Xem mẫu
- TRƯỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN TOÁN HỌC
TÀI LIỆU GIẢNG DẠY
MÔN THỐNG KÊ VÀ PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
GV biên soạn: Lý Thành Tiến
Trà vinh, tháng 3 năm 2013
Lưu hành nội bộ
- TRƯỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN TOÁN HỌC
TÀI LIỆU GIẢNG DẠY
NHẬP MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
THỐNG KÊ TOÁN
GV biên soạn: Lý Thành Tiến
Trà vinh, tháng 3 năm 2013
Lưu hành nội bộ
- TRƯỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN TOÁN HỌC
TÀI LIỆU GIẢNG DẠY
MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ
(DÙNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH Y)
GV biên soạn: Lý Thành Tiến
Trà vinh, tháng 3 năm 2013
Lưu hành nội bộ
- MỤC LỤC
Nội dung Trang
Chương I: Xác suất, công thức tính xác suất 2
I. Sơ lược về lý thuyết tổ hợp, tập hợp 2
II. Định nghĩa, công thức tính xác suất 4
Chương II: Biến ngẫu nhiên, véc tơ ngẫu nhiên 18
I. Định nghĩa và quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên 18
II. Các quy luật phân phối quan trọng 25
III. Véc tơ ngẫu nhiên 31
Chương III: Mẫu ngẫu nhiên và các quy luật phân phối 42
I. Mẫu ngẫu nhiên và cách chọn mẫu 42
II. Các đặc trưng mẫu và quy luật phân phối 46
Chương IV: Ước lượng tham số tổng thể 52
I. Ước lượng điểm 52
II. Khoảng ước lượng của tham số 55
Chương V: Kiểm định giả thiết thống kê 63
Tài liệu tham khảo 84
Phụ lục 85
Tài liệu giảng dạy môn: Nhập môn lý thuyết xác suất và thống kê 1
- CHƯƠNG I
XÁC SUẤT-CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, người học có thể:
* Hiểu khái niệm xác suất
* Nắm vững các công thức tính xác suất.
* Giải được các bài toán cơ bản về xác suất
I. SƠ LƯỢC VỀ LÝ THUYẾT TẬP HỢP, TỔ HỢP
1. Tập hợp
1.1 Các phép toán trên tập hợp.
a. Phép hợp
Hợp của hai tập hợp A và B (ký hiệu: A B ) là tập hợp mà mỗi phần tử của nó thuộc tập hợp
A hoặc thuộc tập hợp B.
Ví dụ:
Tập hợp các số thực là hợp của hai tập hợp số vô tỉ và số hữu tỉ
b. Phép giao
Giao của hai tập hợp A và B (ký hiệu: A B ) là tập hợp mà mỗi phần tử của nó thuộc đồng
thời cả hai tập hợp A và B.
Ví dụ:
2
Tập hợp nghiệm của hệ bất phương trình x 36 0 là giao của hai tập hợp nghiệm của hai
x 7 0
bất phương trình x 2 36 0 và x 7 0 .
c. Phép hiệu
Hiệu của hai tập hợp A và B (ký hiệu: A \ B ) là tập hợp mà mỗi phần tử của nó thuộc tập hợp
A mà không thuộc tập hợp B.
Ví dụ;
Tập hợp các số nguyên âm là hiệu của hai tập hợp các số nguyên và tập hợp các số tự nhiên.
d. Quan hệ bao hàm
Tập hợp A được gọi là bao hàm trong tập hợp B(kí hiệu A B) nếu mọi phần tử của A đều
thuộc B
Nếu A B thì B\A gọi là phần bù của tập hợp A đối với tập hợp B. Khi đó ta kí hiệu A B \ A
Tài liệu giảng dạy môn: Nhập môn lý thuyết xác suất và thống kê 2
- 1.2 Các tính chất của các phép toán trên tập hợp
Phép hợp và phép giao trên tập hợp có các tính chất:
a) Tính lũy đẳng
b) Tính giao hoán
c) Tính kết hợp
d) Tính phân phối
e) Tính đồng nhất
f) A B A B; A B A B ( Luật Demorgan)
2. Giải tích tổ hợp
2.1 Hoán vị
Cho tập hợp gồm n phần tử (n>0), ta cần sắp xếp n phần tử vào n vị trí. Mỗi một cách (kết quả)
sắp xếp gọi là một hoán vị.
Số hoán vị (kết quả sắp xếp): p(n)=n!=n.(n-1)…2.1.
Chú ý: 0!=1
2.2 Chỉnh hợp không lặp
Cho tập hợp gồm n phần tử (n>0), ta sắp xếp các phần tử của tập hợp vào k vị trí (00), ta sắp xếp các phần tử của tập hợp vào k vị trí (00), lấy ra k phần tử (0
- Cho tập hợp gồm n phần tử (n>0), ta sắp xếp các phần tử của tập hợp vào k vị trí (0
- + Không gian các biến cố sơ cấp ={N; K}
b. Biến cố ngẫu nhiên(gọi tắt là biến ngẫu nhiên)
Khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên, mỗi kết cục có thể xảy ra hoặc không thể xảy ra trong kết
quả của phép thử gọi là biến cố ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên thường kí hiệu: A, B, C, D, …
Ví dụ:
Khi gieo một con xúc xắc. Gọi A là kết cục mặt chẵn xuất hiện; B là kết cục mặt lẻ xuất hiện; C
là kết cục mặt chia hết cho 3 xuất hiện; …
Khi đó: + A, B, C, … là các biến cố ngẫu nhiên
* Biến cố ngẫu nhiên A là tập hợp gồm một số biến cố sơ cấp. Do đó biến cố ngẫu nhiên A là
tập hợp con của .
Yêu cầu SV: Sinh viên thực hiện các yêu cầu sau:
* Chọn các mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
a) Biến cố ngẫu nhiên là kết cục luôn xảy ra trong phép thử ngẫu nhiên.
b) Phép thử ngẫu nhiên là biến cố ngẫu nhiên.
c) Biến cố sơ cấp là biến cố ngẫu nhiên
d) Biến cố ngẫu nhiên là phép thử ngẫu nhiên.
* Tung đồng thời 3 đồng tiền gồm hai mặt S, N. Xác định các phần tử của . Xác định 3 biến
cố ngẫu nhiên mà không phải là biến cố sơ cấp.
c. Biến cố chắc chắn, biến cố không thể.
Biến cố nào mà luôn xảy ra trong phép thử gọi là biến cố chắc chắn(kí hiệu ); Biến cố nào mà
không thể xảy ra trong phép thử gọi là biến cố không thể(Kí hiệu )
1.3 Các phép toán trên biến cố
1.3.1. quan hệ giữa các biến cố
* Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, kí hiệu A B nếu A xảy ra thì kéo theo B cũng xảy
ra.
* Biến cố A và biến cố B được gọi là bằng nhau, kí hiệu A B nếu A kéo theo B và B kéo theo
A.
Yêu cầu SV: Sinh viên thực hiện các yêu cầu sau:
Tung một con xúc xắc một lần, với ={e1; e2; e3; e4; e5;e6}
Gọi A là biến cố mặt chẵn xuất hiện; B là biến cố mặt lẻ xuất hiện; C là biến cố mặt chia hết
cho 3 xuất hiện.
* Các kết quả sau kết quả nào đúng :
a) {e1} A b) {e2} A c) A={e2; e4; e6} d) A B
Tài liệu giảng dạy môn: Nhập môn lý thuyết xác suất và thống kê 5
- e) C A f) {e2;e5} B g) A {e1; e2; e4; e6} h) A B=
* Xác định các phần tử cho các biến cố A, B, C, A B, A C, B C, A B, A C, B C và
mô tả bằng lời các biến cố ngẫu nhiên này
1.3.2 Các phép toán
Cho A và B là hai biến cố ngẫu nhiên của cùng một phép thử.
a. Phép cộng: Tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu A B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi ít
nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra.
b. Phép nhân: Tích của hai biến cố A và B, kí hiệu A B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi hai
biến cố A, B đồng thời xảy ra.
c. Phép trừ: Hiệu của hai biến cố A và B, kí hiệu A\B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi biến cố
A xảy ra mà biến cố B không xảy ra.
Định nghĩa :
+ Ta gọi A = \ A là biến cố đối lập của biến cố A
+ Hai biến cố A, B được gọi là xung khắc nếu A B=
Chú ý:
Những tính chất của phép cộng, nhân và trừ giống như các tính chất của phép hợp, giao và hiệu
của các tập hợp
Yêu cầu SV:
Xét không gian biến cố sơ cấp = {e1,e2,e4,e6}
Gọi A là biến cố xuất hện mặt chẵn
B là biến cố xuất hiện mặt lẻ
C là biến cố xuất hiện mặt chia hết cho 3
Đáp án nào đúng, đáp án nào sai:
a) B = A b) A, B xung khắc
c) C = A B d) A \ B là biến cố xuất hiện mặt chẵn
e) A \ C là biến cố xuất hiện mặt hai chấm hoặc bốn chấm
f) A \ C là biến cố xuất hiện mặt hai chấm
g) A C là biến cố xuất hiện mặt chẵn hoặc ba chấm
h) B = {e2} {e3} {e5}
2. Hệ đầy đủ các biến cố:
Định nghĩa:
Tài liệu giảng dạy môn: Nhập môn lý thuyết xác suất và thống kê 6
- Dãy n biến cố B1,B2,…, Bn lập thành một hệ đầy đủ các biến cố nếu nó thỏa mãn các điều kiện
sau:
a) B1 B2 … Bn =
b) Bi B j = , i j
Yêu cầu SV:
Các đáp án sau đâu đúng, đâu sai:
1) Cho = {e1,e2,…en}, khi đó hệ e1,e2,…en lập thành hệ đầy đủ
2) Gieo đồng thời 2 đồng tiền gồm hai mặt S, N.
Gọi NN là biến cố hai đồng tiền xuất hiện mặt ngữa.
SS là biến cố hai đồng tiền xuất hiện mặt sấp.
SN là biến cố đồng tiền thứ nhất xuất hiện mặt sấp, đồng tiền thứ 2 xuất hiện mặt ngữa.
NS là biến cố đồng tiền thứ nhất xuất hiện mặt ngữa, đồng tiền thứ 2 xuất hiện mặt sấp.
A là biến cố có một đồng tiền xuất hiện mặt sấp.
a) = {NN; NS; SN; SS} b) Phép thử này có 4 biến cố sơ cấp
c) Hệ biến cố NN, NS, SN, SS là hệ đầy đủ d) A = {NS; SN}
e) Hệ biến cố NN, A, SS lập thành hệ đầy đủ. f) A=NS SN
3. Các định nghĩa xác suất
3.1 Định nghĩa xác suất cổ điển
Định nghĩa
Với không gian biến cố sơ cấp hữu hạn phần tử, các biến cố sơ cấp đồng khả năng. A là một
biến cố trong không gian . Khi đó xác suất (khả năng) biến cố A xảy ra được xác định :
n( A)
P(A)=
n ( )
Trong đó: + n ( A ) là số biến cố sơ cấp (kết quả) có trong A( hay là số kết quả thuận lợi cho A
xảy ra)
+ n ( ) là số biến cố sơ cấp (kết quả) của không gian ( hay là số kết quả có thể
xảy ra).
Ví dụ: Tung một con xúc xắc cân đối và đồng chất.
Gọi ei là biến cố xuất hiện mặt i chấm(i=1,2,…, 6)
A là biến cố xuất hiện mặt chẵn.
B là biến cố xuất hiện mặt chia hết cho 3
Tài liệu giảng dạy môn: Nhập môn lý thuyết xác suất và thống kê 7
- 1
Ta thấy: + Các ei đồng khả năng vì P(ei)= i 1,2,...,6
6
+ A={e2, e4, e6}: có 3 kết quả (biến cố sơ cấp) thuận lợi cho A xảy ra.
+ B={e3, e6}: có 2 kết quả (biến cố sơ cấp) thuận lợi cho B xảy ra.
+ ={e1; e2; e3; e4; e5 ;e6}: Có 6 kết quả (biến cố sơ cấp) có thể xảy ra.
n( A) 3 n( B ) 2
Do đó: P ( A) 0.5 ; P ( B ) 0.333
n( ) 6 n( ) 6
Yêu cầu SV
1) Một đợt xổ số phát hành 106 vé số, trong đó có 1 giải đặc biệt (6 số); 10 giải nhất(5 số), 10
giải nhì(5 số), 20 giải ba(5 số); 70 giải tư(5 số); 100 giải năm(4 số); 300 giải sáu(4 số); 1000 Giải
bảy(3 số); 10000 giải tám(2 số); 9 giải phụ đặc biết và 45 giải khuyến khích. Một người mua ngẫu
nhiên một tờ vé số. Tìm xác suất để người đó:
a) Trúng giải đặc biệt; giải nhất; giải tư; giải tám.
b) trúng số.
2) Khi lai hai cây đậu có kiểu gen Aa. Tính xác suất để thế hệ con mang kiểu gen:
a) aa b) AA c) Dị hợp tử d) đồng hợp tử
3) Một hộp gồm 5 bi trắng, 4 bi đỏ. Từ hộp đó lấy ngẫu nhiên cùng ra 2 bi.
a) Không gian biến cố sơ cấp có bao nhiêu phần tử.
b) Gọi B là biến cố lấy được hai bi đỏ. Tìm P(B)
c) Gọi C là biến cố lấy được hai bi khác màu. Tìm P(C)
d) Gọi D là biến cố lấy được hai bi cùng màu. Tìm P(D)
3.2 Định nghĩa xác suất tần suất
Qua định nghĩa ở mục 3.1 ta thấy nó đòi hỏi không gian biến cố sơ cấp hữu hạn phần tử và
lại đồng khả năng. Vì vậy để khắc phục nhược điểm đó ta xét định nghĩa sau:
Giả sử một phép thử có thể lặp lại n lần độc lập, trong đó biến cố A xuất hiện m lần trong n lần
thực hiện phép thử. Khi đó ta gọi f = m là tần suất xuất hiện biến cố A. Người ta kiểm chứng được
n
khi số lần lặp n càng lớn thì tỉ số m tiến về một giá trị cố định p nào đó,
n
Ví dụ: Nhà toán học Pearson và Buffon đã làm thực nghiệm gieo nhiều lần một đồng tiền cân
đối và đồng chất. kết quả được ghi lại như sau:
Người làm thí nghiệm Số lần gieo Số lần xuất hiện mặt ngữa m
f=
n
Buffon 4040 2048 0.508
Tài liệu giảng dạy môn: Nhập môn lý thuyết xác suất và thống kê 8
- Pearson(lần 1) 12000 6019 0.5016
Pearson(lần 2) 24000 12012 0.5005
Với bảng thực nghiệm trên cho thấy xác suất để mặt ngữa xuất hiện là p = 0.5
Định nghĩa
m
Khi số lần lặp n của phép thử càng lớn, tần suất của biến cố A tiến về một số cố định p, ta
n
nói biến cố A ổn định ngẫu nhiên và p chính là xác xuất của biến cố A.
m m
Và như vậy khi n đủ lớn ta có thể xấp xĩ p ,nghĩa là: P(A)
n n
Ví dụ: Để biết xác suât bắn trúng mục tiêu của một xạ thủ là bao nhiêu, người ta tiến hành cho
xạ thủ đó bắn n viên đủ lớn(mỗi lần bắn xem như thực hiện một phép thử), sau đó ghi nhận số viên
đạn trúng mục tiêu (giả sử m viên trúng mục tiêu).
m
Khi đó: f= được xem là xác suất trúng mục tiêu của xạ thủ đó
n
3.3 Định nghĩa xác suất hình học
Cho là một miền đo được (1 chiều, 2 chiều, 3 chiều, …) và miền con S đo được của . Lấy
ngẫu nhiên một điểm M trong miền
Định nghĩa
Xác suất để điểm M rơi vào miền S được xác định: Độ đo S
P=
Độ đo
Chú ý:
+ Nếu là đường cong hay đường thẳng thì độ đo của là chiều dài
+ Nếu là hình phẳng thì độ đo của là diện tích
+ Nếu là hình khối thì độ đo của là thể tích
Yêu cầu SV
1) Cho đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác đều ABC cạnh a. lấy ngẫu nhiên một điểm M rơi vào
hình tròn. Tìm xác suất điểm M rơi vào miền trong tam giác ABC
2) Hai người hẹn gặp nhau tại một địa điểm từ 7 giờ đến 7 giờ 30 phút. Với quy ước người đến
trước đợi người đến sau 5 phút, nếu quá 5 phút mà người thứ hai chưa đến thì người đến trước bỏ
đi, cuộc hẹn thất bại. Tính xác suất cuộc hẹn thành công
Tài liệu giảng dạy môn: Nhập môn lý thuyết xác suất và thống kê 9
- 3) Một sợi dây dài 5m, cắt ngẫu nhiên sợi dây thành 3 đoạn. Tính xác suất 3 đoạn đó ghép lại
được một tam giác
4. Các công thức tính xác suất
4.1 Công thức cộng
Cho n biến cố ngẫu nhiên A1, A2,…, An trên cùng không gian biến cố sơ cấp
Khi đó:
n n
P( Ak ) P( Ak ) P( A k Aj ) P( A k A j Al ) ... ( 1) n 1 P( A1 A2 ... An )
k 1 k 1 1 k j n 1 k j l n
n n
* Nếu các biến cố A1, A2,…, An đôi một xung khắc thì P( Ak ) P( Ak )
k 1
k 1
* Với hai biến cố A, B: P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B)
P(A B)=P(A)+P(B), (Với A, B xung khắc)
* Với ba biến cố A, B, C:
P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A B)-(A C)-P(B C)+P(A B C)
P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C), (Với A, B, C đôi một xung khắc)
Yêu cầu SV
1) Từ một hộp gồm 3 bi trắng, 5 bi đỏ lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 3 bi.
Gọi A là biến cố lấy được 2 dỏ, 1 trắng
B là biến cố lấy được 2 trắng, 1 đỏ
Tìm P(A), P(B), P(A B)
2) Có 3 bức thư khác nhau và 3 phong bì có ghi địa chỉ sẵn, cho ngẫu nhiên 3 bức thư vào 3
phong bì đó. Tìm xác suất trong 3 bức thư đó có ít nhất một bức thư gửi đúng địa chỉ
4.2 Xác suất có điều kiện, công thức nhân
a. Xác suất điều kiện
Ví dụ: Từ bộ bài Lutukhơ(52 lá), rút ngẫu nhiên ra 1 lá.
Gọi A là biến cố rút được lá hai
B là biến cố rút được lá đỏ
Tìm: a. P(A), P(B), P(A B)
b. P( A B ) : Xác suất lá rút được lá hai, biết lá rút được là lá đỏ
Giải
4 1 26 1 2 1
a) P(A)= , P(B) = , P(A B)=
52 13 52 2 52 26
Tài liệu giảng dạy môn: Nhập môn lý thuyết xác suất và thống kê 10
- n( A B ) 2 1
b) P( A B)
n( B ) 26 13
* Ta gọi P( A B) là xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra và nó được tính bởi
công thức
n( A B ) P ( A B )
P( A B)
n( B ) P( B)
* Hai biến cố A và B gọi là độc lập nếu P( A B) P( A) ; P( B A) P( B)
b. Công thức nhân
*Từ công thức xác suất điều kiện ta có: P( A B) P( B) P( A B)
P( A)P( B A)
* Nếu A, B độc lập thì P( A B) P( A) P( B)
* Nếu A1, A2,…, An là các biến cố cùng không gian thì:
n
P( Ak ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )...P( An A1 ... An1 )
k 1
n n
* Nếu A1, A2,…, An là các biến cố độc lập thì: P( Ak ) P( Ak )
k 1 k 1
Chú ý: Nếu không có gì nhầm lẫn thì ta có thể sử dụng kí hiệu A+B thay cho A B; A.B thay cho
AB
4.3 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes
Trong không gian cho hệ đầy đủ các biến cố A1, A2,…, An , A là một biến cố bất kỳ của ,
Khi đó ta có:
a) P( A) P( A1 ) P( A A1 ) P( A2 ) P( A A2 ) ... P( An ) P( A An ) ,
(Công thức xác suất đầy đủ)
P( Ak ) P( A Ak )
b) Nếu P( A) 0 thì P( Ak A) , k=1,2,…,n, (Công thức Bayes)
P( A)
Chứng minh
a) Ta có:
n
A=A =A Ak , Vì A1, A2,…, An là hệ đầy đủ
k 1
Tài liệu giảng dạy môn: Nhập môn lý thuyết xác suất và thống kê 11
- n n
A= ( A A ) P( A) P( A A ) ,Vì A , A ,…, A
k 1
k
k 1
k 1 2 n Xung khắc đôi một
n
P(A) = P( A ) P ( A A ) .
k 1
k k
b) Ta có:
P( A Ak ) P( Ak ) P( A Ak )
P( Ak A)
P( A) P( A)
Ví dụ:
1) Từ một hộp gồm 10 bi trắng, 5 bi đỏ, lấy lần lượt không hoàn lại ra 2 bi.
a) Tính xác suất 2 bi lấy ra cùng màu đỏ
b) Tính xác suất 2 bi lấy ra khác màu nhau
2) Có hai lô sản phẩm, lô 1 có 100 sản phẩm trong đó có 10 phế phẩm; lô 2 có 90 sản phẩm
trong đó có 5 phế phẩm.
a) Lấy ngẫu nhiên mỗi lô 1 sản phẩm. Tìm xác suất trong 2 sản phẩm lấy ra có 1 phế phẩm
b) Chọn ngẫu nhiên 1 lô, rồi từ lô đó lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Tìm xác suất trong 2 sản
phẩm lấy ra có 1 phế phẩm
4.4 Công thức xác suất nhị thức
Cho n phép thử độc lập(kết quả xảy ra hay không xảy ra của phép thử này không ảnh hưởng đến
kết quả xảy ra hay không xảy ra của phép thử khác), mỗi phép thử ta chỉ quan tâm đến hai biến cố
A và A và P(A) =p (không đổi với mỗi phép thử)
Xác suất để biến cố A xuất hiện k lần trong n lần thực hiện phép thử được xác định:
Pn(k)= Cnk p k (1 p) nk , k = 0, 1, 2, …,n
Chứng minh
Gọi B là biến cố trong n lần thực hiện phép thử có k lần biến cố A xảy ra
B A ... A A ... A A ... A AA A ... A ... , ( có C nk hạng tử)
k n k k 1 n k 1
P ( B) P( A ... A A ... A) P( A ... A AA A ... A) ... , ( có C nk số hạng)
k n k k 1 n k 1
P ( B ) [ P ( A)]k [ P ( A)]n k [ P ( A)]k [ P ( A)]n k ... , ( có C nk số hạng)
P( B) C nk p k (1 p) n k
Ví dụ:
Tung 20 lần một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tìm xác suất
Tài liệu giảng dạy môn: Nhập môn lý thuyết xác suất và thống kê 12
- a) Có 5 lần xuất hiện mặt 3 chấm
b) có 8 lần xuất hiện mặt chẵn
c) Có ít nhất 2 lần xuất hiện mặt chẵn
……………………..
Bài Tập củng cố chương I
1. Kiểm tra 3 sản phẩm chọn ngẫu nhiên từ một kiện hàng. Gọi Ai ( i= 1,2,3) là biến cố sản phẩm
thứ i là sản phẩm tốt
a) A1, A2, A3 là các biến cố xung khắc
b) A1, A2, A3 là các biến cố không xung khắc
c) A1, A2, A3 là hệ đầy đủ
d) cả a) và c) đều đúng
2) Kiểm tra 3 sản phẩm chọn ngẫu nhiên từ một kiện hàng. Gọi Aj ( j= 1,2,3) là biến cố sản phẩm
thứ i là sản phẩm tốt
a) B1, B2, B3 là các biến cố xung khắc
b) B1, B2, B3 là các biến cố không xung khắc
c) B1, B2, B3 là hệ đầy đủ
d) cả a) và c) đều đúng
3) Chọn câu đúng:
a) A và B đối lập thì A, B là hai biến cố độc lập nhau
b) A và B xung khắc thì A, B là hai biến cố đối lập nhau
c) A và B đối lập thì A, B là hai biến cố xung khắc
d) A và B đối lập thì A, B là hai biến cố không xung khắc
4) hai xạ thủ cùng bắn vào một bia. Mỗi xạ thủ bắn một viên. Gọi A, B tương ứng là các biến cố xạ
thủ thứ nhất, thứ hai bắn trúng bia. A B là biến cố
a) Cả hai xạ thủ cùng bắn trúng bia
b) Bia trúng đạn
c) Bia không trúng đạn
d) Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia
5) Kiểm tra 2 sản phẩm. Gọi A, B tương ứng là các biến cố sản phẩm thứ nhất, thứ hai là sản phẩm
tốt. AB là biến cố:
a) Không có sản phẩm nào tốt trong hai sản phẩm kiểm tra
Tài liệu giảng dạy môn: Nhập môn lý thuyết xác suất và thống kê 13
- b) Có ít nhất một sản phẩm tốt
c) Có không quá một sản phẩm tốt
d) Có một sản phẩm tốt
6) Cho hai biến cố A, B xung khắc nhau và P(A)= 0,3; P(B)= 0,4. Câu nào dưới đây sai:
a) P(A/B)= 0 b) P( A B)= 0,7
c) P(AB)= 0,12 c) P( A B )= 0,3
7) Có ba thí sinh cùng thi vào trường đại học kinh tế thành phố Hồ Chí Minh.Gọi Ai ( i= 1,2,3) là
biến cố thí sinh thứ i trúng tuyển. A1 A2 A3 là biến cố:
a) Cả 3 thí sinh đều trúng tuyển
b) Có ít nhất một thí sinh trúng tuyển
c) Có một thí sinh trúng tuyển
d) Không có thí sinh nào trúng tuyển
8) Một hộp chứa 4 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm. Một hộp khác chứa 6 sản phẩm tốt và 3 phế phẩm.
Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một sản phẩm. Đặt T j ( j= 1,2) là biến cố chọn được sản phẩm tốt ở
hộp thứ j. Các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai
a) T1 , T2 là hai biến cố độc lập
b) T1 , T2 là hai biến cố không đối lập
c) T1 , T2 là hai biến cố không xung khắc
d) T1 , T2 là hệ biến cố đầy đủ
9) Một lớp có 50 sinh viên ( trong đó có 30 nam và 20 nữ). Chọn ngẫu nhiên một nhóm gồm 4 sinh
viên. Tính các xác suất:
a) Có 2 nam trong số 4 sinh viên được chọn
b) Có ít nhất một sinh viên nam trong số 4 sinh viên được chọn
c) Có ít nhất 2 sinh viên nam trong số 4 sinh viên được chọn
d) Không có sinh viên nam trong số 4 sinh viên được chọn
10) Xếp ngẫu nhiên 8 người vào 10 toa xe lửa. Tính các xác suất:
a) 8 người ở cùng một toa
b) 8 người ở 8 toa khác nhau
c) A, B ở cùng toa đầu
d) A, B ở cùng một toa
e) A, B ở cùng một toa, ngoài ra không có ai khác
Tài liệu giảng dạy môn: Nhập môn lý thuyết xác suất và thống kê 14
- 11) Một phân xưởng có 60 công nhân, trong đó có 40 nữ và 20 nam. Tỉ lệ công nhân nữ tốt nghiệp
phổ thông trung học là 15%. Còn tỉ lệ này đối với nam là 20%. Gặp ngẫu nhiên một công nhân của
phân xưởng. Tính xác suất để gặp người công nhân tốt nghiệp phổ thông trung học.
12) Ba sinh viên cùng làm bài thi. Xác suất làm được bài của sinh viên A là 0,8; của sinh viên B là
0,7; của sinh viên C là 0,6. Tìm xác suất của các biến cố sau:
a) Có hai sinh viên làm được bài
b) Nếu có hai sinh viên được bài, tìm xác suất để sinh viên A không làm được bài
13) Một hộp đựng 3 bi đỏ và 7 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra một bi. Nếu bi lấy ra màu đỏ thì
bỏ vào hộp một bi xanh. Nếu bi lấy ra màu xanh thì bỏ vào hộp một bi màu đỏ. Sau đó từ hộp ta lấy
tiếp ra một bi
a) Tìm xác suất để bi lấy ra lần sau là bi đỏ
b) Nếu hai bi lấy ra ( lấy lần thứ nhất và lần thứ hai) cùng màu. Tìm xác suất để hai bi này cùng
màu xanh
14) Một sinh viên thi hai môn. Xác suất sinh viên này đạt yêu cầu môn thứ nhất là 80%. Nếu đạt
môn thứ nhất thì xác suất đạt môn thứ hai là 60%. Nếu không đạt môn thứ nhất thì xác suất đạ yêu
cầu môn thứ hai là 30%. Hãy tính xác suất:
a) Sinh viên này đạt yêu cầu cả hai môn
b) Sinh viên này đạt yêu cầu môn thứ hai
c) Sinh viên này đạt yêu cầu ít nhất một môn
d) Sinh viên này đạt yêu cầu cả hai môn
15) Một người có 5 chìa khóa nhưng chỉ có 2 chìa khóa mở được cửa. Người đó thử từng chìa ( thử
xong nếu không mở được khóa để riêng chìa khóa đó ra). Tính xác suất để lần thứ hai người đó mở
được khóa
16) Có 3 xạ thủ cùng bắn vào một bia. Mỗi xạ thủ bắn 1 viên. Xác suất bắn trúng bia của xạ thú thứ
nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là: 0,6; 0,7; 0,8. Tính xác suất để hai viên trúng bia
17) Có 3 xạ thủ cùng bắn vào một bia. Mỗi xạ thủ bắn 1 viên. Xác suất bắn trúng bia của xạ thú thứ
nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng là: 0,7; 0,8; 0,9. Tính xác suất để hai viên trúng bia
18) Một phân xưởng có ba máy. Xác suất để mỗi máy sản xuất ra sản phẩm đạt tiêu chuẩn kĩ thuật
lần lượt là: 0,9; 0,8; 0,7. Trong một giờ mỗi máy sản xuất được 5 sản phẩm. Tìm xác suất để trong
một giờ cả ba máy sản xuất được ít nhất 14 sản phẩm đạt tiêu chuẩn kĩ thuật
19) Hộp thứ nhất có 8 chai thuốc ( trong đó có 3 chai kém phẩm chất). Hộp thứ hai có 5 chai thuốc
( trong đó có 2 chai kém phẩm chất). Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một chai. Tìm xác suất lấy được
hai chai thuốc tốt
Tài liệu giảng dạy môn: Nhập môn lý thuyết xác suất và thống kê 15
- 20) Hộp thứ nhất có 7 sản phẩm loại 1 và 3 sản phẩm loại 2; hộp thứ hai có 5 sản phẩm loại 1 và 3
sản phẩm loại 2. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm ở hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai rồi sau đó từ hộp
thứ hai lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm.
a) Tìm xác suất sản phẩm lấy ra là loại 1
b) Biết sản phẩm lấy ra là loại 2. Tìm xác suất sản phẩm đó được bỏ từ hộp 1 sang
21) Trong một hộp có 12 bóng đèn, trong đó có 3 bóng hỏng. lấy ngẫu nhiên có thứ tự không hoàn
lại 3 bóng để dùng. Tìm xác suất để cả 3 bóng đều không hỏng
22) Có 3 hộp, mỗi hộp có 5 sản phẩm. Hộp thứ nhất có 1 sản phẩm loại B; hộp thứ 2 có 2 sản phẩm
loại B; hộp thứ 3 có 3 sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 sản phẩm thí thấy có 1 sản
phẩm loại B trong 3 sản phẩm lấy ra. Tìm xác suất sản phẩm loại B của hộp thứ nhất
23) Xác suất để máy thứ nhất, thứ hai, thứ ba sản xuất ra sản phẩm loại A tương ứng là: 0,7; 0,8;
0,9. Cho mỗi máy sản xuất một sản phẩm. Tìm xác suất để có ít nhất hai sản phẩm loại A trong ba
sản phẩm được sản xuất
24) Một kiện hàng có 12 bóng đèn, trong đó có 7 bóng loại 1 và 5 bóng loại 2. Khách hàng thứ nhất
chọn ngẫu nhiên 2 bóng trong kiện để mua. Sau đó khách hàng thứ hai chọn ngẫu nhiên 3 bóng đèn
trong số các bóng còn lại để mua.
a) Tính xác suất khách hàng thứ hai mua được 3 bóng loại 1
b) Tính xác suất khách hàng thứ hai mua được 2 bóng loại 1, 1 bóng loại 2
25) Hàng sản xuất xong được đóng kiện, mỗi kiện 10 sản phẩm. Kiện loại I có 5 sản phẩm loại A.
Kiện loại II có 3 sản phẩm loại A. Để xem một kiện là loại I hay loại II, người ta quy định cách
kiểm tra: lấy ngẫu nhiên từ kiện ra 3 sản phẩm và nếu có quá 1 sản phẩm loại A thì xem đó là kiện
loại I, ngược lại thì xem đó là kiện loại II.
a. Giả sử kiểm tra 100 kiện loại I. Tính xác suất phạm sai lầm 48 lần.
b. Giả sử trong kho chứa 2/3 số kiện loại I, 1/3 số kiện loại II. Tính xác suất phạm sai lầm khi
kiểm tra
26) Xác suất để một bình acquy đảm bảo cho một ô tô mới hoạt động trên 10.000 km là 0,8; trên
20.000 kim là 0,4; trên 30.000 km là 0,1. Nếu một bình acquy đã đảm bảo cho một ô tô mới hoạt
động trên 10.000 km thì xác suất để nó đảm bảo cho ô tô hoạt động tất cả trên 20.000 là bao nhiêu?
Xác suất để nó đảm bảo cho ô tô hoạt động trên 20.000 km nữa là bao nhiêu?
27) Xác suất tiêu thụ điện trong một ngày không quá mức quy định của một nhà máy là 0,75. Tính
xác suất trong 5 ngày liên tiếp nhà máy đó có 3 ngày tiêu thụ điện không quá mức quy định.
Tài liệu giảng dạy môn: Nhập môn lý thuyết xác suất và thống kê 16
- 28) Có hai loại máy bay 5 động cơ và 3 động cơ Xác suất để mỗi động cơ trên máy bay bị hỏng là
1-p, sự hỏng của các động cơ là độc lập. Máy bay vẫn tiếp tục bay khi có hơn nửa số động cơ hoạt
động. Hỏi với giá trị nào của p thì loại máy bay 5 động cơ thích hợp hơn loại 3 động cơ.
29) Có 2 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỉ lệ làm ra chính phẩm của máy thứ nhất là 0,9;
1
của máy thứ hai là 0,85. Từ một kho chứa số sản phẩm của máy thứ nhất ( còn lại của máy thứ
3
hai) lấy ra một sản phẩm để kiểm tra.
a/ Tinh xác suất lấy được phế phẩm
b/ Nếu sản phẩm lấy ra không phải là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó do máy thứ hai
sản xuất ra.
30) Một công ty bảo hiểm chia dân cư ( đối tượng bảo hiểm) làm 3 loại: ít rủi ro; rủi ro trung bình;
rủi ro cao. Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ dân gặp rủi ro trong một năm tương ứng với các loại trên là:
0,05; 0,15; 0,30 và trong tổng số dân cư có 20% ít rủi ro; 50% rủi ro trung bình và 30% rủi ro cao.
Tìm tỉ lệ dân có sự cố sau một năm cố định nào đó. Nếu một người không gặp tai nạn năm 2005 thì
xác suất người đó thuộc loại ít rủi ro là bao nhiêu?
31) Có hai chuồng thỏ, chuồng thứ nhất có 5 con thỏ cái và 10 con thỏ đực; chuồng thứ hai
có 3 con thỏ cái và 7 con thỏ đực. Có một con thỏ từ chuồng thứ nhất chui qua chuồng thứ
hai, không rõ giới tính, sau đó bắt ngẫu nhiên một con thỏ từ chuồng thứ hai đem bán.
a. Tính xác suất con thỏ đem bán là con thỏ đực.
b. Biết rằng con thỏ đem bán là con thỏ đực, tính xác suất con thỏ đó là con thỏ ở
chuồng thứ nhất chui qua.
32) Tỉ lệ phế phẩm của một máy là 5%. Người ta sử dụng một thiết bị kiểm tra tự động có độ chính
xác cao nhưng vẫn có sai sót. Tỉ lệ sai sót đối với chính phẩm là 4%, còn đối với phế phẩm là 1%
a) Tìm tỉ lệ sản phẩm được kết luận là chính phẩm nhưng thực ra là phế phẩm
b) Tìm tỉ lệ sản phẩm được kết luận là phế phẩm nhưng thực ra là chính phẩm
c) Tìm tỉ lệ sản phẩm được kết luận nhầm
Tài liệu giảng dạy môn: Nhập môn lý thuyết xác suất và thống kê 17
nguon tai.lieu . vn
