Xem mẫu
- Tạp chí online của cộng đồng những người yêu Toán
SỐ PHỨC VÀ ĐA THỨC
Trần Nam Dũng (ĐHKHTN, ĐHQG Tp HCM)
Tóm tắt
Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán Quốc gia năm học
2014-2015 vừa qua, có 2 bài toán có thể giải rất hiệu quả
và ngắn gọn nếu dùng đến số phức. Thế nhưng, số học
sinh nắm vững số phức để sử dụng một cách hiệu quả lại
không nhiều, và các bạn đã rất vất vả giải các bài toán đã
cho bằng các phương pháp khác.
Trong bài viết nhỏ này, chúng tôi muốn giới thiệu trước hết
là các ứng dụng của số phức trong bài toán về đa thức,
sau đó là ứng dụng của số phức và đa thức trong các bài
toán tổ hợp đếm.
1. Số phức trong các bài toán về đa thức
Nghiệm của đa thức đóng vai trò quan trọng trong việc xác
định một đa thức. Cụ thể nếu đa thức P(x) bậc n có n nghiệm
x1 , x2 , . . . , xn thì P(x) có dạng P(x) = c(x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn ).
Tuy nhiên, nếu chỉ xét các nghiệm thực thì trong nhiều trường
hợp sẽ không có đủ số nghiệm.
Hơn nữa, trong các bài toán phương trình hàm đa thức, nếu chỉ
xét các nghiệm thực thì lời giải sẽ là không hoàn chỉnh. Định
lý cơ bản của đại số vì vậy đóng một vai trò hết sức quan trọng
trong dạng toán này. Và ta sử dụng cách phát biểu đơn giản
nhất của nó: một đa thức với hệ số phức (thực) luôn có ít nhất
một nghiệm phức. Dưới đây ta xem xét một số áp dụng.
Bài toán 1. Tìm tất cả các đa thức P(x) khác hằng sao cho:
P(x) · P(x + 1) = P(x2 + x + 1). (1)
9
- Lời giải. Giả sử α là nghiệm của P(x) = 0. Khi đó α2 + α + 1 cũng
là nghiệm. Thay x bằng x − 1 trong (1), ta thấy rằng
Tạp chí online của cộng đồng những người yêu Toán
P(x − 1) · P(x) = P(x2 − x + 1).
Vì P(α) = 0 nên α2 − α + 1 cũng là nghiệm của P(x) = 0.
Chọn α là nghiệm có mô-đun lớn nhất (nếu tồn tại vài nghiệm
với mô-đun lớn nhất, ta chọn một trong số các nghiệm đó). Cách
chọn α như vậy suy ra |α2 + α + 1| 6 |α| và |α2 − α + 1| 6 |α| vì cả
α2 + α + 1 và α2 − α + 1 đều là nghiệm của P(x) = 0.
Ta nhận xét rằng α 6= 0. Tiếp theo, ta có
-
-
2|α| =
- (α2 + α + 1) − (α2 − α + 1)
- 6 |α2 + α + 1| + |α2 − α + 1| 6 2|α|.
Vế đầu và vế cuối của bất đẳng thức trên bằng nhau nên dấu
bằng phải xảy ra, từ đây ta suy ra α2 + α + 1 = −λ(α2 − α + 1) với
một hằng số dương λ nào đó. Hơn nữa từ tính lớn nhất của |α|
ta cũng có |α2 + α + 1| = |α2 − α + 1| = |α|. Như vậy λ = 1 và ta có
α2 + α + 1 = −(α2 − α + 1)
suy ra α2 + 1 = 0. Từ đó α = ±i và x2 + 1 là thừa số của P(x). Như
vậy ta có thể viết P(x) dưới dạng:
P(x) = (x2 + 1)m · Q(x)
trong đó Q(x) là đa thức không chia hết cho x2 + 1. Thế ngược
trở lại vào phương trình (1), ta thấy Q(x) cũng thoả mãn:
Q(x) · Q(x + 1) = Q(x2 + x + 1).
Nếu Q(x) = 0 lại có nghiệm thì lý luận trên đây suy ra nghiệm
có mô-đun lớn nhất của nó phải là ±i. Điều này không thể xảy
ra vì x2 + 1 không chia hết Q(x). Ta suy ra rằng Q(x) là một hằng
số, giả sử là c. Thay vào phương trình của Q, ta được c = 1. Như
vậy lớp các đa thức thoả mãn phương trình (1) là P(x) = (x2 +1)m
với m là một số nguyên dương nào đó.
Bài toán 2. Tìm tất cả các đa thức P(x) khác hằng sao cho:
P(x) · P(x + 1) = P(x2 ).
10
- Lời giải. Giả sử α là nghiệm của P(x) = 0. Khi đó từ phương
trình suy ra α2 , α4 , α8 , . . . cũng là nghiệm của P(x) = 0. Từ đây
suy ra rằng |α| = 0 hoặc |α| = 1, vì nếu ngược lại ta sẽ thu
Tạp chí online của cộng đồng những người yêu Toán
được dãy vô hạn các nghiệm của P(x). Tương tự, bằng cách thay
x = α − 1, ta suy ra (α − 1)2 cũng
- là nghiệm
- của P(x).
- Bằng
- các
- 2
-
-
lý luận tương tự, ta cũng được (α − 1) = 0 hoặc (α − 1) = 1. 2
-
-
-
Giả sử rằng |α| = 1 và
- (α − 1)2
- = 1. Viết α = cosϕ + i · sinϕ, ta có
1 − α = (1 − cosϕ) − i · sinϕ
ϕ ϕ ϕ
= 2 · sin2 − 2i · sin · cos
2 2 2
ϕ ϕ ϕ
= 2 · sin · sin − i · cos
2 2 2
nên (1 − α)2 = −4 · sin2 ϕ2 · (cosϕ + i · sinϕ), suy ra
-
nguon tai.lieu . vn
