- Trang Chủ
- Toán học
- Sự hội tụ của dãy lặp ba bước đến điểm bất động chung của ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian Banach với đồ thị
Xem mẫu
- 110 Nguyễn Trung Hiếu, Cao Phạm Cẩm Tú
SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY LẶP BA BƯỚC ĐẾN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA
BA ÁNH XẠ G-KHÔNG GIÃN TIỆM CẬN TRONG
KHÔNG GIAN BANACH VỚI ĐỒ THỊ
CONVERGENCE OF A THREE-STEP ITERATION PROCESS TO COMMON FIXED POINTS
OF THREE ASYMPTOTICALLY G-NONEXPANSIVE MAPPINGS IN
BANACH SPACES WITH GRAPHS
Nguyễn Trung Hiếu, Cao Phạm Cẩm Tú
Trường Đại học Đồng Tháp; ngtrunghieu@dthu.edu.vn, caophamcamtu98@gmail.com
Tóm tắt - Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu một dãy lặp ba Abstract - In this paper, we introduce a new three step iteration
bước mới cho ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian scheme for three asymptotically G-nonexpansive mappings in
Banach với đồ thị. Tiếp theo đó, chúng tôi ch ứng minh một số kết uniformly convex Banach spaces with graphs. We also prove some
quả về sự hội tụ yếu và hội tụ của dãy lặp này đến điểm bất động weak convergence and strong convergence results to common fixed
chung của ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian points of three asymptotically G-nonexpansive mappings in uniformly
Banach lồi đều với đồ thị. Các kết quả này là sự mở rộng của một convex Banach spaces with graphs. These results are the extensions
số kết quả chính trong tài liệu tham khảo [1, 2]. Đồng thời, chúng of some results in existing results in the literature [1, 2]. In addition, we
tôi cũng đưa ra ví dụ để minh họa cho sự hội tụ của dãy được giới give an example to illustrate the convergence of the introduced iteration
thiệu và cũng chứng tỏ rằng dãy lặp được giới thiệu hội tụ đến process and also show that the convergence of the introduced iteration
điểm bất động chung của ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận nhanh process to common fixed points of three asymptotically G-
hơn những dãy lặp được nghiên cứu trong bài báo [1, 2]. nonexpansive mappings is faster than the iteration processes in [1, 2].
Từ khóa - ánh xạ G-không giãn tiệm cận; điểm bất động chung; Key words - asymptotically G-nonexpansive mapping; common
không gian Banach với đồ thị fixed point; Banach spaces with graph
1. Giới thiệu cũng được thiết lập. Đến đây, một vấn đề tự nhiên được đặt
Ánh xạ không giãn tiệm cận được Goebel và Kirk giới ra là tiếp tục xây dựng những dãy lặp hội tụ đến điểm bất
thiệu năm 1972 và là một mở rộng của ánh xạ không giãn. động chung nhanh hơn dãy lặp đã có. Do đó, trong bài báo
Lớp ánh xạ không giãn tiệm cận được nhiều tác giả quan này, từ dãy lặp (1.1), nhóm tác giả cũng đề xuất một dãy lặp
tâm nghiên cứu theo hướng thiết lập điều kiện tồn tại điểm ba bước mới cho ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận và chứng
bất động cũng như chứng minh sự hội tụ của những dãy lặp minh một số kết quả về hội tụ của dãy lặp được đề xuất đến
khác nhau đến điểm bất động. Bên cạnh đó, một số tác giả điểm bất động chung của ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận
cũng quan tâm nghiên cứu mở rộng ánh xạ không giãn tiệm trong không gian Banach lồi đều với đồ thị.
cận theo nhiều cách tiếp cận khác nhau. Năm 2018, sử dụng
2. Một số khái niệm và kết quả cơ bản được sử dụng
ý tưởng được trình bày bởi Jachymski trong bài báo [3] là
trong bài báo
kết hợp giữa lí thuyết điểm bất động và lí thuyết đồ thị,
Sangago và các cộng sự [4] đã giới thiệu lớp ánh xạ G- Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Banach
không giãn tiệm cận trong không gian Banach với đồ thị, thực X. Kí hiệu G (V (G), E(G)) là đồ thị định hướng với
đồng thời một số tính chất về điểm bất động và kết quả hội V (G ) tập hợp các đỉnh của đồ thị G sao cho V (G ) trùng với
tụ cho lớp ánh xạ này cũng được thiết lập. Kể từ đó, việc C, E(G ) tập hợp các cạnh của đồ thị G mà (u, u) E(G ) với
thiết lập sự hội tụ của những dãy lặp khác nhau đến điểm
u C và G không có cạnh song song.
bất động chung của những ánh xạ G-không giãn tiệm cận
trong không gian Banach với đồ thị được một số tác giả Định nghĩa 2.1. [5, Definition 4] Cho G (V (G), E(G))
quan tâm. Năm 2018, sử dụng dãy lặp Ishikawa, là đồ thị định hướng. Khi đó, G được gọi là có tính bắc
Wattanataweekul [1] đã giới thiệu dãy lặp hai bước và cầu nếu với u, v, w V (G ) sao cho (u, v),(v, w) E(G) thì
chứng minh sự hội tụ của dãy lặp này đến điểm bất động (u, w) E(G ).
chung của hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong không
gian Banach với đồ thị. Năm 2019, sử dụng ý tưởng dãy Định nghĩa 2.2. [4, Definition 3.1] Cho X là không gian
SP-lặp, Wattanataweekul [2] đã giới thiệu dãy lặp ba bước Banach thực và C là tập khác rỗng của X, G (V (G),E(G))
cho ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận như sau: là đồ thị định hướng sao cho V (G) C . Khi đó, ánh xạ
wn (1 cn )un n
cn H un T :C C được gọi là G-không giãn tiệm cận nếu:
u1 C , vn (1 bn )wn bnS nwn
(1.1) (1) T bảo toàn cạnh của G, tức là với (u, v) E(G ) ta có
un (1 an )vn anT nvn
1
(Tu,Tv) E(G).
với n , {an },{bn },{cn } [0,1], C là tập lồi trong không
(2) Tồn tại dãy { n }, 1 với lim 1 sao cho
n n n
gian Banach X và H ,T , S : C C là ba ánh xạ G-không giãn
|| T nu T nv || || u v || với (u,v) E(G) và n 1.
tiệm cận, đồng thời một số kết quả hội tụ của dãy lặp (1.1) n
- ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 18, NO. 5.1, 2020 111
Định nghĩa 2.3. [4, Definition 1.3] Cho X là không gian giả cũng chỉ ra tồn tại tập E(G ) lồi theo tọa độ nhưng không
định chuẩn, C là tập con khác rỗng của X, G (V (G), E(G)) là tập lồi (xem Ví dụ 3.5 trong Mục 3).
là đồ thị định hướng sao cho V (G) C . Khi đó, C được gọi Định nghĩa 2.10. [7, tr.534] Cho ánh xạ T : C C. Khi
là có tính chất G nếu với {un } là dãy trong C sao cho
đó T được gọi là G-nửa compact nếu với {un } là dãy trong
(un , un 1) E(G) với n *
và {un } hội tụ yếu đến u C
C với (un , un 1) E(G) và lim || Tun un || 0 thì tồn tại dãy
n
thì tồn tại dãy con {un(k )} của {un } sao cho (un(k ), u) E(G )
con {un(k )} của {un } sao cho {un(k )} hội tụ đến q C khi
*
với k .
k .
Định nghĩa 2.4. [5, Definition 6] Cho X là không gian Bổ đề 2.11. [8, Lemma 2.4] Cho X là không gian
Banach. Khi đó X được gọi là thỏa mãn điều kiện Opial nếu Banach lồi đều và r 0. Khi đó, tồn tại một hàm lồi, tăng
với {un } là dãy trong X và {un } hội tụ yếu đến u ta có ngặt và liên tục :[0, ) [0, ) sao cho (0) 0 và
lim sup || un u || lim sup|| un v || với v X, u v.
n n || tu (1 t )v ||2 t || u ||2 (1 t ) || v ||2 t(1 t ) (|| u v ||)
Bổ đề 2.5. [4, Definition 1.4] Cho X là không gian với mọi t [0,1] và u, v Br {u X : || u || r }.
Banach, C là tập con khác rỗng của X, C có tính chất G,
T : C C là ánh xạ G-không giãn tiệm cận với dãy hệ số Bổ đề 2.12. [9, Lemma 1] Cho {an },{bn } và { n } là dãy
số thực không âm thỏa mãn
{ n} sao cho ( n
1) , {un } là dãy hội tụ đến u C,
n 1
an 1
(1 n
)an bn n 1
(un , un 1) E(G) và lim || Tun un || 0. Khi đó Tu u.
n
Bổ đề 2.6. [5, Lemma 3] Giả sử với n
và bn . Khi đó lim an tồn tại.
n
n 1 n 1
(1) X là không gian Banach thỏa mãn điều kiện Opial.
(2) {un } là dãy trong X sao cho nlim || un u || và 3. Kết quả chính
Trong mục này, ta luôn xét G (V (G), E(G)) là đồ thị
lim || un v || tồn tại với u, v X.
n
định hướng, có tính chất bắc cầu với V (G ) C , E(G ) là tập
(3) {un(k )} và {vn(k )} là dãy con của {un } sao cho {un(k )} lồi theo tọa độ và giả sử T , S , H : C C là ba ánh xạ
hội tụ yếu đến u, {vn(k )} hội tụ yếu đến v . G-không giãn tiệm cận với ba dãy hệ số tiệm cận lần lượt
là { n },{ n },{ n } sao cho F(T ) F(S ) F (H ) , trong đó
Khi đó u v. F (T ), F (S ), F (H ) lần lượt là tập điểm bất động của ba ánh
Định nghĩa 2.7. [3, Definition 2.3] Cho ánh xạ xạ T , S , H . Đặt n max { n , n , n } . Giả sử
T : X X. Khi đó T được gọi là G-liên tục nếu {un } là dãy
trong X sao cho un hội tụ đến u và (un , un 1) E(G) thì ( n
1) .
n 1
Tun Tu.
Bằng việc mở rộng dãy lặp (1.1), nhóm tác giả giới
Mệnh đề 2.8. [1, Proposition 3.2] Giả sử thiệu dãy lặp {un } cho ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận
(1) X là không gian Banach với đồ thị định hướng G, C trong không gian Banach với đồ thị như sau:
có tính chất G.
wn (1 cn )un cn H nun
(2) T : C C là ánh xạ G-không giãn tiệm cận. n
u1 C , vn (1 bn )H wn bnS nwn n * (3.1)
Khi đó T là G-liên tục. n
un 1
(1 an )S vn anT nvn ,
Lưu ý rằng, trong những kết quả của [1, 2], các tác giả
xét đồ thị G (V (G), E(G)) sao cho (u, u) E(G ) với u C trong đó, {an },{bn },{cn } [0,1]. Trước hết, nhóm tác giả
và E(G ) là tập lồi, tức là t(x, y) (1 t )(u, v) E(G ) với mọi chứng minh một số tính chất của dãy lặp (3.1).
(x, y),(u, v) E(G ) và t [0,1]. Tuy nhiên, tập E (G ) trong
Mệnh đề 3.1. Giả sử
([1], Example 4.5]) và ([2], Example 4.5]) không thỏa mãn
(1) X là không gian định chuẩn.
điều kiện (u, u) E(G ) với u C .
(2) C là tập con lồi, khác rỗng trong X.
Định nghĩa 2.9. [6, Definition 3.1] Cho X là không gian (3) Với mỗi p F (T ) F (S ) F (H ), {un } là dãy được
vectơ và G (V (G), E(G)) là đồ thị định hướng sao cho
xác định bởi (3.1) thỏa mãn (u1, p),(p, u1 ) E (G ).
E(G ) X X . Khi đó E (G ) được gọi là lồi theo tọa độ nếu
với (p, u),(p, v),(u, p),(v, p) E(G) và t [0,1] thì Khi đó với n *
, ta có (un , p),(vn , p),(wn , p),(p, un ),
(p, vn ), (p, wn ),(vn , un ),(wn , un ),(un , un 1) E(G).
t(p, u) (1 t )(p, v) E(G) và t(u, p) (1 t )(v, p) E(G ).
Chứng minh. Bằng phương pháp quy nạp ta sẽ chứng
Từ Định nghĩa 2.9 ta nhận thấy, nếu E(G ) là tập lồi thì *
minh (un , p) E (G ) với n . (3.2)
E (G ) là tập lồi theo tọa độ. Đồng thời, trong [6], các tác
- 112 Nguyễn Trung Hiếu, Cao Phạm Cẩm Tú
Theo giả thiết, ta có (u1, p) E (G ). Suy ra (3.2) đúng với (3) Với mỗi p F (T ) F (S ) F (H ), {un } là dãy được
n 1. xác định bởi (3.1) thỏa mãn (u1, p),(p, u1 ) E (G ),
Giả sử (3.2) đúng với n k 1, tức là (uk , p) E (G ). Ta
0 lim inf an lim sup an 1, 0 lim inf bn lim sup bn 1
n n n n
cần chứng minh (uk 1, p) E(G).
và 0 lim inf cn lim sup cn 1.
n n
Vì T , S , H bảo toàn cạnh nên T k , S k , H k bảo toàn cạnh.
Kết hợp H k bảo toàn cạnh và (uk , p) E (G ), ta được Khi đó
(H kuk , p) E(G). Ta lại có (1) lim || un p || tồn tại.
n
(wk , p) ((1 ck )uk ckH kuk , p) (2) nlim || T nvn S nvn || 0.
(1 ck )(uk , p) ck (H kuk , p). (3.3) (3) nlim || S nwn H nwn || 0.
Do (uk , p),(H kuk , p) E(G) và E(G ) lồi theo tọa độ nên (4) nlim || H nun un || 0.
từ (3.3), ta có (wk , p) E (G ). Kết hợp H k , S k bảo toàn cạnh
(5) lim || Tun un || lim || Sun un || lim || Hun un || 0.
với (wk , p) E (G ), ta được (H kwk , p), (S kwk , p) E(G). Ta n n n
cũng có Chứng minh (1). Với p F (T ) F (S ) F (H ), theo
Mệnh đề 3.1, ta có
(vk , p) ((1 bk )H kwk bkS kwk , p)
(un , p),(vn , p),(wn , p), (vn , un ),(wn , un ), (un , un 1) E(G).
(1 bk )(H kwk , p) bk (S kwk , p). (3.4)
Khi đó, từ (3.4), (H kwk , p),(S kwk , p) E(G) và E(G ) lồi Vì C là tập bị chặn nên tồn tại r 0 sao cho || u || r
theo tọa độ, ta có (vk , p) E (G ). Kết hợp điều này với S k ,T k với mọi u C . Khi đó un , vn , wn Br {u C : || u || r }.
bảo toàn cạnh, ta được (S vk , p), (T vk , p) E(G). Ta có
k k Do đó, theo Bổ đề 2.11, tồn tại hàm lồi, tăng ngặt, liên tục
: [0, ) [0, ) sao cho (0) 0 và
(uk 1, p) ((1 ak )S kvk akT kvk , p)
|| wn p ||2 ||(1 cn )(un p) cn (H nun p) ||2
(1 ak )(S kvk , p) ak (T kvk , p). (3.5)
(1 cn ) || un p ||2 cn || H nun p ||2
Vì (S kvk , p),(T kvk , p) E(G) và E(G ) lồi theo tọa độ nên
từ (3.5), ta có (uk 1, p) E(G). Do đó, theo nguyên lí quy cn (1 cn ) (|| H nun un ||). (3.8)
nạp, ta có (un , p) E (G ) với n *
. Tiếp theo, sử dụng kết Do S là G-không giãn tiệm cận nên từ (3.8) ta có
quả H n
bảo toàn cạnh và (un , p) E (G ), ta được || wn p ||2 (1 cn ) || un p ||2 cn 2
n
|| un p ||2
(H nun , p) E(G). Ta có:
cn (1 cn ) (|| H nun un ||)
n
(wn , p) ((1 cn )un cnH un , p)
[1 cn ( 2
n
1)]|| un p ||2 cn (1 cn ) (|| H nun un ||). (3.9)
n
(1 cn )(un , p) cn (H un , p). (3.6)
Lập luận tương tự như trên, theo Bổ đề 2.11 và H , S là
Kết hợp (3.6) với (un , p),(H nun , p) E(G) và E(G ) lồi theo ánh xạ G-không giãn tiệm cận, kết hợp với (3.9), ta có
tọa độ, ta có (wn , p) E (G ) với n *
. Do H n , S n bảo toàn || vn p ||2 (1 bn ) || H nwn p ||2 bn || S nwn p ||2
n n
cạnh và (wn , p) E (G ) nên (H wn , p), (S wn , p) E(G). Ta có:
bn (1 bn ) (|| S nwn H nwn ||)
n n
(vn , p) ((1 bn )H wn bnS wn , p)
n
(1 bn ) n2 || wn p ||2 bn 2
n
|| wn p ||2
(1 bn )(H wn , p) bn (S nwn , p). (3.7)
bn (1 bn ) (|| S nwn H nwn ||)
Khi đó, từ (3.7), (H nwn , p),(S nwn , p) E(G) và E(G ) lồi
theo tọa độ, ta suy ra (vn , p) E (G ) với n *
.
2
n
|| wn p ||2 bn (1 bn ) (|| S nwn H nwn ||)
Lập luận tương tự như trên, ta chứng minh được 2
n
[1 cn ( 2
n
1)]|| un p ||2
*
(p, un ),(p, vn ),(p, wn ) E (G ) với n . cn n2(1 cn ) (|| H nun un ||)
Do (vn , p),(p, un ),(wn , p),(p, un ),(un , p),(p, un 1) E(G) và
bn (1 bn ) (|| S nwn H nwn ||). (3.10)
G có tính chất bắc cầu nên
*
Tương tự, theo Bổ đề 2.11 và S ,T là ánh xạ G-không
(vn , un ),(wn , un ),(un , un 1) E(G) với n .
giãn tiệm cận, kết hợp với (3.10), với lưu ý n 1, ta có
Mệnh đề 3.2. Giả sử
|| un 1
p ||2 (1 an ) || S nvn p ||2 an || T nvn p ||2
(1) X là không gian Banach lồi đều.
(2) C là tập con lồi, bị chặn, đóng, khác rỗng trong X. an (1 an ) (|| T nvn S nvn ||)
- ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 18, NO. 5.1, 2020 113
(1 an ) n2 || vn p ||2 an 2
n
|| vn p ||2 Do đó, lim (|| T vn n n
S vn ||) 0. Kết hợp với tính chất
n
của , ta nhận được
an (1 an ) (|| T nvn S nvn ||)
lim || T nvn S nvn || 0. (3.15)
n
2
n
|| vn p ||2 an (1 an ) (||T nvn S nvn ||)
(3). Từ (3.12), ta cũng có
4
n
[1 cn ( 2
n
1)]|| un p ||2 4
c (1 cn ) (|| H nun
n n
un ||) bn (1 bn ) (|| S nwn H nwn ||)
2
b (1 bn ) (|| S nwn
n n
H nwn ||) an (1 an ) (||T nvn S nvn ||) || un p ||2 || un p ||2 M( 2
1). (3.16)
1 n
2 2 4 2
[1 ( n
1)( n
1 n n
c )]|| un p || Tương tự như chứng minh (2), từ (3.16), ta suy ra
n
4
c (1 cn ) (|| H un un ||) 2
b (1 bn ) (|| S nwn H nwn ||) m
n n n n (|| S nwn H nwn ||) . Do đó,
an (1 an ) (|| T nvn S nvn ||) n n0
|| un p ||2 ( 2
1)( 2
1 4
c )||un p ||2 lim (|| S nwn H nwn ||) 0.
n n n n n
cn (1 cn ) (|| H nun un ||) bn (1 bn ) (|| S nwn H nwn ||) Sử dụng tính chất của , ta có
n n
an (1 an ) (||T vn S vn ||). (3.11) lim || S nwn H nwn || 0. (3.17)
n
Vì {cn }, { n } và C bị chặn nên tồn tại hằng số M 0 (4). Từ (3.12), ta có
2 4 2
sao cho ( 1 n
c )||un
n n
p || M với n 1. Khi đó, từ cn (1 cn ) (|| H nun un ||)
(3.11), ta được 2
|| un p || || un 1
p ||2 M( 2
n
1). (3.18)
2 2 2 n
|| un p || || un p || M( 1) cn (1 cn ) (|| H un un ||)
1 n
Lập luận tương tự như chứng minh (2), từ (3.18), ta được
bn (1 bn ) (|| S nwn H nwn ||) m
(|| H nun un ||) . Do đó,
an (1 an ) (||T nvn S nvn ||). (3.12) n n0
Từ (3.12), ta có || un p ||2 || un p ||2 M( 2
1). Vì lim (|| H nun un ||) 0.
1 n n
2 Kết hợp điều này với tính chất của , ta cũng có
0 n
1 2 n( n
1) với n
1 và ( n
1) nên
n 1
lim || H nun un || 0. (3.19)
n
( 2
1) . Khi đó, theo Bổ đề 2.12, ta suy ra giới hạn
n 1
n
(5). Từ wn (1 cn )un cnH nun , ta có
lim || un p || tồn tại.
n || wn un || || (1 cn )un cnH nun un ||
(2). Từ (3.12), ta có n
cn || H un un || . (3.20)
2 2 2 n n
|| un 1
p || || un p || M( n
1) an (1 an ) (|| T vn S vn ||). Từ (3.19) và (3.20), ta suy ra
n n
Do đó an (1 an ) (|| T vn S vn ||) lim || wn un || 0. (3.21)
n
2 2 2
|| un p || || un p || M( 1). (3.13)
1 n
Từ vn (1 bn )H nwn bnS nwn và (wn , un ) E (G ), ta được
Vì 0 lim inf an lim sup an 1 nên tồn tại số thực
n n
|| vn un || || (1 bn )H nwn bnS nwn un ||
0 và số tự nhiên n 0 sao cho an (1 an ) 0 với n n n
|| H wn un || bn || S wn H wn ||
n n0. Từ (3.13), với bất kì số tự nhiên m n 0, ta có:
m m || H nwn H nun || || H nun un || bn || S nwn H nwn ||
(|| T nvn S nvn ||) an (1 an ) (|| T nvn S nvn ||)
n n0 n n0
n
|| wn un || || H nun un || bn || S nwn H nwn || . (3.22)
m m m
Kết hợp (3.17), (3.20), (3.21) và (3.22), ta có
|| un p ||2 || un 1
p ||2 M ( 2
n
1)
n n0 n n0 n n0
lim || vn un || 0. (3.23)
n
m
2 2 2
|| un
0
p || || um 1
p || M ( n
1) Theo Mệnh đề 3.1, ta được (wn , un ) E (G ). Do đó
n n0
m || S nun un ||
|| un p ||2 M ( 2
n
1). (3.14) || S nun S nwn || || S nwn H nwn || || H nwn H nun || || H nun un ||
0
n n0
2 2 || wn un || || S nwn H nwn || || H nun un || . 3.24)
Kết hợp ( n
1) với (3.14), ta suy ra n
n 1
Từ (3.17), (3.20), (3.21) và (3.24), ta nhận được
n n
(|| T vn S vn ||) . lim || S nun un || 0. (3.25)
n
n n0
- 114 Nguyễn Trung Hiếu, Cao Phạm Cẩm Tú
Theo Mệnh đề 3.1, ta có (vn , un ) E (G ). Do đó Từ (3.19), (3.29) và (3.32), ta có
|| T nun un || lim || un 1
H nun 1
|| 0.
n
|| T nun T nvn || || T nvn S nvn || || S nvn S nun || || S nun un || Ta lại có
|| un Hun ||
2 n || vn un || ||T nvn S nvn || || S nun un ||. (3.26) 1 1
Kết hợp (3.15), (3.23), (3.25) với (3.26), ta suy ra || u n 1
H n 1un 1
|| || Hun 1
H n 1un 1
||
lim || T nun un || 0. (3.27) || un 1
H n 1un 1
|| 1
|| un 1
H nun 1
|| . (3.33)
n
Vì (vn , un ) E (G ) nên Cho n trong (3.33), ta được lim || Hun un || 0.
n
|| un 1
un || || (1 an )S nvn anT nvn un || Tiếp theo, chứng minh sự hội tụ yếu của dãy lặp (3.1)
đến điểm bất động chung của ba ánh xạ G-không giãn tiệm
|| S nvn un || an ||T nvn S nvn || cận trong không gian Banach lồi đều với đồ thị.
|| S nvn S nun || || S nun un || an ||T nvn S nvn || Định lí 3.3. Giả sử
(1) X là không gian Banach lồi đều và thỏa mãn điều kiện
n
|| vn un || || S nun un || an || T nvn S nvn || . (3.28) Opial.
Từ (3.28), (3.15), (3.23) và (3.25), ta được (2) C là tập con lồi, bị chặn, đóng, khác rỗng trong X và C
lim || un un || 0. (3.29) có tính chất G.
n 1
(3) {un } là dãy được xác định bởi (3.1) thỏa mãn
Vì (un , un 1) E(G) nên (u1, p),(p, u1 ) E (G ) với mọi p F(T ) F(S ) F(H ).
Ta có || un 1
T nun 1
|| 0 lim inf an limsup an 1, 0 lim inf bn limsup bn 1,
n n n n
|| un 1
un || || T nun T nun 1
|| || T nun un || 0 lim inf cn limsup cn 1.
n n
|| un 1
un || n
|| un un 1
|| || T nun un || Khi đó {un } hội tụ yếu đến điểm bất động chung của
T ,S, H .
(1 n
) || un 1
un || || T nun un || . (3.30)
Chứng minh. Vì X là không gian Banach lồi đều nên X
Kết hợp (3.30) với (3.27) và (3.29), ta được có tính chất phản xạ. Hơn nữa, từ Mệnh đề 3.2, ta có
n
lim || un 1
T n un 1
|| 0. lim || un p || tồn tại. Vì vậy {un } bị chặn. Do đó, tồn tại
n
Ta lại có dãy con hội tụ yếu của {un }. Giả sử {un(k )},{vn(k )} là hai
|| un 1
Tun 1
|| || u n 1
T n 1
un 1
|| || Tun 1
T n 1
un 1
|| dãy con của {un } lần lượt hội tụ yếu đến u, v. Theo Mệnh
đề 3.2, ta có
|| un 1
T n 1un 1
|| 1
|| un 1
T nun 1
|| .
lim || Tun(k ) un(k ) || lim || Sun(k ) un(k ) ||
k k
Khi n , ta nhận được nlim || Tun un || 0. Ta có
lim || Hun(k ) un(k ) || 0. (3.34)
k
|| un 1
S nun 1
||
Do (un , un 1) E(G) và G có tính chất bắc cầu nên
|| un 1
un || || S nun S nun 1
|| || S nun un ||
(un(k ), un(k ) 1 ) E(G). (3.35)
|| un un || || un un || || S nun un ||
1 n 1
Do đó, từ (3.34) và (3.35), theo Bổ đề 2.5, ta được
(1 n
) || un 1
un || || S nun un || . (3.31) Tu Su Hu u hay u F (T ) F(S ) F(H ).
Sử dụng (3.31), (3.25) và (3.29), ta được Tương tự như trên, ta chứng minh được
n v F (T ) F(S ) F(H ). Vì u, v F (T ) F(S ) F(H ) nên
lim || un 1
S un 1
|| 0.
n
lim || un u || và lim || un v || tồn tại. Theo Bổ đề 2.6, ta
n n
Ta có
được u v. Do đó, {un } hội tụ yếu đến điểm bất động
|| un Sun || || u n S n 1un || || Sun S n 1un ||
1 1 1 1 1 1 chung trong F(T ) F(S ) F(H ).
|| un 1
S n 1un 1
|| 1
|| un 1
S nun 1
|| . Tiếp theo, nhóm tác giả chứng minh sự hội tụ của dãy
Cho n , ta suy ra nlim || Sun un || 0. Tương tự lặp (3.1) đến điểm bất động chung của ba ánh xạ G-không
giãn tiệm cận trong không gian Banach lồi đều với đồ thị.
|| un 1
H nun 1 || Định lí 3.4. Giả sử
|| un un || || H nun H nun || || H nun un || (1) X là không gian Banach lồi đều.
1 1
(2) C là tập con lồi, bị chặn, đóng, khác rỗng trong X, C có
|| un 1
un || n
|| un un 1
|| || H nun un || tính chất G.
n (3) Một trong ba ánh xạ T , S , H là G-nửa compact.
(1 n
) || un 1
un || || H un un || . (3.32)
- ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 18, NO. 5.1, 2020 115
(4) {un } là dãy được xác định bởi (3.1) thỏa mãn cạnh. Hơn nữa, với (x, y) E(G ) và 1 n
1, 36 ta tính
(u1, p),(p, u1 ) E (G ) với mọi p F(T ) F(S ) F(H ). được ||T x T y ||
n n
|| x y ||, || S x n n
S y || || x y || và
n n
0 lim inf an
n
limsup an 1, 0 lim inf bn
n
limsup bn 1, n
|| H x n
H y || n
|| x y ||. Do đó, T , S , H là ánh xạ
n n
0 lim inf cn limsup cn 1. G-không giãn tiệm cận.
n n
Ta có F(T ) F(S ) F(H ) {1} . Chọn u1 1, 4 ta có
Khi đó {un } hội tụ đến điểm bất động chung của T , S và H .
(p, u1 ),(u1, p) E (G ) với p F .
Chứng minh. Theo Mệnh đề 3.2, ta có
n 1 n 4 n 2
lim || un Tun || lim || un Sun || lim || un Hun || 0. Chọn an ,b ,c . Khi đó,
n n n 5n 3 n 10n 7 n 8n 5
Hơn nữa, {un } là dãy trong C và (un , un 1) E(G). Kết dãy lặp {un } xác định bởi (3.1) có dạng dưới đây hội tụ đến
hợp với giả thiết một trong ba ánh xạ T , S , H là G-nửa điểm bất động chung p 1.
compact, ta suy ra tồn tại dãy con {un(k )} của {un } sao cho 7n 3 n 2 n
wn u H un
{un(k )} hội tụ đến q C . Do đó, 8n 5 n 8n 5
9n 3 n n 4 n
u1 1, 4 và vn H wn S wn (3.36)
lim || un(k ) Tun(k ) || lim || un(k ) Sun(k ) || lim || un(k ) Hun(k ) || 0. 10n 7 10n 7
k k k
4n 2 n n 1 n
un S vn T vn .
Theo Mệnh đề 2.8, ta được T , S và H là G-liên tục. 1
5n 3 5n 3
Kết hợp với (3.35), ta được
Tuy nhiên, với x t 3, y m 1 và u 2, v 1, ta
lim || Tun(k ) Tq || lim || Sun(k ) Sq || lim || Hun(k ) Hq || 0.
k k k được | Tx Ty | 1 | x y |,| St Sm | 1
|t m| và
Ta có
| Hu Hv | |u v |.
|| q Tq || || q un(k ) || || un(k ) Tun(k ) || || Tun(k ) Tq ||, 1
Do đó, S ,T , H không là ánh xạ không giãn tiệm cận. Vì
|| q Sq || || q un(k ) || || un(k ) Sun(k ) || || Sun(k ) Sq ||,
vậy, những kết quả về sự hội tụ đến điểm bất động chung
|| q Hq || || q un(k ) || || un(k ) Hun(k ) || || Hun(k ) Hq || . của ba ánh xạ không giãn tiệm cận sẽ không áp dụng cho
ba ánh xạ này.
Do đó klim || q Tq || klim || q Sq || lim || q Hq || 0.
k Hơn nữa, với cách chọn ba ánh xạ T , S , H như trên thì
Suy ra Tq Sq Hq q hay q F (T ) F(S ) F(H ). các dãy lặp lần lượt trong [2] và [1] có dạng như sau cũng
hội tụ đến điểm bất động chung p 1.
Theo Mệnh đề 3.2, ta có nlim || un q || tồn tại nên {un }
hội tụ đến q F (T ) F(S ) F(H ). 7n 3 n 2 n
zn x H xn
8n 5 n 8n 5
Cuối cùng, nhóm tác giả đưa ra ví dụ minh họa cho sự 9n 3 n 4 n
hội tụ của dãy lặp (3.1) đến điểm bất động chung của ba x1 1, 4 và yn z S zn (3.37)
10n 7 n 10n 7
ánh xạ G-không giãn tiệm cận. Đồng thời, ví dụ này cũng 4n 2 n 1 n
xn y T yn
chứng tỏ rằng dãy lặp (3.1) hội tụ đến điểm bất động chung 1
5n 3 n 5n 3
nhanh hơn dãy lặp trong bài báo [1, 2].
9n 3 n 4 n
Ví dụ 3.5. Cho X là không gian Banach với chuẩn mn t S t
giá trị tuyệt đối, C [0,2],G (V (G), E(G)) là đồ thị định t1 1, 4 và 10n 7 n 10n 7 n (3.38)
4n 2 n 1 n
hướng với V (G ) C và (x, y) E(G ) khi và chỉ khi tn m T mn
1
5n 3 n 5n 3
0, 50 x y 1, 70 hoặc x y C . Khi đó, (u, u) E (G ) với
Tuy nhiên, sự hội tụ của dãy lặp (3.36) đến điểm bất động
u C và E (G ) là tập lồi theo tọa độ nhưng không là tập lồi. chung nhanh hơn sự hội tụ của dãy lặp (3.37) và (3.38) và
Xét ba ánh xạ T , S , H xác định bởi nếu được minh họa bởi Bảng 1 và Hình 1.
5
arcsin(x 1) 1 khi x 3
Tx 8
0 khi x 3,
1
tan(x 1) 1 khi x 3
Sx 3 và
0 khi x 3
x ln x khi x 2
Hx
2 khi x 2.
Với (x, y) E(G ) , ta có 0, 50 x , y 1, 70. Suy ra ,
(Tx,Ty),(Sx, Sy),(Hx, Hy) E(G ). Suy ra S ,T , H bảo toàn Hình 1. Dáng điệu hội tụ của dãy lặp (3.36), (3.37) và (3.38) đến 1
- 116 Nguyễn Trung Hiếu, Cao Phạm Cẩm Tú
Bảng 1. Số liệu hội tụ của dãy lặp (3.36), (3.37) và (3.38) Lời cảm ơn: Nghiên cứu này được tài trợ bởi Trường Đại
n học Đồng Tháp với Đề tài nghiên cứu khoa học của sinh
t n (dãy 3.38) x n (dãy 3.37) un (dãy 3.36)
viên mã số SPD2019.02.15.
1 1,4 1,4 1,4
2 1,2943753 1,2460293 1,0389924 TÀI LIỆU THAM KHẢO
3 1,2035011 1,1378083 1,0001371 [1] M. Wattanataweekul, “Approximating common fixed points for two
4 1,1385564 1,0776188 1,0000001 G-asymptotically nonexpansive mappings with directed grahps”,
Thai J. Math., 16(3), 2018, 817-830.
5 1,094045 1,0441347 1, [2] R. Wattanataweekul, “Convergence theorems of the modified
… … … … SP-iteration for G-asymptotically nonexpansive mappings with
directed graphs”, Thai J. Math., 17(3), 2019, 805-820.
32 1,000006 1,0000001 1, [3] J. Jachymski, “The contraction principle for mappings on a metric space
33 1,0000042 1, 1, with a graph”, Proc. Amer. Math. Soc., 136(4), 2008, 1359-1373.
[4] M. G. Sangago, T. W. Hunde and H. Z. Hailu, “Demiclodeness and
… … … … fixed points of G-asymptotically nonexpansive mapping in Banach
46 1,0000001 1, 1, spaces with graph”, Fixed Point Theory, 8(3), 2018, 313-340.
47 1, 1, 1, [5] R. Suparatulatorn, W. Cholamjiak, S. Suantai, “A modified
S-iteration process for G-nonexpansive mappings in Banach spaces
with graphs”, Numer. Algor., 77(2), 2018, 479-490.
4. Kết luận [6] N. V. Dung and N. T. Hieu, “Convergence of a new three-step iteration
Trong bài báo này, một dãy lặp cho ba ánh xạ G-không process to common fixed points of three G-nonexpansive mappings in
Banach spaces with directed graphs”, Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fís.
giãn tiệm cận được đề xuất. Từ đó, một số kết quả về sự Nat. Ser. A Math. RACSAM, 24 pages, accepted paper.
hội tụ của dãy lặp này đến điểm bất động chung của ba ánh [7] N. Shahzad and R. Al-Dubiban, “Approximating common fixed
xạ G-không giãn trong không gian Banach lồi đều với đồ points of nonexpansive mappings in Banach spaces”, Georgian
thị được thiết lập và chứng minh, trong đó giả thiết tập lồi Math. J., 13(3), 2006, 529-537.
của E(G ) trong các kết quả của [1, 2] được thay bởi giả [8] N. V. Dung and N. T. Hieu, “A new hybrid projection algorithm for
equilibrium problems and asymptotically quasi-nonexpansive
thiết E(G ) là tập lồi theo tọa độ. Đồng thời, một ví dụ được mappings in Banach spaces”, Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fís. Nat.
đưa để chứng tỏ rằng dãy lặp được đề xuất hội tụ đến điểm Ser. A Math. RACSAM, 113(3), 2019, 2017-2035.
[9] K. K. Tan, H. K. Xu, “Approximating fixed points of nonexpansive
bất động chung của ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận mapping by the Ishikawa iteration process”, J. Math. Anal. Appl.,
nhanh hơn dãy lặp trong bài báo [1, 2]. 178, 1993, 301-308.
(BBT nhận bài: 20/02/2020, hoàn tất thủ tục phản biện: 14/4/2020)
nguon tai.lieu . vn
