1. Trang Chủ
  2. Toán học
  3. Sự tồn tại toàn cục cho hệ vi phân không địa phương trên không gian Hilbert

Sự tồn tại toàn cục cho hệ vi phân không địa phương trên không gian Hilbert

Bài viết Sự tồn tại toàn cục cho hệ vi phân không địa phương trên không gian Hilbert chứng minh được sự tồn tại nghiệm nhẹ toàn cục với các giả thiết phù hợp đặt cho toán tử và phần phi tuyến. Cụ thể, sử dụng nguyên lí ánh xạ co ta thu được sự tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục khi phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện (F1). Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 SỰ TỒN TẠI TOÀN CỤC CHO HỆ VI PHÂN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT Nguyễn Văn Đắc Trường Đại học

Thể loại Tài liệu miễn phí Toán học

Số trang 3

Ngày tạo 4/9/2023 12:50:17 AM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 0.19 M

Tên tệp

Tải Sự tồn tại toàn cục cho hệ vi phân không địa phươn... (.pdf)

Xem mẫu

  1. Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 SỰ TỒN TẠI TOÀN CỤC CHO HỆ VI PHÂN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT Nguyễn Văn Đắc Trường Đại học Thủy lợi, email: nvdac@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Hệ vi phân không địa phương là một mô Sử dụng lí thuyết phương trình tích phân hình toán dùng để mô tả quá trình truyền Volterra, ước lượng tiên nghiệm, nguyên lí nhiệt trong các vật liệu có nhớ; quá trình ánh xạ co và Định lí điểm bất động Shauder. thuần nhất hóa dòng một pha trong môi 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU trường xốp (xem [4] và các tài liệu trích dẫn). Việc nghiên cứu về hệ vi phân không địa 3.1. Kiến thức chuẩn bị phương đã thu hút được sự quan tâm của Để nghiên cứu bài toán (1)-(2), chúng tôi nhiều nhà toán học, như đã đề cập trong [2]. cần các giả thiết sau đây về hàm k và toán tử A: Trong tài liệu [2], tác giả đã phân tích chi tiết (K) Hàm k  L1loc  ¡   không âm và không về tính trừu tượng, ý nghĩa của việc nghiên tăng, hơn nữa tồn tại một hàm l  L1loc  ¡   cứu và các hướng nghiên cứu cho bài toán sau: Cho trước T  0 , ta xét bài toán Cauchy sao cho  l  l  k  1 trên (0, ) . d (A) Toán tử A là toán tử tuyến tính xác  dt  u  k *[u  u (0)] định dương, tự liên hợp, xác định trù mật với  giải thức compact.   Au  f  t , u (t )  , t  (0, T ] (1) Cho   0, l  L1loc  ¡   là một hàm liên u (0)  u , (2)  0 tục trên (0, ) , xét các phương trình Volterra  s (t )    l  s  (t )  1 (3) với u lấy giá trị trong không gian Hilbert tách r (t )    l  r  (t )  l (t ) (4) được H ,   0, k  L1loc (¡  ) , A là toán tử tuyến Với giả thiết (K), Clément và Nohel (xem tính trên H và f : (0, T ]  H  H là hàm phi [1]) đã chỉ ra rằng hệ (3)-(4) có nghiệm duy tuyến, dữ kiện đầu u0  H . nhất nghiệm s(,  ) và r (,  ) , các nghiệm Lớp bài toán này với phần phi tuyến không này đều có tính dương. phụ thuộc vào thời gian, đã được nghiên cứu 3.2. Công thức nghiệm nhẹ trong [5], ở đó tác giả nghiên cứu tính hút Nhằm đưa ra công thức nghiệm nhẹ của trong khoảng thời gian hữu hạn. Trong bài bài toán, ta cần giả thiết sau về toán tử A : báo này, tôi trình bày kết quả nghiên cứu về (A) Toán tử A là toán tử tuyến tính xác sự tồn tại nghiệm nhẹ toàn cục cho hệ (1)-(2) định dương, tự liên hợp, xác định trù mật với trong hai trường hợp: giải thức compact.  Phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện Khi đó, ta xét cơ sở của H gồm các hàm Lipschitz. riêng trực chuẩn {en }n 1 của toán tử A và  Phần phi tuyến có tăng trưởng dưới  Av   n vn en , trong đó Aen  n en , n  0 tuyến tính. n 1 59
  2. Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 và 0  1  2  L  n   khi n   . Đặt v   sup et v(t ) với v  C  0, T  ; H  , 0,T  Dựa vào các hàm s (,  ) , r (,  ) và các giá ta thu được chuẩn tương đương với chuẩn trị riêng của A , ta định nghĩa hai toán tử  sup trên không gian C  0, T  ; H  . S (t )v   s (t , n )vn en , t  0, v  H , n 1 Xét ánh xạ như sau:  t R (t )v   r (t , n )vn en , t  0, v  H . F (u )(t ) : S (t )u0   R(t   ) f ( , u ( )) d n 1 0 Các toán tử này là tuyến tính. Một số tính trên C ([0, T ], H ) . chất quan trọng của hai toán tử này được Mỗi điểm bất động của ánh xạ chính là trình bày trong Mệnh đề 2.3 ở [4]. Bằng nghiệm của bài toán. Để chứng minh bài toán phương pháp xấp xỉ bởi dãy toán tử compact, có nghiệm duy nhất, ta sẽ chỉ ra nó là ánh xạ ta chứng minh được Bổ đề sau (xem [5]). co. Thật vậy, với mọi u1 , u2  C ([0, T ], H ) ta Bổ đề Q. Giả sử các giả thiết (A) và (K) thỏa mãn. Khi đó toán tử có F  u1  (t )  F  u2  (t ) Q :C [0, T ]; H   C [0, T ]; H  t   r (t   , 1 ) f ( , u1 ( ))  f ( , u1 ( )) d xác định bởi Q  g  (t )  R  g (t ) , là toán tử 0 t compact.   r (t   , 1 ) a   u1 ( )  u2 ( ) d Định nghĩa.([2]) Hàm u  C [0, T ], H  0 được gọi là nghiệm nhẹ của (1)-(2) trên  0,T  t   r (t   , 1 )a   sup u1 ( )  u2 ( ) d nếu 0   0,  t t u (t )  S (t )u0   R(t   ) f ( , u ( ))d .   e r (t   , 1 ) a   sup e  u1 ( )  u2 ( ) d 0 0  0,  3.3. Sự tồn tại toàn cục của nghiệm nhẹ t  Để thu được sự tồn tại và duy nhất  u1  u2  e r (t   , 1 ) a   d . 0 nghiệm trên tập compact, ta đặt các giả thiết cho phần phi tuyến: Từ đó suy ra: (F1) Hàm liên tục f :  0; T   H  H thỏa sup e t F  u1  (t )  F  u2  (t ) t 0,T  f  t , v1   f  t , v2   a (t ) v1  v2 , t   0, T  , t  u1  u2 sup  e  ( t  ) r (t   , 1 ) a   d . v1 , v2  H , trong đó a  L 1 loc  ¡  là hàm cho   t0,T  0 trước và không âm sao cho Tức là: t lim sup  e  ( t  ) r (t   , 1 )a ( )d  0 (*) . F  u1   F  u2     u1  u2  ,   t 0,T  0 t Chú ý. Nếu r (t  , 1 )a()  L  ¡  , thì 1  với:   sup  e  ( t  ) r (t   , 1 )a( )d  1 . Ta loc t 0 ,T  0 (*) thỏa mãn (xem Bổ đề 2.7 trong [3]). được F là ánh xạ co trên C ([0, T ]; H ) .Vậy bài Bằng nguyên lí ánh xạ co, ta có kết quả toán có duy nhất nghiệm trên [0, T ] . sau. Tiếp theo, xét phần phi tuyến thỏa mãn Định lí 1. Giả sử các giả thiết (K), (A) và điều kiện tăng trưởng dưới tuyến tính (F1) được thỏa mãn thì bài toán (1)-(2) có như sau: nghiệm duy nhất toàn cục. (F2) Hàm liên tục f :  0; T   H  H thỏa Chứng minh: Từ giả thiết (*) , ta có thể chọn số   0 sao cho f  t , v   b(t ) v2  c(t ), t   0, T  , v  H t trong đó b, c  L1loc  ¡   là các hàm cho trước sup  e ( t  ) r (t   , 1 ) a( ) d  1 . t 0,T  0 và không âm. 60
  3. Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 Ta thu được sự tồn tại nghiệm toàn cục, sup F  u  ( )  u0  sup  r (, 1 )  c  (t )    0,t  t0,T  tuy vậy, tính duy nhất nghiệm không còn t đảm bảo. Chúng tôi sử dụng Định lí điểm bất   r (t   , 1 )b( ) ( )d   (t ) động Shauder để thu được kết quả như mong 0 muốn. Nội dung chính được phát biểu trong định lí sau đây. nên F  u    , tức là F      . Định lí 2. Giả sử các giả thiết (K), (A) và Như vậy, ta xét toán tử F ::    . Do f là (F2) được thỏa mãn thì bài toán (1)-(2) có hàm liên tục nên ánh xạ này là liên tục. Mặt nghiệm toàn cục. khác, từ F  u   S ()u0  Q o N f  u  , với Chứng minh: Ta xét ánh xạ F như trong N f  u  (t )  f  t , u (t )  , t   0, T  ta thấy F : là Định lí 1. Với u  C  0, T ; H  và t   0, T  toán tử compact vì Q là compact (Bổ đề Q). ta có: t Theo nguyên lí điểm bất động Shauder, ta được F  u  (t )  S (t )u0   R (t   ) f  , u ( )  d điều phải chứng minh. 0 t 4. KẾT LUẬN  s (t , 1 ) u0   r (t   , 1 ) f  , u ( )  d Bài báo đã chứng minh được sự tồn tại 0 t nghiệm nhẹ toàn cục cho hệ (1)-(2) với các  u0   r (t   , 1 ) b( ) u ( )  c( ) d giả thiết phù hợp đặt cho toán tử và phần phi 0 tuyến. Cụ thể, sử dụng nguyên lí ánh xạ co ta  u0  sup  r (, 1 )  c  (t )  thu được sự tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục t 0,T  t khi phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện (F1).   r (t   , 1 )b( ) sup u ( ) d Khi phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng   0,  0 trưởng dưới tuyến tính ta thu được sự tồn tại Hàm g ( )  sup u ( ) là một hàm không   0,  nghiệm toàn cục bằng cách dùng Định lí giảm và r (t  , 1 )b() nhận giá trị không âm, điểm bất động Shauder. nên tích phân cuối là một hàm không giảm. 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO Do đó [1] Ph. Clément, J. A. Nohel (1981), Asymptotic sup F  u  ( )  u0  sup  r (, 1 )  c  (t )  behavior of solutions of nonlinear Volterra   0,t  t0,T  equation with completely positive kernerls, t SIAM J.Math. Anal., 514-525.   r (t   , 1 )b( ) sup u ( ) d . 0  0,  [2] N.V. Dac (2020), Về phương trình vi Ta kí hiệu phân không địa phương trên không gian Hilbert, Tuyển tập hội nghị khoa học   {u  C [0, T ]; H  | thường niên Đại học Thủy lợi. 45-47. sup u ()   (t ), t   0, T } [3] K. Ezzinbi, S.Ghnimi, M.-A. Taoudi,  0,t  (2019) Existence results for some nonlocal trong đó  là nghiệm duy nhất của partial integro differential equations without  (t )  u0  sup  r (, 1 )  c  (t )  compactness or equicontinuity, J. Fixed t 0,T  Point Theory Appl. 21, no. 2. t [4] T.D. Ke, N.N. Thang, L.T.P. Thuy, (2020),   r (t   , 1 )b( ) ( )d . Regularity and stability analysis for a class 0 of semilinear nonlocal differential equations Khi đó  là một tập lồi, đóng và bị chặn. in Hilbert spaces, J. Math. Anal. Appl., 483, Ta sẽ chứng minh toán tử nghiệm F giữ No.2, 123655. bất biến tập  . Thật vậy, với u   thì [5] N.N. Thang, T.D. Ke, N.V. Dac (Preprint), sup u ()   ( ),    0, t  nên Stability analysis for nonlocal evolution  0,  equations involving infinite delays, Submitted. 61
nguon tai.lieu . vn
Toán học Môi trường Vật lý Sinh học Địa Lý Hoá học Nông - Lâm - Ngư Cơ khí - Chế tạo máy Tiếng Anh phổ thông Khoa học ứng dụng Nông - Lâm Kiến thức tổng hợp Giáo dục học Xã hội học