1. Trang Chủ
  2. Toán học
  3. Sử dụng định lý Kronecker-capelli giải bài toán về vị trí tương đối của hình học giải tích trong không gian

Sử dụng định lý Kronecker-capelli giải bài toán về vị trí tương đối của hình học giải tích trong không gian

Trong bài viết này, chúng tôi sử dụng định lý Kronecker-Capelli giải bài toán về vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng và giữa hai đường thẳng của hình học giải tích trong không gian ở chương trình Toán phổ thông. Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12 SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ KRONECKER-CAPELLI GIẢI BÀI TOÁN VỀ VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Lê Hoàng Mai1* và Thái Minh Nguyễn2 1 Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Thá

Thể loại Tài liệu miễn phí Toán học

Số trang 10

Ngày tạo 10/2/2021 9:55:18 PM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 0.50 M

Tên tệp

Tải Sử dụng định lý Kronecker-capelli giải bài toán về... (.pdf)

Xem mẫu

  1. Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12 SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ KRONECKER-CAPELLI GIẢI BÀI TOÁN VỀ VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Lê Hoàng Mai1* và Thái Minh Nguyễn2 1 Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp 2 Sinh viên, Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp * Tác giả liên hệ: lhmai@dthu.edu.vn Lịch sử bài báo Ngày nhận: 17/03/2021; Ngày nhận chỉnh sửa: 20/04/2021; Ngày duyệt đăng: 11/05/2021 Tóm tắt Trong bài viết này, chúng tôi sử dụng định lý Kronecker-Capelli giải bài toán về vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng và giữa hai đường thẳng của hình học giải tích trong không gian ở chương trình Toán phổ thông. Từ khóa: Định lý Kronecker-Capelli, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, vị trí tương đối. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- USING KRONECKER-CAPELLI'S THEOREM TO SOLVE THE EXERCISE ON THE RELATIVE POSITION OF ANALYTIC GEOMETRY IN SPACE Le Hoang Mai1* and Thai Minh Nguyen2 1 Department of Mathematics - Information Technology Teacher Education, Dong Thap University 2 Student, Department of Mathematics - Information Technology Teacher Education, Dong Thap University * Corresponding author: lhmai@dthu.edu.vn Article history Received: 17/03/2021; Received in revised form: 20/04/2021; Accepted: 11/05/2021 Abstract In this paper, we use Kronecker-Capelli's theorem to solve the problem of relative position between two planes, between the line and the plane, and between two lines of analytic geometry in space in the Mathematics curriculum of general education. Keywords: Kronecker-Capelli's theorem, lines and planes in space, relative position. DOI: https://doi.org/10.52714/dthu.10.3.2021.862 Trích dẫn: Lê Hoàng Mai và Thái Minh Nguyễn. (2021). Sử dụng định lý Kronecker-Capelli giải bài toán về vị trí tương đối của hình học giải tích trong không gian. Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, 10(3), 3-12. 3
  2. Chuyên san Khoa học Tự nhiên 1. Đặt vấn đề  ' : A ' x  B ' y  C ' z  D '  0. Khi đó, Bài toán xét vị trí tương đối giữa hai mặt (a)   cắt  ' khi và chỉ khi phẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng và giữa hai đường thẳng nằm trong chương trình A : B : C  A ' : B ' : C '. hình học nâng cao lớp 12 (Đoàn Quỳnh, 2012). (b)   song song  ' khi và chỉ khi Đây là một nội dung khá quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi trắc nghiệm A B C D học kỳ II lớp 12 của các sở giáo dục và đào    . A' B ' C ' D ' tạo, đặc biệt là các đề thi tốt nghiệp Trung học Phổ thông Quốc gia môn Toán hàng năm. (c)   trùng  ' khi và chỉ khi Trong chương trình Trung học phổ thông, bài A B C D toán vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng, giữa    . đường thẳng với mặt phẳng và giữa hai đường A' B ' C ' D ' thẳng được giải quyết tường minh dựa vào 2.2. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng véctơ pháp tuyến của mặt phẳng và véctơ chỉ và mặt phẳng phương của đường thẳng. Trong không gian Oxyz, đường thẳng  Trong bài viết này, chúng tôi sử dụng kiến đi qua điểm M ( x0 , y0 , z0 ) và có véctơ chỉ thức toán cao cấp để giải một dạng toán Trung học phổ thông. Cụ thể, chúng tôi sử dụng định phương u  (a, b, c) trong đó a 2  b2  c2  0 lý Kronecker-Capelli trong Đại số tuyến tính có phương trình tham số là để xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng, giữa  x  x0  at đường thẳng với mặt phẳng và giữa hai đường  thẳng trong không gian.  y  y0  bt , t  .  z  z  ct 2. Bài toán vị trí tƣơng đối hình học giải  0 tích trong không gian Trong trường hợp abc  0,  viết dưới Trong mục này chúng tôi giới thiệu lại dạng phương trình chính tắc là phương pháp xét vị trí tương đối giữa hai mặt x  x0 y  y0 z  z0 phẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng và   . giữa hai đường thẳng trong không gian được a b c trình bày trong Đoàn Quỳnh (2012). Ngoài ra, phương trình đường thẳng  2.1. Vị trí tƣơng đối giữa hai mặt phẳng còn viết được dưới dạng giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau   và    như sau Trong không gian Oxyz, mặt phẳng ( ) đi qua điểm M ( x0 , y0 , z0 ) và có véctơ pháp  A1 x  B1 y  C1 z  D1  0    , tuyến n  ( A, B, C ) trong đó A2  B2  C 2  0  A2 x  B2 y  C2 z  D2  0    có phương trình tổng quát là trong đó, A : B : C  A ' : B ' : C ', phương trình Ax  By  Cz  D  0. này được gọi là phương trình tổng quát của Vậy mặt phẳng hoàn toàn được xác định đường thẳng . Khi đó, véctơ chỉ phương của khi biết tọa độ một điểm và véctơ pháp tuyến  là u   n1 , n2  , với n1  ( A1 , B1 , C1 ), của nó. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt n2  ( A2 , B2 , C2 ) lần lượt là các véctơ pháp phẳng   và  ' lần lượt có phương trình tuyến của   và    .   : Ax  By  Cz  D  0 4
  3. Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12 Ta dễ dàng chuyển từ phương trình đường (d) d1 chéo d 2 khi và chỉ khi thẳng dạng tham số sang dạng tổng quát và ngược lại.  u1 , u2   0   Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  .   u , u  .M M  0  1 2  1 2 d đi qua điểm A và có véctơ chỉ phương u , mặt phẳng   có véctơ pháp tuyến n. Khi đó, 3. Định lý Kronecker-Capelli Trong phần này chúng tôi giới thiệu lại (a) d cắt   khi và chỉ khi u.n  0. một số khái niệm liên quan đến ma trận, hệ phương trình tuyến tính và định lý Kronecker- (b) d nằm trên   khi và chỉ khi Capelli được trình bày trong (Đoàn Quỳnh, 2005), (Nguyễn Hữu Việt Hưng, 2004), u.n  0 (Nguyễn Viết Đông, 2009), (Leon, 2015) và  .  A    (Trần Trọng Huệ, 2004). 3.1. Hạng của ma trận (c) d song song   khi và chỉ khi Giả sử A là một ma trận m dòng, n cột u.n  0 với các phần tử trong trường số thực . Cấp  . cao nhất của các định thức con khác 0 của A  A    được gọi là hạng của ma trận A, kí hiệu là 2.3. Vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng rank  A . Nói rõ hơn, rank  A  r nếu có thẳng một định thức con cấp r của A khác 0 và Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng mọi định thức con cấp lớn hơn r của A đều bằng 0. d1 đi qua điểm M 1 , có véctơ chỉ phương u1 và đường thẳng d 2 đi qua điểm M 2 , có véctơ 3.2. Các phép biến đổi sơ cấp dòng chỉ phương u2 . Khi đó, Cho ma trận A, các phép biến đổi sau đây được gọi là các phép biến đổi sơ cấp dòng trên (a) d1 trùng d 2 khi và chỉ khi ma trận A.  u1 , u2   0 (a) Nhân các phần tử trên một dòng bất kì   với một số thực k khác không;  .  u1 , M 1M 2   0 (b) Đổi chỗ 2 dòng cho nhau; (c) Cộng k lần các phần tử trên dòng này (b) d1 song song d 2 khi và chỉ khi vào các phần tử trên dòng kia.  u1 , u2   0 3.3. Ma trận bậc thang dòng    . Ma trận có 2 tính chất sau được gọi là ma    1 1 2  u , M M   0 trận bậc thang dòng (c) d1 cắt d 2 khi và chỉ khi - Các dòng khác không luôn ở trên các dòng không.  u1 , u2   0   - Trên hai dòng khác không thì phần tử  . khác không đầu tiên ở dòng dưới bao giờ cũng  u1 , u2  .M 1M 2  0   ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên ở dòng trên. 5
  4. Chuyên san Khoa học Tự nhiên Những kết quả sau đây đã đƣợc chứng minh   (c) Nếu rank  A  rank A  k  n thì hệ phương trình có vô số nghiệm và tập (a) Mọi ma trận luôn luôn đưa được về nghiệm của nó phụ thuộc n  k biến tự do. dạng ma trận bậc thang dòng bằng các phép biến đổi sơ cấp dòng. 4. Kết quả chính (b) Các phép biến đổi sơ cấp dòng không Trong phần này, chúng tôi sử dụng định lý làm thay đổi hạng của ma trận. Kronecker-Capelli xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng và (c) Hạng của một ma trận bậc thang dòng giữa hai đường thẳng trong không gian và cho bằng với số dòng khác không của nó. các ví dụ vận dụng. 3.4. Hệ phƣơng trình tuyến tính 4.1. Vị trí tƣơng đối của hai mặt phẳng tổng quát trong không gian Hệ phương trình tuyến tính tổng quát gồm Định lý 4.1.1. Trong không gian Oxyz, m phương trình, n ẩn có dạng cho hai mặt phẳng a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 a x  a x  ...  a x  b ( ) : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0,  21 1 22 2  2n n 2 1 ( ) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0, ............................................  am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm với A1  B1  C1  0, A2  B2  C2  0. 2 2 2 2 2 2  a11 a12 ... a1n   A1 B1 C1    Đặt A    và a a22 ... a2 n   A2 B2 C2  Ta kí hiệu A   21 ;  ... ... ... ...    A B1 C1  D1   am1 am 2 ... amn  A 1  . Khi đó,  A2 B2 C2  D2  X   x1 x2 ... xn  ; B   b1 b2 ... bm  T T Khi đó, hệ 1 viết được dưới dạng AX  B   (a) Nếu rank  A  rank A  2 thì ( ) gọi là dạng ma trận của hệ phương trình tuyến cắt    . tính 1 . Ta kí hiệu A   A | B . Ma trận A   (b) Nếu rank  A  rank A  1 thì ( ) được gọi là ma trận hệ số và A   A | B  được trùng    . gọi là ma trận bổ sung của hệ phương trình 1 . (c) Nếu 1  rank ( A)  rank ( A)  2 thì ( ) 3.5. Định lý Kronecker-Capelli song song    . Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát gồm m phương trình, n ẩn có dạng 1 . Khi đó, Chứng minh. Xét hệ phương trình tuyến tính 3 ẩn có dạng (a) Nếu rank  A  rank A   thì hệ  A1 x  B1 y  C1 z   D1  . phương trình vô nghiệm.  A2 x  B2 y  C2 z   D2 (b) Nếu rank  A  rank A  n thì hệ   Dễ dàng thấy rằng hạng của ma trận hệ số phương trình có nghiệm duy nhất. A và ma trận bổ sung A lớn hơn hoặc bằng 1 và bé hơn hoặc bằng 2. 6
  5. Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12   (a) Vì rank  A  rank A  2  3 nên  rank   3n 27 18 36   theo định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình  3n 3n 2n mn  có vô số nghiệm và tập nghiệm phụ thuộc một  3n 27 18 36   rank  . biến tự do hay giao điểm của ( ) và    là  0 3n  27 2n  18 mn  36  một đường thẳng trong 3 . Vậy ( ) cắt    . Biện luận (b) Vì   rank  A  rank A  1  3 nên - Hai mặt phẳng cắt nhau khi theo định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình rank  A  2 3n  27  0    n  9. có vô số nghiệm và tập nghiệm phụ thuộc hai biến tự do hay giao điểm của ( ) và    là    rank A  2  2 n  18  0 một mặt phẳng trong 3 . Vậy ( ) trùng    . - Hai mặt phẳng song song khi 3n  27  0 (c) Vì 1  rank ( A)  rank ( A)  2 nên theo rank  A   1   n  9   2n  18  0     định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình vô .  rank A  2   m4 nghiệm. Vậy ( ) song song    .  mn  36  0 Ví dụ 4.1.2. Trong không gian Oxyz, cho - Hai mặt phẳng trùng nhau khi hai mặt phẳng 3n  27  0 ( P) : nx  9 y  6 z  12  0 rank  A   1   n  9   2n  18  0     . (Q) : 3x  3 y  2 z  m  0.  rank A  1   m  4  mn  36  0 Hãy biện luận vị trí tương đối của  P  và Ví dụ 4.1.3. Trong không gian Oxyz, cho  Q  theo hai tham số m và n. hai mặt phẳng ( P) : x  ay  3z  b  0 và Giải. Xét hệ phương trình tuyến tính 3 ẩn (Q) : 2 x  4 y  cz  8  0 (a, b, c là tham số). nx  9 y  6 z  12 Giá trị của biểu thức T  a  b  c khi hai mặt dạng  . Ta có ma trận hệ số phẳng (P) và (Q) trùng nhau là 3x  3 y  2 z  m và ma trận bổ sung của hệ lần lượt là A. T  8. B. T  10.  n 9 6   n 9 6 12  C. T  12. D. T  14. A  và A   .  3 3 2   3 3 2 m  Giải. Xét hệ phương trình tuyến tính 3 ẩn  x  ay  3z  b Khi đó, nếu n  0 thì dạng  . Ta có ma trận hệ số 2 x  4 y  cz  8  3 3 2 m    rank A  rank  2  0 9 6 12  và ma trận bổ sung của hệ lần lượt là  1 a 3   1 a 3 b  A , A . hay rank ( A)  rank ( A)  2, suy ra hai mặt  2 4 c   2 4 c 8  phẳng cắt nhau. Nếu n  0 thì Khi đó,   rank A rank A    n 9 6 12   1 a 3 b   rank    rank   3 3 2 m    2 4 c 8  7
  6. Chuyên san Khoa học Tự nhiên 1 a 3 b   A1 x  B1 y  C1 z   D1  rank  .   0 4  2a c  6 8  2b   A2 x  B2 y  C2 z   D2 .  A x  B y  C z  D Hai mặt phẳng (P) và (Q) trùng nhau khi  3 3 3 3   rank  A  rank A  1 Dễ dàng thấy rằng hạng của ma trận hệ số A và ma trận bổ sung A lớn hơn hoặc bằng 2 4  2a  0 a  2 và bé hơn hoặc bằng 3.      c  6  0  c  6 . 8  2b  0 b  4   (a) Vì rank  A  rank A  3  n nên   theo định lý Kronecker-Capelli hệ phương Suy ra T  a  b  c  12 . Chọn đáp án C. trình có nghiệm duy nhất. Vậy d cắt ( ). 4.2. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng trong không gian   (b) Vì rank  A  rank A  2 nên theo định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình có Định lý 4.2.1. Trong không gian Oxyz, vô số nghiệm và tập nghiệm phụ thuộc một cho đường thẳng biến tự do hay giao điểm của d và ( ) là một  A x  B1 y  C1 z  D1  0 đường thẳng trong 3 . Vậy d nằm trong ( ). d:  1  A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 c. Vì 2  rank ( A)  rank ( A)  3 nên hệ phương trình vô nghiệm. Vậy d song song với A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 và mặt phẳng với ( ). ( ) : A3 x  B3 y  C3 z  D3  0 Nhận xét 4.2.2. Để tính hạng của ma trận A ta chỉ cần tính định thức detA. Ta có thể với A3  B3  C3  0. 2 2 2 dùng máy tính cầm tay Casio fx-580VN X hoặc các loại máy tính cầm tay khác có thể tính  A1 B1 C1  được định thức cấp 3. Đặt A   A2 B2  C2  và A Nếu detA  0 thì rank ( A)  3. Suy ra  3 C3    B3 rank  A  rank A  3. Nếu detA  0 thì  A1 B1 C1  D1  rank ( A)  2. Khi đó, ta tính các định thức con   A   A2 B2 C2  D2  . Khi đó, cấp 3 còn lại của ma trận A , cụ thể A  D3   3 B3 C3  A1 B1  D1   A1 C1  D1        (a) Nếu rank  A  rank A  3 thì d B   A2 B2  D2  , C   A2 C2  D2  ,  A B D   A C D  cắt ( ).  3 3 3  3 3 3  B1 C1  D1    (b) Nếu rank  A  rank A  2 thì d  D   B2 C2   D2  . nằm trong ( ). B  D3   3 C3 (c) Nếu 2  rank ( A)  rank ( A)  3 thì d Nếu tồn tại detB  0 hoặc detC  0 hoặc song song với ( ). detD  0 thì rank ( A)  3. Chứng minh. Xét hệ phương trình tuyến Nếu detB  detC  detD  0 thì tính 3 ẩn có dạng rank ( A)  2. 8
  7. Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12 Ví dụ 4.2.3. Trong không gian Oxyz, cho ( P) : 2 x  2 y  z  3  0. Mệnh đề nào dưới x 1 y z  5 đây đúng? đường thẳng d :   và mặt 1 3 1 A. d cắt ( P). B. d  P. phẳng ( P) : 3x  3 y  2 z  6  0. Mệnh đề nào dưới đây đúng? C. d   P  . D. d   P  . A. d cắt nhưng không vuông góc với mặt Giải. Phương trình tổng quát của đường phẳng ( P). thẳng d là B. d vuông góc với mặt phẳng ( P). 3x  2 y  7  . Xét hệ phương trình tuyến C. d song song với mặt phẳng ( P). 2 x  2 z  8 D. d nằm trong mặt phẳng ( P). 3x  2 y  7  Giải. Đường thẳng d có phương trình tính 3 ẩn 2 x  2 z  8 . Ma trận hệ số 3x  y  3 2 x  2 y  z  3 tổng quát là  . Xét hệ phương trình  x  z  4  3 2 0  3x  y  3   A   2 0 2  . Vì detA  0 nên   2 2 1  tuyến tính 3 ẩn  x  z  4 . Ma trận hệ số   3x  3 y  2 z  6  rank ( A)  2, do đó d song song hoặc nằm 3 1 0 trong ( P). Ta tiếp tục xác định ma trận   A   1 0 1  . Để tính detA ta thao tác trên  3 2 0  7   3 3 2      A   2 0 2  8  . Lần lượt tính định máy tính cầm tay Casio fx-580VN X như sau  2 2 1  3    thức các ma trận con cấp 3 của A là  3 .  2 7   3 0 7      Màn hình xuất hiện: B   2 0 8  , C   2 2 8  ,  2 2 3   2 1 3       2 0 7  Suy ra detA  10  0, vậy d cắt ( P). Để   D   0 2 8  . Thao tác như trên ta tính kiểm tra tính vuông góc của d và ( P) . Ta có  2 1 3    ud  (1, 3, 1), nP  (3, 3, 2). Vì tồn tại được detB  detC  detD  0 nên d nằm 1 3 trong ( ). Vậy chọn đáp án C.  6  0 nên ud và nP không cùng 3 3 Chú ý. Trong bài toán này, khi ta tìm phương hay d không vuông góc mặt phẳng được ma trận A, vì theo Định lý 4.2.1 chỉ cần ( P). Vậy chọn đáp án A. tồn tại một trong ba định thức con detB  0 hoặc detC  0 hoặc detD  0 là có thể kết Ví dụ 4.2.4. Trong không gian Oxyz, cho luận được d song song với ( P) nên để rút  x  3  2t ngắn được thời gian làm bài trắc nghiệm ta chỉ  đường thẳng d :  y  1  3t và mặt phẳng cần nhập ma trận B và tính detB. Nếu detB  0  z  1  2t ta kết luận ngay d song song với ( P), còn nếu  9
  8. Chuyên san Khoa học Tự nhiên detB  0, ta mới nhập tiếp ma trận C, tính nghiệm. Hơn nữa, rank  A  2 nên hệ detC rồi mới tới D. 4.3. Vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng u , u  1 2 độc lập tuyến tính hay u1 , u2 không thẳng trong không gian cùng phương. Vậy 1 và  2 chéo nhau. Trong phần này, ta xét đường thẳng có phương trình ở dạng tham số. Vì thế, nếu   b. Vì rank  A  rank A nên theo định phương trình đường thẳng chưa ở dạng tham lý Kronecker-Capelli hệ phương trình vô số thì ta chuyển về dạng tham số. Định lý 4.3.1. Trong không gian Oxyz, cho nghiệm. Hơn nữa rank  A   1 nên hệ u1 , u2  phụ thuộc tuyến tính hay u1 , u2 cùng phương.  x  x1  a1t  Vậy 1 và  2 song song. hai đường thẳng 1:  y  y1  b1t , t  và z  z  c t  1 1   c. Vì rank  A  rank A  2 nên theo  x  x2  a2t ' định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình có  a1 a2     nghiệm duy nhất. Vậy 1 và  2 cắt nhau.  2 :  y  y2  b2t ' , t '  . Đặt A   b1 b2    z  z2  c2t ' c  1 c2    d. Vì rank  A  rank A  1 nên theo định lý Kronecker-Capelli hệ phương trình có  a1 a2 x2  x1    vô số nghiệm và tập nghiệm phụ thuộc một và A   b1 b2 y2  y1  . biến tự do hay giao điểm của 1 và  2 là một c c2 z2  z1   1 đường thẳng. Vậy 1 và  2 trùng nhau. Khi đó, Ví dụ 4.3.2. Trong không gian Oxyz, cho (a) Nếu 2  rank  A  rank A  3 thì   hai đường thẳng d1 : x 7 y 3 z 9   và 1 và  2 chéo nhau. 1 2 1 x  3 y 1 z 1   (b) Nếu 1  rank  A  rank A thì 1 và d2 : 1  2  3 . Chọn khẳng định  2 song song. đúng trong các khẳng định sau?   A. d1 và d 2 cắt nhau. (c) Nếu rank  A  rank A  2 thì 1 và B. d1 và d 2 song song.  2 cắt nhau.   C. d1 và d 2 trùng nhau. (d) Nếu rank  A  rank A  1 thì 1 và D. d1 và d 2 chéo nhau.  2 trùng nhau. Giải. Phương trình tham số của d1 và d 2 lần Chứng minh. Xét hệ phương trình tuyến tính 2 ần x  7  t x  3  t '   a1t  a2t '  x2  x1 lượt là d1 :  y  3  2t và d 2 :  y  1  2t '. Xét  z  9  t  z  1  3t ' b1t  b2t  y2  y1 . '    hệ phương trình tuyến tính 2 ẩn c1t  c2t  z2  z1 ' t  t '  4   a. Vì rank  A  rank A nên theo định  2t  2t '  2. Ta có ma trận hệ số và ma trận lý Kronecker-Capelli hệ phương trình vô t  3t '  8  bổ sung 10
  9. Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 3, 2021, 03-12 1 1   1 1 4   2 2  2 2 2          A   2 2  và A   2 2 2  . A   1 1  và A   1 1 4  . 1 3  1 3 8  1 1 1 1 4          Khi đó, Khi đó, rank A   rank A  1 1 4  2 2 2       rank  2 2 2   rank  1 1 4 1 3 1 1 4   8   1 1 4  1 1 4  rank     2 2 2   rank  0 4 6 0 2 12  1 1 4    rank    0 0 10   1 1 4     2.  rank  0 4 6   0 0 30    Suy ra   1  rank  A  rank A  2. Vậy d1 d 2 . Chọn đáp án D.  3.   Suy ra 2  rank  A  rank A  3. Vậy d1 và Ví dụ 4.3.4. Trong không gian Oxyz, cho x  2 y 1 z 1 d 2 chéo nhau. Chọn đáp án D. hai đường thẳng 1 :   và 1 3 1 Ví dụ 4.3.3. Xét vị trí tương đối của hai x 1 y 1 z 2 :   . Chọn khẳng định đúng x  3 y  3 z 1 3 2 1 đường thẳng d1 :   và trong các khẳng định sau? 2 1 1  x  5  2t ' A. 1 và  2 trùng nhau.  d2 :  y  1  t ' . B. 1 và  2 chéo nhau. z  5  t '  C. 1 và  2 song song. A. d1 chéo d 2 . B. d1  d2 . D. 1 và  2 cắt nhau. C. d1 cắt d 2 . D. d1 d 2 . Giải. Phương trình tham số của 1 và  2 Giải. Phương trình tham số của đường lần lượt là  x  3  2t x  2  t  x  1  3t '    thẳng d1 là  y  3  t . 1 :  y  1  3t và  2 :  y  1  2t '. z  1 t z  1 t z  t '    Xét hệ phương trình tuyến tính 2 ẩn Xét hệ phương trình tuyến tính 2 ẩn 2t  2t '  2 t  3t '  3   t  t '  4 . Ta có ma trận hệ số và ma trận 3t  2t '  2. Ta có ma trận hệ số và ma trận t  t '  4 t  t '  1   bổ sung bổ sung 11
  10. Chuyên san Khoa học Tự nhiên  1 3   1 3 3  Qua bài viết trên, chúng ta thấy rằng có     thể sử dụng kiến thức Đại số tuyến tính mà A   3 2  và A   3 2 2  . sinh viên được học ở chương trình đại học vào 1 1  1 1 1      việc giải một số bài toán trong chương trình trung học phổ thông. Khi đó, Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ tiếp tục   rank A khai thác các ứng dụng của định thức nói riêng 3 3  và đại số tuyến tính nói chung để giải một số bài 1   toán về điều kiện thẳng hàng, điều kiện đồng  rank  3 2 2  phẳng, tính thể tích khối chóp, khối hộp, khoảng 1 1 1  cách giữa hai đường thẳng chéo nhau… trong  chương trình toán trung học phổ thông. 1 1 1   Lời cám ơn: Nghiên cứu này được hỗ trợ  rank  1 3 3  3 bởi đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên của  2 2  Trường Đại học Đồng Tháp mã số 1 1 1  SPD2020.02.05./.    rank  0 4 4  Tài liệu tham khảo  0 5 5  Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương   (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Lê Huy 1 1 1  Hùng và Tạ Mân. (2012). Hình học nâng    rank  0 4 4  cao 12. Hà Nội: NXB Giáo dục Việt Nam. 0 0 0    Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Khu Quốc Anh,  2. Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân và Nguyễn Doãn Tuấn. (2005). Giáo trình Đại số   Suy ra, rank  A  rank A  2. Vậy 1 và tuyến tính và Hình học giải tích. Hà Nội:  2 cắt nhau. Chọn đáp án D. NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. Nguyễn Hữu Việt Hưng. (2004). Đại số 5. Kết luận. tuyến tính. Hà Nội: NXB Đại học Quốc Trong bài viết này, chúng tôi đã trình bày gia Hà Nội. một phương pháp giải bài toán xét vị trí tương Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, đối giữa hai mặt phẳng, giữa đường thẳng với Nguyễn Anh Tuấn và Lê Anh Vũ. (2009). mặt phẳng và giữa hai đường thẳng trong Toán cao cấp tập 2, Hà Nội: NXB Giáo không gian bằng cách áp dụng định lý dục Việt Nam. Kronecker-Capelli thông qua việc tính hạng của các ma trận hệ số và mở rộng. Kết quả bài Leon S. J. (2015). Linear algebra with viết này cung cấp cho giáo viên, sinh viên toán applications. University of Massachusetts, và học sinh trung học phổ thông có thêm một Dartmouth. cách giải khác cho bài toán xét vị trí tương đối, Trần Trọng Huệ. (2004). Giáo trình Đại số từ đó góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học tuyến tính và hình học giải tích (Tập I). môn toán ở trường phổ thông và khoa toán các Hà Nội: NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. trường đại học. 12
nguon tai.lieu . vn
Toán học Môi trường Vật lý Sinh học Địa Lý Hoá học Nông - Lâm - Ngư Cơ khí - Chế tạo máy Tiếng Anh phổ thông Khoa học ứng dụng Nông - Lâm Kiến thức tổng hợp Giáo dục học Xã hội học