- Trang Chủ
- Toán học
- Thuật toán mới xấp xỉ liên kết quán tính để giải bài toán cực tiểu lồi
Xem mẫu
- THUẬT TOÁN MỚI XẤP XỈ LIÊN KẾT QUÁN TÍNH
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TIỂU LỒI
Nguyễn Đức Trường
Khoa Toán và KHTN
Email: truongnd@dhhp.edu.vn
Ngày nhận bài: 27/4/2021
Ngày PB đánh giá: 05/5/2021
Ngày duyệt đăng: 10/5/2021
TÓM TẮT: Trong bài báo này, tôi đề xuất và chứng minh sự hội tụ của thuật toán xấp xỉ liên kết quán
tính đề giải bài toán cực tiểu lồi, một bài toán thường áp dụng trong xử lý phục chế ảnh. Đây là một
phương pháp mới để giải quyết bài toán này. So với các thuật toán khác, thuật toán này không cần thực
hiện phép chiếu, mà chỉ sử dụng các bước lặp tính toán. Tôi đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp
về điểm bất động chung của giao một họ các ánh xạ không giãn và của một ánh xạ co. Các bước chứng
minh được tiến hành trên không gian Hilbert thực H .
Từ khóa: Cực tiểu lồi, điểm bất động, liên tục Lipchitz, nửa liên tục dưới, quán tính, xấp xỉ liên kết quán tính.
A NEW INERTIAL VISCOSITY APPROXIMATION ALGORITHM FOR CONVEX
MINIMIZATION PROBLEMS
ABSTRACT: In this paper, I have proposed and demonstrated the convergence of the inertial
viscosity approximation algorithm for solving convex minimization problems, application in image
processing. This is a new way to solve this problem. Compared to other methods, this method does
not need to use any projection, but uses iterative steps of the calculation. I have proved the strong
convergence of the repetitive sequence to the common solution of intersecting a family of non-
expansive mappings and the unique fixed point of the contraction mapping. Demonstration steps
were performed on real Hilbert spaces.
Key words: convex minimization problems, fixed point, Lipchitz continuous, Lower semicontinuous,
inertial, inertial viscosity approximation.
I. Giới thiệu
B ∈ m×n là toán tử làm mờ, còn ε là nhiễu
Trong vài thập kỷ gần đây, nhiều thuật được thêm vào. Để tìm gần đúng bức ảnh
toán tối ưu đã được phát triển để giải gốc x , ta cần phải làm cực tiểu giá trị của
quyết các vấn đề trong xử lý tín hiệu và ε bằng cách áp dụng công nghệ LASSO
hình ảnh, xem [1, 3], trong đó là vấn đề [9] thông qua việc tìm:
phục chế ảnh được mô hình hóa như sau: 1 2 (1.2)
minn y − Bx 2 + λ x 1
x∈ 2
y Bx + ε
= (1.1)
Trong đó x ∈ n là ảnh gốc, chưa biết, Ở đây λ là một số thực không âm, và
y ∈ m là bức ảnh mờ thu được, ma trận . 1 là chuẩn l1 , chuẩn . 2 là chuẩn Euclid.
TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 46, tháng 5 năm 2021 3
- Tổng quát, vấn đề (1.2) là giải quyết xuất thuật toán ngưỡng co lặp (FISTA:
bài toán cực tiểu lồi sau đây: fast iterative shrinkage-thresholding
Cho ánh xạ: f1 : → là hàm n algorithm):
lồi, khả vi với đạo hàm là hàm liên 1
= yn prox 1 f2 I − L ∇f1 ( xn )
tục Lipchitz với hệ số L : ∇f1 và hàm L
f 2 : → ∪ {∞} là hàm lồi, nửa liên
n
1 + 1 + 4tn2 t −1
tục dưới. Bài toán (1.2) trở thành tìm: = tn +1 = , θn n
2 tn + 1
minn { f1 ( x ) + f 2 ( x )} (1.3) x =+ yn θ n ( yn − yn −1 ) ; n ≥ 1
x∈
Ta đã biết, dưới điều kiện bức [3]: Nếu n +1
f1 ( x ) + f 2 ( x ) → ∞ khi x → ∞ thì bài
toán (1.3) có nghiệm duy nhất. Hơn nữa, Với x1 = 1 . Hệ số θ n được
y0 ∈ n , t1 =
nghiệm x* của bài toán (1.3) được xác gọi là chỉ số quán tính trong bước lặp.
định thông qua điểm bất động của ánh xạ Các tác giả đã chứng minh được sự hội tụ
Proximity [3] như sau: mạnh của dãy { xn } và áp dụng chúng vào
vấn đề phục chế ảnh.
= x* proxcf2 ( I − c∇f1 ) ( x* ) (1.4)
Như vậy vấn đề cực tiểu lồi trong bài
Trong đó c là một hằng số không âm
toán phục chế ảnh thực chất chính là tìm
bất kỳ (xem tài liệu [3], trang 11), I là
điểm bất động chung của một họ ánh xạ
ma trận đơn vị cấp n , proxcf2 là ánh xạ
không giãn Tn : n → n .
proximity từ không gian Hilbert H vào
H : proxcf2 : H → H sao cho: Như ta đã biết, phương pháp lặp của
Mann được đề xuất đầu tiên vào năm
1 2
cf 2 ( x ) arg min cf 2 ( y ) + y − x
prox
= 1953 [6] là phương pháp nổi tiếng để
y∈H 2 tìm nghiệm xấp xỉ cho điểm bất động của
Để tìm được nghiệm x* của bài ánh xạ không giãn T : n → n . Nhưng
toán (1.3), thuật toán FBSA (Forward- phương pháp của Mann chỉ cho kết quả
Backward Splitting Algorithm) [4] đã hội tụ yếu, để thu được kết quả hội tụ
được đề xuất: mạnh, ta cần kết hợp với phương pháp xấp
=xn +1 proxcn f2 ( I − cn∇f1 )( xn ) ; n ≥ 1 (1.5) xỉ liên kết như sau [5, 11] :
Với điểm khởi đầu x1 bất kỳ nằm trong xn +1 γ n g ( xn ) + (1 − γ n ) T ( xn ) ,
= n ≥1
2
và dãy số {cn } thỏa mãn 0 < cn <
n
(1.6)
L
, dãy { xn } sẽ hội tụ về nghiệm x* của bài Với x1 ∈ H , g : H → H là một ánh xạ
toán (1.3). co và {γ n } là một dãy số điều chỉnh thích
Thực chất, các ánh xạ Tn : n → n , hợp. Cách xây dựng dãy lặp là một tổ hợp
Tn ( x) proxc n f2 ( I − cn∇f1 ) ( x) là các ánh
= lồi của ánh xạ không giãn T và ánh xạ co
xạ không giãn vì ánh xạ proximity là g cho ta kết quả hội tụ mạnh về điểm bất
không giãn, do đó sẽ không giãn với các động chung của cả hai ánh xạ nói trên.
2
trường hợp 0 < cn < . Trong bài báo này, tôi đề xuất một thuật
L
Sau đó, Beck và Teboulle [1] đã đề toán mới (thuật toán 2.1) là sự kết hợp giữa
4 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG
- phương xấp xỉ liên kết và kỹ thuật quán Thuật toán được xây dựng trên các giả
tính để tìm điểm bất động chung trên giao thuyết sau:
của một họ các ánh xạ không giãn và một • H là không gian Hilbert thực.
ánh xạ co. Tôi chứng minh sự hội tụ mạnh {T : H → H } là họ các ánh xạ không
của dãy lặp về nghiệm của bài toán, kết giãn. • n
quả chứng minh trong không gian Hilbert ∞
=• Γ Fix (Tn ) ≠ ∅
thực. Cuối cùng, tôi đã áp dụng thuật toán n =1
2.1 vào bài toán cực tiểu lồi thông qua cách •
{Tn } thỏa mãn điều kiện ( Z ) .
xây dựng thuật toán 3.1. • g : H → H : là ánh xạ co với hệ số k .
Giới thiệu một số định nghĩa: Thuật toán 2.1:
Cho H là một không gian Hilber thực Chọn các dãy {γ n } , {β n } , {τ n } là các
với chuẩn . và tích vô hướng .,. dãy số thực dương, dãy {µn } là dãy thực
bị chặn, không âm. Chọn điểm khởi đầu
•Ánh xạ T : H → H gọi là:
x0 , x1 bất kỳ thuộc không gian Hilbert H .
i, Liên tục Lipchitz với hệ số L > 0 nếu
Vòng lặp: Với n ≥ 1 ta tính toán xn +1
như
như sau:
T ( x ) − T ( y ) ≤ L. x − y , ∀x, y ∈ H ,
Bước 1: Ta tính toán chỉ số quán tính:
ii, Ánh xạ co nếu T là liên tục Lipchitz τn
với hệ số L và L < 1 , min µn , , khi xn − xn −1 ≠ 0,
θ n = xn − xn −1 (2.1)
iii, Ánh xạ không giãn nếu T là liên
µn khi xn − xn −1 = 0
tục Lipchitz với L = 1 .
Bước 2: Tính xn +1 :
•Tập điểm bất động của
wn = xn + θ n . ( xn − xn −1 )
ánh xạ T : H → H ký hiệu là
{x H : x =
Fix (T ) =∈ T ( x )} zn = (1 − γ n ) Tn ( wn ) + γ n .g ( wn ) (2.2)
•Dãy
∞
các ánh xạ {Tn : H → H } , n ≥ 1 , xn +1 = (1 − β n ) Tn ( wn ) + β nTn ( zn )
với Fix (Tn ) ≠ ∅ được gọi là thỏa mãn Đặt n= n + 1 và quay lại bước 1.
n =1
điều kiện ( Z ) [1,2] nếu như: mọi dãy { xn } Định lý 2.1 (về sự hội tụ của dãy
bị chặn trong H thỏa mãn: lặp { xn } ):
lim xn − T ( xn ) =
0 Dãy lặp { xn } trong thuật toán 2.1 hội
n →∞
kéo theo tất cả ∞các điểm tụ yếu của tụ mạnh về nghiệm x* , với x* ∈ Γ và đồng
{ xn } thuộc
= tập Γ Fix (Tn ) ≠ ∅ . ( )
thời x* = PΓ g ( x* ) nếu các tham số trong
n =1
thuật toán thỏa mãn điều kiện sau:
•Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng
trong không gian Hilbert thực H . Phép •(C1): 0 < ε1 ≤ β n < ε 2 ≤ 1 .
chiếu Metric PC được định nghĩa như sau: ∞
0, ∑ β nγ n =
0 < γ n < 1, lim ( β nγ n ) = ∞
PC : H → C ; x PC ( x ) sao cho •(C2): n →∞
n =1 .
x − PC ( x ) , y − PC ( x ) ≤ 0 ∀y ∈ C τn
. lim =0
II. Thuật toán và sự hội tụ •(C3): n→∞ β nγ n .
TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 46, tháng 5 năm 2021 5
- Để chứng minh sự hội tụ của dãy { xn } về nghiệm x* ta sử dụng hai bổ đề chính như
sau:
Bổ đề 2.1 [10]: Cho x, y ∈ H và t ∈ [ 0,1] , ta có các tính chất sau:
2
i, tx + (1 − t ) y = t x + (1 − t ) y − t. (1 − t ) x − y
2 2 2
2 2 2
ii, x ± y = x ± 2 x, y + y
2 2
iii, x + y ≤ x + 2 y, x + y
Bổ đề 2.2 [8]: Cho {an } là dãy số thực không
∞
âm, và {bn } là dãy thực. Cho {tn } là
dãy thực nằm trong khoảng ( 0,1) thỏa mãn ∑ tn = ∞ , giả sử rằng:
an +1 ≤ (1 − tn ) an + tnbn , n ∈
n =1
{ }
Nếu mọi dãy ani là dãy con của {an } thỏa mãn : lim inf ( ani +1 − ani ) ≥ 0 suy ra
lim sup ( bni ) ≤ 0 , thì ta có: lim an = 0 .
i →∞
i →∞ n →∞
Kết quả chứng minh sự hội tụ:
Bước 1: Trước hết, ta thấy {Tn } là họ các ánh xạ không giãn, theo tính chất của ánh
xạ không giãn thì Fix (Tn ) là các tập lồi, do đó Γ là tập lồi.
Ta thấy: PΓ g (.) là phép chiếu Metric lên tập lồi Γ nên PΓ g (.) là ánh xạ co, khi đó
theo nguyên lý ánh xạ co Banach, tồn tại duy nhất điểm x* ∈ Γ để x* = PΓ g ( x* ) , và
x* = Tn ( x* ) ∀n . Ta chứng minh { xn } bị chặn:
Từ (2.2) ta có:
zn − x* ≤ γ n g ( wn ) − x* + (1 − γ n ) Tn ( wn ) − x*
≤ γ n g ( wn ) − g ( x* ) + γ n g ( x* ) − x* + (1 − γ n ) Tn ( wn ) − x*
(2.3)
≤ γ n k wn − x* + γ n g ( x* ) − x* + (1 − γ n ) wn − x*
=(1 − γ n (1 − k ) ) wn − x* + γ n g ( x* ) − x* ,
Khi đó ta có:
xn +1 − x* ≤ (1 − β n ) Tn ( wn ) − x* + β n Tn ( zn ) − x*
≤ (1 − β n ) wn − x* + β n zn − x*
≤ (1 − β nγ n (1 − k ) ) wn − x* + β nγ n g ( x* ) − x*
(2.4)
( *
)
≤ (1 − β nγ n (1 − k ) ) xn − x + θ n xn − xn −1 + β nγ n g ( x ) − x
* *
θ
≤ (1 − β nγ n (1 − k ) ) xn − x* + β nγ n + n xn − xn −1 + g ( x* ) − x*
β nγ n
θn
Từ (2.1) và (C3) ta có: x − x → 0 khi n → ∞ , khi đó tồn tại số M đủ lớn
β nγ n n n −1
θn
để x − x < M với mọi n ≥ 1 . Do đó:
β nγ n n n −1
6 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG
- M + g ( x* ) − x*
xn +1 − x ≤ (1 − β nγ n (1 − k ) ) xn − x + β nγ n (1 − k )
* *
1− k
*
M + g ( x* ) − x*
≤ max xn − x ,
1− k (2.5)
Theo quy nạp thì ta có:
*
*
M + g ( x* ) − x*
xn +1 − x ≤ max x1 − x , , ∀n ≥ 1.
1− k
(2.6)
Như vậy { xn } , và các dãy { g ( wn )} , {Tn ( wn )} , { zn } cũng bị chặn.
2 2
Bước 2: Ta đánh giá xn +1 − x* theo biểu thức của xn − x*
Trước hết, từ bổ đề 2.1:
( ) ( )
2
= (1 − γ n ) (Tn ( wn ) − x* ) + γ n g ( wn ) − g ( x* ) + γ n g ( x* ) − x*
2
z n − x*
( g ( w ) − g ( x ))
2
≤ (1 − γ n ) (Tn ( wn ) − x* ) + γ n n
*
+ 2γ n g ( x* ) − x* , zn − x*
≤ (1 − γ n ) Tn ( wn ) − x* + γ n g ( wn ) − g ( x* ) + 2γ n g ( x* ) − x* , zn − x*
2 2
≤ (1 − γ n (1 − k ) ) wn − x* + 2γ n g ( x* ) − x* , zn − x*
2
(2.7)
Và:
2 2 2
wn − x* = xn − x* + θ n2 xn − xn −1 + 2θ n xn − x* , xn − xn −1
2 2
≤ xn − x* + θ n2 xn − xn −1 + 2θ n xn − x* . xn − xn −1
(2.8)
Từ bổ đề 2.1(i) và (2.7), (2.8) ta có :
2 2 2 2
xn +1 − x* =(1 − β n ) Tn ( wn ) − x* + β n Tn ( zn ) − x* − β n (1 − β n ) Tn ( wn ) − Tn ( zn )
2 2 2
≤ (1 − β n ) wn − x* + β n zn − x* − β n (1 − β n ) Tn ( wn ) − Tn ( zn )
≤ (1 − β nγ n (1 − k ) ) wn − x* + 2 β nγ n g ( x* ) − x* , zn − x*
2
2
− β n (1 − β n ) Tn ( wn ) − Tn ( zn )
≤ (1 − β nγ n (1 − k ) ) xn − x* + θ n2 xn − xn −1 + 2θ n xn − x* . xn − xn −1
2 2
+ 2 β nγ n g ( x* ) − x* , zn − x* − β n (1 − β n ) Tn ( wn ) − Tn ( zn )
2
(1 − β nγ n (1 − k ) ) xn − x* − β n (1 − β n ) Tn ( wn ) − Tn ( zn ) + β nγ n (1 − k ) bn ,
2 2
=
(2.9)
TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 46, tháng 5 năm 2021 7
- Với
1 θn
2 g ( x ) − x , zn − x + .θ n xn − xn −1
* * *
=bn xn − xn −1
1 − k β γ
n n
θ
+2 xn − x* . n xn − xn −1
β nγ n
2 2
Suy ra: β n (1 − β n ) Tn ( wn ) − Tn ( zn ) ≤ xn − x − xn − xn −1 + β nγ n (1 − k ) M ' (2.10)
* 2
với M ' = Sup {bn } .
n∈
{x }
Bước 3 : Ta chỉ ra sự hội tụ của dãy * 2n về nghiệm x :
*
a= xn − x = t β nγ n (1 − k )
Ta áp dụng bổ đề 2.2 với n và n
Từ (2.9) ta có bất đẳng thức sau : an +1 ≤ (1 − tn ) an + tnbn .
{ }
Giả sử có dãy con ani của dãy {an } thỏa mãn lim inf ( ani +1 − ani ) ≥ 0 , theo (C2) và
i →∞
(2.10) ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
2
lim sup β ni 1 − β ni Tni wni − Tni zni ≤ lim sup ani − ani +1 + β ni γ ni (1 − k ) M '
i →∞ i →∞
≤ lim sup ( a − a ) + (1 − k ) M '.lim β γ
ni ni +1 ni ni
i →∞ i →∞
= − lim inf ( a − a ) ni +1 ni
i →∞
≤0
( ) ( ) =
2
Kết hợp điều này với (C1) ta có : lim Tni wni − Tni zni 0. (2.11)
i →∞
Từ β z − T ( w =
ni ni ) β γ g (w ) −T (w )
ni ni ni ni ni ni ni
Kết hợp (C1) và (C2) ta có : lim z − T ( w ) = 0. (2.12)
ni ni ni
i →∞
Như vậy từ (2.11) và (2.12) ta có : z − T ( z ) ≤ z − T ( w ) + T ( w ) − T ( z ) → 0
ni ni ni ni ni ni ni ni ni ni
khi i → ∞ .
Tiếp theo ta sẽ chỉ ra lim sup bni ≤ 0 , tức là ta phải chỉ ra lim sup g ( x* ) − x* , zni − x* ≤ 0.
i →∞
{ } là dãy con của {z } sao cho :
i →∞
Ta chọn dãy zni ni
j
lim g ( x* ) − x* ,=
zni − x* lim sup g ( x* ) − x* , zni − x*
j →∞ j
i →∞
Khi đó tồn tại dãy con zni { } j
p
của dãy zni { } thỏa mãn {z
j
ni j
p
} hội tụ yếu về y ∈ H , theo
điều kiện ( Z ) của họ các ánh xạ {Tn } , y ∈ Γ . Nhắc lại : x* ∈ Γ, x* = PΓ g ( x* ) nên ta có :
.
g x* − x* , y − x* ≤ 0 ∀y ∈ Γ ( )
Do đó lim sup g ( x* ) − x* , zni − x*= lim g ( x* ) − x* , zni − x*= g ( x* ) − x* , y − x* ≤ 0 .
i →∞ p →∞ jp
8 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG
- Điều này cho ta kết quả lim sup bni ≤ 0 .
i →∞
Như vậy, áp dụng bổ đề 2.2, dãy {an } hội tụ mạnh về 0 , hay xn → x* khi n → ∞ .
Định lý đã được chứng minh.
III. Áp dụng thuật toán vào bài toán cực tiểu lồi :
Bây giờ, ta áp dụng thuật toán 2.1 vào bài toán cực tiểu của tổng hai hàm lồi
f1 ( x ) + f 2 ( x ) , cụ thể như sau :
Giả sử :
f1 : n → là hàm lồi, khả vi với đạo hàm liên tục Lipchitz ∇f1 .
•
f : n → {∞} là hàm lồi, nửa liên tục dưới.
• 2
= Ω arg min ( f1 ( x ) + f 2 ( x ) ) ≠ ∅
•
n n
• g : → là một ánh xạ co.
Thuật toán 3.1 :
Chọn các dãy {γ n } , {β n } , {τ n } , {cn } là các dãy số thực dương, dãy {µn } là dãy thực bị
chặn, không âm. Chọn điểm khởi đầu x0 , x1 bất kỳ thuộc không gian Hilbert H .
Vòng lặp: Với n ≥ 1 ta tính toán xn +1 như sau:
Bước 1: Ta tính toán chỉ số quán tính:
τn
min µn , , khi xn − xn −1 ≠ 0,
θn = xn − xn −1 (3.1)
µn khi xn − xn −1 = 0
Bước 2: Tính xn +1 :
wn = xn + θ n . ( xn − xn −1 )
zn = (1 − γ n ) proxcn f2 ( I − cn∇f1 )( wn ) + γ n .g ( wn ) (3.2)
xn +1 = (1 − β n ) proxcn f2 ( I − cn∇f1 )( wn ) + β n proxcn f2 ( I − cn∇f1 )( zn )
Đặt n= n + 1 và quay lại bước 1.
Định lý 3.1 :
Dãy lặp { xn } trong thuật toán 3.1 hội tụ mạnh về nghiệm x* :
=
n
x∈
( )
x* ∈ Ω arg min ( f1 ( x ) + f 2 ( x ) ) và đồng thời x* = PΩ g ( x* ) nếu các tham số trong
thuật toán thỏa mãn điều kiện sau:
•(C1): 0 < ε1 ≤ β n < ε 2 ≤ 1 .
∞
0, ∑ β nγ n =
•(C2): 0 < γ n < 1, lim ( β nγ n ) = ∞.
τn n →∞
n =1
•(C3): lim =0.
n →∞ β γ
n n
2
•(C4): 0 < cn , c < ; lim cn =
c
L n→∞ .
TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 46, tháng 5 năm 2021 9
- Để chứng minh định lý 3.1, trước hết ta IV. Kết luận : Bài báo đã đưa ra thuật toán
có bổ đề sau: mới cho việc tìm điểm bất động chung của
Bổ đề 3.1 [7]. T : H → H là ánh xạ một họ các ánh xạ không giãn và một ánh xạ
không giãn thì I − T là nửa đóng tại 0 với co, áp dụng cho bài toán tìm cực tiểu lồi. Bài
I là ánh xạ đồng nhất. Tức là mọi dãy { xn } báo đã chứng minh sự hội tụ mạnh về nghiệm
hội tụ yếu về x trong không gian Hilbert H x* của dãy lặp được xây dựng trong thuật
, và nếu dãy xn − T ( xn ) hội tụ mạnh về 0 toán. Với cách xây dựng dãy lặp là sự kết hợp
thì x ∈ Fix (T ) . của phương pháp xấp xỉ liên kết và phương
Bổ đề 3.2 [2]: Cho hai hàm số: pháp quán tính, trong thuật toán đã không cần
sử dụng phép chiếu, do đó hi vọng sẽ giảm
f1 : n → là hàm lồi, khả vi với đạo nhẹ cho các bước tính toán trên máy tính. Do
hàm liên tục Lipchitz ∇f1 . khuôn khổ số trang của bài báo, tác giả chưa
f 2 : n → {∞} là hàm lồi, nửa liên so sánh tốc độ tính toán của thuật toán,
tục dưới.
Cho = Tn proxcn f2 ( I − cn∇f1 ) , TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Beck, A. and Teboulle, M. (2009): “A fast
=T proxcf2 ( I − c∇f1 ) với c , c ∈ 0, 2 iterative shrinkage-thresholding algorithm for linear
n
và lim cn = c Linverse problems”. SIAM Journal on Imaging Sciences.
n →∞
Khi đó: Mọi dãy {un } bị chặn trong n 2, 183–202.
thỏa mãn lim un − Tn ( un ) = 0 thì suy ra 2. Bussaban, L., Suantai, S. and Kaewkhao,
A. (2020): “A parallel inertial S-iteration forward-
n →∞
lim un − T ( un ) = 0. backward algorithm for regression and classification
n →∞ problems”. Carpathian J. Math. 36, 35–44.
Chứng minh định lý 3.2:
3. Combettes, P. L. and Wajs, V. R. (2005): “Signal
Ta đặt = Tn proxcn f2 ( I − cn∇f1 ) ;recovery by proximal forward-backward splitting”,
2
=T proxcf2 ( I − c∇f1 ) , Multiscale Model. Simul. 4, 1168–1200.
cn , c ∈ 0, ,
lim cn = c . L 4. Lions, P. L. and Mercier, B. (1979): “Splitting
n →∞ algorithms for the sum of two nonlinear operators”,
Khi đó ta có Tn và T là các ánh xạ SIAM Journal on Numerical Anal. 16, No. 6, 964–979.
không giãn, và 5. Moudafi, A. (2000): “Viscosity approximation
∞ method for fixed-points problems”, J. Math. Anal. Appl.
( ( ) ( ))
FixTn = FixT = Ω = Arg min f1 x + f 2 x 241, 46–55.
.
n =1 6. Mann W. R. (1953), “Mean value
{ }
Ta chọn dãy un bị chặn trong n , sao methods in iteration”, Proceedings of
the American Mathematical Society, 4(3), pp. 506–510
cho un − Tn ( un ) → 0 khi n → ∞ .
7. Opial, Z. (1967): “Weak convergence of the
{ }
Giả sử dãy un hội tụ yếu về u thì tồn sequence of successive approximations for nonexpansive
{ } { }
tại dãy con uni của un hội tụ mạnh mappings”, Bull. Am. Math. Soc. 73, 591–597.
về u . 8. Saejung, S. and Yotkaew, P. (2012):
“Approximation of zeros of inverse strongly monotone
Theo bổ đề 3.2, ta có operators in Banach spaces”, Nonlinear Anal. 75,
n →∞
( )
lim uni − Tn uni =
n →∞
( )
0 ⇒ lim uni − T uni = 0 724–750.
Do tính chất nửa đóng tại 0 của ánh xạ 9. Tibshirani, R. (1996): “Regression shrinkage and
∞ selection via the lasso”, J. R. Stat. Soc. B Methodol. 58,
I − T , ta có u ∈ FixT = FixTn . 267–288.
n =1
{ }
Như vậy Tn thỏa mãn điều kiện Z . ( ) 10. Takahashi, W. (2009): Introduction to Nonlinear
and Convex Analysis, Yokohama Publishers, Yokohama.
Theo chứng minh của thuật∞toán 2.1,
11. Xu, H. K. (2004): “Viscosity approximation
{ }
dãy xn sẽ hội tụ mạnh về x* ∈ FixTn .
n =1
methods for nonexpansive mappings”, J. Math. Anal.
Định lý được chứng minh. Appl. 298, 279–291.
10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG
nguon tai.lieu . vn
