- Trang Chủ
- Toán học
- Sử dụng tiếp cận đa chiều để hiểu khái niệm trong đánh giá trình độ toán
Xem mẫu
- TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM, ĐẠI HỌC HUẾ | HNKHT 2018
SỬ DỤNG TIẾP CẬN ĐA CHIỀU ĐỂ HIỂU KHÁI NIỆM
TRONG ĐÁNH GIÁ TRÌNH ĐỘ TOÁN
PHAN DUY HÙNG
Học viên Cao học, Khoa Toán học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế
Email: phanduyhungspt@gmail.com
Tóm tắt: Phát triển hiểu biết toán cho học sinh là mục đích cơ bản nhất của việc dạy
toán (National Council of Teachers of Mathematic - NCTM, 2000). Hiểu khái niệm
và thành thạo quy trình toán là hai mục tiêu quan trọng mà hoạt động dạy học toán
hướng đến. Nhiều nhà giáo dục toán trên thế giới đã kêu gọi xây dựng chương trình
dạy toán và đánh giá có sự cân bằng giữa hai quá trình trên. Trong bài báo này, chúng
tôi đề xuất phương pháp tiếp cận đa chiều để hiểu khái niệm trong đánh giá trình độ
toán đồng thời trình bày hai phương pháp tiếp cận theo quan điểm này đang được
thực hiện và đạt được hiệu quả trong việc hiểu khái niệm toán.
Từ khóa: Hiểu khái niệm, tiếp cận đa chiều về hiểu toán, đánh giá trình độ toán.
1. GIỚI THIỆU
Học toán để hiểu một cách sâu sắc, toàn diện các khái niệm toán là những gì mà giáo viên
muốn mang lại cho học sinh nhằm giúp các em tự tin sử dụng chúng một cách thành thạo vào
cuộc sống. Hiểu biết các nội dung toán là một mục tiêu quan trọng mà tất cả học sinh cần nắm
bắt được. Điều này đặt ra thách thức không nhỏ cho giáo viên là tìm ra được con đường tốt nhất
để đưa những kiến thức ấy vào trí óc của học sinh. Nhiều nhà giáo dục toán đã nhận ra tầm quan
trọng của việc sử dụng nhiều quan điểm để đánh giá việc học các nội dung toán, chẳng hạn:
- Freudenthal (1983) đã xem xét các cách khác nhau trong một chủ đề có thể được sử
dụng và những quan điểm khác nhau có thể dẫn đến những hiểu biết toán khác nhau.
- Krutetskii (1976) cho thấy, ít nhất trong số các học sinh có khả năng toán học, một số
học sinh thường sử dụng phương pháp đại số hoặc giải tích để giải quyết vấn đề, một số khác
lại sử dụng hình học hoặc lượng giác.
- Hội đồng Giáo viên Toán Quốc gia (NCTM, 2000) đã phát triển tài liệu giảng dạy và
khung chương trình, phác thảo một cách nhìn mới cho học sinh với việc nhấn mạnh tầm quan
trọng giữa sự cân bằng giữa thành thạo quy trình và hiểu khái niệm.
Sự phân biệt giữa sự thành thạo quy trình và hiểu khái niệm đóng một vai trò quan trọng
trong việc xác định kiến thức mà học sinh thu nhận được. Hiện nay, có nhiều hình thức đánh
giá toán học khác nhau theo bối cảnh xã hội và nền giáo dục của các nước, tuy nhiên trong
phạm vi bài báo này, chúng tôi chỉ nhấn mạnh việc sử dụng phương pháp tiếp cận đa chiều để
hiểu trình độ toán của học sinh. Trên cơ sở phân tích việc hiểu toán, việc ứng dụng quan điểm
đa chiều trong đánh giá, bài báo đưa ra đề xuất để giúp cho đội ngũ giáo viên có một hướng
mới trong công tác giảng dạy và đánh giá học sinh. Đồng thời, qua việc phân tích các ví dụ thực
tế, bài viết sẽ làm nổi bật lên quá trình tiếp thu kiến thức toán của học sinh hiện nay và cho thấy
sự tích cực, hiệu quả của quan điểm này.
2. NỘI DUNG
2.1. Quan điểm về hiểu toán
Trong giáo dục toán, chúng ta thường nghe thấy học sinh có thể “làm” một bài toán nào
đó nhưng các em “không hiểu” là đang làm gì, và cho dù làm ra được thì mục đích của các em
208
- KỶ YẾU HỘI NGHỊ KHOA HỌC TRẺ 2018 | 11/2018
học được lý thuyết này là để làm gì? Vậy lúc nào một học sinh đã được xem là “hiểu toán”?
Chúng ta xem xét một vài định nghĩa hay giải thích về “hiểu toán”:
- Skemp (1976) xác định hai loại hiểu mang tính quan hệ và công cụ, trong đó việc hiểu
có tính quan hệ là “biết cả hai đặc trưng làm gì và tại sao” và quá trình học toán với mối quan
hệ như là “xây dựng một cấu trúc khái niệm”.
- Nickerson (1985) xác định kết quả về việc hiểu là khả năng thấy được sâu hơn các đặc
trưng của một khái niệm, nhanh chóng tìm được các thông tin cụ thể trong một tình huống, có
khả năng biểu diễn, hình dung các tình huống bằng cách sử dụng các mô hình trí tuệ.
- Hiebert và Carpenter (1992) xác định việc hiểu toán một cách cụ thể như gắn liền với
việc xây dựng nên “bối cảnh khái niệm” hay “cấu trúc”.
- Sierpinska (1994) phân loại việc hiểu theo ba dạng khác nhau:
Hành động
Việc hiểu Các quá trình
Hình 1. Sơ đồ phân loại “việc hiểu” của Sierpinska (1994)
Sierpinska thấy các quá trình của việc hiểu như là “hoạt động nhận thức xảy ra theo
những khoảng thời gian dài hơn”.
- Barmby và nnk, (2007) đã đề xuất định nghĩa về hiểu toán như sau:
+ Hiểu toán là tạo ra liên kết giữa các biểu diễn trí tuệ của một khái niệm.
+ Hiểu là mạng lưới các biểu diễn thu được kết hợp với khái niệm toán học đó.
- Duffin và Simpson (2000) đã phát triển các phạm trù của Sierpinska và phân biệt thành
ba thành phần của việc hiểu:
Xây dựng
Có được
Tham gia vào
Hình 2. Cấu trúc các thành phần của “việc hiểu” theo Duffin và Simpson (2000)
Trên cơ sở là một giáo viên, một nhà giáo dục toán, chúng ta xem “việc hiểu” của học
sinh là việc các em hoàn thành các nhiệm vụ được giao, biết được các em đang nghĩ gì khi thực
hiện nhiệm vụ và phải trình bày được bài làm của mình.
Trong bài báo này chúng tôi quan tâm đến hướng tiếp cận đa chiều trong việc đánh giá
209
- TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM, ĐẠI HỌC HUẾ | HNKHT 2018
học sinh thông qua hệ thống bài tập trong phần kiến thức “hàm số” đã được biên soạn không
theo hướng một chiều như cũ mà thay vào đó là nhiều mảng khác nhau, từ lý thuyết, bài tập với
thủ thuật đơn giản, bài tập thực tế… Từ đây, chúng tôi sẽ có một cách nhìn khá toàn diện về
“việc hiểu” của học sinh là như thế nào.
2.2. Tiếp cận đa chiều về hiểu toán
Toán học là môn học gắn liền với thực tế, mục đích của việc học toán cũng là giải quyết
các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống. Đáp ứng với nhu cầu hội nhập và phát triển, các nước đã
và đang xây dựng và phát triển một chương trình giáo dục toán phù hợp với xu thế và tình hình
đất nước. Quan điểm tiếp cận đa chiều trong dạy học toán là một trong các quan điểm đang
được nhiều nước phát triển trên thế giới áp dụng và cho thấy sự hiệu quả.
Freudental (1983) đã xem xét các cách khác nhau mà một chủ đề toán học vận dụng và
những tiếp cận khác nhau đó đã dẫn đến những hiểu toán khác nhau.
Toán học Quan điểm Hiểu
Hình 3. Sơ đồ hình thành việc hiểu toán theo quan điểm của Freudental (1983)
Trong lớp học, mỗi học sinh sẽ có một thế mạnh riêng, có em nghiêng về đại số, giải tích
nhưng có em thì lại mạnh về hình học… Mỗi khái niệm, kiến thức toán học được truyền tải
bằng nhiều con đường khác nhau tùy thuộc vào kinh nghiệm và năng lực của giáo viên. Điều
này đòi hỏi giáo viên trong mỗi tiết học cần lựa chọn cách dạy sao cho phù hợp nhất.
Để phát triển việc hiểu toán của học sinh, chương trình toán bậc trung học phổ thông cần
phải chú trọng đến các kỹ năng toán học, các khái niệm và các quá trình toán học. Đó là những
yếu tố chính trong việc học toán và áp dụng toán học vào giải quyết các vấn đề trong cuộc sống.
(1)
Thành thạo quy
trình
(5) (2)
Phương án giải Suy luận thích
quyết ứng
(4) (3)
Kế hoạch giải Hiểu khái niệm
Hình 4. Sơ đồ trình độ toán học theo Hội đồng Nghiên cứu Quốc gia Hoa Kỳ (NRC, 2001)
Để xây dựng một khung chương trình như vậy không phải dễ thực hiện. Tư duy của học
sinh sau một quá trình dài được đặt trong một môi trường giáo dục cũ theo cách dạy học và
đánh giá truyền thống đã làm cho các em thích nghi. Một câu hỏi được đặt ra là làm thế nào để
tạo ra một chương trình toán theo quan điểm mới có nhiều tiến bộ và hiệu quả.
210
- KỶ YẾU HỘI NGHỊ KHOA HỌC TRẺ 2018 | 11/2018
Một chương trình giáo dục toán học mới theo quan điểm tiếp cận đa chiều sẽ tạo ra một
sự cân bằng và phù hợp với các đối tượng học sinh. Nếu chúng ta đổi mới phương pháp dạy
học theo quan điểm tiếp cận đa chiều thì trong đánh giá cũng cần tuân theo tiếp cận này.
2.3. Tiếp cận SPUR
Usiskin (1985) có quan điểm về hiểu toán khá độc lập đối với Skemp (1976). Usiskin
đồng ý với Skemp rằng “hiểu công cụ” và “hiểu quan hệ” là khác nhau nhưng không đồng ý
là chúng là hai chủ đề khác nhau.
Thompson và Kaur (2011) đề xuất một tiếp cận đa chiều mô phỏng từ mô hình gốc được
sử dụng trong phát triển chương trình (Usiskin, 1985) để đánh giá chất lượng hiểu toán của học
sinh thông qua bốn chiều chính: kỹ năng, tính chất, vận dụng, biểu, trong đó:
- Kỹ năng: Chỉ những quy trình mà học sinh cần phải thực hiện thành thạo, những kỹ
năng có thể là việc áp dụng những thuật toán tiêu chuẩn cho đến việc khám phá ra các thuật
toán bao gồm cả quy trình với công nghệ.
- Tính chất: Chỉ những nguyên tắc cơ bản của toán học, bao gồm những tính chất được
sử dụng đến kiểm chứng các kết luận đạt được và các chứng minh.
- Sử dụng: Chỉ việc áp dụng các khái niệm toán học vào thế giới thực tế hay vào các khái
niệm khác của toán học, bao gồm từ “các bài toán bằng lời” quen thuộc đến việc phát triển và
sử dụng các mô hình toán học.
- Biểu diễn: Chỉ các đồ thị, hình vẽ và các thể hiện trực quan khác của các khái niệm toán
học, bao gồm những biểu diễn chính thống của khái niệm và các mối quan hệ đến khám phá
các cách mới để biểu diễn khái niệm.
Tiếp cận đa chiều này được biết với tên viết tắt là SPUR (Skills, Properties, Uses,
Representations), cung cấp cho giáo viên những thông tin hữu ích về chiều sâu của hiểu biết
toán của học sinh.
Kỹ Tính
năng chất
Vận Biểu
dụng diễn
Hình 5. Bốn chiều của việc hiểu Toán theo tiếp cận SPUR
Đầu tiên, SPUR được dùng để thiết kế chương trình toán toán phổ thông, nhưng sau đó
các nhà giáo dục đã sử dụng SPUR như là một công cụ đầy sức mạnh trong hoạt động đánh giá
việc hiểu toán của học sinh. Khi học sinh có hiểu biết sâu sắc về toán học các em sẽ thu được
việc hiểu ở bốn chiều là kỹ năng, tính chất, vận dụng và biểu diễn.
Hiện nay, với cách dạy truyền thống thì đánh giá chỉ quan tâm một chiều, giáo viên thông
qua các bài kiểm tra đó sẽ cho điểm và đưa ra được các nhận xét về quá trình học và hiểu của
học sinh. Tuy nhiên, nếu cách đánh giá như vậy có phải là một đánh giá phản ánh hết được thực
tế hay không. Chẳng hạn, một bài kiểm tra toán mà học sinh bị điểm thấp, giáo viên vội kết
luận khả năng toán học của học sinh đó là thấp thì liệu đó có phải là quan điểm đúng?
211
- TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM, ĐẠI HỌC HUẾ | HNKHT 2018
Nếu đánh giá quan tâm đến cả bốn chiều thì giáo viên sẽ nhận được thông tin đầy đủ về
điểm mạnh, điểm yếu trong kiến thức về khái niệm của học sinh, điều đó sẽ đem lại những định
hướng cho việc lên kế hoạch bài học tiếp theo.
Nếu mục đính giáo dục là phát triển học sinh với một hiểu biết sâu sắc và linh hoạt về
toán học thì chúng ta không thể chỉ đánh giá các kiến thức, kỹ năng của các em. Việc viết các
câu hỏi để đo lường kiến thức, kỹ năng thường dễ dàng hơn. Để kiểm tra các kiến thức của các
chiều khác về việc hiểu toán, giáo viên cần phải điều chỉnh các câu hỏi kỹ năng đó, hay viết các
câu hỏi hoàn toàn mới để thu thập những khía cạnh khác về việc hiểu toán của học sinh. Những
phản hồi về việc hiểu các khái niệm toán của học sinh có thể được sử dụng để đổi mới cách
dạy, để học sinh xây dựng được một nền tảng vững chắc về kiến thức toán học.
2.4. Phân loại tư duy MATH
Theo Schoenfeld (1988), một số học sinh đưa ra “lời giải” đúng cho câu hỏi có thể không
hiểu được ngay lời giải mà mình đưa ra. Trên cơ sở là giáo viên, chúng ta cần xác định những
gì học sinh nên biết và có thể hiểu được sau khi học môn toán, và những điều đó nên được
chuyển thành các mục tiêu và mục đích của các đánh giá.
Thứ bậc Nhiệm vụ Đánh giá Toán có tên viết tắt MATH (Mathematical Assessment Task
Hierarchy), đặc biệt được thiết kế để phát triển những đánh giá hiểu biết toán nhằm đảm bảo rằng,
học sinh được đánh giá theo nhiều dạng kiến thức và kỹ năng khác nhau (Darlington, 2013).
Phân loại MATH xác định tám phạm trù kỹ năng và kiến thức và sắp xếp chúng vào trong
ba nhóm A, B và C. Tám phạm trù này được xếp thứ tự theo bản chất của hoạt động tư duy toán
chứ không phải theo mức độ khó của hoạt động đòi hỏi để hoàn thành tốt nhiệm vụ.
Phân loại tư duy MATH có ba nhóm: A (Tái tạo); B (Liên kết) và C (Suy luận). Các phạm
trù của MATH được thiết kế để mô tả “bản chất” của hoạt động chứ không phải “mức độ khó”.
Điều đó có nghĩa là một nhiệm vụ ở nhóm A có thể xem là khó hơn một nhiệm vụ ở nhóm C,
tùy thuộc vào độ khó, cũng như các thách thức cụ thể gắn liền với nhiệm vụ đó. Chúng ta cũng
có thể xem các nhóm A, B, C tương ứng với ba mức A, B, C được xếp theo thứ bậc từ thấp đến
cao một cách phù hợp theo bối cảnh.
Các kỹ năng toán học gắn liền với nhóm C là “những gì mà chúng ta gán với một nhà
toán học đang thực hành công việc và người giải quyết vấn đề” (Pountney, Leinbach và
Etchells, 2002). Nhóm A chủ yếu nhớ lại công thức để giải các bài toán quen thuộc (Ball và
nnk., 1998; Smith và nnk., 1996).
Một số người đặt câu hỏi là liệu có nên cho phép những đánh giá mà cho đạt đối với
những học sinh chỉ có các kỹ năng ở nhóm A và B. Họ đề xuất rằng, chỉ nên dành điểm cao cho
những học sinh với những kỹ năng ở nhóm C. Pountney, Leinbach và Etchells (2002) đề xuất:
“Những kỹ năng ở nhóm B và C nên được giới thiệu và vận dụng thường xuyên theo cách
phát triển sâu sắc quá trình giải quyết vấn đề toán học và thực tế cho những cá nhân học sinh
ở nhóm A để tạo ra lời giải trực tiếp cho vấn đề”.
Việc nâng dần các kỹ năng từ A đến B và rồi từ A và B lên C luôn được những nhà giáo
dục toán tìm kiếm những biện pháp cụ thể thực hành cho lớp học.
2.5. Cấu trúc đánh giá hiểu toán theo SPUR kết hợp với phân loại tư duy MATH
Usiskin (2012) đã cụ thể hóa chiều hiểu toán thành bốn lĩnh vực của hiểu khái niệm: kỹ
năng – thuật toán, tính chất - chứng minh, sử dụng - áp dụng, biểu diễn - sơ đồ nhận thức. Đôi
khi, bốn chiều đó được viết lại gọn hơn là kỹ năng, tính chất, sử dụng và biểu diễn.
212
- KỶ YẾU HỘI NGHỊ KHOA HỌC TRẺ 2018 | 11/2018
Chúng ta sẽ kết hợp tiếp cận đa chiều SPUR với phân loại tư duy MATH để xây dựng
cấu trúc các đề kiểm tra nhằm đánh giá việc hiểu toán ở các mức tư duy khác nhau.
Trong thực hành đánh giá, một ứng dụng của phân loại để mô tả công cụ xem xét yêu cầu
nhận thức toán của học sinh, chỉ xét sáu mức nhận thức toán gồm A1, A2, A3, B1, C1, C2.
Phạm trù B2 áp dụng vào tình huống mới và C3 đánh giá không có trong công cụ này. Các câu
hỏi yêu cầu áp dụng sẽ được đưa vào phạm trù A3 sử dụng. Các câu hỏi trong chương trình
toán trung học hiếm khi đòi hỏi mức nhận thức đánh giá.
Các phân loại tư duy được tạo ra làm khung lý thuyết để xây dựng, thiết kế các bài dạy,
bài đánh giá phụ hợp nhất. Điều quan trọng là làm thế nào để chuyển các mô tả theo nội dung
toán cụ thể vào trong phân loại tư duy. Phân loại tư duy MATH và tiếp cận đa chiều SPUR là
một trong các công cụ đang được phát triển và mang lại những kết quả thực sự. Điều đó đòi hỏi
các nhà giáo dục toán phải luôn tìm tòi, nghiên cứu để tạo ra được một khung chương trình dạy
học và các bài kiểm tra đánh giá phù hợp và đáp ứng với nhu cầu của xã hội.
2.6. Kết quả nghiên cứu
Sau đây, chúng tôi trình bày một số câu hỏi trong phần đánh giá kiến thức của học sinh
về “hàm số” ở một lớp lớp 12, gồm N 37 em tham gia khảo sát.
Câu hỏi 1: Nêu định nghĩa hàm số y f ( x) theo cách hiểu của em?
Không làm Làm không đúng Làm đúng
16,2% 83,8% 0%
Câu hỏi này ở mức kỹ năng và thuộc phạm trù A1 trong các mức nhận thức toán. Đây là
mức gần cơ bản nhất trong đánh giá học sinh. Khái niệm “hàm số” là khái niệm cơ bản của toán
học, học sinh được học từ cấp trung học cơ sở (THCS) và đầu cấp trung học phổ thông (THPT),
tuy nhiên không có học sinh nào nêu định nghĩa một cách trọn vẹn theo đúng quan điểm trong
sách giáo khoa (SGK). Câu trả lời chiếm đa số: “Là một phép đặt sao cho một x cho một y”.
Kết quả thu được phản ánh thực tế là học sinh chỉ nắm được một phần bản chất của định nghĩa
hàm số, thậm chí có một bộ phận học sinh không nhớ được định nghĩa hàm số.
Câu hỏi 2: Cho biết f ( x) là một hàm số bậc hai. Hãy viết biểu thức của f ( x) biết f (1)
=0, f (0) 1 và f (1) 4 ?
Bài toán này được tăng độ phức tạp khi thực hiện, được xếp ở mức tính chất và thuộc
phạm trù A3 là thực hiện một quy trình hay thuật toán dựa theo tính chất.
Không làm Làm không đúng Làm đúng
2,7% 8,1% 89,2%
Đối với một bài toán đã có tính quy trình hay thuật toán, đa số các học sinh thực hiện một
cách thành thạo và cho kết quả đúng, một kết quả đáng mong đợi trong bài kiểm tra này. Nhưng
nếu xét về logic toán, một số học sinh vẫn nắm chưa vững về khái niệm thế nào là hàm số bậc
hai và thế nào là phương trình bậc hai. Chẳng hạn, hơn 27,0% học sinh cho rằng, hàm số bậc
hai có dạng ax2 bx c 0 , một số em còn không quan tâm đến điều kiện của tham số a. Nếu
chỉ đánh giá kết quả, đặc biệt là thi trắc nghiệm khách quan như hiện nay thì gần như 100% câu
trả lời của các em là chính xác nhưng để thực sự xét về việc hiểu sâu khái niệm thì rõ ràng
chúng ta đã bỏ qua nó. Điều quan trọng hơn cả là cần có một bài đánh giá thực sự phù hợp cả
về kỹ năng giải cũng như việc hiểu toán.
213
- TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM, ĐẠI HỌC HUẾ | HNKHT 2018
Câu hỏi 3: Hàm số f ( x) có đồ thị như hình vẽ, hãy xác định:
a) f (0) , f (1) và f (1) ?
b) Số nghiệm của phương trình f ( x) 1 0 ?
Đây là bài toán dựa vào sự hiểu biết của học sinh về đồ thị hàm số và còn là kiến thức về
sự tương giao của hai đồ thị. Câu hỏi được xếp mức kỹ năng, phạm trù B1 là nhận ra công thức,
phương pháp nào là phù hợp cho một bối cảnh cụ thể. Kết quả thu được từ bài làm của học sinh
như sau:
Không làm Làm không đúng Làm đúng
2,7% 32,4% 64,9%
Trong số 32,4% học sinh làm không đúng thì có 29,7% làm đúng câu a) nhưng câu b)
không biết cách làm hay làm và kết luận sai. Trong 64,9% học sinh làm đúng kết quả cả 2 câu,
một số em lại sử dụng phương pháp đại số để giải quyết câu b) chứ không sử dụng phương pháp
đồ thị hàm số. Đa số các em kết luận được 3 nghiệm nhưng lại không giải thích vì sao lại có
được kết quả đó. Điều này chứng tỏ rằng, trong một lớp đã có sự phân hóa giữa các học sinh,
có em nghiêng về mảng đại số, nhưng có em lại nghiêng về mảng hình học, đồ thị. Một bài
kiểm tra nếu nhận được sự đa dạng trong câu trả lời của học sinh sẽ thu được nhiều chiều hướng
tích cực, từ đó có thể đánh giá một cách toàn diện hơn so với các bài toán chỉ có đúng một cách
giải mang tính thủ thuật có sẵn mà học sinh nào cũng được học trong SGK.
Câu hỏi 4: Cho hàm số f(x) có đồ thị như hinh vẽ. Hãy vẽ các đồ thị của hàm số f ( x )
và f ( x ) ?
Bài toán được thiết kế nhằm đo lường sự hiểu biết của học sinh về cách vẽ đồ thị của
hàm số trị tuyệt đối thông qua đồ thị hàm số cho trước. Câu hỏi thuộc mức biểu diễn với phạm
trù A3 là biểu diễn thông tin theo dạng được yêu cầu. Kết quả thi được cho thấy chỉ có 29,7%
học sinh vẽ đúng được 2 đồ thị của hai hàm số này. Kiến thức hàm số chứa trị tuyệt đối các em
đã được học và đây là nội dung quan trọng trong chương trình, thường xuyên xuất hiện trong
các bài kiểm tra và bài thi của học sinh lớp 12. Tuy nhiên, bài toán lại được tất cả 37 em đều
thực hiện, chứng tỏ mức độ nhớ kiến thức ở các em còn khá tốt, nhưng quá trình tiến hành lại
phản ánh mức độ nắm vững kiến thức của các em trong quá trình học là còn nhiều hạn chế.
Điều đó đòi hỏi giáo viên phải tìm kiếm một phương pháp dạy học hiệu quả để giúp các em
hiểu rõ bản chất của các dạng toán về đồ thị.
214
- KỶ YẾU HỘI NGHỊ KHOA HỌC TRẺ 2018 | 11/2018
Câu hỏi 5: Một sợi dây kim loại dài 100 cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được
uốn thành tam giác đều, đoạn thứ hai được uốn thành hình vuông (hình dưới). Hỏi phải chia
đoạn dây kim loại như thế nào để tổng diện tích hai hình là bé nhất?
Một bài toán có bối cảnh thực tế được đưa vào bài đánh giá. Bài toán phản ánh mối quan
hệ giữa toán học và cuộc sống. Bài toán được xếp mức sử dụng với phạm trù B1 là áp dụng một
khái niệm vào một tình huống thực tế hay các khái niệm khác. Để giải quyết, học sinh ngoài
việc hiểu được ý nghĩa của vấn đề còn phải biết vận dụng các kiến thức đã học nào vào tình
huống này. Kết quả khảo sát cho thấy 35,2% học sinh tham gia giải bài toán thực tế này. Số
khác khi được hỏi thì trả lời câu hỏi quá khó, một số em không biết được cách giải quyết bài
toán và chỉ có 10,8% giải quyết đúng bài toán này. Số khác đưa ra kết quả sai hoặc lập luận,
giải quyết sai hướng. Đặc biệt, có 35,2% học sinh có vị trí gần nhau, có nghĩa là một số em nổi
trội trong lớp sẽ giúp đưa ra ý tưởng cho các bạn còn lại.
Thực tế phản ánh rằng, việc đưa các bài tập thực tế vào trong đánh giá gây ra khá nhiều
khó khăn cho học sinh, các em khá bất ngờ hoặc không biết một thủ tục hay kiến thức nào để
áp dụng. Đây là một vấn đề đáng lưu tâm vì mục tiêu chính của giáo dục toán đó là đáp ứng
được các yêu cầu thực tế của cuộc sống chứ không phải cứ giải các bài toán mang tính thủ tục
trong suốt quá trình học. Giáo viên toán cần chú trọng sử dụng các bài toán thực tế hơn và sử
dụng nó một cách phù hợp trong các bài kiểm tra đánh giá để giúp học sinh dần làm quen với
việc sử dụng trong học để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống hàng ngày.
Cả năm câu hỏi trên đều có cùng một nội dung toán là “hàm số” nhưng được thiết kế với
các mức độ phức tạp, độ quen thuộc khác nhau theo thang mức nhận thức toán của tiếp cận đa
chiều SPUR với phân loại tư duy MATH. Hiện nay, học sinh được đánh giá theo phương pháp
này rất ít. Để hướng đến việc sử dụng kiến thức, kỹ năng toán vào giải quyết vấn đề, học sinh
cần được dạy và đánh giá theo hệ thống bài tập đa chiều để các em có cơ hội làm quen dần với
mức độ “hiểu khái niệm” toán học một cách rõ ràng, chính xác, đặc biệt việc học toán của các
em được đánh giá một cách công bằng và khách quan hơn.
3. KẾT LUẬN
Sử dụng tiếp cận đa chiều để hiểu khái niệm trong đánh giá trình độ toán tạo ra một khung
chương trình dạy học và các bài kiểm tra đạt được hiệu quả, đặc biệt thể hiện được mục đích
của giáo dục là gắn liền với cuộc sống. Qua phân tích kết quả khảo sát, chúng tôi thấy rằng,
hiện nay, học sinh chủ yếu thực hiện tốt các bài toán có tính quy trình và thuật toán nhưng lại
gặp nhiều khó khăn trong các bài toán đòi hỏi phải sử dụng định nghĩa và giải quyết vấn đề.
Học toán đòi hỏi phải có sự cân bằng giữa thành thạo quy trình và hiểu khái niệm chứ phải
không nghiêng về một mảng kiến thức cụ thể. Học sinh được đánh giá chủ yếu theo cách bài
kiểm tra truyền thống, điều này có thể tạo ra quá trình kiểm tra thiếu sự khách quan và chính
xác. Do đó, cần đổi mới cách thức dạy học và đánh giá kết quả học tập của học sinh. Chúng tôi
hy vọng bài báo có đóng góp phần xác định về cơ sở lý luận mới giúp giáo viên có một ý tưởng
trong công tác dạy học và đánh giá học sinh.
215
- TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM, ĐẠI HỌC HUẾ | HNKHT 2018
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Ball, N., Smith, G., Wood, L., Coupland, M. & Crawford, K. (1998). Creating a diversity of
mathematical experiences for tertiary students. International Journal of Mathematical
Education in Science and Technology 29(6): 27 – 41.
[2] Barmby, P., Harries, T., Higgins, S. & Suggate, J. (2007). How can we assess mathematical
understanding? In Woo, J. H., Lew, H. C., Park, K. S. & Seo, D.Y. (Eds.). Proceedings of the
31 st Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol.
2, pp. 41 – 48. Seoul: PME.
[3] Duffin, J. M. & Simpson, A. P. (2000). A Search for Understanding. Journal of Mathematical
Behaviour, 18(4), 415 – 427.
[4] Freudenthal, H. (1983). Didactical phenomenology of mathematical structures. Dordrecht, The
Netherlands: Reidel.
[5] NRC (2001). National Research Council (Mathematics Learning Study: Center for Education,
Division of Behavioral and Social Sciences and Education), Adding it up: Helping children
learn mathematics, edited by J. Kilpatrick et al., Washington, DC: National Academy Press.
[6] Pountney, D., Leinbach, C, & Etchells, T. (2002). The issue of appropriate assessment in the
presence of CAS. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
33(1): 1 – 44.
[7] Schoenfeld, A. H. (1988). When good teaching leads to bad results: The disasters of ‘well –
taught’ mathematics courses. Educational Psychologist, 23(2), 145 – 166.
[8] Sierpinska, A. (1994). Understanding in Mathematics. London: The Falmer Press.
[9] Skemp, R. (1976). Relational Understanding and Instrumental Understanding. Mathematics
Teaching, 77, 20-26.
[10] Thompson, D. R., & Kaur, B. (2011). Using a multi – dimensional approach to understanding
to assess student’ mathematical knowledge. In B. Kaur & K. Y. Wong (Eds.), Assessment in the
mathematics classroom, (pp. 17 – 32). Singapore: World Scientific Publishing.
[11] Trần Vui (2018). Đánh giá chất lượng hiểu khái niệm và thành thạo kỹ năng cơ bản trong giải
quyết vấn đề toán. NXB Đại học Huế.
Title: MULTI-DIMENSIONAL APPROACH TO CONCEPTUAL UNDERSTANDING FOR
ASSESSING MATHEMATICAL PROFICIENCY
Abstract: The main purpose of teaching mathematics is to make learners understand mathematics
(National Council of Teachers of Mathematic - NCTM, 2000). Conceptual understanding is the main
focus that the education of mathematics tends to be along with the proficiency of the procedures. Many
educators in the world have appealed to build the teaching and evaluation program which satisfies the
balance of these two aims. In this paper, we propose to use a multidimensional approach to understand
mathematical concepts with examples of two methods that applied and show their efficiency.
Keywords: conceptual understanding, multi-dimensional approach to understanding mathematics,
assessing mathematical proficiency.
216
nguon tai.lieu . vn
