- Trang Chủ
- Toán học
- Tài liệu môn học Giải tích 2: Lý thuyết và bài tập (Đại học Bách khoa Hà Nội)
Xem mẫu
- BÁCH KHOA-ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI
TÀI LIỆU MÔN HỌC
GIẢI TÍCH II
______________________________________________
Người biên soạn: Phạm Thanh Tùng
(Tự Động Hóa – ĐHBKHN)
Hà Nội, Tháng 6 năm 2021
- MỤC LỤC
CHƯƠNG I: HÀM NHIỀU BIẾN SỐ ..................................................................7
I. Bài toán tìm giới hạn của hàm nhiều biến số: .............................................7
II. Bài toán khảo sát tính liên tục của hàm nhiều biến số: ...........................14
III. Các bài toán về đạo hàm riêng: ...............................................................16
1. Tính đạo hàm riêng của hàm bị gãy khúc: ............................................18
2. Tính đạo hàm riêng của hàm số hợp: .....................................................19
3. Đạo hàm riêng cấp hai: ............................................................................20
4. Tính đạo hàm riêng của hàm số hợp gián tiếp qua hàm tích phân:.....21
5. Tính đạo hàm riêng của hàm ẩn: ............................................................23
6. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong tại một điểm cho bởi
hàm ẩn rút ra từ 𝑭(𝒙, 𝒚) = 𝟎 .........................................................................24
7. Tìm điểm kì dị của đường cong: .............................................................25
8. Một số bài tập tổng hợp: ..........................................................................26
IV. Khảo sát tính liên tục của đạo hàm riêng: .............................................27
V. Bài toán sử dụng vi phân tính gần đúng: ..................................................28
VI. Bài toán tính vi phân toàn phần: ............................................................29
VII. Bài toán tìm cực trị của hàm nhiều biến (không có điều kiện): ...........31
VII. Bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc giữa 𝐱 và 𝐲: ............................35
VIII. Bài toán khai triển Taylor tại một điểm của hàm nhiều biến số: ........38
IX. Bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: ........................................................39
1. Bài toán: ....................................................................................................39
2. Cách làm tổng quát: .................................................................................39
CHƯƠNG I: CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN .......................44
I. Trong hình học phẳng (Oxy) ......................................................................44
II. Trong hình học không gian (Oxyz): ...........................................................47
III. Bài toán liên quan đến đường cong cho dưới dạng giao tuyến của 2
mặt cong:.............................................................................................................50
IV. Bài toán tìm hình bao của họ đường cong phụ thuộc vào tham số: .....51
1
- 1. Định nghĩa:................................................................................................51
2. Các bước tìm hình bao: ............................................................................52
V. Hàm vecto:....................................................................................................54
CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI .........................................................................56
§2.1: TÍCH PHÂN KÉP ....................................................................................56
I. Các công thức tính cơ bản: .........................................................................56
1. Dạng 1: Miền 𝐃 là miền hình chữ nhật: .................................................56
2. Dạng 2: Miền D là miền có dạng hình thang cong: ...............................58
3. Dạng 3: Miền 𝐃 có dạng hình thang cong: ............................................62
II. Bài toán đổi thứ tự lấy tích phân: ..............................................................64
1. Bài toán: ....................................................................................................64
2. Phương pháp:............................................................................................65
III. Các phép đổi biến số trong tích phân kép: ............................................71
1. Phép đổi biến trong tọa độ Đề-các: .........................................................71
2. Phép đổi biến số trong tọa độ cực: ..........................................................73
3. Phép đổi biến số trong tọa độ cực suy rộng: ..........................................84
IV. Tích phân kép có miền lấy tích phân đối xứng: ....................................87
V. Tích phân kép có dấu giá trị tuyệt đối: .....................................................89
VI. Dạng bài kết hợp các phương pháp đổi biến số: ...................................93
VII. Dạng bài sử dụng tọa độ cực để giải tích phân có miền 𝐃 đặc biệt: ....93
VIII. Bài tập tự luyện: .......................................................................................97
§2.2: TÍCH PHÂN BỘI BA ...............................................................................98
I. Sơ lược về tích phân bội ba: .......................................................................98
II. Một số dạng cơ bản: ..................................................................................102
1. Dạng 1:.....................................................................................................102
2. Dạng 2:.....................................................................................................102
3. Dạng 3: ....................................................................................................103
4. Dạng 4:.....................................................................................................104
III. Đổi biến số trong tích phân bội ba: .......................................................110
2
- 1. Phép đổi biến số trong tọa độ trụ: ........................................................110
2. Phép đổi biến số trong tọa độ trụ suy rộng ..........................................115
3. Phép đổi biến số trong tọa độ cầu: ........................................................116
4. Phép đổi biến số trong tọa độ cầu suy rộng: ........................................122
5. Phép đổi biến số trong tọa độ Đề-các: ..................................................130
IV. Tích phân có miền đối xứng: .................................................................132
V. Một số dạng bài đặc biệt: ..........................................................................135
1. Tọa độ trụ có sử dụng hình chiếu của miền 𝐕 lên 𝐎𝐱𝐳 hoặc 𝐎𝐲𝐳: .....135
2. Đổi thứ tự lấy tích phân: ........................................................................136
3. Đổi vai trò của 𝐱, 𝐲, 𝐳...............................................................................137
4. Dạng tổng hợp: .......................................................................................139
5. Sử dụng đổi biến số trong tọa độ cầu để tính các tích phân bội ba có
miền phức tạp: ..............................................................................................140
VI. Bài tập tự luyện: .....................................................................................142
§2.3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI ..................................................143
I. Tính diện tích hình phẳng .........................................................................143
II. Tính diện tích mặt cong: ...........................................................................148
III. Tính thể tích vật thể: ..............................................................................150
CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ .................................156
§3.1: Tích phân xác định phụ thuộc tham số ................................................156
I. Khái niệm: ..................................................................................................156
II. Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số: ....................156
1. Tính liên tục: ...........................................................................................156
2. Tính khả vi: .............................................................................................158
3. Tính khả tích:..........................................................................................162
III. Tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi: ..................................163
1. Tính liên tục: ...........................................................................................163
2. Tính khả vi: .............................................................................................165
3. Tính khả tích:..........................................................................................166
3
- §3.2: TÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ ........................167
I. Khái niệm: ..................................................................................................167
II. Các tính chất: .............................................................................................168
1. Tính liên tục: ...........................................................................................168
2. Tính khả vi: .............................................................................................169
3. Tính khả vi: .............................................................................................173
III. Một số tích phân quan trọng: ................................................................177
§3.3: TÍCH PHÂN EULER .............................................................................178
I. Hàm Gamma: .............................................................................................178
II. Hàm Beta:...................................................................................................180
CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG ..............................................................183
§4.1: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I .............................................................183
I. Công thức tính: ..........................................................................................183
1. Dạng 1:.....................................................................................................184
2. Dạng 2:.....................................................................................................184
3. Dạng 3:.....................................................................................................184
4. Dạng 4:.....................................................................................................184
II. Ứng dụng của tích phân đường loại I: .....................................................192
III. Tích phân đường loại I trong không gian 𝐎𝐱𝐲𝐳: .................................194
§𝟒. 𝟐: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II ...........................................................197
I. Công thức tính: ..........................................................................................197
1. Dạng 1: ....................................................................................................197
2. Dạng 2:.....................................................................................................197
3. Dạng 3:.....................................................................................................198
II. Công thức Green: ......................................................................................201
III. Điều kiện để tích phân không phụ thuộc vào đường đi: .....................208
1. Định lí 4 mệnh đề tương đương: ...........................................................208
2. Bài toán tích phân không phụ thuộc vào đường đi: ............................209
IV. Ứng dụng của tích phân đường loại II: ................................................215
4
- 1. Tính diện tích hình phẳng: ....................................................................215
2. Tính công của một lực thay đổi làm dịch chuyển chất điểm từ vị trí A
đến vị trí B: ....................................................................................................215
CHƯƠNG V: TÍCH PHÂN MẶT .....................................................................217
§5.1: TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I ...................................................................217
I. Công thức tính: ..........................................................................................217
II. Ứng dụng của tích phân mặt loại I: .........................................................223
§5.2: TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II ..................................................................226
I.Tích phân mặt loại II: ...................................................................................226
II.Công thức Ostrogradsky: ............................................................................231
III.Công thức Stoke: ........................................................................................239
IV.Công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và tích phân mặt loại II:...240
CHƯƠNG VI: LÝ THUYẾT TRƯỜNG ..........................................................243
§6.1: TRƯỜNG VÔ HƯỚNG .........................................................................243
I. Định nghĩa: .................................................................................................243
II. Đạo hàm theo hướng: ................................................................................243
1. Công thức tính: .......................................................................................243
2. Tính chất: ................................................................................................243
III. Gradient: .................................................................................................244
§6.2: TRƯỜNG VECTO .................................................................................247
I. Định nghĩa: .................................................................................................247
II. Dive, trường ống: .......................................................................................247
III. Trường thế, hàm thế vị: .........................................................................247
1. Vecto xoáy (𝐫𝐨𝐭𝐅): ..................................................................................247
2. Trường thế, hàm thế vị: .........................................................................247
IV. Thông lượng:...........................................................................................249
1. Công thức tính: .......................................................................................249
2. Các ví dụ minh họa: ...............................................................................249
V. Lưu số (Hoàn lưu): ....................................................................................255
5
- 1. Công thức tính: .......................................................................................255
2. Các dạng chính: ......................................................................................255
TÀI LIỆU THAM KHẢO: .................................................................................260
6
- CHƯƠNG I:
HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
TỔNG HỢP CÁC DẠNG BÀI TRONG HÀM NHIỀU BIẾN
I. Bài toán tìm giới hạn của hàm nhiều biến số:
− Tính chất cơ bản của giới hạn:
+ lim 𝑘𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘 lim 𝑓(𝑥, 𝑦)
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
+ lim [𝑓(𝑥, 𝑦) ± 𝑔(𝑥, 𝑦)] = lim 𝑓(𝑥, 𝑦) ± lim 𝑔(𝑥, 𝑦)
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
Tính chất thứ hai chỉ áp dụng được khi lim 𝑓(𝑥, 𝑦) và lim 𝑔(𝑥, 𝑦) hữu hạn.
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
Nếu hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục tại điểm (𝑥0 ; 𝑦0 ) thì:
lim 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )
(𝑥,𝑦)→(𝑥0 ,𝑦0 )
− Dạng 1: Sử dụng định lí kẹp (với những bài có giới hạn bằng 0).
𝑔(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ ℎ(𝑥, 𝑦)
lim 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑐
Định lí kẹp: { (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏) ⇒ lim 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
lim ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑐
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
❖ Trong các bài tập, khi phán đoán được giới hạn lim 𝑓(𝑥, 𝑦) tiến đến 0, chúng ta sẽ sử
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
dụng định lí kẹp như sau:
Có: 0 ≤ |𝑓(𝑥, 𝑦)| ≤ |𝑔(𝑥, 𝑦)|. Vế trái của của |𝑓(𝑥, 𝑦)| đã được kẹp bởi số 0, nhiệm vụ sẽ là tìm
được hàm 𝑔(𝑥, 𝑦) thỏa mãn lim 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0. Để làm được việc này chúng ta sẽ đánh giá,
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
tác động lên hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) bằng cách bớt tử, mẫu hay sử dụng bất đẳng thức Cauchy, sử dụng
|sin 𝑥|, |cos 𝑥| ≤ 1 …. . Sau khi tìm được hàm 𝑔(𝑥, 𝑦) phù hợp, sử dụng định lí kẹp
⇒ (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
lim lim 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0
|𝑓(𝑥, 𝑦)| = 0 ⇒ (𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
𝑥 2 sin 𝑦
VD1: Tính lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2
Giải:
7
- 𝑥 2 sin 𝑦
Sử dụng máy tính nhập hàm 2 , do (𝑥, 𝑦) → (0,0), ta CALC 𝑥 = 10−6 , 𝑦 = 10−6
𝑥 + 𝑦2
𝑥 2 sin 𝑦
thu được kết quả gần bằng 0 ⇒ dự đoán lim = 0 ⇒ Sử dụng định lý kẹp.
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2
𝑥 2 sin 𝑦 𝑥 2 sin 𝑦
Ta có: 0 ≤ | 2 | ≤ | | = |sin 𝑦|
𝑥 + 𝑦2 𝑥2
𝑥 2 sin 𝑦
Mà lim |sin 𝑦| = |sin 0| = 0 ⇒ lim = 0 (định lý kẹp)
(𝑥,𝑦)→(0,0) (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2
2𝑥 3 ln 𝑦
VD2: Tìm lim
(𝑥,𝑦)→(0,1) 𝑥 2 + (𝑦 − 1)2
Giải:
2𝑥 3 ln 𝑦
Nhập hàm 2 nhập 𝑥 = 10−6 tiến sát 0, nhập 𝑦 = 1 + 10−6 tiến sát 1
𝑥 + (𝑦 − 1)2
2𝑥 3 ln 𝑦
thu được kết quả là một số rất nhỏ tiến đến 0 ⇒ dự đoán được lim =0
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + (𝑦 − 1)2
⇒ dùng định lí kẹp
2𝑥 3 ln 𝑦 2𝑥 3 ln 𝑦
Ta có: 0 ≤ | 2 |≤| | = |2𝑥. ln 𝑦|
𝑥 + (𝑦 − 1)2 𝑥2
2𝑥 3 ln 𝑦
Mà lim |2𝑥. ln 𝑦| = |2.0. ln 1| = 0 ⇒ lim = 0 (Định lý kẹp)
(𝑥,𝑦)→(0,1) (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + (𝑦 − 1)2
(sin 𝑥)3
VD3: Tìm lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) (sin 𝑥)2 + (cos 𝑦)2
Giải:
(sin 𝑥)3
Dùng máy tính, dự đoán được lim = 0 ⇒ dùng định lí kẹp
(𝑥,𝑦)→(0,0) (sin 𝑥)2 + (cos 𝑦)2
(sin 𝑥)3 (sin 𝑥)3
Ta có: 0 ≤ | | ≤ | | = |sin 𝑥|
(sin 𝑥)2 + (cos 𝑦)2 (sin 𝑥)2
(sin 𝑥)3
Mà lim |sin 𝑥| = |sin 0| = 0 ⇒ lim = 0 (Định lý kẹp)
(𝑥,𝑦)→(0,0) (𝑥,𝑦)→(0,0) (sin 𝑥)2 + (cos 𝑦)2
8
- 𝑥4 + 𝑦4
VD4: Tìm lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 2𝑦 2
Giải:
𝑥4 + 𝑦4
Dùng máy tính, dự đoán được lim = 0 ⇒ dùng định lí kẹp
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 2𝑦 2
Ở VD này nếu để nguyên và bớt ở mẫu số như 2 VD trước thì vẫn chưa thể sử dụng định lí kẹp,
chúng ta sẽ chia
𝑥4 + 𝑦4 𝑥4 𝑦4
lim = lim + lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 2𝑦 2 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 2𝑦 2 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 2𝑦 2
𝑥4 𝑥4
0≤| 2 | ≤ | 2 | = |𝑥 2 | 𝑥4
Ta có: { 𝑥 + 2𝑦 2 𝑥 ⇒ lim = 0 (Định lý kẹp)
2 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 2𝑦 2
lim |𝑥 | = 0
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑦4 𝑦4 𝑦2
0≤| | ≤ | | = | |
𝑥 2 + 2𝑦 2 2𝑦 2 2 𝑦4
Ta có: ⇒ lim = 0 (Định lý kẹp)
𝑦2 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 2𝑦 2
lim | | = 0
{ (𝑥,𝑦)→(0,0) 2
𝑥4 + 𝑦4 𝑥4 𝑦4
⇒ lim = lim + lim =0
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 2𝑦 2 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 2𝑦 2 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 2𝑦 2
𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 2
VD5: Tính lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2
Giải:
𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 2
Dùng máy tính, dự đoán được lim = 0 ⇒ dùng định lí kẹp
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2
Thấy rằng ở đây xuất hiện thừa số 𝑥𝑦, 𝑥 2 , 𝑦 2 ⇒ liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy.
1 1 𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 2 𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 2 𝑥
Ta có: |𝑥 2 + 𝑦 2 | ≥ |2𝑥𝑦| ⇒ ≤ ⇒ | | ≤ | | = | − 2𝑦|
|𝑥 + 𝑦 | |2𝑥𝑦|
2 2 2
𝑥 +𝑦 2 2𝑥𝑦 2
𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 2 𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 2 𝑥
⇒0≤| 2 2
| ≤ | | = | − 2𝑦|
𝑥 +𝑦 2𝑥𝑦 2
𝑥 0 𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦 2
Mà lim | − 2𝑦| = | − 2.0| = 0 ⇒ lim =0
(𝑥,𝑦)→(0,0) 2 2 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2
9
- 𝑥2
VD6: Tính lim
(𝑥,𝑦)→(+∞,+∞) 𝑥 4 + 𝑦 4
Giải:
(𝑥, 𝑦) → (+∞, +∞), nhập 𝑥 = 106 , 𝑦 = 106 , thu được kết quả gần đến 0 ⇒ dùng định lí kẹp
𝑥2 𝑥2 1
Ta có: 0 ≤ | 4 4
| ≤ | 4
| = | 2|
𝑥 +𝑦 𝑥 𝑥
1 𝑥2
Mà lim | 2| = 0 ⇒ lim =0
(𝑥,𝑦)→(+∞,+∞) 𝑥 (𝑥,𝑦)→(+∞,+∞) 𝑥 4 + 𝑦 4
− Dạng 2: Sử dụng cách đặt 𝑦 = 𝑘𝑥 để chứng minh sự không tồn tại của giới hạn.
Theo định nghĩa, để tìm ra sự tồn tại hữu hạn của giới hạn lim 𝑓(𝑥, 𝑦) ta phải chỉ ra với
(𝑥,𝑦)→(𝑥0 ,𝑦0 )
mọi dãy số {𝑥𝑛 → 𝑥0 }, {𝑦𝑛 → 𝑦0 } thì lim 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿 (𝐿 hữu hạn).
(𝑥,𝑦)→(𝑥0 ,𝑦0 )
Vì vậy với những bài toán không tồn tại giới hạn, ta sẽ chỉ ra có hai dãy {𝑥𝑛 → 𝑥0 }, {𝑦𝑛 → 𝑦0 } và
{𝑥𝑛′ → 𝑥0 }, {𝑦𝑛′ → 𝑦0 } sao cho lim 𝑓(𝑥, 𝑦) nhận hai giá trị khác nhau.
(𝑥,𝑦)→(𝑥0 ,𝑦0 )
Chúng ta thường xét hai dãy {𝑥 → 𝑥0 }, {𝑦 = 𝑥 → 𝑦0 } và {𝑥 → 𝑥0 }, {𝑦 = 2𝑥 → 𝑦0 }
Và để đỡ tốn thời gian trình bày ta sẽ xét tổng quát dãy {𝑥 → 𝑥0 }, {𝑦 = 𝑘𝑥 → 𝑦0 }
𝑥2
VD1: Tính lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2
Giải:
Dùng máy tính bấm ra một giá trị không gần sát 0 ⇒ dự đoán giới hạn này không tồn tại.
Xét (𝑥, 𝑦) → (0,0) theo phương 𝑦 = 𝑘𝑥
𝑥2 𝑥2 1 1
⇒ lim = lim = lim =
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2 (𝑥,𝑘𝑥)→(0,0) 𝑥 2 + (𝑘𝑥)2 (𝑥,𝑘𝑥)→(0,0) 1 + 𝑘 2 1 + 𝑘2
2
𝑥
Với mỗi 𝑘 khác nhau, lim tiến đến những giới hạn khác nhau
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2
𝑥2
Vậy không tồn tại lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2
10
- 𝑥3
VD2: Tính lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) 3𝑥 2 𝑦 + 𝑦 3
Giải:
Dùng máy tính bấm ra một giá trị không gần sát 0 ⇒ dự đoán giới hạn này không tồn tại
Xét (𝑥, 𝑦) → (0,0) theo phương 𝑦 = 𝑘𝑥
𝑥3 𝑥3 1 1
⇒ lim 2 3
= lim 2 3
= lim 3
=
(𝑥,𝑦)→(0,0) 3𝑥 𝑦 + 𝑦 (𝑥,𝑘𝑥)→(0,0) 3𝑥 𝑘𝑥 + (𝑘𝑥) (𝑥,𝑘𝑥)→(0,0) 3𝑘 + 𝑘 3𝑘 + 𝑘 3
𝑥3
Với mỗi 𝑘 khác nhau, lim tiến đến những giới hạn khác nhau
(𝑥,𝑦)→(0,0) 3𝑥 2 𝑦 + 𝑦 3
𝑥3
Vậy không tồn tại lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) 3𝑥 2 𝑦 + 𝑦 3
𝜋𝑥
VD3: Tính lim sin
(𝑥,𝑦)→(+∞,+∞) 2𝑥 + 𝑦
Giải:
Xét (𝑥, 𝑦) → (+∞, +∞) theo phương 𝑦 = 𝑘𝑥
𝜋𝑥 𝜋𝑥 𝜋 𝜋
⇒ lim sin = lim sin = lim sin = sin
(𝑥,𝑦)→(+∞,+∞) 2𝑥 + 𝑦 (𝑥,𝑘𝑥)→(+∞,+∞) 2𝑥 + 𝑘𝑥 (𝑥,𝑘𝑥)→(+∞,+∞) 2+𝑘 2+𝑘
𝜋𝑥
Với mỗi 𝑘 khác nhau, lim sin tiến đến những giới hạn khác nhau
(𝑥,𝑦)→(+∞,+∞) 2𝑥 + 𝑦
𝜋𝑥
Vậy không tồn tại lim sin
(𝑥,𝑦)→(+∞,+∞) 2𝑥 + 𝑦
− Dạng 3: Kết hợp những kiến thức tìm giới hạn của hàm 1 biến số:
o Các kiến thức cần nhớ:
▪ Vô cùng bé tương đương: với 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦) → 0 thì:
sin 𝑢 ~ 𝑢 ln(1 + 𝑢) ~ 𝑢
tan 𝑢 ~ 𝑢 𝑒𝑢 − 1 ~ 𝑢
arctan 𝑢 ~ 𝑢 𝑢2
1 − cos 𝑢 ~
2
arcsin 𝑢 ~ 𝑢 (1 + 𝑢)𝛼 − 1 ~ 𝛼𝑢
11
- ▪ Vô cùng lớn tương đương: với 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦) → +∞
1 𝑢
(1 + ) ~ 𝑒
𝑢
▪ Khai triển Maclaurin với 𝑢 → 0
𝑢2 𝑢𝑛
𝑒𝑢 = 1 + 𝑢 + + ⋯ + + 𝑜(𝑢𝑛 )
2! 𝑛!
𝑢3 𝑢5 𝑢2𝑛+1
sin 𝑢 = 𝑢 − + + ⋯ + (−1)𝑛 . + 𝑜(𝑢2𝑛+1 )
3! 5! (2𝑛 + 1)!
𝑢2 𝑢4 𝑢2𝑛
cos 𝑢 = 1 − + + ⋯ + (−1)𝑛 . + 𝑜(𝑢2𝑛 )
2! 4! (2𝑛)!
𝑢2 𝑢3 𝑢𝑛
ln(1 + 𝑢) = 𝑢 − + + ⋯ + (−1)𝑛−1 . + 𝑜(𝑢𝑛 )
2 3 𝑛
…
▪ Các dạng vô định thường gặp: 00 , 1∞ , ∞0
1
VD1: Tính lim (1 + 𝑥 2 𝑦 2 )𝑥 2+𝑦 2
(𝑥,𝑦)→(0,0)
Giải:
1
Do 𝑥 → 0, 𝑦 → 0 nên 𝑥 2 𝑦 2 → 0, 𝑥 2 + 𝑦 2 → 0, →∞
𝑥2 + 𝑦2
1 1 𝑢
⇒ lim (1 + 𝑥 2 𝑦 2 )𝑥 2+𝑦 2 là dạng vô định 1∞ ⇒ sử dụng (1 + ) ~ 𝑒 với 𝑢 → +∞
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑢
1 1
.𝑥 2 𝑦 2 2 2
𝑥2𝑦2 𝑥 +𝑦
1 𝑥2𝑦2
1 lim
lim (1 + 𝑥 2 𝑦 2 )𝑥 2+𝑦 2 = lim (1 + ) =𝑒 (𝑥,𝑦)→(0,0)𝑥 2 +𝑦 2
(𝑥,𝑦)→(0,0) (𝑥,𝑦)→(0,0) 1
𝑥2𝑦2
1 1 𝑥2𝑦2 𝑥2𝑦 2 𝑥𝑦
Ta có: |𝑥 2 + 𝑦 2 | ≥ |2𝑥𝑦| (Cauchy) ⇒ ≤ ⇒ | | ≤ | |=| |
|𝑥 + 𝑦 | |2𝑥𝑦|
2 2 2
𝑥 +𝑦 2 2𝑥𝑦 2
𝑥2𝑦2 𝑥𝑦 𝑥𝑦 0 𝑥2𝑦2
⇒0≤| | ≤ | | ⇒ lim | | = | | = 0 ⇒ lim = 0 (định lý kẹp)
𝑥2 + 𝑦2 2 (𝑥,𝑦)→(0,0) 2 2 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2
1
⇒ lim (1 + 𝑥 2 𝑦 2 )𝑥 2+𝑦 2 = 𝑒 0 = 1
(𝑥,𝑦)→(0,0)
12
- 1
VD2: Tính lim (1 + 3𝑥 2 )𝑥 2+𝑦 2
(𝑥,𝑦)→(0,0)
Giải:
1
Do (𝑥, 𝑦) → (0,0) ⇒ 3𝑥 2 → 0, 𝑥 2 + 𝑦 2 → 0, → ∞ ⇒ Dạng vô định 1∞
𝑥2 + 𝑦2
1 1
.3𝑥 2 2 2
3𝑥 2 𝑥 +𝑦
1 3𝑥 2
2 )𝑥 2 +𝑦 2
1 lim
lim (1 + 3𝑥 = lim (1 + ) =𝑒 (𝑥,𝑦)→(0,0)𝑥 2 +𝑦 2
(𝑥,𝑦)→(0,0) (𝑥,𝑦)→(0,0) 1
3𝑥 2
Xét (𝑥, 𝑦) → (0,0) theo phương 𝑦 = 𝑘𝑥
3𝑥 2 3𝑥 2 3 3
⇒ lim 2 2
= lim 2 2
= lim 2
=
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦 (𝑥,𝑘𝑥)→(0,0) 𝑥 + (𝑘𝑥) (𝑥,𝑘𝑥)→(0,0) 1 + 𝑘 1 + 𝑘2
3𝑥 2
Vậy với mỗi 𝑘 khác nhau lim tiến đến những giá trị giới hạn khác nhau.
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2
3𝑥 2 1
2 )𝑥 2 +𝑦 2
⇒∄ lim ⇒ ∄ lim (1 + 3𝑥
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2 (𝑥,𝑦)→(0,0)
cos(𝑥 2 + 𝑦 2 ) − 1
VD3: Tính lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2 + 𝑦2
Giải:
Do (𝑥, 𝑦) → (0,0) ⇒ 𝑥 2 + 𝑦 2 → 0
−(𝑥 2 + 𝑦 2 )2
⇒ cos(𝑥 2 + 𝑦 2 ) − 1 = −[1 − cos(𝑥 2 + 𝑦 2 )] ~
2
−(𝑥 2 + 𝑦 2 )2 1 −(𝑥 2 + 𝑦 2 )
⇒ (𝑥,𝑦)→(0,0)
lim = lim = lim =0
cos(𝑥𝑥22 +
+ 𝑦𝑦22) − 1 (𝑥,𝑦)→(0,0) 2 𝑥 2 + 𝑦 2 (𝑥,𝑦)→(0,0) 2
𝑥(𝑒 𝑦 − 1) − 𝑦(𝑒 𝑥 − 1)
VD4: Tính giới hạn hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 → 0, 𝑦 → 0)
𝑥2 + 𝑦2
Giải:
Sử dụng khai triển Maclaurin, ta có:
𝑥
𝑥2 2 )]
𝑥2
𝑒 − 1 = [1 + 𝑥 + + 𝑜(𝑥 − 1 = 𝑥 + + 𝑜(𝑥 2 ) với 𝑥 → 0
2 2
13
- 𝑦
𝑦2 2 )]
𝑦2
𝑒 − 1 = [1 + 𝑦 + + 𝑜(𝑦 −1=𝑦+ + 𝑜(𝑦 2 ) với 𝑦 → 0
2 2
𝑦2 𝑥2
𝑥 (𝑦 + 2 + 𝑜(𝑦 2 )) − 𝑦 (𝑥 + 2 + 𝑜(𝑥 2 ))
𝑥(𝑒 𝑦 − 1) − 𝑦(𝑒 𝑥 − 1)
⇒ lim = lim
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2 + 𝑦2 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2 + 𝑦2
𝑥𝑦 2 𝑥2𝑦 𝑥𝑦 2 𝑥 2 𝑦
𝑥𝑦 + − 𝑥𝑦 −
= lim 2 2 = lim 2 − 2
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2 + 𝑦2 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
𝑥𝑦 2 𝑥𝑦 2
𝑦
|𝑥 2 + 𝑦 2 | ≥ |2𝑥𝑦| ⇒ | 2 2 2 | ≤ | 2 | = | |
𝑥 +𝑦 2𝑥𝑦 4
𝑥𝑦 2
𝑦 𝑥𝑦 2
0 ≤ | 2 2 2| ≤ | |
Ta có: 𝑥 +𝑦 4 ⇒ lim 2 = 0 (Kẹp)
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2
𝑦
lim | | = 0
{ (𝑥,𝑦)→(0,0) 4
Tương tự chứng minh được
𝑦𝑥 2
lim 2 =0
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2
𝑥𝑦 2 𝑥 2 𝑦 𝑥𝑦 2 𝑦𝑥 2
2 − 2 = lim 2 2
⇒ lim − lim =0
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2
II. Bài toán khảo sát tính liên tục của hàm nhiều biến số:
Cách làm: sử dụng định lí: hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục tại điểm (𝑥0 ; 𝑦0 ) khi và chỉ khi:
lim 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )
(𝑥,𝑦)→(𝑥0 ,𝑦0 )
Vận dụng các phương pháp tìm giới hạn để kiểm tra tính liên tục
14
- 𝑦 2
VD1: Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑥. arctan (𝑥 ) , nếu 𝑥 ≠ 0. Xét tính liên tục của 𝑓(𝑥, 𝑦)tại 𝐵(0,1)
0 , nếu 𝑥 = 0
Giải:
−𝜋 𝑦 2 𝜋 𝑦 2 𝜋
Do < arctan ( ) < ⇒ 0 ≤ |𝑥. arctan ( ) | ≤ | 𝑥| 2
{ 2 𝑥 2 𝑥 2 ⇒ lim ) =0
𝜋 (𝑥,𝑦)→(0,1)
𝑥. arctan (𝑦
𝑥
Mà lim | 𝑥| = 0
(𝑥,𝑦)→(0,1) 2
(Định lý kẹp)
⇒ 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục tại 𝐵(0,1).
2𝑥 2 𝑦 − 𝑦 2 𝑥
, nếu 𝑥 2 + 𝑦 2 ≠ 0
VD2: Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥 2 + 𝑦 2
𝑎, nếu 𝑥 2 + 𝑦 2 = 0
Tìm 𝑎 để hàm số liên tục tại (0,0)
Giải:
𝑥 2 + 𝑦 2 = 0 chỉ xảy ra khi 𝑥 = 𝑦 = 0.
Để 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục tại (0,0) ⇔ lim 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(0,0) = 𝑎
(𝑥,𝑦)→(0,0)
1 1
Theo Cauchy: 𝑥 2 + 𝑦 2 ≥ 2|𝑥𝑦| ⇒ ≤
𝑥2 +𝑦 2 2|𝑥𝑦|
2𝑥 2 𝑦 − 𝑦 2 𝑥 2𝑥 2 𝑦 − 𝑦 2 𝑥 2𝑥 − 𝑦
⇒ 0≤| | ≤ | | = | |
𝑥2 + 𝑦2 2𝑥𝑦 2
2𝑥 − 𝑦
Mà lim | |=0
(𝑥,𝑦)→(0,0) 2
2𝑥 2 𝑦 − 𝑦 2 𝑥
⇒ lim = 0 (Kẹp)
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2
Vậy hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục tại (0,0) khi và chỉ khi 𝑎 = 0
𝑥𝑦 + 𝑦 2
sin ( 2 ) , nếu (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
VD3: Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥 + 𝑦2
0, nếu (𝑥, 𝑦) = 0
Xét tính liên tục của hàm số tại (0,0)
15
- Giải:
Xét theo phương 𝑦 = 𝑘𝑥
𝑥𝑦 + 𝑦 2 𝑘𝑥 2 + 𝑘 2 𝑥 2
⇒ lim sin ( 2 ) = lim sin ( )
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 + 𝑦2 (𝑥,𝑘𝑥)→(0,0) 𝑥2 + 𝑘2𝑥2
𝑘 + 𝑘2
= lim ) = sin ( )
𝑥→0
𝑘𝑥→0 1 + 𝑘2 1 + 𝑘2
sin (𝑘 + 𝑘 2
𝑥𝑦 + 𝑦 2
Vậy với mỗi 𝑘 khác nhau lim sin ( ) tiến đến những giá trị giới hạn khác nhau.
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2 + 𝑦2
𝑥𝑦 + 𝑦 2
⇒ Không tồn tại lim sin ( ) ⇒ Hàm số gián đoạn tại (0,0)
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥2 + 𝑦2
𝑥𝑦 − 𝑥 2
, nếu (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
VD4: Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑥 2 + 𝑦 2
0, nếu (𝑥, 𝑦) = 0
Khảo sát sự liên tục của hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦)
Giải:
Với (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 2 \{(0,0)} thì hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục.
Xét tính liên tục của hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) tại (0,0).
Với (𝑥, 𝑦) → (0,0), xét theo phương 𝑦 = 𝑘𝑥
𝑥𝑦 − 𝑥 2 𝑘𝑥 2 − 𝑥 2 𝑘−1
⇒ lim = lim =
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2 (𝑥,𝑘𝑥)→(0,0) 𝑥 2 + (𝑘𝑥)2 1 + 𝑘2
𝑥𝑦 − 𝑥 2
Vậy với mỗi 𝑘 khác nhau lim tiến đến những giá trị giới hạn khác nhau.
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2
𝑥𝑦 − 𝑥 2
⇒ Không tồn tại lim ⇒ Hàm số gián đoạn tại (0,0)
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2
Vậy hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục với (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 2 \{(0,0)}, gián đoạn tại (0,0)
III. Các bài toán về đạo hàm riêng:
Trong hàm nhiều biến số xuất hiện một khái niêm mới là đạo hàm riêng
16
- − Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) xác định trong miền 𝐷, điểm 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 ) ∈ 𝐷. Nếu cho y = y0 = const thì hàm
hai biến 𝑓(𝑥, 𝑦) trở thành hàm một biến số 𝑓(𝑥, 𝑦0 ) theo biến 𝑥. Đạo hàm của 𝑓(𝑥, 𝑦0 ) tại x = x0
f
được gọi là đạo hàm riêng của 𝑓(𝑥, 𝑦) theo biến 𝑥 tại 𝑀. Ký hiệu 𝑓𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 ) hoặc ( x0 , y0 ) .
x
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 ) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )
𝑓′𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 ) = lim (3.1)
∆𝑥→0 ∆𝑥
− Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) xác định trong miền 𝐷, điểm 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 ) ∈ 𝐷. Nếu cho x = x0 = const thì hàm
hai biến 𝑓(𝑥, 𝑦) trở thành hàm một biến số 𝑓(𝑥0 , 𝑦) theo biến 𝑦. Đạo hàm của 𝑓(𝑥0 , 𝑦) tại y = y0
f
được gọi là đạo hàm riêng của 𝑓(𝑥, 𝑦) theo biến 𝑦 tại 𝑀. Ký hiệu 𝑓𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 ) hoặc ( x0 , y0 ) .
y
𝑓(𝑥0 , 𝑦0 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )
𝑓′𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ) = lim (3.2)
∆𝑦→0 ∆𝑦
− Công thức (3.1) và (3.2) là công thức tính đạo hàm riêng theo định nghĩa, chúng ta sẽ sử dụng
hai công thức này với những bài toán tính đạo hàm riêng của hàm “gãy khúc” tại (𝑥0 , 𝑦0 ).
− Với hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) xác định trên miền 𝐷, không bị “gãy khúc”, khi tính đạo hàm riêng của 𝑓(𝑥, 𝑦)
theo biến nào thì xem như hàm chỉ phụ thuộc vào biến đó, biến còn lại coi như là hằng số và áp
dụng các quy tắc tính đạo hàm như hàm một biến số.
VD1: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 𝑦 ⇒ 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) = 3𝑦𝑥 2
VD2: 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑦 + 1)𝑒 2𝑥 ⇒ 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) = 2(𝑦 + 1)𝑒 2𝑥
VD3: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 𝑦 ⇒ 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) = 𝑥 3
VD4: 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑦 + 1)𝑒 2𝑥 ⇒ 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) = 𝑒 2𝑥
❖ Một số công thức đạo hàm riêng:
Cho các hàm hai biến số 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑔 = 𝑔(𝑥, 𝑦)
(𝑓. 𝑔)′ 𝑥 = 𝑓𝑥′ . 𝑔 + 𝑔𝑥′ . 𝑓
− Đạo hàm riêng của một tích: {
(𝑓. 𝑔)′ 𝑦 = 𝑓𝑦′ . 𝑔 + 𝑔𝑦′ . 𝑓
𝑓 ′ 𝑓𝑥′ . 𝑔 − 𝑔𝑥′ . 𝑓
( ) =
𝑔 𝑥 𝑔2
− Đạo hàm riêng của một thương:
𝑓 ′ 𝑓𝑦′ . 𝑔 − 𝑔𝑦′ . 𝑓
( ) =
{ 𝑔 𝑦 𝑔2
17
- 1. Tính đạo hàm riêng của hàm bị gãy khúc:
𝑔(𝑥, 𝑦) nếu 𝑥 ≠ 𝑥0
− Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = { . Thì để tính 𝑓𝑥′ tại điểm (𝑥0 , 𝑦0 ) không thể dùng
ℎ(𝑥, 𝑦) nếu 𝑥 = 𝑥0
cách tính trực tiếp thông thường mà phải dùng định nghĩa như sau:
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 ) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )
𝑓𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 ) = lim
∆𝑥→0 ∆𝑥
𝑔(𝑥, 𝑦) nếu 𝑦 ≠ 𝑦0
− Tương tự, cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = { . Thì để tính 𝑓𝑦′ tại điểm (𝑥0 , 𝑦0 ) không
ℎ(𝑥, 𝑦) nếu 𝑦 = 𝑦0
thể dùng cách tính trực tiếp thông thường mà phải dùng định nghĩa như sau:
𝑓(𝑥0 , 𝑦0 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )
𝑓𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 ) = lim
∆𝑦→0 ∆𝑦
𝑥 2
𝑦 arctan ( ) , nếu 𝑦 ≠ 0
VD1: Cho hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑦 . Tính 𝑓𝑦′ (1,0)
0, nếu 𝑦 = 0
Giải:
1
𝑓(1,0 + ∆𝑦) − 𝑓(1,0) ∆𝑦. arctan −0 1
′ (1,0) ∆𝑦
𝑓𝑦 = lim = lim = lim arctan
∆𝑦→0 ∆𝑦 ∆𝑦→0 ∆𝑦 ∆𝑦→0 ∆𝑦
1 1 𝜋 1 𝜋
Với ∆𝑦 → 0 ⇒ → +∞ ⇒ arctan → ⇒ lim arctan =
∆𝑦 ∆𝑦 2 ∆𝑦→0 ∆𝑦 2
1 𝜋
⇒ 𝑓𝑦′ (1,0) = lim arctan =
∆𝑦→0 ∆𝑦 2
2𝑥 3 − 𝑦 3
, nếu (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
VD2: Biết 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥 2 + 𝑦 2 , tính 𝑓𝑥′ (0,0) và 𝑓𝑦′ (0,0)
0, nếu (𝑥, 𝑦) = (0,0)
Giải:
2(∆𝑥)3 − 0
𝑓(0 + ∆𝑥, 0) − 𝑓(0,0) −0 2(∆𝑥)3
(∆𝑥)2
𝑓𝑥′ (0,0) = lim = lim = lim =2
∆𝑥→0 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥 ∆𝑥→0 (∆𝑥)3
18
- −(∆𝑦)3 − 0
𝑓(0, ∆𝑦) − 𝑓(0,0) −0 −(∆𝑦)3
′ (0,0) (∆𝑦)2
𝑓𝑦 = lim = lim = lim = −1
∆𝑦→0 ∆𝑦 ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥→0 (∆𝑦)3
2. Tính đạo hàm riêng của hàm số hợp:
𝑓𝑥′ = 𝑓𝑢′ . 𝑢𝑥′
− Cho hàm số 𝑓(𝑢) với 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) thì {
𝑓𝑦′ = 𝑓𝑢′ . 𝑢𝑦′
𝑓𝑥′ = 𝑓𝑢′ . 𝑢𝑥′ + 𝑓𝑣′ . 𝑣𝑥′
− Cho hàm số 𝑓(𝑢, 𝑣) với 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦) và 𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑦) thì {
𝑓𝑦′ = 𝑓𝑢′ . 𝑢𝑦′ + 𝑓𝑣′ . 𝑣𝑦′
1
VD1: Tính 𝐴 = 𝑦𝑧𝑥′ − 𝑥𝑧𝑦′ , biết 𝑧 = ln , 𝑢 = √𝑥 2 + 𝑦 2
𝑢
Giải:
−1 1 −1 ′ 2𝑥 𝑥 𝑦
Ta có: 𝑧𝑢′ = . = , 𝑢𝑥 = = , 𝑢𝑦′ =
𝑢 2 1 𝑢 2√𝑥 2 + 𝑦 2 √𝑥 2 + 𝑦 2 √𝑥 2 + 𝑦 2
𝑢
−1 𝑥 −1 𝑥 −𝑥
𝑧𝑥′ = 𝑧𝑢′ . 𝑢𝑥′ = . = . = 2
𝑢 √𝑥 2 + 𝑦 2 √𝑥 2 + 𝑦 2 √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑥 + 𝑦 2
⇒
−1 𝑦 −1 𝑦 −𝑦
𝑧𝑦′ = 𝑧𝑢′ . 𝑢𝑦′ = . = . = 2
{ 𝑢 √𝑥 2 + 𝑦 2 √𝑥 2 + 𝑦 2 √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑥 + 𝑦 2
VD2: Tính đạo hàm riêng của các hàm số hợp sau:
2 2
𝑎) 𝑧 = 𝑒 𝑢 −2𝑣 với 𝑢 = cos 𝑥 , 𝑣 = √𝑥 2 + 𝑦 2
𝑥
𝑏) 𝑧 = ln(𝑢2 + 𝑣 2 ) với 𝑢 = 𝑥𝑦, 𝑣 =
𝑦
Giải:
2 −2𝑣 2
𝑧𝑢′ = 2𝑢. 𝑒 𝑢 , 𝑢𝑥′ = − sin 𝑥 , 𝑢𝑦′ = 0
a) Ta có { ′ 2 2 𝑥 𝑦
𝑧𝑣 = −4𝑣. 𝑒 𝑢 −2𝑣 , 𝑣𝑥′ = , 𝑣𝑦′ =
√𝑥 2 + 𝑦 2 √𝑥 2 + 𝑦 2
2 −2𝑣 2 2 −2𝑣 2 𝑥
+ 𝑧𝑥′ = 𝑧𝑢′ . 𝑢𝑥′ + 𝑧𝑣′ . 𝑣𝑥′ = 2𝑢. 𝑒 𝑢 . (− sin 𝑥) − 4𝑣. 𝑒 𝑢 .
√𝑥 2 + 𝑦 2
2 −2(𝑥 2 +𝑦 2 ) 𝑥 2 −2(𝑥 2 +𝑦 2 )
⇔ 𝑧𝑥′ = −2 cos 𝑥 . sin 𝑥 . 𝑒 (cos 𝑥) − 4. √𝑥 2 + 𝑦 2 . . 𝑒 (cos 𝑥)
√𝑥 2 + 𝑦 2
2 −2(𝑥 2 +𝑦 2 ) 2 −2(𝑥 2 +𝑦 2 )
⇔ 𝑧𝑥′ = − sin 2𝑥 . 𝑒 (cos 𝑥) − 4𝑥. 𝑒 (cos 𝑥)
19
nguon tai.lieu . vn
