Xem mẫu
- Quang học Fourier
Khái niệm
Quang học Fourier là một phân ngành của quang học xem xét ánh sáng, hay bức
xạ điện từ nói chung, trong tính chất sóng của chúng, dựa trên cơ sở phân tích các
sóng trong không-thời gian theo biến đổi Fourier. Môn học này, cũng như phép
biến đổi Fourier được đặt tên theo nhà toán học Joseph Fourier.
Giới thiệu
Quang học sóng sử dụng nguyên lý Huygens-Fresnel để thu được các kết quả
như ảnh giao thoa bởi khe Young, hay đĩa Airy. Tính toán chi tiết trong lý thuyết
này tương đối phức tạp; thực tế là trong nhiều bài toán, có thể sử dụng các phép
gần đúng để giúp đơn giản hóa tính toán. Ví dụ, nhiễu xạ Fraunhofer giả định các
vân nhiễu xạ được quan sát rất xa so với nguồn nhiễu xạ.
Công thức Fraunhofer
- H ệ q uả
Hệ quả của công thức trên là một sóng phẳng khi đi qua một vật thể nhỏ, sẽ tạo
ra ở vô cực, vân nhiễu xạ chính là biến đổi Fourier của hệ số truyền qua của vật
thể.
Quan sát
Nhiễu xạ Fraunhofer chỉ đúng ở vô cực (rất xa nguồn nhiễu xạ). T hay vì phải đi
ra rất xa để quan sát, có thể dùng thấu kính hội tụ để thu ảnh ở xa. Có thể chứng
minh rằng nhiễu xạ Fraunhofer cũng áp dụng tại mặt phẳng ảnh của thấu kính hội
tụ.
Như vậy, có thể quan sát biến đổi Fourier của các vật thể bằng thí nghi ệm như
sau. Đặt vật thể trước chùm tia sáng song song (sóng phẳng), rồi đặt thấu kính hội
tụ sau vật. Tiếp đó đặt màn ảnh tại mặt phẳng ảnh của kính, hình quan sát được
- chính là biến đổi Fourier của vật thể. Ví dụ như nếu vật thể là một lỗ hình tròn,
hình thu được chính là đĩa Airy. Nếu vật thể là các khe thẳng đứng nằm cách đều
nhau, biến đổi Fourier quan sát được sẽ là hai chấm sáng nhỏ nằm ngang hai bên
trục quang học.
Mặt phẳng ảnh của thấu kính hội tụ còn được gọi là mặt phẳng Fourier.
Tần số không gian
Biến đổi Fourier thường được dùng trong xử lý tín hiệu, như phân tích phổ, của,
chẳng hạn, âm thanh. Biến đổi này chuyển sự nghiên cứu về thay đổi của sóng
theo thời gian, thành nghiên cứu về tần số. Tần số này còn được gọi là tần số thời
gian do liên hệ với thời gian qua biến đổi Fourier.
Trong quang học Fourier, biến đổi Fourier không thực hiện tr ên trục thời gian
mà thực hiện trên các trục không gian, trục X và Y trên mặt phẳng vật thể. Tần số
thu được sau biến đổi do đó gọi là tần số không gian.
Có sự tương tự rõ nét giữa tần số không gian và tần số thời gian thông th ường.
Ví dụ như có thể thu được phổ không gian, giống như phổ thời gian. Trong thí
nghiệm trên, chúng ta quan sát phổ không gian trên mặt phẳng ảnh của thấu kính
- hội tụ. Trung tâm của mặt phẳng t ương ứng với tần số thời gian bằng 0; càng ra xa
khỏi tâm, chúng ta càng quan sát tần số không gian cao hơn.
Các vật thể có các chi tiết nhỏ bé sẽ tạo ra các tần số không gian cao và quan sát
ở xa tâm mặt phẳng ảnh. Các tần số không gian thấp ở gần tâm tương ứng với các
cấu trúc lớn của vật thể.
Ví dụ với vật thể là các khe nằm thẳng đứng, nếu thu nhỏ khảng cách giữa
chúng, hai chấm sáng trên mặt phẳng ảnh, biến đổi Fourier của vật thể, sẽ đi ra xa
khỏi tâm, tương ứng với tần số không gian cao hơn.
Ứng dụng
Một ứng dụng quan trọng của quang học Fourier là phép lọc không gian. Trong
phương pháp này, phổ không gian của vật thể được tạo ra trên mặt phẳng ảnh của
thấu kính, sau đó, một số tần số không gian bị lọc bỏ (bằng cách d ùng tấm che tại
vị trí tương ứng), phổ đã lọc được dùng để tái tạo ảnh mới của vật thể, thông qua
thấu kính hội tụ nằm đằng sau có cùng mặt phẳng ảnh (biến đổi Fourier ngược, do
ánh sáng đi từ mặt phẳng ảnh của thấu kính này trở ra).
Ví dụ, nếu muốn tạo ảnh có viền ngoài nét hơn, có thể che bớt phần trung tâm
trên mặt phẳng ảnh, chỉ để cho các tần số không gian cao được truyền qua cho việc
tái tạo ảnh.
Bản thân phép lọc không gian được ứng dụng trong nhiều ngành khác nhau như
chụp đạn đạo, lọc laser, ...
Quang học Fourier cũng được dùng trong thí nghiệm Abbe.
Biến đổi Fourier
- Biến đổi Fourier, được đặt tên theo nhà toán học người Pháp Joseph Fourier, là
một biến đổi tích phân dùng để khai triển một hàm số theo các hàm số sin cơ sở,
có nghĩa là một tổ hợp tuyến tính hay một tích phân của các hàm số sin với các
hằng số nhân khác nhau (biên độ). Biến đổi Fourier có rất nhiều dạng khác nhau
được mô tả dưới đây, chúng phụ thuộc vào dạng của hàm được khai triển.
Ứng dụng
Biến đổi Fourier có rất nhiều ứng dụng khoa học, ví dụ nh ư trong vật lý, số học,
xử lý tín hiệu, xác suất, thống kê, mật mã, âm học, hải dương học, quang học, hình
học, và rất nhiều lĩnh vực khác. Trong xử lý tín hiệu và các ngành liên quan, biến
đổi Fourier thường được nghĩ đến như sự chuyển đổi tín hiệu từ sự phụ thuộc của
biên độ theo thời gian sang sự phụ thuộc của biên độ theo tần số. Sự ứng dụng
rộng rãi của biến đổi Fourier bắt nguồn từ những tính chất hữu dụng của biến đổi
này :
Tính tuyến tính :
Tồn tại biến đổi nghịch đảo, và thực tế là biến đổi Fourier nghịch đảo gần như có
cùng dạng của biến đổi thuận.
Những hàm số sin cơ sở là các hàm riêng của phép vi phân, có nghĩa là khai triển
này biến những phương trình vi phân tuyến tính với các hệ số không đổi thành các
phương trình đại số cơ bản. Ví dụ, trong một hệ vật lý tuyến tính không phụ thuộc
thời gian, tần số là một đại lượng không đổi, do đó những thành phần tần số khác
nhau có thể được tính toán một cách độc lập.
Theo định lý của tích convolution, biến đổi Fourier chuyển một tích convolution
phức tạp thành một tích đại số đơn giản.
Biến đổi Fourier rời rạc có thể được tính toán một cách nhanh chóng bằng máy
tính nhờ thuật toán FFT (fast Fourier transform).
- Theo định lý Parseval-Plancherel, năng lượng của tín hiệu (tích phân của bình
phương giá trị tuyệt đối của hàm) không đổi sau biến đổi Fourier.
Các dạng của biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier liên tục
Thông thường, tên gọi biến đổi Fourier được gắn cho biến đổi Fourier li ên tục,
biến đổi này biểu diễn một hàm bình phương khả tích f(t) bất kì theo tổng của các
hàm e lũy thừa phức với tần số góc ω và biên độ phức F(ω) :
Chuỗi Fourier
Biến đổi Fourier liên tục là dạng tổng quát của một khái niệm tr ước đó : chuỗi
Fourier. Chuỗi Fourier khai triển các hàm tuần hoàn f(x) với chu kì 2π (hoặc các
hàm có tập xác định bị chặn) theo chuỗi của các hàm sin :
trong đó Fn là biên độ phức. Cho các hàm thực, chuỗi Fourier có thể được viết
dưới dạng :
trong đó an và bn là các hằng số Fourier (giá trị thực).
nguon tai.lieu . vn
