Xem mẫu
- 8
CHÖÔNG
TÍNH TOAÙN THUÛY VAÊN
8.1 TÍNH TOAÙN VAØ PHAÂN TÍCH TAÀN SUAÁT.
8.1.1. Taàn soá f:
Taàn soá laø soá laàn xuaát hieän bieán coá x trong chuoãi bieán coá xi maø ta quan
traéc.
8.1.2. Taàn suaát P (cuûa bieán coá x):
Ñöôïc ñònh nghóa laø tyû soá giöõa taàn soá f cuûa bieán coá xi vaø toång soá caùc bieán
coá xi ( chieàu daøi cuûa chuoãi bieán coá maø ta quan traéc).
f xi
Pxi % = 100
n
Trong lyù thuyeát xaùc suaát, ñaïi löôïng naøy chính laø xaùc suaát xaûy ra bieán coá
xi.
8.1.3. Taàn suaát tích luyõ P (cuûa nhöõng bieán coá x ≥ xi):
Taàn suaát tích luyõ P (cuûa nhöõng bieán coá x ≥ xi): laø taàn suaát xaûy ra nhöõng
bieán coá x lôùn hôn hay baèng bieán coá xi; kyù hieäu laø F(xi)
Ñeå tính ñöôïc taàn suaát tích luõy, ta thöïc hieän caùc böôùc sau:
1 Ñaàu tieân ta saép xeáp (hoaëc phaân caáp) chuoãi quan traéc bieán coá xi
theo thöù töï coù giaù trò giaûm daàn ( lôùn nhaát ñöùng ôû treân, nhoû nhaát
ñöùng ôû döôùi).
2 Böôùc keá tieáp tính taàn soá. Neáu ta khoâng phaân caáp, maø ñeå töøng
bieán coá xi ñeå tính taàn soá thì öùng vôùi moãi bieán coá xi taàn toá baèng 1.
Neáu phaân theo caáp (xa –xb) thì ta ñeám xem coù bao nhieâu bieán coá
http://www.ebook.edu.vn
- xi rôi vaøo khoaûng giöõa caáp (xa –xb), ñoù chính laø taàn soá cuûa caáp
(xa–xb).
3 Tieáp theo tính taàn suaát Pxi cuûa bieán coá xi
4 Cuoái cuøng tính taàn suaát tích luõy cuûa nhöõng bieán coá x≥ xi baèng
caùch coäng doàn theo thöù töï töø treân xuoáng döôùi coät taàn suaát Pxi.
8.1.4. Ñöôøng taàn suaát
Ñöôøng bieãu dieãn taàn suaát tích luyõ P(x≥ xi) theo xi thoâng thöôøng laø moät
ñöôøng cong trôn, trong lyù thuyeát xaùc suaát, ngöôøi ta goïi laø ñöôøng taàn suaát
tích luyõ vaø ñôn giaûn hôn goïi laø ñöôøng taàn suaát.
Ñöôøng taàn suaát coù caùc giaù trò taàn suùaât tyû leä nghòch vôùi giaù trò xi. Treân
ñöôøng taàn suaát, öùng vôùi caùc giaù trò bieán coá xi caøng lôùn thì giaù trò taàn suaát
caøng nhoû , vaø ngöôïc laïi.
Trong thuûy vaên, ngöôøi ta duøng ñöôøng taàn suaát ñeå phuïc vuï cho haàu heát caùc
thieát keá coâng trìnhá. Ta thöôøng gaëp caùc baøi toaùn nhö sau: Bieát tieâu chuaån
thieát keá laø P%(x≥ xi); tìm xi töông öùng; hoaëc ngöôïc laïi, bieát xi, tìm P%
töông öùng.Ví duï ñeå xaây döïng moät coâng trình caàn phaûi coù löu löôïng Q5% ,
laø nhöõng löu löôïng töông ñoái lôùn). Vì vaäy vieäc veõ ñöôøng taàn suaát cho moät
chuoãi soá lieäu bieán coá x raát quan troïng.
8.1.5. Haøm maät ñoä taàn suaát f(xi):
Haøm maät ñoä taàn suaát f(xi) laø ñaïo haøm baäc moät cuûa haøm phaân boá taàn suaát
F(xi). Ta coù:
F(x i + Δx) − F(x i )
lim
f (x i ) = F ' (x i ) =
Δx
Δx → 0
i
Ñoà thò bieãu dieãn haøm maät ñoä laø moät ñöôøng cong trôn hìng quaû chuoâng.
(coù theå xem hình veõ cuûa ví duï döôùi ñaây).
Bieát haøm soá maät ñoä taàn suaát, chuùng ta coù theå suy ngöôïc laïi haøm phaân boá
taàn suaát (tích luyõ) vaø ngöôïc laïi.
http://www.ebook.edu.vn
- 8.2 VÍ DUÏ TÍNH TOAÙN
Ví duï 1:
Xeùt söï phaân boá taàn suaát Qmax trong naêm taïi moät traïm thuûy vaên vôùi caùc soá
lieäu trong chuoãi thôøi gian töø 1930 ñeán 1979 goàm 50 trò soá, trong ñoù soá lôùn
nhaát laø 2560 m3/s, nhoû nhaát laø 770 m3/s, trung bình laø 1360 m3/s.
1 Ñaây laø caùc bieán ngaãu nhieân, ta tieán haønh phaân khoaûng cho caùc trò
soá, saép xeáp theo thöù töï töø lôùn tôùi nhoû thaønh caùc caáp löu löôïng,
thoáng keâ soá laàn xuaát hieän bieán coá löu löôïng rôi vaøo khoaûng cuûa
caáp, soá laàn naøy goïi laø taàn soá f.
2 Tính taàn suaát P%=100*(f/50).
3 Tính taàn suaát tích luõy (coäng doàn töø treân xuoáng) ta ñöôïc
F(Qi)=ΣP%(Q>Qm)
4 Ta tính maät ñoä taàn suaát f(xi) baèng caùch chia taàn suaát P cho ñoä lôùn
khoaûng caùch giöõa hai caáp (baèng 300), ta ñöôïc maät ñoä taàn suaát
bình quaân cuûa caáp löu löôïng ñoù, kyù hieäu laø f(xi).
5 Tính toaùn nhö baûng sau:
http://www.ebook.edu.vn
- Maät ñoä taàn suaát,
Caáp löu löôïng, Taàn soá f, Taàn suaát, Taàn suaát tích luõy,
Q -1
Q (m3/s) laàn P%=100(f/n) (P/300)% (m3/s) P%(Q>=Qm)=SumP%
2600 2600-2300 1 2 0.006666667 2
2300 2299-2000 2 4 0.013333333 6
2000 1999-1700 3 6 0.02 12
1700 1699-1400 11 22 0.073333333 34
1400 1399-1100 18 36 0.12 70
1100 1099-800 12 24 0.08 94
800 799-500 3 6 0.02 100
500 0
Toång soá 50 100
Taàn suaát tích luõy,
3000
Maät ñoä taàn suaát,
P%(Q>=Qm)=SumP%
(P/300)% (m3/s)-1
2500
0.14
0.12 2000
0.1
1500
0.08
0.06
1000
0.04
0.02 500
0
0
0 1000 2000 3000
0 20 40 60 80 100
Ñöôøng phaân boá maät ñoä taàn suaát löu löôïng ñænh luõ Ñöôøng taàn suaát tích luyõ löu löôïng ñænh luõ
1 yù nghóa ñöôøng taàn suaát:
Neáu khi laáy maãu, moãi naêm choïÏn moät trò soá Qmax, lieân tuïc trong nhieàu naêm
(n naêm) thì taàn suaát coù haøm yù: trong thôøi gian raát daøi, ví duï bình quaân
trong 100 naêm xuaát hieän bao nhieâu laàn, ví duï P(Qmax>1900 m3/s)=20% coù
nghóa laø trong thôøi gian raát daøi, bình quaân 100 naêm coù 20 laàn xuaát hieän
Qmax>1900m3/s.
http://www.ebook.edu.vn
- Roõ raøng töø hình veõ, öùng vôùi caùc giaù trò taàn suaát tích luõy nhoûû thì Qmax lôùn
vaø ngöôïc laïi.
8.3 ÑÖÔØNG TAÀN SUAÁT KINH NGHIEÄM.
Trong thuûy vaên, ñöôøng taàn suaát kinh nghieäm laø ñöôøng taàn suaát xaây döïng
töø caùc soá lieäu thöïc ño (ví duï treân). Ñaây laø ñöôøøng taàn suaát phaûn aûnh veà
tình hình caùc ñaëc tröng thuûy vaên cuûa traïm ñang ño, nhöng khoâng phaûn aûnh
tình hình cuûa traïm khaùc.
Ví duï 2:
Trong 20 naêm, coù löôïng möa bình quaân naêm töø 1963 ñeán 1982 nhö sau:
Coâng thöùc tính taàn suaát kinh nghieäm:
Trong chuoãi soá lieäu döôùi ñaây, giaù trò nhoû nhaát cuûa soá lieäu coù taàn suaát
100%, nhö vaäy maëc nhieân chaáp nhaän khoâng coù soá naøo nhoû hôn nöõa. Ñieàu
naøy chæ ñuùng khi soá lieäu daøi (n raát lôùn). Trong tröøôøng hôïp ngöôïc laïi , n
baèng chöøng vaøi chuïc soá thì ñieàu naøy voâ lyù.
Do ñoù, ngöôøi ta duøng moät soá coâng thöùc khaùc ñeå tính taàn suaát P nhö sau:
m − 0.5
P1 = 100%
n
2 Coâng thöùc trung bình:
m
P2 = 100%
n −1
3 Coâng thöùc voïng soá:
m − 0.3
100%
P3 =
n + 0.4
4 Coâng thöùc soá giöõa:
Thöïc teá cho thaáy tính theo P2 thì an toaøn, P3 thì trung bình P1 thì thieáu an
toaøn.
http://www.ebook.edu.vn
- 274625000 -43944000
226981000 1.94 0.001 4326.2
140608000 1.49 1 3322.7
68921000 1.1 30 2453
59319000 0.83 80 1850.9
19683000 0.45 99.9 1003.5
10648000
Chart Title
6859000
1331000 5000
-8000
4500
-512000
-1000000 4000
-1331000
3500
-19683000
-29791000
3000
-39304000
-42875000 2500
-103823000
2000
-175616000
-438976000 1500
1000
500
8.4 NGOAÏI SUY ÑÖÔØNG TAÀN SUAÁT KINH NGHIEÄM.
Khi tính toaùn thuyû vaên cho caùc coâng trình quan troïng thöôøng gaëp taàn suaát
raát nhoû (1%, 0,1%..) trong khi ñoù neáu chuoãi soá lieäu ngaén (ví duï treân
n=20), neáu tính taàn suaát theo coâng thöùc P2 thì öùng vôùi trò soá X lôùn nhaát
cuõng chæ cho gaàn 5%. Do ñoù phaûi ngoaïi suy (keùo veà hai phía ) ñöôøng taàn
suaát, vieäc naøy deã daãn ñeán sai soá chuû quan (do töï keùo veà hai phía khoâng
ñuùng).
Ñeå khaéc phuïc vaán ñeà naøy, ngöôøi ta döïa vaøo moät soá phöông trình toaùn hoïc
ñeå tìm ra caùc ñöôøng taàn suaát lyù luaän. Ñeå xaùc ñònh ñöôøng taàn suaát lyù luaän,
ta laøm quen vôùi moät soá ñaëc tröng thoáng keâ sau:
http://www.ebook.edu.vn
- 8.4.1 Caùc trò soá ñaëc tröng thoáng keâ bieåu thò xu theá taäp trung
n
n
∑ fixi
∑ xi n
∑ x iPi
í
x= =
x= 1
∑ fi
n
1 Soá bình quaân x : hay 1
vôùi fi laø taàn soá cuûa xi
2 Soá ñoâng xd: laø trò soá X öùng vôùi maät ñoä taàn suaát lôùn nhaát
8.4.2 Caùc trò soá ñaëc tröng thoáng keâ bieåu thò xu theá phaân taùn
3 Khoaûng leäch lôùn nhaát: Laø hieäu giöõa trò soá xmax vaø xmin:
Δ m = x max − x min
4 Khoaûng leäch quaân phöôngσ:
2
n
∑ (x i − x )
1
σ=
n
Khoaûng leäch quaân phöôngσ noùi leân möùc ñoä phaân taùn toaøn chuoãi, σ caøng
lôùn, ñoä phaân taùn caøng lôùn.
Tuy nhieân σ laø moät soá coù thöù nguyeân neân khoâng theå duøng so saùnh möùc ñoä
phaân taùn giöõa caùc chuoãi coù thöù nguyeân khaùc nhau.
Ñeå khaéc phuïc ñieàu naøy, ngöôøi ta duøng heä soá bieán ñoäng Cv
5 Heä soá bieán ñoäng Cv
2
n
∑ (x i − x )
1 2 2
n n
⎛x
σ n ⎞
∑ (K i − 1)
∑ ⎜ xi − 1⎟ =
Cv = 1 1
= n n
x x ⎠
1⎝ 1
http://www.ebook.edu.vn
- xi
Ki =
x laø heä soá module
trong ñoù
Cv ≥ 0 vaø laø moät soá voâ thöù nguyeân, neân bieåu thò möùc ñoä phaân taùn toát
hôn.
Tuy vaäy Cv chöa khaùi quaùt heát hình daïng cuûa ñöôøng phaân boá maät ñoä taàn
suaát, neân ngöôøi ta duøng theâm heä soá thieân leäch Cs.
6 Heä soá thieân leäch (hay heä soá khoâng ñoái xöùng) Cs
Heä soá thieân leäch Cs laø ñaëc tröng phaûn aùnh hình daïng cuûa ñöôøng phaân
boá maät ñoä taàn suaát leäch veà beân traùi hay beân phaûi so vôùi giaù trò bình
quaân:
n n
∑ (x i − x )
3
∑ (K i − 1)3
Cs = 1 1
=
nC3
3
nC3 x v
v
Cs cuõng laø moät ñaïi löôïng voâ thöù nguyeân.
Trong coâng thöùc tính Cs ta coù maãu soá luoân luoân döông neân:
1 Khi töû soá ∑(Ki-1)3 >0 thì Cs>0, daïng phaân boá ñöôøng maät ñoä taàn
suaát leäch veà beân traùi cuûa trò soá bình quaân.
2 Khi töû soá ∑(Ki-1)3
- Caàn löu yù raèng nhöõng coâng thöùc tính σ, Cv; Cs ôû treân chæ duøng ñeå tính
toaùn cho nhöõng chuoãi soá lieäu raát daøi (n raát lôùn). ÔÛ nöôùc ta, chuoãi quan
taéc thöôøng ngaén (n chæ baèng vaøi chuïc soá), neân coâng thöùc tính caùc ñaïi
löôïng σ, Cv; Cs ñöôïc ñeà nghò söûa ñoåi nhö sau:
1n 1n
( )2 ∑ (K i − 1)2
∑ xi − x =x
σ=
n − 1 i =1 n − 1 i =1
1n 1n
( )
1 2
∑ (K i − 1)2
∑ xi − x
Cv = =
n − 1 i =1 n − 1 i =1
x
n
1
∑ (K i − 1)3
Cs =
(n − 3)C3
v 1
8.5 ÑÖÔØNG TAÀN SUAÁT LYÙ LUAÄN.
Nhö ñaõ noùi ôû treân, do taøi lieäu quan traéc ít, ta nhaän ñöôïc chuoãi soá lieäu ngaén
neân ñöôøng taàn suaát coù ñöôïc khoâng ñaùp öùng ñöôïc nhu caàu thieát keá ( khoâng
suy ra ñöôïc nhöõng giaù trò x öùng vôùi taàn suaát nhoû, caàn phaûi keùo daøi ñöôøng
taàn suaát deã gaây ra sai soá vì chuû quan. Do ñoù ngöôøi ta taäp trung nghieân cöùu
töø lyù thuyeát, veõ neân nhöõng ñöôøng phaân boá maät ñoä taàn suaát toång theå daïng
toùan y=f(x).
Vì raèng maät ñoä taàn suaát chính laø:
F(x i + Δx) − F(x i )
lim
f (x i ) = F ' (x i ) =
Δx
Δx → 0 i
Neân sau ñoù, laáy tích phaân ñöôøng cong maät ñoä taàn suaát seõ cho ra ñöôøng
taàn suaát (tích luõy) lyù luaän. Döïa vaøo ñöôøng taàn suaát lyù luaän naøy, ngöôøi ta
keùo daøi ñöôøng taàn suaát kinh nghieäm. ÔÛ ñaây ta giôùi thieäu ñöôøng taàn suaát lyù
luaän PearsonIII thöôøng duøng trong thuûy vaên nhö sau:
Ñöôøng taàn suaát lyù luaän Pearson III:
http://www.ebook.edu.vn
- Kp − 1
= f (Cs , P) = Φ
Cv
Coù ñaëc tính sau:
Trong ñoù Φ laø laø khoaûng leäch tung ñoä phuï thuoäc vaøo Cs vaø P .
Khi Cs vaø P khoâng ñoåi thì Φ cuõng khoâng ñoåi vaø khoâng phuï thuoäc vaøo Cv
1 Tröôøng hôïp Cv=1:
Foster vaø Rypkin ñaõ döïa vaøo moät soá ñaëc tính cuûa ñöôøng PIII , tieán haønh
tích phaân tìm ra caùc trò soá Φp töông öùng vôùi caùc taàn suaát vaø Cs>0 khaùc
nhau vaø laäp ra baûng tra cöùu (xem phuï luïc).
2 Tröôøng hôïp Cv ≠ 1:
Trong thöïc teá, khi Cv ≠ 1, döïa vaøo coâng thöùc treân ta suy ra:
Kp=ΦCv+1
3 Tröôøng hôïp Cs0) tra baûng öùng vôùi –Cs>0 vaø giaù trò taàn suaát baèng (100-p).
Nhö vaäy, töø chuoãi soá lieäu cho tröôùc, sau khi tính caùc giaù trò x , Cv, Cs; ta
tra baûng ra Φp (öùng vôùi P vaø Cv=1) vaø tính ñöôïc Kp (öùng vôùi P vaø Cv cuûa
chuoãi vöøa tính ); suy ra xp=Kp x öùng vôùi töøng giaù trò cho tröôùc cuûa P. Sau
ñoù veõ töøng caëp (xp, P) leân ñoà thò ta ñöôïc ñöôøng taàn suaát lyù luaän PIII.
Giôùi haïn cuûa Cs khi veõ ñöôøng PIII:
2C v
2C v ≤ Cs ≤
1 − K min
Neáu Cs vöôït ra ngoaøi giôùi haïn treân thì :
http://www.ebook.edu.vn
- Neáu Cs < 2C v thì xuaát hieän nhöõng giaù trò aâm treân ñöôøng PIII.
2C v
Cs >
1 − K min thì ñöôøng taàn suaát coù daïng löôõi lieàm khoâng phuø hôïp
Neáu
vôùi caùc hieän töôïng thuûy vaên.
Ñöôøng taàn suaát lyù luaän Krisky-Melken:
Trong thöïc teá thuûy vaên vaãn toàn taïi Cs< 2Cv neân Krisky-Melkin ñeà nghò
theâm daïng ñöôøng maät ñoä taàn suaát duøng cho tröôøng hôïp naøy, sau khi laáy
tích phaân cho ra ñöôøng taàn suaát tích luõy K-M.
Krisky-Melkin cuõng laäp nhöõng baûng cho saün caùc giaù trò Kp öùng vôùi töøng
giaù trò p cho caùc truôøng hôïp khaùc nhau cuûa Cs: Cs /Cv=(1÷6) (tra phuï luïc).
Töø caùc caëp (Kp,P) hay (xp,P) ta veõ neân ñöôïc ñöôøng taàn suaát lyù luaän K-M.
8.6 PHÖÔNG PHAÙP XAÂY DÖÏNG ÑÖÔØNG TAÀN SUAÁT
THÖÔØNG DUØNG TRONG THUÛY VAÊN.
Nhö ñaõ noùi, ñöôøng taàn suaát kinh nghieäm ñöôïc veõ treân cô sôû thöïc ño, caàn
keùo daøi vaø hieäu chænh baèng caùch döïa vaøo caùc ñöôøng taàn suaát lyù luaän. ÔÛ
ñaây, chuùng ta laøm quen vôùi moät caùch ñôn giaûn nhaát laø phöông phaùp thöû
ñöôøng:
Phöông phaùp thöû ñöôøng:
Noäi dung cuûa phöông phaùp naøy laø : döïa vaøo keát quaû tính x , Cv cuûa chuoãi
soá lieäu, ta giaû thieát nhieàu giaù trò Cs khaùc nhau (thoâng thöôøng cho Cs=mCv
vôùi m=1-6) vaø veõ neân ñöôïc nhieàu ñöôøng taàn suaát lyù luaän khaùc nhau.
Ñöôøng lyù luaän naøo phuø hôïp toát nhaát vôùi caùc ñieåm thöïc nghieäm thì ñöôøng
ñoù ñöôïc choïn laøm taàn suaát tính toaùn.
Chuù yù raèng ñoâi khi caàn phaûi hieäu chænh laïi caû x , Cv thì môùi ñaït ñöôïc
ñöôøng taàn suaát phuø hôïp vôùi thöïc nghieäm.
http://www.ebook.edu.vn
- Qua thöïc teá caùc soá lieäu thuûy vaên ôû VN, ñöôøng PIII vaø ñöôøng K-M ñeàu cho
keát quaû toát.
http://www.ebook.edu.vn
nguon tai.lieu . vn
