- Trang Chủ
- Toán học
- Sử dụng phương pháp Markov Chain Monte Carlo ước lượng hàm mũ ma trận
Xem mẫu
- Lê Văn Dũng, Trần Đông Xuân / Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51 43
5(48) (2021) 43-51
Sử dụng phương pháp Markov Chain Monte Carlo ước lượng
hàm mũ ma trận
Using Markov chain Monte Carlo to estimate matrix- exponential distribution
Lê Văn Dũnga, Trần Đông Xuânb,c*
Le Van Dunga, Tran Dong Xuanb,c*
a
Faculty of Mathematics, the University of Da Nang - Da Nang University of Education and Science
b
Viện Nghiên cứu Khoa học Cơ bản và Ứng dụng, Trường Đại học Duy Tân, TP. HCM, Việt Nam
b
Institute of Fundamental and Applied Sciences, Duy Tan University, Ho Chi Minh City 700000, Vietnam
c
Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Duy Tân, Đà Nẵng, Việt Nam
c
Faculty of Natural Sciences, Duy Tan University, Da Nang, 550000, Vietnam
(Ngày nhận bài: 12/5/2021, ngày phản biện xong: 17/5/2021, ngày chấp nhận đăng: 21/9/2021)
Tóm tắt
Bài viết này trình bày về phương pháp ước lượng hàm phụ thuộc vào một hoặc nhiều phân phối mũ ma trận. Phương
pháp được chúng tôi đề nghị sử dụng là Markov chain Monte Carlo nhằm xây dựng quá trình Markov dưới biến mũ ma
trận kết hợp với mẫu Gibbs để thu được một dãy độ đo xác suất mũ ma trận dừng từ phân phối hậu nghiệm của quan
trắc đã cho. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng dựa vào biến đổi Laplace-Stieltjes và biến đổi Laplace-Stieltjes ngược của
phân phối mũ ma trận để đề ra công thức tính xác suất phá sản của công ty bảo hiểm trong mô hình rủi ro hai chiều.
Từ khóa: Markov chain Monte Carlo; phân phối mũ ma trận; xác suất phá sản.
Abstract
In the article, we present a method of functional estimation to depend on one or a lot of matrix exponential distribution.
The Markov chain Monte Carlo is used to create Markov process with variable of matrix exponential distribution to
combine with Gibbs sampling to obtain a series of the matrix exponential ergodic for probability measure from
posterior distribution of given observational data. Besides, the Laplace-Stieltjes and inverse Laplace-Stieltjes transform
of the matrix exponential distribution are used to obtain a formula to calculate ruin probabilities based on two
dimensional ruin model of insurance company.
Keywords: Markov chain Monte Carlo; matrix exponential distribution; ruin probabilities.
1. Mở đầu hàng yêu cầu bồi thường tương ứng với quá
Trong bài báo này, chúng tôi phát triển trình Poison.
phương pháp ước lượng hàm của phân phối mũ Ý tưởng chính là tạo ra một dãy độ đo mũ
ma trận từ phân phối bồi thường bảo hiểm chưa ma trận ngẫu nhiên dừng từ phân phối của
biết. Phân phối này được áp dụng để tính xác thông tin quan sát và sử dụng tính dừng của dãy
suất phá sản của công ty bảo hiểm với số khách để ước lượng các biến bằng trung bình mô
*Corresponding Author: Tran Dong Xuan, Institute of Fundamental and Applied Sciences, Duy Tan University, Ho Chi
Minh City, 700000, Vietnam; Faculty of Natural Sciences, Duy Tan University, Danang City 550000, Vietnam
Email: trandongxuan@duytan.edu.vn
- 44 Lê Văn Dũng, Trần Đông Xuân / Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51
phỏng của hàm độ đo trong dãy. Trọng tâm của Biến ngẫu nhiên Z được gọi là phân phối
bài báo này là đề ra công thức tính xác suất phá ME nếu hàm mật độ và hàm phân phối của nó
sản của mô hình rủi ro hai chiều dựa vào công được định nghĩa với z ≥ 0 có dạng:
thức biến đổi Laplace-Stietjes và mô phỏng quá , z 0
f (z) α exp( Az)a; F(z) 0 1
trình Markov theo biến mũ ma trận. Cụ thể hơn, 1 α exp( Az ) A a, z 0
đối với quan trắc X x từ phân phối mũ ma (2.1)
trận, chúng ta thiết lập một phương pháp mô
trong đó,
phỏng từ phân phối có điều kiện theo quá trình
Markov với thời gian đạt đến X x đã cho. Mô p ≥ 1 và 0 ≤ 0 ≤ 1,
phỏng này được thực hiện như thuật toán là vector hàng 1 × p,
Metropolis-Hastings (MH). Bên cạnh đó, mẫu A là ma trận p × p,
Gibb (Gibbs sampler) được sử dụng để suy luận
a là ma trận cột p × 1.
và trong mỗi bước lặp, chúng tôi sử dụng thuật
toán MH để khôi phục lại quá trình Markov. Rõ ràng F(z) trong phương trình (2.1) là hàm
phân phối với các tham số α, A và 0 vì nó liên
Bài báo được trình bày như sau: Phần 1 là
tục phải với z = 0. Đó là,
phần mở đầu của bài báo; một số tính chất của
lim (1 α exp( Az) A 1a) 0
phân phối mũ ma trận, phân tích Bayes và z 0
phương pháp Markov chain Monte Carlo được
đưa ra trong Phần 2. Phần 3 được dành để xây tham số 0 được biết như điểm mass tại 0.
dựng thuật toán và mô tả mục đích của hỗn hợp Chúng ta không xét trường hợp 0 = 1 vì
tiên nghiệm (hyper-prior) đối với trường hợp ít khi 0 1 thì sẽ dẫn đến hàm phân phối tầm
thông tin tiên nghiệm (prior), cải thiện hỗn hợp thường (trivial distribution function). Khi đó,
xích Markov của quá trình Markov. Mô hình chúng ta có thể nói phân phối ME có biểu diễn
rủi ro hai chiều và công thức tính xác suất phá (α, A, a) với cấp p. Biến đổi Laplace-Stieltjes
sản của công ty bảo hiểm được trình bày trong (LST) của (2.1) được cho bởi:
Phần 4. Cuối cùng, kết luận và một vài suy nghĩ
f * () ez dF(z) α (I A)1a 0 ,
tiếp theo được thảo luận trong Phần 5. 0
2. Một vài kiến thức liên quan .
sao cho () với (2.2)
2.1. Phân phối mũ ma trận (matrix- Đạo hàm (2.2) k lần theo và đặt
exponential distributions)
0, moment thứ k được viết dưới dạng:
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu lớp
mk (1)k 1 k!αA(k 1)a.
phân phối mũ ma trận (ME), đọc giả có thể
tham khảo Lipsky [1, chương 3] và Asmussen Asmussen và Bladt [1] chứng minh rằng tất
[5] để thấy nhiều tính chất quan trọng của phân cả các phân phối trong lớp phân phối ME có
phối này. cùng biến đổi Laplace-Stieltjes hữu tỷ có dạng:
a1 a 2 a p p1
f * ( ) 0 , a1, a 2 , , a p , b1, b 2 , , bp .
b1 b2 bp p1 p
Chúng ta xem a1 a 2 a p p1 và b1 b2 bp p1 p lần lượt là tử số và mẫu số của LST.
- Lê Văn Dũng, Trần Đông Xuân / Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51 45
Ví dụ:
a. Hàm mật độ của phân phối hyper-exponential (GH) là
n n
f (z) i i ei z , với z ≥ 0, 1, 2 , , n , i 1 và 1 2 n 0 .
i 1 i 1
Theo Botta, Harris và Marchal [3], phân phối GH có biểu diễn ME(α, A, a) như sau:
1 0 0 1
0 2 0
α (1, 2 , , n ); A ; a 2
0 0 n n
b. Mỗi phân phối phase-type (PH) có biểu Trường hợp được xét trong bài báo này, có
diễn ME(α, A, -Ae), trong đó α là vector xác biểu diễn (α, A, a) của phân phối ME.
suất trạng thái ban đầu và A là cường độ Cụ thể, phương pháp đề ra được dùng để
chuyển trạng thái của xích Markov thời gian ước lượng tham số chưa biết. Trước tiên, phân
liên tục với hữu hạn trạng thái. tích Bayes chỉ ra một phân phối tiên nghiệm G
2.2. Phân tích Bayes trên không gian , ý tưởng biểu diễn thông tin
ban đầu (không chắc chắn) về . Tuy nhiên,
Trong phần này, chúng tôi trình bày một
chúng ta sẽ quay lại bài toán xác định phân
cách ngắn gọn các khái niệm cơ bản trong ước
phối tiên nghiệm sau. Bây giờ, mật độ
lượng Bayes. Để hiểu chi tiết phần này, đọc giả
f (.∣ ) được hiểu như phân phối có điều
có thể tham khảo tài liệu [4].
kiện cho trước, sao cho f và G liên kết với
Chúng ta xét quan trắc nhau trong định nghĩa phân phối liên hợp (joint
X1 x1, X2 x 2 , , Xn x n của biến ngẫu nhiên
distribution) P trên không gian X , trong đó
độc lập cùng phân phối X i từ hàm phân phối
X là không gian trạng thái
với hàm mật độ f (.∣ ), trong đó là tham số
của X (X1, X2 ,, Xn ) . Khi đó, kết luận được
chưa biết (có thể có số chiều lớn hoặc thậm chí
đưa ra thông qua phân phối hậu nghiêm
là vô hạn). Chúng ta đặt (x1, x 2 ,, x n ) sao cho
(posterior distrubution), G* đạt được từ P với
f (x ∣ ) f (x1 ∣ )f (x 2 ∣ ) f (x n ∣ ). điều kiện của dữ liệu x sao cho
dG* dP(.∣ x)
g* () () () L( ∣ x) f (x ∣ ) f (x1 ∣ ) f (x n ∣ ).
dG dG
Vì vậy, hàm mật độ hậu nghiệm sẽ tương Suy luận về h sẽ được biểu diễn bằng phân
ứng với hàm mật độ tiên nghiệm tỉ lệ với hàm phối hậu nghiệm của h hoặc các tham số cụ thể
Likelihood L. của phân phối này, ví dụ như trung bình của nó
Khi đó, phân phối hậu nghiệm G* biểu diễn là
suy luận đầy đủ về , kết hợp với thông tin tiên h* E[h(∣ x)] h()G* (d) , (3.1)
nghiệm G và thông tin dữ liệu L.
hay phân vị của phân phối hậu nghiệm h nếu h là
Trong ví dụ cụ thể, người ta quan tâm đến phân phối một chiều. Trung bình hậu nghiệm
một hoặc nhiều hàm đặc biệt h h() của tham h* trong (3.1) thường được xem là ước lượng
số. Trong trường hợp của chúng ta, h là phân Bayes của h mặc dù đôi khi điều này không
phối ME được biểu diễn thông qua hàm phân chính xác. Bởi vì, có nhiều tham số khác của
phối (cdf) chẳng hạn.
- 46 Lê Văn Dũng, Trần Đông Xuân / Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51
phân phối hậu nghiệm thú vị hơn trung bình MCMC được sử dụng trong nhiều nhánh của
của nó. Một khoảng như [u.025 , u.975 ] với u là Toán và Kinh tế nhưng thuật toán MCMC khác
phân vị của phân phối hậu nghiệm , là khoảng nhau. Trong phần này, chúng ta sẽ giải thích và
tin cậy (credibility interval) 95% đối với . khai thác mẫu Gibb (Geman (1984) và thuật
Chú ý thể hiện của khoảng tin cậy này thì khác toán Metropolis-Hastings (MH) (Hastings,
hoàn toàn với khoảng tin cậy truyền thống và 1970).
có khởi đầu (genesis) phức tạp hơn. Cơ bản của mẫu Gibb là chọn hữu hạn biến
Vấn đề khó khăn còn lại của suy luận ngẫu nhiên Y (Yv )vV với phân phối mục tiêu
(Bayesian inference) liên quan đến việc chỉ rõ (target distribution) liên hợp . Khi đó, mẫu
xác suất tiên nghiệm G, biểu diễn hậu nghiệm Gibb dẫn đến các bước như sau: Trước tiên,
G* và tính tích phân tương ứng với G* như chọn phần tử ban đầu y0 (y0v ) vV tùy ý. Sau đó,
phương trình (3.1). số phần tử của V là V {1, 2,,∣ V ∣} và tạo ra các
biến ngẫu nhiên từ điều kiên đầy đủ
Để cho đơn giản, người ta thường sử dụng (Yv ∣ YV {v} ) bằng cách:
họ phân phối tiên nghiệm liên hợp. Một họ
phân phối được nói là liên hợp đối với bài Lấy y11 từ (Y1 ∣ y0V {1} ) ;
toán suy luận Bayes, nếu nó đóng dưới phân
tích tiên nghiệm đến hậu nghiệm (prior-to- Lấy y12 từ (Y2 ∣ y0V 1
{1,2} , y1) ;
posterior), i.e. G thì G* với dữ liệu x bất
Lấy y13 từ (Y3 ∣ y0V 1 1
{1,2,3}, y1, y2 ) ;
kì. Họ liên hợp đôi khi thuận lợi trong việc số
hóa bài toán bởi bản thân nó là hỗn hợp tham số Tiếp tục cho đến khi lấy được y∣1V∣
(hyper-parameter) , i.e. {G , H} . Khi đó,
phân tích tiên nghiệm đến hậu nghiệm có thể từ (Y∣V∣ ∣ y0V , y1, y1 , , y1
∣ ∣ 1 2
{V} ∣ V∣ 1
).
được tóm tắt bằng cách chỉ ra hỗn hợp tham số
Mỗi bước như trên được xem như bước đi
hậu nghiệm * phụ thuộc như thế nào với hỗn
của quá trình. Khi tất cả các vị trí được quá
hợp tham số tiên nghiệm và dữ liệu x. trình đi qua, một bước chuyển từ
2.3. Phương pháp Markov Chain Monte Carlo y0 (y0v ) vV đến y1 (y1v ) vV được chọn. Quá
Phương pháp Markov chain Monte Carlo trình lặp lại cho đến khi tạo thành công các giá
(MCMC) có ứng dụng đầu tiên trong vật lý trị y0 , y1,, yn , Các điểm y0 , y1,, yn , tạo
thống kê (Metropolis et al., 1953). Phương được nhờ mối liên hệ của Markov chain, trong
đó, đóng vai trò phân phối tương đương. Do
pháp này được sử dụng để mô tả hoạt động của
tính dừng (ergodicity), tích phân của hàm h
hệ thống hat nguyên tử và phân tử phức tạp. tương ứng với được xấp xỉ bằng trung bình
Ứng dụng đầu tiên của MCMC trong mô hình của mẫu Gibbs
thống kê là tính tích phân của phân phối hậu
1 n
nghiệm Bayes trong bài toán phức tạp (Gelfand h(y)(dy) h(yv ).
n v1
(3.2)
and Smith, 1990; Gilks et al., 1996). Bên cạnh
đó, MCMC cũng được sử dụng để phân tích Trong suy luận Bayes, mục tiêu thường là
Likehood truyền thống (Geyer and Thompson, phân phối có điều kiện của Y được cho bởi tập
1992). Trong thời gian gần đây, phương pháp quan trắc của biến ngẫu
này được ứng dụng nhiều trong các ngành khác nhiên Y y , A V . Điều chỉnh cần phải
*
nhau như Thống kê, Kinh tế,... (xem Green đạt được một mẫu từ phân phối có điều kiện
(2001)). này, nghĩa là trạng thái bắt đầu phải thỏa
- Lê Văn Dũng, Trần Đông Xuân / Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51 47
y0 y* , A và các trạng thái trong A không quan sát từ chu kỳ thử nghiệm (burn-in period)
được cập nhật. của mẫu MH được bỏ trước khi mẫu Gibbs
Thuật toán Metropolis–Hastings thì không được cập nhật. Trong phần này, mẫu Gibbs
cần thiết gắn liền với một trạng thái cụ thể nào. được sử dụng trong trường hợp V 2 và phân
Chúng ta sẽ khử nhiễu ở vị trí tiếp theo và viết phối mục tiêu là phân phối có điều kiện của
các bước lặp lại như một kí hiệu thay vì viết lên (, Y) với dữ liệu x đã cho, (α, A) là biểu diễn
trên. Thuật toán MH cấu trúc như một xích ME và Y là tập đầy đủ các trạng thái của quá
Markov {Yn } bằng cách lấy Z = z với mọi n từ trình Markov. Khi đó, chúng ta sử dụng phân
phân phối đề nghị yn để đạt được xích di phối liên hợp đơn giản để lấy mẫu với y (và
chuyển đến Yn 1 z và chấp nhận đề nghị này x) được cho và sử dụng thuật toán MH để lấy
với xác suất thích hợp a(z, yn ) . Nhìn chung, mẫu Y với (, x) đã cho.
phân phối đề nghị là tùy ý, nhưng kết quả của 3. Lấy mẫu của phân phối mũ ma trận
thuật toán phụ thuộc vào xác suất chấp nhận. Vì
3.1. Lấy mẫu từ quá trình Markov liên hợp
vậy, thuật toán Metropolis–Hastings là
với biến mũ ma trận
Lấy điểm Y0 y0 bất kỳ;
Đặt X là biến ngẫu nhiên với phân phối ME
Trong n bước, lấy Z = z từ (.∣ yn ) , đặt
và J là quá trình Markov liên hợp. Chúng ta sẽ
Yn 1 z với xác suất a yn , z và Yn 1 = yn với
mô phỏng quá trình Markov J từ phân phối có
xác suất điều kiện của J với điều kiện X = x đã cho,
1-a yn , z , trong đó xác suất chấp trong đó X là thời gian đạt đến của quá trình
nhận a yn , z được xác định như sau: Markov với ma trận cường độ chuyển A và
d phân phối xác suất ban đầu (α,0) .
(z)
yn
d Ý tưởng của chúng tôi là sử dụng quá trình
a(yn , z) min 1,
d
(y n ) Markov này để thu được trạng thái đạt đến tại
dz
thời điểm x. Với một quá trình Markov khác,
Nếu y thì chúng ta nói về một mẫu phụ trạng thái đạt đến sẽ cách xa thời điểm x và sử
thuộc. Trong bài báo này, tất cả thuật toán MH dụng thay thế này như đề nghị trong thuật toán
là mẫu phụ thuộc. Metropolis–Hastings.
Nhìn chung, cả hai thuật toán Gibbs và MH Đặt J t là quá trình Markov với ma trận
đều là loại bỏ tiên nghiệm thử nghiệm ban đầu cường độ A và phân phối ban đầu π (α,0) . Khi
và chỉ giữ lại trung bình (3.2) cho tất cả các giá đó, phân phối của Js là π exp(As) , do đó
trị đạt được sau bước thử nghiệm này. Bài toán qi (s) : P (Js i) π exp(As) ei ,
với phương pháp MCMC có thể hội tụ rất chậm
nếu xích Markov tạo ra không tốt và nó có thể là xác suất của quá trình Markov ở trạng thái
khá khó để đánh giá sự hội tụ trong các tình i tại thời điểm s, trong đó ei là vector cột với
huống thực tế. phần tử thứ i bằng 1, tất cả các phần tử khác
Một biến thể của thuật toán được biết như bằng 0. Vì t t i ei , mật độ của x có thể biểu
i
"Metropolis-trong-Gibbs'', trong đó, một bước diễn đơn giản bởi hàm q như sau:
MH được sử dụng để thay thế bước cập nhật f X (x) qi t i .
i
Gibbs (Gibbs updating) tại trạng thái đơn. Thực
vậy, thuật toán cuối cùng được trình bày trong Phân phối tiên nghiệm của xích Markov đối
bài báo này là một biến thể như trên, trong đó với trạng thái đạt đến chính xác là
- 48 Lê Văn Dũng, Trần Đông Xuân / Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51
i : P{J i ∣ X x}
qi (x)t i
, (5.1) điều này suy ra từ
x f X (x)
qi (x)t i dx P{J i ∣ X [x, x dx)} P{J i ∣ X x}f X (x)dx.
x x
Đặt Px P(.∣ X x) là phân phối cần tìm và nếu trạng thái đạt đến xảy ra trước thời điểm x.
Px* P(.∣ X x) là phân phối của J , 0 t x với Khi đó, những trường hợp khác được chấp nhận.
t
điều kiện X x . Do đó, Px là phân phối mục Tính Markov mạnh của J t suy ra
tiêu và Px* là phân phối đề nghị. Sau cùng, J , 0 t x và X là độc lập có điều kiện với J
t t
chúng ta mô phỏng quá trình ban đầu và loại bỏ được cho. Do đó,
Px ({J }t x {j }t x ∣ J ) Px* ({J }t x {j }t x ∣ J ).
t t x t t x
Phân phối Px* tại thời điểm x được cho bởi
qi (x)
*i : P{J i ∣ X x}
x q j (x)
j
n n
bởi vì P(X x) P{J x j} q j (x) . Vì vậy, chúng ta có
j1 j1
dPx Px ({J t : t x} {jt : t x})
{J t , t x}
dPx* Px* ({J t : t x} {jt : t x})
Px ({J t : t x} {jt : t x}∣ J j )Px (J j )
x x
x x
Px* ({J t : t x} {jt : t x}∣ J j )Px (J j )
x x x x
Px (J j )
x jx
x
.
*
Px (J j )
*
x x jx
Trong phần chính, phân số này có thể được Phân phối dừng của xích Markov trong cấu
sử dụng như trọng số đối với quá trình mẫu trúc quá trình Markov xây dựng theo cách tính
quan trọng dựa vào mẫu từ Px* thay vì Px . Tuy này sẽ là Px . Vì vậy, thuật toán trở thành:
nhiên, tính trọng số quan trọng này thường là
Lấy mẫu từ Px P(.∣ X x) có thể được hoàn
rất khó, vì thế chúng ta tính phân số này bằng
thành như sau:
mũ ma trận.
1. Sinh ra {jt , t x} từ Px* P(.∣ X x) bằng
Để thực hiện điều này, chúng ta xây dựng
cách loại bỏ mẫu;
xích Markov dừng với Px giữ vai trò là phân
phối tương đương nhờ vào thuật toán MH 2. Sinh ra {jt , t x} từ Px* P(.∣ X x) bằng
với Px* là phân phối đề nghị. cách loại bỏ mẫu;
Điều này lặp lại việc thay thế mẫu tiềm năng 3. Lấy U ~ U[0,1] ;
của mẫu đã cho j ( jt , t x) bằng mẫu mới 4. Nếu U min{1, t j / t j } thì thay {jt }t x
x x
j ( jt , t x), đạt được bằng cách lấy mẫu từ Px* . bằng {jt }t x ;
Xác suất chấp nhận MH a( j, j) là tỉ số 5. Trở về bước (2).
*j j tj
a( j, j) x x
x
, 3.2. Mẫu Gibbs (Gibbs ampler)
j j
* t j
x x x Mẫu Gibbs đã sử dụng đối với việc thay
phân số này dễ dàng được tính. phiên suy luận giữa mẫu từ phân phối có điều
- Lê Văn Dũng, Trần Đông Xuân / Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51 49
kiện của quá trình Markov J với x i là vốn ban đầu của công ty i;
(α, A), x1 , x 2 ,, x n đã cho và phân phối có điều ci là phí bảo hiểm của công ty i;
kiện của (α, A) với dữ liệu y đã cho đầy đủ. N(t)
S(t) z k , N(t) là quá trình đếm Poison
Đối với bước đầu tiên, chúng ta sử dụng k 1
thuật toán MH đã trình bày trong phần trước. với bước nhảy không âm, z k là các biến
Bước tiếp theo, chúng ta sử dụng tính chất liên ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối [2].
hợp của phân phối tiên nghiệm đối với dữ liệu Chúng ta kí hiệu F(x) là hàm phân phối của
đầy đủ. Tóm lại, chúng ta có thuật toán sau: bồi thường zk ; là trung bình thời gian đến
Mẫu Gibbs đầy đủ: Xác định i , ij , của N(t) và là trung bình của z k . Chúng ta cũng
i , i 1, 2,, p và đặt {i , i 1, 2,, p} . giả sử rằng công ty thứ hai được gọi là bảo
hiểm lại sẽ nhận lượng phí trên lượng trả ra ít
1. Tạo ra α, Aij , i j và t i , i 1, 2,, p từ phân
hơn công ty thứ nhất, đó là
phối tiên nghiệm;
c1 c2
2. Tạo ra J = (J1 , J 2 ,…, J N ) , với mỗi J i là p1 p2 . (7.1)
1 2
quá trình Markov có trạng thái đạt đến
tại thời điểm x i đạt được nhờ sử dụng Thời điểm đầu tiên τ khi có ít nhất một công
một số bước cố định của thuật toán MH; ty phá sản là
3. Tính thống kê (x1 , x 2 ): inf t 0 :X1 (t) 0 hay X2 (t) 0 .
b {Bi , i 1, 2,, p}, z {Zi , i 1, 2,, p} và Xác suất phá sản trong thời gian hữu hạn
N {Nij , i 1, 2,, p} từ dữ liệu J ;
(x1 , x 2 ) Pr((x1, x 2 ) t) .
4. Lấy α, Aij , i j và t i , i 1, 2,, p từ điều
Xi (t) xi
kiện đầy đủ: Đặt Ui (t) u i pi t S(t) với ui và
i i
α ~ Dir(β b) ci
pi .
t i ~ Gamma(1/ (i zi ), Ni0 i0 ), i 1, 2, , p i
t ij ~ Gamma(1/ (i zi ), Nij ij ), i j
5. Trở về bước (2).
Theo cách này, sau một chu kỳ thử nghiệm
chắc chắn, chúng ta đưa ra một dãy trạng thái
xấp xỉ của phân phối (độ đo) được lấy ra từ lớp
phân phối ME đã cho. Dãy này có thể được sử
dụng theo nhiều cách để thu được thông tin về
hàm của độ đo ME chưa biết.
3.3. Quá trình rủi ro hai chiều (two- Hình 1. two-dimensional risk process
dimensional risk process) Nếu vốn ban đầu u 2 u1 , hai đường thẳng
Trong phần này, chúng ta xét mô hình rủi ro này không giao nhau. Trường hợp này, suy ra
hai chiều (hai công ty bảo hiểm hoặc hai nhánh trực tiếp từ lý thuyết phá sản một chiều; xem
của công ty bảo hiểm) chia lượng bồi thường Rolski et all [6], chúng ta sẽ không thảo luận
cho mỗi khách hàng theo tỉ lệ 1 và 2 với trong phần này. Tiếp theo, chúng ta xét trường
1 2 1 và nhận phí tương ứng là c1 ,c2 . hợp u1 u 2 .
Đặt X i là quá trình rủi ro của công ty i Nếu Ui (t) là quá trình rủi ro, thì biến đổi
Xi (t) x i ci t iS(t), i 1, 2 Laplace (Laplace transform) của hàm phá sản là
- 50 Lê Văn Dũng, Trần Đông Xuân / Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51
* (s) 0 exp(su i )d (u i ) 0 exp( su i )(u i )du i , Chứng minh.
(7.2) Chúng ta sử dụng LST bậc ba của hàm phá
(u i ) [1]
trong đó (u) . Nếu hàm có ba biến
u i
(s) (b) (s m ) (b)
độc lập (t, ui , y), trong đó, y được hiểu là số tiền *** (z,s, b) (z (s)) 1
bs b sm
thâm hụt của công ty tại thời điểm phá sản. Khi
(7.6)
đó, định nghĩa biến đổi Laplace tương ứng với
mỗi biến là và
* (z, u i , y) 0 e zt (t, u i , y)dt (s) cs (f * (s) 1) cs (α(sI A)1a 1).
* (t,s, y) 0 esui (t, u i , y)du i
* (t, u i , b) 0 e by (t, u i , y)dy. Chúng ta thấy rằng
Định nghĩa của biến đổi Laplace bậc hai là (s) (b)
c α (sI A)1 (bI A) 1 a.
bs
** (z, u i , b) 0 0 exp( zt by)(t, u i , y)dtdy.
Thế vào phương trình LST bậc ba (7.5), ta
Định nghĩa của biến đổi Laplace bậc ba là được
sm s
*** (z,s, b) 0 0 0 exp( at by su i )(t, u i , y)dtdydu i . *** (z,s, b) )α(sI A) 1 (s m I A) 1 (bI A) 1 a
(s m ) (s)
α(sI A)1 (s m I A)1 (bI A) 1 a
Khi hàm mật độ của số tiền bồi thường c α(sI A)1 (s m I A)1 a
(claims) có phân phối ME π(sI A)1 (bI A) 1 a
f (t) α exp( At)a, 1 π(sI A)1 a
π[sI ( A aπ)]1 (bI A)1 a.
thì biến đổi Laplace của hàm mật độ phá sản
được tính theo định lý sau:
Sử dụng LST ngược, chúng ta thu được (7.4)
Định lý 1. Nếu Ui (t) là quá trình rủi ro với số
và (7.3). ■
tiền bồi thường có phân phối ME (α, A) và m là
một số dương bất kì, thì LST của hàm phá sản Khi z = 0 (sm 0 ) và y = 0, xác suất phá sản
là trong miền thời gian hữu hạn được tìm thấy từ
định lý 1 như sau:
*i (z, ui , y) π exp(Qui )exp(Ay)a, (7.3)
1 * (z, u i , y) 0 (t, u i , 0)dt (t, u i , 0) π exp(Qu i )a.
**
i (z, ui , b) π exp(Qui )(bI A) a, (7.4)
*** 1
π(sI Q) (bI A) a, 1 4. Kết luận
i (z,s, b) (7.5)
Trong bài báo này, chúng tôi đã sử dụng
với
phương Markov chain Monte Carlo để ước
(Qu i )k
Q A aπ, π α(s z I A)1 , exp(Qu i ) , lượng các tham số của phân phối mũ ma trận từ
c k!
số liệu bồi thường bảo hiểm của khách hàng.
sm
là nghiệm không âm của phương trình Sau đó, chúng tôi dụng biến đổi Laplace-
Lundberg Steiject và biến đổi Laplace-Steiject ngược của
(sm ) cs (f * (s) 1) m, phân phối mũ ma trận để đưa ra công thức tính
* xác suất phá sản trong miền thời gian hữu hạn
và f (s) là LST của hàm mật độ bồi thường f(t).
của công ty bảo hiểm trong mô hình rủi ro hai
chiều. Bên cạnh đó, phân phối mũ ma trận còn
- Lê Văn Dũng, Trần Đông Xuân / Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Duy Tân 5(48) (2021) 43-51 51
có ứng dụng trong lý thuyết xếp hàng distribution functions. Stochastic Models, 3 (1987),
115-148.
(queueing theory), lý thuyết đổi mới (renewal
[4] Jose, M. Bernardo, Adrian F. M. Smith. Bayesian
theory)…[7]. Theory, John Wiley & Sons, Chichester and New
York, 1994, pp 611.
Tài liệu tham khảo
[5] Lipsky, L. Queueing Theory: A linear algebraic
[1] Asmussen, Søren, and Mogens Bladt. "Renewal approach. Springer Science & Business Media,
theory and queueing algorithms for matrix- 2008, pp. 548.
exponential distributions." Matrix-analytic methods
[6] Rolski, T., Schmidli, H., Schmidt, V., & Teugels,
in stochastic models. Marcel Dekker Incorporated, J. Stochastic processes for insurance and
1996, 313-341.
finance (Vol. 505). John Wiley & Sons, 2009, pp
[2] Avram, F., Palmowski, Z., & Pistorius, M. R. Exit 662.
problem of a two-dimensional risk process from the
[7] Bladt, M., & Nielsen, B. F. Matrix-exponential
quadrant: exact and asymptotic results. The Annals
distributions in applied probability (Vol. 81). New
of Applied Probability (2008), 2421-2449.
York: Springer, 2017.
[3] Botta, R. F., Harris, C. M., & Marchal, W. G.
Characterizations of generalized hyperexponential
nguon tai.lieu . vn