖu vÒ n−íc ë Héi ®ång t− vÊn Thuû lîi lµ rÊt phï hîp
cho viÖc x¸c ®Þnh hÖ sè bÊt ®èi xøng, Cw, dùa vµo ph−¬ng tr×nh:
Cw = WCS + (1 - W)Cm (3.42)
ë ®©y W lµ nh©n tè träng l−îng, CS lµ hÖ sè bÊt ®èi xøng ®· tÝnh b»ng viÖc sö dông c¸c
sè liÖu ®¬n gi¶n, vµ Cm lµ h×nh d¹ng bÊt ®èi xøng, nã ®−îc x¸c ®Þnh dùa vµo b¶n ®å nh−
trong h×nh 3.9. Nh©n tè träng l−îng W ®−îc tÝnh to¸n lµm gi¶m sai sè cña CW, ë ®©y
V (C m )
W=
V (C S ) + V (C m )
§Ó x¸c ®Þnh W ®ßi hái ph¶i biÕt ph−¬ng sai cña Cm[V(Cm)] vµ ph−¬ng sai cña
CS[V(CS)]. V(Cm) ®−îc x¸c ®Þnh tõ biÓu ®å cña hÖ sè bÊt ®èi xøng ë n−íc Mü b»ng
0.3025. §−a W vµo ph−¬ng tr×nh (3.42) bÊt ®èi xøng Cw ®−îc viÕt nh− sau
V (Cm ) CS + V (C S )Cm
Cw =
V (Cm ) + V (C S )
H×nh 3.9 .T¹o ra c¸c hÖ sè bÊt ®èi xøng theo d¹ng loga cña dßng chaû hµng n¨m lín nhÊt.
(tõ sè liÖu n¨m 1982 ë Héi ®ång t− vÊn thuû lîi).
Sai sè cña bÊt ®èi xøng CS ®èi víi ®−êng cong loga Pearson 3 cña c¸c biÕn ngÉu
nhiªn cã thÓ ®−îc tÝnh tõ kÕt qu¶ cña Monte Carlo, hÖ sè kinh nghiÖm Wallis, Matalas,
vµ Slack n¨m 1974. Chóng ®−îc biÓu diÔn nh− sau:
V(CS)=10A-Blog10(n/10)
trong ®ã
176
- A = −0.33 + 0.08 CS nÕu CS ≤ 90
A = −0.52 + 0.30 CS nÕu C S > 90
B = 0.94 − 0.26 CS nÕu C S ≤ 1.50
B = 0.55 nÕu C S > 1.50
ë ®©y CS lµ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña hÖ sè bÊt ®èi xøng cè ®Þnh (®−îc sö dông nh− mét −íc
l−îng cña sè ®«ng bÊt ®èi xøng) vµ n lµ sè n¨m.
§èi víi c¸c vïng thuû v¨n ®« thÞ, rÊt khã kh¨n ®Ó −íc l−îng c¸c moment do dßng
ch¶y t¨ng theo thêi gian. Do ®ã ph©n bè tÇn suÊt cã thÓ kh«ng æn ®Þnh (thay ®æi theo
thêi gian). T−¬ng tù, c¸c m« h×nh ®· tr×nh bµy trong ch−¬ng 5 vµ 6, cã thÓ ®−îc sö dông
®Ó ph¸t triÓn c¸c ph©n bè x¸c suÊt cho dßng ch¶y trong vïng ®« thÞ trong mét thêi kú
ph¸t triÓn nhÊt ®Þnh.
VÝ dô 3.3
C¸c moment cña chuçi sè liÖu cùc ®¹i hµng n¨m
Chuçi sè liÖu 31 n¨m cña l−u l−îng lín nhÊt hµng n¨m ë miÒn Nam Cpress Creek
cña Horton, Texas, ®−îc tr×nh bµy l¹i trong b¶ng 3.2. X¸c ®Þnh gi¸ trÞ trung b×nh, ®é
lÖch chuÈn, cña sè liÖu gèc vµ gi¸ trÞ log (c¬ sè 10) t−¬ng øng b»ng viÖc sö dông ph−¬ng
tr×nh 3.37 vµ 3.38. So s¸nh sù kh¸c nhau gi÷a c¸c −íc l−îng bÊt ®èi xøng.
gi¶i
C¸c kÕt qu¶ cho c¸c gi¸ trÞ nh− sau:
Sè liÖu gèc Sè liÖu loga c¬ sè 10
Trung vÞ 4144 3.463
§é lÖch chuÈn 3311 0.424
HÖ sè lÖch CS1 (3.40) 1.659 -0.936
HÖ sè lÖch CS2(3.41) 1.981 -0.117
HÖ sè bÊt ®èi xøng (3.42) 0.7
Khi xem xÐt sè liÖu loga c¬ sè 10 ta sö dông vïng sè liÖu trong h×nh 3.9 cho thÊy
Cm = - 0.3 ë Horton. Trung b×nh träng l−îng sö dông ph−¬ng tr×nh 3.42 cho thÊy −íc
l−îng thay ®æi lµ - 0.7, thËm chÝ nhá h¬n c¶ gi¸ trÞ cho bëi ph−¬ng tr×nh 3.41. C¸c gi¸
trÞ thay ®æi gÇn h¬n cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh c¸c tr¹m kh¸c ë Horton. Víi nh÷ng môc ®Ých
cña c¸c vÝ dô trong phÇn nµy, gi¸ trÞ - 0.117 cã thÓ ®−îc sö dông (ph−¬ng tr×nh 3.41).
Cho chuçi sè liÖu t¹i Cpress Creek ë Horton sö dông ph−¬ng tr×nh 3.42, Cm = -0.3
vµ trÞ tuyÖt ®èi cña CS = 1.117, do ®ã:
A = -0.52 + 0.3(1.117) = - 0.185
B = 0.94 - 0.26(1.117) = 0.65
A-Blog (n/10)
vµ V(Cs) = 10 = 0.313 vµ V(Cm) = 0.303 tõ b¶n ®å
10
Cuèi cïng
177
- W = 0.303/(0.313 + 0.303) = 0.492 vµ 1 - W = 0.508
vµ Cw = 0.492 (- 0.117) + 0.508(- 0.3) = -0.70
Lµm tr¬n ph©n bè chuçi sè liÖu
Mét kh¶ n¨ng sö dông c¸c −íc l−îng moment ®Ó ®iÒn c¸c sè liÖu vµo ph©n bè x¸c
suÊt tõ c¸c sè liÖu trong hµm ph©n bè. VÝ dô, luËt ph©n bè chuÈn cã c¸c tham sè trung
vÞ µ vµ ph−¬ng sai σ 2 . Ph−¬ng ph¸p moment lµm cho ph©n bè chuÈn trë nªn ®¬n gi¶n
®Ó sö dông c¸c −íc l−îng trung vÞ vµ ph−¬ng sai. H¬n n÷a, tham sè λ cña ph©n bè kinh
nghiÖm ®−îc coi nh− trung vÞ cña ph©n bè. Tuy nhiªn, ë ph−¬ng ph¸p moment ®Æt
ˆ
λ =1/ µ . Ph−¬ng ph¸p biÓu ®å vµ ph−¬ng ph¸p thÝch hîp tèi ®a lµ hai ph−¬ng ph¸p t¹o
ˆ
nªn ph−¬ng ph¸p ph©n bè moment. Ph−¬ng ph¸p biÓu ®å ®−îc tr×nh bµy trong phÇn
3.6. MÆc dÇu ph−¬ng ph¸p thÝch hîp tèi ®a lµ ph−¬ng ph¸p cao h¬n ph−¬ng ph¸p
moment vÒ ph−¬ng diÖn thèng kª, tÝnh to¸n nhiÒu h¬n vµ phøc t¹p h¬n ph−¬ng ph¸p
moment nh−ng n»m ngoµi ph¹m vi cña phÇn nµy. Ph−¬ng ph¸p thÝch hîp tèi ®a cho
mét vµi ph©n bè ®−îc sö dông trong thuû v¨n ®· ®−îc Kite tr×nh bµy (1977). §èi t−îng
x¸c ®Þnh c¸c tham sè trong ph©n bè lµ x¸c ®Þnh CDF cña nã. Trong mét sè tr−êng hîp,
tuy môc ®Ých gièng nhau cã thÓ thùc hiÖn mµ kh«ng cÇn tÝnh to¸n chÝnh x¸c c¸c tham
sè cña ph©n bè. Thùc chÊt, ph©n bè ®· sö dông nh©n tè tÇn suÊt K, cô thÓ nh− sau:
x−x
K= (3.43)
Sx
K lµ mét hµm phô thuéc vµo CDF vµ lµ mét hµm cña bÊt ®èi xøng. Tuy nhiªn, nÕu nh−
K ®−îc biÕt nhê gi¸ trÞ hÖ sè bÊt ®èi xøng vµ gÝa trÞ CDF, gi¸ trÞ t−¬ng øng cña x cã thÓ
còng ®−îc tÝnh to¸n. C¸c nh©n tè tÇn suÊt sÏ ®−îc tr×nh bµy trong phÇn sau khi xem
xÐt mét vµi ph©n bè cô thÓ.
3.4.
thêi kú lÆp l¹i vµ thêi kho¶ng t¸i diÔn
PhÇn lín c¸c gi¸ trÞ trung b×nh ®· sö dông trong thuû v¨n cho biÕt x¸c suÊt cña
mét hiÖn t−îng ®−îc quy ®Þnh lµ thêi kú lÆp l¹i hay thêi kho¶ng t¸i diÔn cña hiÖn
t−îng. Thêi kú lÆp l¹i ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: Mçi mét gi¸ trÞ cùc ®¹i hµng n¨m lín
nhÊt cã mét thêi kú lÆp T n¨m nÕu nh− ®é lín cña nã lín h¬n hoÆc b»ng gi¸ trÞ trung
b×nh T n¨m. X¸c suÊt lín h¬n trong thêi kú T n¨m ®ã lµ x¸c suÊt mµ hiÖn t−îng x¶y ra
lín h¬n hoÆc b»ng gi¸ trÞ cña bÊt kú mét n¨m naß. Do ®ã, dßng ch¶y lò 50 n¨m cã x¸c
suÊt 0.02, hay 2%, nã b»ng hoÆc lín h¬n bÊt kú gi¸ trÞ lò cña mét n¨m riªng biÖt nµo.
Nã lµ ®iÒu kiÖn ®Ó thÊy ®−îc biÓu hiÖn cña thêi kú tr−íc vµ kh«ng chÝnh x¸c víi thêi kú
sau cña mét hiÖn t−îng. Thùc chÊt, ta chÊp nhËn ®ã lµ gi¸ trÞ trung b×nh tøc lµ cã
kho¶ng 20 con lò trong 50 n¨m trong kho¶ng 1000 n¨m. Cã thÓ hai con lò trong 50
n¨m trong mét d·y (víi x¸c suÊt 0.02*0.02=0.0004 cho c¸c hiÖn t−îng x¶y ra ®éc lËp).
178
- Kh¸i niÖm cña thêi kú lÆp l¹i ®ßi hái c¸c hiÖn t−îng ph¶i x¶y ra ®éc lËp vµ lu«n
®−îc t×m b»ng viÖc ph©n tÝch chuçi sè liÖu dßng ch¶y lín nhÊt hµng n¨m (hay l−îng
m−a …). HiÖn t−îng lín nhÊt trong mét n¨m ®−îc coi lµ ®éc lËp víi c¸c hiÖn t−îng lín
nhÊt trong bÊt kú mét n¨m nµo kh¸c. Nh−ng nã còng cã thÓ øng dông cho n hiÖn t−îng
lín nhÊt ®éc lËp trong mét thêi kú n n¨m, kh«ng xÐt n¨m mµ chóng x¶y ra.
B¶ng 3.2. Moment cña dßng ch¶y lò hµng n¨m cña Cpress Creek ë Horton, Texas n¨m 1945-1975.
Dßng ch¶y (m3/s)
N¨m Log10 dßng ch¶y Dßng ch¶y TB Log dßng ch¶y TB
1945 9,840 3.993 5,696 0.530
1946 5,170 3.713 1,026 0.25 1
1947 1,620 3.2 10 -2,524 -0.253
1948 235 2.37 1 -3,909 -1.092
1949 15,600 4.193 11,456 0.730
1950 4,740 3.676 596 0.213
1951 427 2.630 -3,717 -.832
1952 3,310 3.520 -834 0.057
1953 4,400 3.643 256 0.18 1
1954 7,760 3.890 3,616 0.427
1955 2,520 3.401 -1,624 -.06 1
1956 340 2.53 1 -3,804 -.93 1
1957 5,440 3.736 1,296 0.273
1958 3,000 3.477 -1144 0.014
1959 3,690 3.567 -454 0.104
1960 10,300 4.0 13 6,156 0.550
1961 6,260 3.797 2,116 0.334
1962 1,360 3.134 -2,784 -.329
1963 1,000 3.000 -3144 -.463
1964 2,770 3.442 1,374 -.020
-
1965 1,400 3.146 -2,744 -.3 17
1966 3,210 3.507 -934 0.044
1967 1,110 3.045 -3,034 -.4 17
1968 5,230 3.7 19 1,086 0.256
1969 4,300 3.633 156 0.17 1
1970 2,820 3.450 1,324 -.0 13
-
1971 1,900 3.279 -2,244 -.184
1972 3,980 3.600 164 0.137
-
1973 6,560 3.8 17 2,416 0.354
1974 4,710 3.673 566 0.2 10
1975 3,460 3.539 684 0.076
179
- Trung b×nh 4.144 3.463 0 0
Tæng 128.462 107.345 0 0
CS1 1.659 -0.936
CS2 1.981 -1.117
Trong tr−êng hîp nµy, nÕu nh− hiÖn t−îng thø hai lín nhÊt trong mét n¨m lín
h¬n hiÖn t−îng lín nhÊt trong bÊt kú n¨m kh¸c nã cã thÓ ®−îc sö dông trong ph©n tÝch
tÇn suÊt. Chuçi n gi¸ trÞ lín nhÊt nµy (®éc lËp) ®−îc gäi lµ chuçi vù¬t trung b×nh, nh−
chuçi lín nhÊt hµng n¨m. C¶ hai chuçi ®Òu ®−îc sö dông trong thuû v¨n víi sai sè nhá
trong thêi kú nhiÒu n¨m (hiÖn t−îng hiÕm). Cã rÊt nhiÒu mÆt gièng nhau cña c¸c hiÖn
t−îng ®éc lËp tuyÖt ®èi khi sö dông gi¸ trÞ v−ît trung b×nh nhiÒu n¨m, nh−ng ®èi víi
chu kú lÆp ng¾n gi¸ trÞ v−ît trung b×nh cã chu kú lÆp nhá h¬n thêi kú cu¶ gi¸ trÞ lín
nhÊt hµng n¨m. C¸c quan hÖ gi÷a c¸c chu kú lÆp dùa vµo gi¸ trÞ v−ît trung b×nh Te vµ
gi¸ trÞ lín nhÊt hµng n¨m Tm lµ (Chow, 1964):
1
Te = (3.44)
ln Tm − ln(Tm − 1)
Quan hÖ nµy ®−îc tr×nh bµy trong h×nh 3.10.
VÝ dô 3.4
Gi¸ trÞ v−ît trung b×nh vµ gi¸ trÞ cùc ®¹i hµng n¨m
Xem biÓu sè liÖu l−u l−îng dßng ch¶y s«ng ngßi sau:
Ba l−u l−îng ®éc lËp lín nhÊt (m3/s)
N¨m
1 700 300 150
2 900 600 100
3 550 400 200
4 850 650 350
5 500 350 100
TÇn suÊt cña gi¸ trÞ v−ît trung b×nh vµ gÝa trÞ cùc ®¹i hµng n¨m nh− sau:
CÊp Lín nhÊt hµng n¨m V−ît trung b×nh
1 900 900
2 850 850
3 700 700
4 550 650
5 500 600
Mét lùa chän kh¸c lµ sö dông toµn bé sè liÖu trong qu¸ khø, chóng cã thÓ ®éc lËp
hay kh«ng ®éc lËp. Nã ®−îc gäi lµ chuçi tæng hîp, mét vÝ dô chuçi dßng ch¶y 365 ngµy
180
- (tõ ®ã gi¸ trÞ v−ît trung b×nh vµ gi¸ trÞ lín nhÊt ®−îc t×m). Th«ng tin vÒ tÇn suÊt ®−îc
lÊy tõ chuçi tæng hîp th−êng ®−îc biÓu diÔn trong ®−êng cong quan hÖ l−u l−îng - thêi
gian (Seacy, 1959). Nã lµ c¸c ®iÓm ®é lín cã thÓ lín h¬n hoÆc b»ng tû lÖ thêi gian - ®é
lín. C¸c th«ng tin tõ phÐp ph©n tÝch kh«ng thÓ lÊy trùc tiÕp tõ sè liÖu trong chu kú lÆp,
do c¸c gi¸ trÞ trong chuçi sè liÖu hçn hîp kh«ng nhÊt thiÕt ®éc lËp.
C¸c chu kú lÆp cã thÓ ®−îc quy ®Þnh thµnh c¸c hiÖn t−îng nhá nhÊt (nh− mïa
kiÖt) trong mét d¹ng gièng nhau víi phÐp néi suy lín h¬n hay b»ng gi¸ trÞ trung b×nh.
Tuy dßng ch¶y lò 20-n¨m cã x¸c suÊt 5% mµ l−u l−îng nhá h¬n hoÆc b»ng mét gi¸ trÞ
cho tr−íc trong bÊt kú n¨m nµo.
H×nh 3.10. §−êng cong biÓu diÔn quan hÖ chu kú lÆp víi gi¸ trÞ trung b×nh
vµ gi¸ trÞ cùc ®¹i hµng n¨m (theo ph−¬ng tr×nh 3.44)
Cuèi cïng chu kú lÆp kh«ng cÇn ph¶i giíi h¹n theo ®¬n vÞ n¨m. C¸c hiÖn t−îng lµ
®éc lËp, c¸c th¸ng hay c¸c tuÇn cã thÓ ®−îc sö dông. L−u l−îng 6 th¸ng tuy cã x¸c suÊt
lµ 1/6 b»ng hay lín h¬n bÊt kú mét th¸ng nµo ®ã trong n¨m.
3.5
C¸c m« h×nh ph©n bè x¸c suÊt c¬ b¶n
Chñ quan vµ kh¸ch quan
Cã rÊt nhiÒu hµm ph©n bè x¸c suÊt rêi r¹c vµ hµm mËt ®é x¸c suÊt liªn tôc ®−îc
sö dông trong thuû v¨n nh−ng trong phÇn nµy chØ nghiªn cøu mét vµi d¹ng phæ biÕn
nhÊt. C¸c lo¹i kh¸c chØ tham kh¶o trong c¸c hîp phÇn thèng kª thuû v¨n nh− Gumbel
(1958), Chow(1964), Benjamin vµ Cornel, 1970 , Haan (1977), Kite (1977). RÊt khã
kh¨n ®Ó cã thÓ lµm gi¶m sè ph©n bè liªn tôc bëi v× Ýt nhÊt cã ®Õn 10 hµm ®−îc chän ®Ó
181
- ¸p dông ®èi víi mét l−u l−îng lò. Tuy vËy, c¸c ph©n bè chñ yÕu lµ ph©n bè chuÈn, ph©n
bè Gamma (Pearson-3), ph©n bè loga, ph©n bè log-Gamma (log-Pearson 3) vµ Gumbel
(gi¸ trÞ cùc ®¹i lo¹i I). Thªm n÷a, ph©n bè mò còng ®−îc nghiªn cøu do tÝnh chÊt ®¬n
gi¶n vµ nh÷ng øng dông trong nhiÒu thêi kú liªn tiÕp cu¶ nã.
Môc ®Ých nghiªn cøu cña c¸c ph©n tÝch rêi r¹c th−êng gi¶ ®Þnh x¸c suÊt x¶y ra
cña mçi hiÖn t−îng, cßn ph©n tÝch liªn tôc th−êng lµ x¸c ®Þnh ®é lín x¸c suÊt cña mçi
hiÖn t−îng x¶y ra. §èi víi ph©n tÝch rêi r¹c, ë ®©y cã thÓ ®−îc xem xÐt trong c¶ PMF vµ
CDF, nh−ng gi¸ trÞ cña ph©n tÝch liªn tôc trong PDF lµ Ýt khi ®−îc chó ý, chØ cÇn x¸c
®Þnh c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn liªn tôc trong CDF. Sù kh¸c nhau nµy sÏ ®−îc thÊy khi
xem xÐt c¸c ph©n bè kh¸c nhau ®−îc tr×nh bµy d−íi ®©y
LuËt ph©n bè nhÞ thøc
Nã rÊt th«ng dông ®Ó xem xÐt mét tÇn suÊt cña c¸c hiÖn t−îng ®éc lËp mµ mçi
kÕt qu¶ cña mçi hiÖn t−îng cã thÓ ®óng hay sai, vÝ dô con lò T n¨m cã thÓ x¶y ra hay
kh«ng x¶y ra. Theo Bernoulli, c¸c phÐp thö ®éc lËp cho x¸c suÊt ®óng cña mçi mét lÇn
thö lµ mét h»ng sè P. Ph©n bè nhÞ thøc tr¶ lêi c©u hái, x¸c suÊt chÝnh x¸c cña n phÐp
thö Bernoulli lµ bao nhiªu? Trong bµi nµy chØ nghiªn cøu c¸c ph©n bè lµ ®éc lËp ®−îc
sö dông rÊt phæ biÕn trong thuû v¨n.
X¸c suÊt mµ cã gi¸ trÞ x ®óng vµ n-x lµ sai ph¶i ®−îc t¹o ra tõ n hiÖn t−îng x¶y ra
®éc lËp: Px(1-P)n-x . Nh−ng ®iÒu nµy cho biÕt tÇn suÊt cã kh¶ n¨ng x ®óng vµ n-x lµ sai,
TÊt c¶ tÇn suÊt nµy ph¶i ®−îc xem xÐt, bao gåm trong ®ã c¶ nh÷ng hiÖn t−îng x¶y ra vµ
kh«ng x¶y ra liªn tôc. C¸c c¸ch cã thÓ kÕt hîp chän x hiÖn tù¬ng ngoµi n hiÖn t−îng x¶y
ra ®−îc cho bëi hÖ sè kÕt hîp (Parzen 1960):
⎛ n⎞ n!
⎜ ⎟= (3.45)
⎜ x ⎟ x! (n − x)!
⎝⎠
Do ®ã, kú väng x¸c suÊt lµ t¹o ra tõ x¸c suÊt cña bÊt kú mét tÇn suÊt hay sè lÇn
mµ tÇn suÊt ®ã cã thÓ x¶y ra .
⎛ n⎞
P(x) = ⎜ ⎟Px (1 − P)n−x , x = 0.1.2.3..... (3.46)
n
⎜ x⎟
⎝⎠
Chó ý B(n, p) cho biÕt c¸c tham sè n vµ p, vÝ dô vÒ c¸c PMF ®−îc tr×nh bµy trong
h×nh 3.11 vµ tõ c¸c ph−¬ng tr×nh 3.19 vµ 3.28, gi¸ trÞ trung b×nh vµ gi¸ trÞ ph−¬ng sai
cña x lµ:
E(x) = np (3.47)
Var(x) = np(1 - p) (3.48)
Gi¸ trÞ ®é lÖch lµ:
1− 2p
g= (3.49)
[np(1 − p)]0.5
thùc tÕ, ®é lÖch b»ng 0 vµ ph©n bè lµ ®èi xøng nÕu p = 0.5.
Hµm mËt ®é lµ:
⎛ n⎞
x
∑ ⎜ i ⎟ p (1 − p)
F ( x) = 1− i
i
(3.50)
⎜⎟
⎝⎠
i=0
KÕt qu¶ cña CDF cã thÓ rÊt cång kÒnh ®èi víi c¸c gi¸ trÞ n lín vµ c¸c gi¸ trÞ trung
182
nguon tai.lieu . vn
