Xem mẫu
- TRƯỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN TOÁN
TÀI LIỆU GIẢNG DẠY
MÔN TOÁN CAO CẤP
(NGÀNH KHOA HỌC CÂY TRỒNG)
GV biên soạn: Phạm Minh Triển
Trà vinh, năm 2015
Lƣu hành nội bộ
- MỤC LỤC
Nội dung
Trang
Chương I: Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số một biến số ......................................................... 3
Bài 1: Tập hợp, ánh xạ............................................................................................................... 3
Bài 2: Giới hạn của dãy số......................................................................................................... 9
Bài 3: Giới hạn của hàm số ..................................................................................................... 11
Bài 4: Hàm số liên tục ............................................................................................................. 17
Chương II: Đạo hàm và vi phân của hàm một biến số ............................................................ 19
Bài 1: Đạo hàm của hàm số một biến số ................................................................................. 19
Bài 2: Vi phân của hàm số một biến số ................................................................................... 23
Bài 3: Một số ứng dụng của đạo hàm ...................................................................................... 26
Chương III: Tích phân của hàm một biến số ........................................................................... 30
Bài 1: Tích phân bất định ........................................................................................................ 30
Bài 2: Tích phân xác định ........................................................................................................ 38
Bài 3: Tích phân suy rộng ....................................................................................................... 43
Chương IV: Phép tính vi phân hàm nhiều biến ....................................................................... 47
Bài 1: Hàm nhiều biến và phép tính vi phân hàm nhiều biến.................................................. 47
Bài 2: Cực trị của hàm nhiều biến ........................................................................................... 53
Chương V: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính ................................................ 56
Bài 1: Ma trận .......................................................................................................................... 56
Bài 2: Định thức ...................................................................................................................... 60
Bài 3: Hệ phương trình tuyến tính ........................................................................................... 67
Chương VI: Phương trình vi phân ........................................................................................... 75
Bài 1: Phương trình vi phân cấp 1 ........................................................................................... 75
Bài 2: Phương trình vi phân cấp hai ........................................................................................ 80
Tài liệu tham khảo ................................................................................................................... 85
Tài liệu giảng dạy Môn: Toán Cao cấp
- CHƢƠNG I
GIỚI HẠN DÃY SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
BÀI 1
TẬP HỢP, ÁNH XẠ
Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, người học có thể:
- Trình bày được các khái niệm về tập hợp và ánh xạ,
- Thực hiện các phép toán trên tập hợp và ánh xạ
- Trình bày được khái niệm số phức, các phép toán về số phức
- Trình bày được khái niệm hàm số và tính chất của hàm số.
1.Tập hợp
1.1 Khái niệm
Tập hợp là một khái niệm dùng để chỉ một tổng thể nhiều đối tượng có một số tính
chất nào đó.
Các tập hợp thường được ký hiệu: A, B, C,...
Mỗi đối tượng trong một tập hợp nào đó gọi là một phần tử của tập hợp, ký hiệu
một phần tử x thuộc tập hợp A là x A , ngược lại ta ký hiệu x A
Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu: .
Xét hai tập hợp A và B , nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B thì ta nói
A chứa trong B , ký hiệu A B , hoặc là ta nói A là một bộ phận của B hay là tập con
của B .
Nếu A B và B A ta nói A B .
Lưu ý rằng A và là hai tập con hiển nhiên của tập A bất kỳ.
Ví dụ:
N 0,1,2,3,...: Tập hợp các số tự nhiên.
Z ...,3,2,1,0,1,2,3,...: Tập hợp các số nguyên
a
Q , a Z , b Z , b 0 : Tập hợp các số hữu tỉ
b
R : Tập hợp các số thực
C a ib, a R, b R, i 2 1 : Tập hợp các số phức
Và N Z Q R C .
1.2. Các phép toán trên tập hợp.
1.2.1. Phép hợp:
Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm các phần tử hoặc thuộc A , hoặc
thuộc B . Ký hiệu: C A B x : x A x B
Ví dụ: A a, b, c, d , B a, b, e, f thì A B a, b, c, d , e, f
1.2.2.Phép giao:
Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A , vừa
thuộc B . Ký hiệu: C A B x : x A x B.
Ví dụ: A a, b, c, d , B a, b, e, f thì A B a, b.
1.2.3.Phép hiệu:
Hiệu của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm các phần tử chỉ thuộc A mà
không thuộc B . Ký hiệu: C A \ B x : x A x B.
Ví dụ: A a, b, c, d , B a, b, e, f thì A \ B c, d .
2. Ánh xạ.
3
Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp
- Một ánh xạ từ tập A vào tập B là một tương ứng f sao cho x A có phần tử duy
nhất y B ứng với x . Ký hiệu:
f :AB
x y
x : gọi là tạo ảnh của y qua f
y : gọi là ảnh của x qua f , ký hiệu y f (x)
A : gọi là tập nguồn (tập xác định), B gọi là tập đích (tập giá trị) của ánh xạ f
Phân loại ánh xạ:
a/ f gọi là đơn ánh f ( x1 ) f ( x2 ) thì x1 x2
b/ f gọi là toàn ánh x B thì y B để y f (x)
c/ f gọi là song ánh f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
3. Sơ lƣợc về tập hợp số phức C
3.1. Định nghĩa:
Cho tập hợp C z a ib, a R, b R, i 2 1 , trên tập hợp này ta định nghĩa hai
phép toán cộng và nhân như sau:
z1 z2 (a ib) (c id ) (a c) i (b d )
z1.z2 (a ib).(c id ) (ac bd ) i (ad bc)
a b
Hai số phức (a ib) (c id )
b d
Dạng z a ib gọi là dạng đại số của số phức.
Cho số phức z a ib thì a gọi là phần thực ký hiệu Re(z), b gọi là phần ảo ký hiệu
Im(z), i gọi là đơn vị ảo của số phức z a ib .
Ta ký hiệu z là modun của số phức z a ib và z a 2 b2 .
Cho số phức z a ib , số phức z gọi là số phức liên hợp của z nếu z a ib .
* Một số tính chất:
e / z R; z 0 z 0
a/z z
f / z z. z
2
b/ z z z z
1 2 1 2
c / z1.z2 z1.z2 g/ z z
z z h / z1.z2 z1 . z2
d / 1 1
z2 z2 z1 z
i/ 1
z2 z2
3.2. Biểu diễn hình học của số phức:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M (a, b) và số phức z a ib , ta gọi
OM z a 2 b2 r
(OM , Ox) Argument(z) , ký hiệu Arg ( z ) và 0 Arg(z) 2
Lúc này ta có thể xem số phức z a ib là một điểm M (a, b) trên mặt phẳng Oxy
với hoành độ và tung độ tương ứng là phần thực và phần ảo của số phức
a r cos
Từ đây ta có và z a ib r (cos +isin ) ta gọi đây là dạng lượng
b r sin
giác của số phức.
4
Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp
- 3.3. Lũy thừa và căn số của số phức:
i/ x R ta ký hiệu: eix cosx+isinx , từ đây ta có một số tính chất sau:
a / x, y R : ei ( x y ) eix .eiy
1
n
b / x R : e ix ix
n Z , x R : eix eixn
e
c / x R : eix e ix
Số phức dạng z eix ta gọi là dạng cực.
n
ii/ Từ công thức n Z , x R : eix eixn , ta có:
e eixn cosx+isinx cosnx+isinnx (Công thức Moivre)
n n
ix
iii/ Cho số phức z C , xét n z , đặt Z n z suy ra Z n z .
z r (cos +isin )
Nếu thì
Z=r / (cos +isin ) Zn =(r / ) n (cosn +isinn )
r/ n r
r (r / n
)
r (cos +isin ) (r / ) n (cosn +isinn ) k 2
n k 2 , k 0, n 1
n
+k2 +k2
Vậy n z n r (cos( ) isin( )), k 0, n 1
n n
1 k 2
i( )
i
Hơn nữa: nếu z e thì z r e n n n
, k 0, n 1
3.4. Một số ví dụ:
i/ Biểu diễn các số phức dưới đây thành dạng lượng giác và dạng cực, sau đó khai
căn với bậc được chỉ ra:
1 3
a / z 1, z , 3 z ; b / z i, z , 4 z ; c / z 1 i, 3 z , 5 z ; d / z i , z, 4 z;
2 2
ii/ Giải các phương trình sau trên C:
a / z 2 z 1 0;
b / z 2 2 zcos 1 0, R;
c /(3 i ) z 2 (8 6i ) z 25 5i 0;
d /( z 2 8 z ) 2 40( z 2 8 z ) 375 0
e /( z i ) 4 ( z 2 1) 2 ( z i ) 4 0
f / z 3 (1 2i) z 2 (1 i) z 2i 0 , biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo.
g / z 4 4iz 2 12(1 i) z 45 0 , biết rằng phương trình có một nghiệm thực và một
nghiệm thuần ảo.
iii/ Hãy tìm căn bậc 4 của số phức z 8a 2 (1 a 2 )2 4a(1 a 2 )i; a R
iv/ Hãy biểu diễn cos 2 x,sin 2 x, cos3x,sin3x,cos4x,sin5x,... qua lũy thừa của
sinx,cosx
4. Hàm số
4.1.Khái niệm hàm số
Cho D R . Ánh xạ f : D R được gọi là một hàm số xác định trên D , trong đó
: D gọi là miền xác định của f ; T f ( x) x D gọi là miền giá trị của f
5
Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp
- 4.2.Tính chất:
Hai hàm số y f (x) , y g (x) , y F (x)
i/ f g khi và chỉ khi f , g có cùng miền xác định D và x D : f ( x) g ( x)
x2 1
Ví dụ: f ( x) , g ( x) x 1 .
x 1
ii/ f g khi và chỉ khi f , g có cùng miền xác định D và x D : f ( x) g ( x)
iii/ F f g x D là miền xác định của F thì F ( x) f ( x) g ( x) .
Hiệu, tích, thương của f , g được định nghĩa tương tự.
iv/ Hàm số y f (x) gọi là tăng hay đồng biến
x1, x2 D : x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
v/ Hàm số y f (x) gọi là giảm hay nghịch biến
x1, x2 D : x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
Ví dụ: a/Hàm số y x3 tăng trên toàn miền xác định của nó.
b/ Hàm số y x 2 tăng trên (0,) , và giảm trên (,0)
c/ Hàm số y f (x) gọi là bị chặn trong D nếu k 0 : f ( x) k , x D .
Ví dụ: Hàm số y cos x, y sin x là bị chặn trong 1;1
vii/ Hàm số y f (x) gọi là hàm số chẵn trên miền đối xứng (a; a) nếu
x (a; a) : f ( x) f ( x)
viii/ Hàm số y f (x) gọi là hàm số lẻ trên miền đối xứng (a; a) nếu
x (a; a) : f ( x) f ( x)
Ví dụ: a/ y x 2 , y cos x, y x sin x, y 2 là các hàm số chẵn
x
b/ y x3 , y x cos x, y sin x là các hàm số lẻ
ix/ Hàm số y f (x) gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số l 0 sao cho
f ( x l ) f ( x) , số dương bé nhất trong các số l trên gọi là chu kỳ của hàm số tuần
hoàn y f (x) .
Ví dụ: Hàm số y sin x, y cos x tuần hoàn với chu kỳ 2 , Hàm số
y tan x, y cot anx tuần hoàn với chu kỳ .
4.3. Hàm số hợp.
f : X Y g :Y Z h: X Z
Khái niệm: Cho và , hàm số gọi là
x y f ( x) y z g ( x) x z h( x )
hàm số hợp của f , g , ký hiệu: h g.h khi z g (h( x))
Ví dụ: Cho f ( x) x 2 1, g ( x) sin 2 x . Tìm f . f , g.g , f .g , g. f . Ta có
a/ f . f ( x) f ( f ( x)) ( f ( x))2 1 ( x 2 1)2 1
b/ g.g ( x) g ( g ( x)) sin 2( g ( x)) sin 2(sin 2 x)
4.4. Hàm số ngƣợc.
f : X Y
Cho hàm số , nếu f là một song ánh thì f 1 là hàm số ngược của
x y f ( x)
f.
y2 x2
Ví dụ: a/ y 2 x 2 thì hàm số ngược của nó là x ( hoặc y )
2 2
b/ y log a x thì hàm số ngược của nó là x a y ( hoặc y a x )
4.5. Một số hàm số sơ cấp cơ bản:
6
Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp
- 4.5.1 Hàm số:
y x , R , miền xác định của nó phụ thuộc vào
a/ Nếu N thì D R
b/ Nếu Z thì D R \ o
c/ Nếu Q thì D R
d/ Nếu Q thì D R \ 0
4.5.2. Hàm số:
y a x , a 0, a 1 , xác định x R \ 0, hàm số tăng khi a 1 , giảm khi
0 a 1.
4.5.3 Hàm số:
y log a x, a 0, a 1 , là hàm số ngược của y a x xác định khi x 0 , hàm số tăng
khi a 1 , giảm khi 0 a 1 .
Một số tính chất cần lưu ý
a/ log a x. y log a x log a y
x
b/ log a log a x log a y
y
c/ log a b log a b
d/ N log a a N
e/ log a b log a c log c b
4.5.4 Các hàm số lƣợng giác.
y sin x, y cos x miền xác định là R
y tan x, xác định khi x (2k 1) , k Z
2
y cot anx, xác định khi x k , k Z
* Lưu ý các công thức lượng giác cơ bản.
4.5.5. Các hàm số lƣợng giác ngƣợc
y arcsin x là hàm số ngược của y sin x
y arccos x là hàm số ngược của y cos x
y arctan x là hàm số ngược của y tan x
y arc cot anx là hàm số ngược của y cot anx
Nếu y sin x thì hàm ngược của nó là x arcsin y
Ta có hai đẳng thức sau:
arcsin x arccos x , arctan x arc cot anx
2 2
Chứng minh:
Đặt A arcsin x, B arccos x x sin A cos B sin( B)
2
Vậy A B A B .
2 2
4.5.6 Các hàm Hyperpol
Các hàm hyperbol là những hàm số được xác định bởi các đẳng thức sau:
e x e x
shx đọc là hàm sin hyperbol
2
7
Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp
- e x e x
chx đọc là hàm cosin hyperbol
2
shx e x e x
thx đọc là hàm tang hyperbol
chx e x e x
chx e x e x
cthx đọc là hàm cotang hyperbol
shx e x e x
Hàm cosin hyperpol là hàm chẵn, các hàm sin hyperbol, tang hyperbol, cotang
hyperbol là các hàm lẻ;
Và sh0 0, ch0 1, ch2 x sh2 x 1, thx.cthx 1
8
Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp
- BÀI 2
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, người học có thể:
- Trình bày được các khái niệm về giới hạn dãy số và tính chất của giới hạn dãy số
- Tìm được giới hạn của một số dãy số cơ bản
1. Khái niệm:
1.1Định nghĩa 1: Hàm số u : N * R . Những giá trị của hàm số ứng với
n 1,2,3,..., n,... gọi là dãy số. Đặt u1 u(1), u2 u(2),..., un u(n),... Dãy số được viết dưới
dạng un hoặc u1 , u2 , u3 ,..., un ,... , các số ui gọi là các số hạng của dãy, un gọi là số hạng
tổng quát của dãy.
n
Ví dụ: a/Dãy un
1 2 n
là dãy số : , ,..., ,...
n 1 2 3 n 1
b/ Dãy un n2 là dãy số : 1, 4,9,..., n2 ,...
1.2 Định nghĩa 2: Số a được gọi là giới hạn của dãy số un khi n , ký hiệu
lim un a hay un a khi n , nếu 0, N 0 : n N thì un a .
n
Dãy số có giới hạn thì gọi là hội tụ, ngược lại gọi là phân kỳ.
n
Ví dụ: Chứng minh rằng lim 1 . Thật vậy, 0 bé tùy ý, ta có thể chọn một số rất
n n 1
1
bé cụ thể nào đó, chẳng hạn 4 .
10
n 1 1 1
Muốn cho un a 1 4 4 n 104 1 . Thì ta phải
n 1 10 n 1 10
chọn N 10 1 , lúc này ta sẽ có un 1
4
1.3 Định nghĩa 3: Dãy un dần dến vô cùng khi n tiến đến vô cùng nếu với M 0 lớn
tùy ý , có số nguyên dương N sao cho với mọi n N , ta luôn có un M . Ký hiệu:
lim un
n
Ví dụ: Chứng minh rằng lim n . Thật vậy: nếu chọn M 105 , muốn cho
n
n 10 n 10 thì ta chọn N 1010 . Lúc này n 1010
5 10
n M
1.4 Định nghĩa 4: Dãy un gọi là vô cùng lớn lim un , Dãy un gọi là vô cùng bé
n
1
lim un 0 . Lưu ý rằng nếu un là vô cùng lớn thì là vô cùng bé và ngược lại.
n
un
2. Các định lý về giới hạn của dãy
2.1. Các tính chất:
a/ Nếu dãy un có giới hạn là a và a p(a p) thì tồn tại N sao cho với mọi
n N thì un p(un p) .
b/ Nếu dãy un có giới hạn là a và un p(un p), n thì a p(a p).
c/ Nếu dãy un có giới hạn là a thì a là duy nhất.
d/ Nếu dãy un có giới hạn thì nó bị chặn, tức là k 0 : un k , n .
2.2. Các định lý:
2.2.1 Định lý 1: Cho lim un a, lim vn b ,
n n
9
Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp
- a/ Nếu un vn , n thì a b
b/ Nếu un vn , n thì a b
2.2.2 Định lý 2: Nếu un vn wn và lim un lim wn a thì lim vn a
n n n
1 1 1 1
Ví dụ: Tính I lim ( ... )
n
n 1
2
n 2
2
n 3 n n
2 2
1 1 1 1
Đặt vn ...
n2 1 n2 2 n2 3 n2 n
n n
Và vn
n 1
2
n n
2
n n
Mặt khác lim lim 1
n
n 2 1 n n 2 n
Theo định lý trên thì lim vn 1
n
2.2.3.Các phép tính của giới hạn dãy số :
Nếu các dãy un , vn hội tụ
a/ thì dãy un vn cũng hội tụ và lim un vn lim un lim vn .
n n n
b/ thì dãy un .vn cũng hội tụ và lim un .vn lim un . lim vn . Hơn nữa:
n n n
lim k.vn k. lim vn
n n
u u lim un
+ thì dãy n cũng hội tụ và lim n n , lim vn 0 .
n v vn n
vn n nlim
Một số công thức giới hạn dãy số thường gặp:
0 0 a 1 1
a. lim a n , b. lim n a 1, a 0 , c. lim n n 1 , d. lim (1 ) n e
n
a 1 n n n n
Bài tập:
1. Tìm các giới hạn:
2 n 3 2n 2 n 3 2n 2 n 3 2n6 3n 4 5
a. lim , b. lim , c. lim , d. lim 3 1 n3 .
n n 4n 6
3 n n 5n 2
4 n n 5n 2
4 n
2. Tìm các giới hạn:
2n 4 n 7 n n 2 2n 3
a. lim , b. lim , c. lim ( n2 n 3 n) ,
n n 2 5n 2 n
3 2n 1
2 n
1
d. lim ( 3n2 n 3 n 3 ) , e. lim ( n2 n n2 1) , f. lim .
n n n
( n 2 n2 4 )
2
3. Cho q 1 , đặt Sn 1 q q 2 q3 ... q n . Tìm lim Sn .
n
2 4.3 n
3.2n 5.7 n
n
Áp dụng: Tìm các giới hạn: a. lim , b. lim
n 5 7.3n n 4n 3.5n
1 1 n 1 n n n 1
4. Tìm các giới hạn: a. lim (1 ) n , b. lim (1 )3n , c. lim ( ) , d. lim ( )
n n n 2n n n 1 n n 1
10
Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp
- BÀI 3
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, người học có thể:
- Trình bày được các khái niệm về giới hạn hàm số và tính chất của giới hạn hàm số
- Tìm được giới hạn của một số hàm số cơ bản
1. Khái niệm:
1.1 Định nghĩa 1: Số a được gọi là giới hạn của hàm số y f (x) khi x dần về x0 nếu
0, 0 : x x0 f ( x) a . Ký hiệu lim f ( x) a .
x x0
x 4 2
Ví dụ: Chứng minh rằng lim 4 . Ta chọn một bé tùy ý cụ thể, chẳng hạn
x2 x 2
1 x2 4 1 1 1
6 . Muốn cho 4 6 x 2 6 thì ta chọn 6 . Lúc này ta
10 x2 10 10 10
x2 4 1 x2 4
sẽ có 4 6 và lim 4.
x2 10 x2 x 2
1.2 Định nghĩa 2: Ta gọi a là giới hạn của y f (x) khi x nếu
0, A 0 : x A f ( x) a . Ký hiệu: lim f ( x) a
x
Đặc biệt:
a/ lim f ( x) a 0, A 0 : x A f ( x) a
x
b/ lim f ( x) a 0, A 0 : x A f ( x) a
x
x 1
Ví dụ: Chứng minh rằng : lim 1 vì x 0, f ( x) 1 . Ta chọn A là số
x x 1 x
1 1 x
dương lớn hơn thì x A f ( x) 1 . Vậy lim 1
x x 1
1.3 Định nghĩa 3: Ta nói hàm số y f (x) có giới hạn bằng vô cùng khi x x0 nếu:
M 0, : x f ( x) M . Ký hiệu lim f ( x)
x x0
Đặc biệt;
a/ lim f ( x) M 0, 0 : x x0 f ( x) M
x x0
b/ lim f ( x) M 0, 0 : x x0 f ( x) M
x x0
1
Ví dụ: lim
x 1 1 x
1.4 Định nghĩa 4: Ta nói hàm số y f (x) có giới hạn bằng vô cùng khi x nếu:
M 0, A : x A f ( x) M . Ký hiệu lim f ( x)
x
Đặc biệt:
a/ lim f ( x) M 0, A 0 : A f ( x) M
x
b/ lim f ( x) M 0, A 0 : x A f ( x) M
x
c/ lim f ( x) M 0, A 0 : x A f ( x) M
x
11
Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp
- d/ lim f ( x) M 0, A 0 : x A f ( x) M
x
Ví dụ: lim ln x
x
2. Một số công thức giới hạn:
sin x tan x
a/ lim 1 f/ lim 1
x 0 x x 0 x
arcsin x arctan x
b/ lim 1 g/ lim 1
x 0 x x 0 x
ax 1 ex 1
c/ lim ln a, a 0 h/ lim 1
x 0 x x 0 x
(1 x) 1 ln(1 x)
d/ lim i/ lim 1
x 0 x x 0 x
1
1
e/ lim (1 x) x e k/ lim (1 ) x e
x 0 x x
3. Giới hạn một phía
3.1 Định nghĩa: Số a được gọi là giới hạn phải (trái) của f (x) tại x0 khi x tiến về bên
phải (trái) x0 . Ký hiệu: lim f ( x) a ( lim f ( x) a )
x x0 x x0
1 1
Ví dụ:a/ Dễ thấy lim và lim
x o x x o x
sin x
b/Xét hàm số f ( x) tại x 0 , ta có:
x
sin x sin x sin x sin x
lim lim 1 và lim lim 1
x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x
3.2 Định lý: Điều kiện cần và đủ để lim f ( x) là lim f ( x), lim f ( x) và
x x 0 x x0 x x0
lim f ( x) lim f ( x)
x x0 x x0
4. Các định lý và tính chất về giới hạn:
4.1.Tính chất:
a/Nếu f ( x) C thì lim f ( x) C
x x0
b/ Giới hạn a nếu có của hàm số là duy nhất.
4.2.Các định lý về phép tính giới hạn:
Giả sử lim f ( x) C , lim g ( x) B thì:
x x0 x x0
a/ lim ( f ( x) g ( x)) C B
x x0
b/ lim ( f ( x).g ( x)) C.B
x x0
f ( x) C
c/ lim ( ) ,B 0
x x0 g ( x) B
Hệ quả:
a/ lim k. f ( x) k.C
x x0
n n
b/ lim ( fi ( x)) lim fi ( x)
x x0 x x0
i 1 i 1
12
Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp
- c/ lim ( f1 ( x). f 2 ( x). f3 ( x)..... f n ( x)) lim f1 ( x). lim f 2 ( x). lim f3 ( x)..... lim f n ( x)
x x0 x x0 x x0 x x0 x x0
Đặc biệt: lim ( f ( x)) ( lim f ( x))
n n
x x0 x x0
4.3. Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn
a/ Tiêu chuẩn Cauchy ( Tiêu chuẩn 1): Điều kiện cần và đủ để tồn tại giới hạn
của f (x) khi x x0 là: 0, 0 sao cho x1 , x2 thỏa
0 x1 x0 ,0 x2 x0 thì f ( x1 ) f ( x2 )
b/ Tiêu chuẩn 2: Cho f (x) xác định x 0 . Nếu
* f (x) đơn điệu tăng
* f (x) bị chặn trên
Thì lim f ( x)
x x 0
f ( x ) h( x ) g ( x )
c/ Tiêu chuẩn 3: Nếu lim f ( x) lim g ( x) a thì lim h( x) a
x x0
x x0 x x0
sin 2 (n! x) sin 2 (n! x) 1 sin 2 (n! x)
Ví dụ: Tính lim . Ta có 0 . Suy ra lim 0
x x2 x2 x2 x x2
5. Vô cùng bé và vô cùng lớn
5.1. Vô cùng bé.
5.1.1 Khái niệm: Hàm số f (x) gọi là vô cùng bé (VCB) khi x x0 nếu lim f ( x) 0
x x0
Ví dụ: a/ lim sin x 0 f ( x) sin x là VCB
x 0
b/ lim tan x 0 f ( x) tan x là VCB
x 0
1 1
c/ lim 0 f ( x) là VCB
x
x x
5.1.2 Định lý: lim f ( x) a f ( x) a là VCB khi x x0
x x0
Hay là: f ( x) a ( x) , (x) là VCB khi x x0
5.1.3 Tính chất:
a/VCB.C=VCB
b/VCB VCB=VCB
c/VCB.BC=VCB
d/VCB.HT=VCB
Trong đó C- hằng số, BC- đại lượng bị chặn, HT- đại lượng hội tụ
sin x 1
Ví dụ: lim lim .sin x o với sin x là đại lượng bị chặn.
x x x x
5.1.4 So sánh các vô cùng bé: Cho f ( x), g ( x) là hai VCB khi x x0 . Giả sử tồn tại
f ( x)
lim ( ) A,0 A . Khi đó
x x 0 g ( x)
a/ Nếu A 0 thì ta nói f (x) là VCB bậc cao hơn g (x) hay g (x) là VCB bậc thấp
hơn f (x) , khi đó ta ký hiệu f ( x) O( g ( x))
b/Nếu 0 A thì ta nói f (x) và g (x) là hai VCB cùng hay cùng cấp, đặc biệt
khi A 1 ta nói f (x) và g (x) là hai VCB tương đương, khi đó ta ký hiệu f ( x) ~ g ( x)
c/Nếu A thì ta nói g (x) là VCB bậc cao hơn f (x) hay f (x) là VCB bậc thấp
hơn g (x) , khi đó ta ký hiệu g ( x) O( f ( x)) .
13
Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp
- Ngược lại nếu giới hạn trên không tồn tại thì ta nói g (x) và f (x) không so sánh
được.
5.1.5 Định lý:
a/ Nếu f ( x) ~ g ( x), h( x) ~ t ( x) trong đó f ( x), g ( x) là hai VCB khi x x0 thì
f ( x) h( x )
lim ( ) lim ( ).
x x0 g ( x) x x 0 t ( x)
b/Giả sử fi ( x), g j ( x), i 1, n; j 1, m là các VCB khi x x0 . Khi đó
f1 ( x) f 2 ( x) ... f n ( x) f i ( x)
lim ( ) lim ( 0 ) .Trong đó fi0 ( x) là VCB bậc thấp nhất
x x0 g1 ( x) g 2 ( x) ... g m ( x) x x0 g j0 ( x)
trong các fi (x) và g j0 ( x) là VCB bậc thấp nhất trong các g j (x)
Ví dụ: Khi x 0 thì các VCB sau là tương đương:
sin x ~ x, tan x ~ x, arcsin x ~ x, arctan x ~ x, ln( x 1) ~ x, e x 1 ~ x, (1 x)a 1 ~ ax, a x 1 ~ x ln a
sin 5 x
Ví dụ: Tính lim . Ta có khi x 0 thì sin 5x ~ 5x, e2 x 1 ~ 2 x
e 1
2x
x 0
sin 5 x 5x 5
Vậy lim 2 x lim
x 0 e 1 x 0 2x 2
5.2. Vô cùng lớn.
5.2.1 Khái niệm: Hàm số f (x) gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x x0 nếu lim f ( x)
x x0
Ví dụ: a/ lim tan x f ( x) tan x là VCL
x
2
b/ lim cot anx f ( x) cot anx là VCL
x 0
1 1
c/ lim f ( x) là VCL
x 0 x x
5.2.2 Tính chất:
a/ VCL.VCL=VCL
b/ VCL+BC=VCL
c/ VCL+HT=VCL
d/ Tổng hai VCL có thể không là VCL, nhưng tổng hai VCL cùng dấu là VCL
1 1
e/ VCB, VCL
VCL VCB
Trong đó BC- đại lượng bị chặn, HT- đại lượng hội tụ
5.2.3 So sánh các vô cùng lớn: Cho f ( x), g ( x) là hai VCL khi x x0 . Giả sử tồn tại
f ( x)
lim ( ) A,0 A . Khi đó
x x 0 g ( x)
a/ Nếu A 0 thì ta nói f (x) là VCL bậc thấp hơn g (x) hay g (x) là VCL bậc cao
hơn f (x)
b/ Nếu 0 A thì ta nói f (x) và g (x) là hai VCL cùng hay cùng cấp, đặc biệt
khi A 1 ta nói f (x) và g (x) là hai VCL tương đương, khi đó ta ký hiệu f ( x) ~ g ( x)
c/ Nếu A thì ta nói f (x) là VCL bậc cao hơn g (x) hay g (x) là VCL bậc thấp
hơn f (x)
Ngược lại nếu giới hạn trên không tồn tại thì ta nói g (x) và f (x) không so sánh
được.
14
Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp
- 5.2.4 Định lý:
a/ Nếu f ( x) ~ g ( x), h( x) ~ t ( x) trong đó f ( x), g ( x) là hai VCL khi x x0 thì
f ( x) h( x )
lim ( ) lim ( ).
x x0 g ( x) x x 0 t ( x)
b/ Giả sử fi ( x), g j ( x), i 1, n; j 1, m là các VCL khi x x0 . Khi đó
f1 ( x) f 2 ( x) ... f n ( x) f i ( x)
lim ( ) lim ( 0 ) .Trong đó fi0 ( x) là VCL bậc cao nhất trong
x x0 g1 ( x) g 2 ( x) ... g m ( x) x x0 g j0 ( x)
các fi (x) và g j0 ( x) là VCL bậc cao nhất trong các g j (x)
x5 x3 2 x 2 x 7 x5 x3 2 x 2 x 7 x5
Ví dụ: Tính lim . Ta có lim lim 0
x 0 2 x 7 4 x 6 3x 2 x 0 2 x 7 4 x 6 3x 2 x 0 2 x 7
Lưu ý: Trong quá trình giải các bài tập ta sẽ gặp các dạng vô định:
0
, ,0., ,00 , 0 ,0 ,1
0
Bài tập:
1. Tìm các giới hạn:
x x x 1 1 x x x
a. lim , b. lim , c. lim x x x , d. lim
x x 1 x 0 x x x x 1
x 3 x 4 x x 2
e. lim , f. lim 2 , g. lim (3 x3 x 2 1 x) ,
x 2x 1 x 4 ( x 5 x 4) x
h. lim (3 ( x a)( x b)( x c) x) , i. lim ( x x x x ) .
x x
2. Tìm các giới hạn:
( x 2 x 2) 20 (1 x)5 (1 5 x)
a. lim 3 , b. lim , c.
x 2 ( x 12 x 16)10 x 0 x 2 x5
( x 1)( x 2)( x 3)( x 4)( x 5)
lim
x (5 x 1)5
(2 x 3)30 (3x 2) 20 ( x 1)( x 2 1)( x3 1)...( x n 1)
d. lim , e. lim n 1
,
x (2 x 1)50 x
((nx) 1) 2
n
x x 2 x3 ... x n n n(n 1)
f. lim , HD: Lưu ý công thức 1 2 3 ... n
x 1 x 1 2
x a xa n
1 x 1
g. lim , h. lim .
xa
x a
2 2 x 0 x
3. Tìm các giới hạn:
sin 5 x 1 cos x sin x. sin 3x. sin 5 x tan 5 x
a. lim , b. lim 2
, c. lim 3
, d. lim
x 0 sin 3 x x0 x x 0 45 x x 0 3x
sin x. sin 2 x. sin 3x.... sin nx
e. lim .
x0 n! x n
4. Tìm các giới hạn:
x2 1 2
1
1 3
a. lim (1 x) x , b. lim (1 ) x , c. lim (2 ) x , d. lim ( 2 ) x
x 0 x x x x x x 1
15
Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp
- 1
e. lim (1 sin x) ,
x
f. lim x cos x
x 0 x 0
16
Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp
- BÀI 4
HÀM SỐ LIÊN TỤC
Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, người học có thể:
Trình bày được các khái niệm về hàm số liên tục và tính chất của hàm số liên tục
1. Khái niệm:
1.1 Định nghĩa:Cho hàm số y f (x) xác định trên miền D , x0 D . y f (x) được gọi
là liên tục tại x x0 nếu lim f ( x) f ( x0 )
x x0
Nếu y f (x) không liên tục tại x x0 ta nói y f (x) gián đoạn tại x x0
s inx
,x 0
Ví dụ: Xét hàm số y x
1, x 0
s inx
Ta có lim 1 f (0) .Vậy f ( x) liên tục tại x 0
x 0 x
1.2 Định nghĩa: Cho hàm số y f (x) xác định trên miền D , x0 D . Khi đó y f (x)
được gọi là liên tục trái (phải) tại x x0 nếu: lim f ( x) f ( x0 )( lim f ( x) f ( x0 ))
x xx0 x xx0
y f (x) được gọi là liên tục trong (a; b) nếu y f (x) liên tục tại mọi điểm của
(a; b)
2. Các tính chất và định lý:
2.2 Định lý: Hàm số y f (x) liên tục tại x x0 khi và chỉ khi y f (x) liên tục trái và
liên tục phải tại x x0
s inx
,x 0
Ví dụ: Xét hàm số y x
1, x 0
s inx s inx
a / f (0 ) lim lim 1 f (0)
x 0 x x 0 x
Ta có .Vậy f ( x) liên tục phải tại x 0 ,
s inx s inx
b / f (0 ) lim lim 1 f (0)
x 0 x x 0 x
nhưng không liên tục trái tại x 0 .
2.3 Định nghĩa: Cho hàm số y f (x) xác định trên D . Khi đó tập hợp các điểm
M ( x,( f ( x)) trong mặt phẳng tọa độ Oxy , khi x thay đổi trong D được gọi là đồ thị của
hàm số y f (x) trên D
2.4 Định lý: Đồ thị của hàm số liên tục là một đường liền nét.
2.5 Định lý: Nếu y f (x) liên tục trên đoạn a; b thì y f (x) bị chặn trên a; b , tức là
M 0 : f ( x) M , x D
2.6 Định lý: Nếu y f (x) liên tục trên đoạn a; b thì y f (x) đạt giá trị lớn nhất và giá
f ( x1 ) f ( x), x D
trị nhỏ nhất trên a; b , tức là x1 , x2 :
f ( x2 ) f ( x), x D
2.7 Định lý: Nếu y f (x) liên tục trên đoạn a; b thì y f (x) nhận mọi giá trị trung gian
giữa f (a) và f (b)
17
Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp
- 2.8 Định lý: Nếu y f (x) liên tục trên đoạn a; b và f (a). f (b) 0 thì có c (a; b) để
f (c) 0 , nói cách khác phương trình f ( x) 0 có ít nhất một nghiệm trong a; b
Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình x9 3x4 1 0 có ít nhất một nghiệm trong
(0;1) .
3. Điểm gián đoạn, phân loại điểm gián đoạn:
x0 là điểm gián đoạn của y f (x) khi
a/ y f (x) không xác định tại x0
b/ Không tồn tại giới hạn của y f (x) khi x x0
c/ Tồn tại giới hạn của y f (x) khi x x0 , nhưng giới hạn này khác f ( x0 )
Như vậy ta có thể phân loại các điểm gián đoạn như sau:
d/ x0 là điểm gián đoạn loại 1 khi f ( x0 ), f ( x0 ) . Đặc biệt khi f ( x0 ) f ( x0 ) thì ta
nói x0 là điểm gián đoạn có thể bỏ được.
e/ Các trường hợp khác gọi là điểm gián đoạn loại 2.
18
Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp
- CHƢƠNG II
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ
BÀI 1
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, người học có thể:
Trình bày được các khái niệm về đạo hàm và tính chất của đạo hàm hàm số, tính được đạo
hàm của hàm số hợp, hàm số ngược.
1. Khái niệm
1.1. Bài toán mở đầu:
Xét đường cong (C ) : y f ( x) , một điểm M 0 ( x0 , y0 ) cố định trên (C ) và một cát
tuyến MM 0 . Nếu M ( x, y) chạy trên đường cong (C ) đến điểm M 0 ( x0 , y0 ) mà cát tuyến
MM 0 dần tới một vị trí tới hạn TM 0 , thì đường thẳng TM 0 gọi là tiếp tuyến của đường
cong (C ) tại điểm M 0 ( x0 , y0 ) . Vậy khi nào thì (C ) : y f ( x) có tiếp tuyến tại
M 0 ( x0 , y0 ) và hệ số góc của tiếp tuyến đó được tính như thế nào?
x x x0
Đặt thì hệ số góc của cát tuyến
y y y0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 )
y f ( x0 x) f ( x0 )
MM 0 là tan .
x x
Cho điểm M 0 ( x0 , y0 ) tiến dần đến M dọc theo đường cong (C ) , khi đó x 0 ,
y
nếu tỉ số dần tới một giới hạn xác định thì cũng dần đến một góc xác định là ,
x
nghĩa là cát tuyến MM 0 dần tới vị trí tới hạn TM 0 và tạo với Ox một góc .
y
Từ đó, nếu tỉ số dần tới một giới hạn xác định khi x 0 thì đường cong
x
(C ) : y f ( x) có tiếp tuyến tại điểm M 0 ( x0 , y0 ) và hệ số góc của tiếp tuyến là:
y f ( x0 x) f ( x0 )
tan lim tan lim lim
x 0 x 0 x x 0 x
1.2. Định nghĩa:
Cho hàm số y f (x) xác định trên miền D , x0 D . Cho biến x số gia x thỏa
x0 x D . Xét số gia hàm số: f f ( x0 x) f ( x0 ) . Ta gọi giới hạn
f
lim I (nếu tồn tại hữu hạn) là đạo hàm của y f (x) tại x0 và ta cũng nói y f (x) có
x 0 x
đạo hàm tại x0
y f ( x0 x) f ( x0 )
Ký hiệu: f / ( x0 ) lim lim I
x 0 x x 0 x
f ( x) f ( x0 )
Nhận xét: nếu đặt x x0 x thì f / ( x0 ) lim I.
x x0 x x0
Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng định nghĩa:
a/ y x 2 , b/ y x3 , c/ y sin x , d/ y x
1.3. Đạo hàm một phía:
Cho hàm số y f (x) xác định trên miền D , x0 D .
19
Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp
- f f
Ta gọi giới hạn lim I ( lim I )( nếu tồn tại hữu hạn) là đạo hàm phải
x 0 x x 0 x
(trái) của y f (x) tại x0 . Ký hiệu: + Đạo hàm phải I f / ( x0 )
+ Đạo hàm trái I f / ( x0 )
f ( x ), f ( x0 )
/ /
1.4 Định lý: f / ( x0 ) / 0
f ( x0 ) f ( x0 )
/
2. Các quy tắc tính đạo hàm:
a / (C ) / 0
b / (U V ) / U / V /
c / (CU ) / C (U ) /
d / (U .V ) / U / .V U .V /
U / U / .V U .V /
e/( ) (V 0)
V V2
3. Đạo hàm hàm hợp, hàm ngƣợc:
3.1. Đạo hàm hàm hợp:
Giả sử hàm số u u(x) có đạo hàm u / ( x0 ) tại x0 và u0 u( x0 ) . Tại u0 u( x0 ) hàm
y y(u) có đạo hàm y / (u0 ) đối với biến u . Khi đó tại x0 hàm số y y(u( x)) có đạo hàm
yx ( x0 ) theo biến x và yx ( x0 ) yu/ (u0 ).ux/ ( x0 ) hay yx yu/ .ux/ .
/ / /
Ví dụ:
a/ (( x3 4)5 ) / 5.( x3 4)4 .3x 2
1
b/ (sin 4 (ln x)) 4sin 3 (ln x).
x
3.2. Đạo hàm hàm ngƣợc:
Giả sử các điều kiện sau được thỏa:
a/ Hàm số y f (x) có đạo hàm y / ( x0 ) 0 tại x0
b/ Hàm số y f (x) là đơn ánh .
c/ Hàm ngược x g ( y) liên tục tại y0 f ( x0 )
Khi đó hàm số ngược của hàm số y f (x) sẽ có đạo hàm x y/ ( y0 ) tại y0 và
1
x y/ ( y0 ) /
y ( x0 )
x
1
Ta thường ký hiệu hàm ngược là g ( y) là f 1 ( x) và khi đó ( f 1 ) /
f/
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số: y arctan x , ta có y arctan x là hàm số ngược của
1 1 1 1
hàm số x tan y , nên y x/ / .
xy 1 1 tan y 1 x 2
2
cos 2 y
4. Các công thức đạo hàm cơ bản:
20
Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp
nguon tai.lieu . vn
