Xem mẫu
- Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI BÀI TOÁN
CỰC TRỊ CỦA MODUL SỐ PHỨC
Nguyễn Thị Thu Hằng
Trường THPT Lê Quý Đôn-Đống Đa, Hà Nội
Tóm tắt nội dung
Trong số các bài toán về số phức trong kì thi THPT Quốc gia gần đây bài toán: Tìm
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của modul số phức là một dạng toán khó và xuất hiện
thường xuyên. Chẳng hạn, trong đề thi minh họa√năm 2018 của Bộ giáo dục Đào tạo:
”Cho số phức z = a + bi thỏa mãn |z − 4 − 3i | = 5. Tính P = a + b khi |z + 1 − 3i | +
|z − 1 + i | đạt giá trị lớn nhất.” đã làm học sinh và giáo viên khá đau đầu.
Có rất nhiều phương pháp để giải quyết dạng bài tập này, trong số các phương pháp
ấy, phương pháp "Sử dụng kiến thức hình học tọa độ để giải bài toán tìm cực trị modul
số phức " được tôi lựa chọn để trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm của mình.
1 Biểu diễn hình học của số phức
Mỗi số phức z = x + iy( x, y ∈ R) được biểu diễn trong mặt phẳng Oxy là một điểm
M ( x; y). Khi đó
−−→
a) modul của số phức z bằng |OM|
b) Hai điểm biểu diễn số phức z và số phức liên hợp z của số phức z đối xứng nhau
qua trục thực.
c) Hai điểm biểu diễn số phức z và số phức đối −z của số phức z đối xứng nhau qua
gốc O.
65
- Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018
Nhận xét 1 (Ý nghĩa hình học của phép cộng, phép trừ hai số phức). q Cho z1 = x1 + y1 i
−−→
là số phức có điểm biểu diễn hình học là M1 ( x1 ; y1 ) với |OM1 | = x12 + y21 .
−−→
q Cho z2 = x2 + y2 i là số phức có điểm biểu diễn hình học là M2 ( x2 ; y2 ) với |OM2 | =
x22 + y22 .
Khi đó
−−→ −−→ −→
Tổng hai số phức z1 + z2 =OM1 + OM2 = OQ thì điểm Q là điểm biểu diễn số phức
z1 + z2 và |z1 + z2 | = |OQ|.
−−→ −−→ −−−→ −−−→
Hiệu hai số phức z1 + z2 =OM1 − OM2 = M2 M1 thì M2 M1 biểu diễn số phức z1 − z2
và |z1 − z2 | = | M1 M2 |.
−−→ −−→
Nếu hai vecto OM1 và OM2 không cùng phương thì đỉnh Q là đỉnh của hình bình
hành OM1 QM2 và |z1 − z2 | và |z1 + z2 | lần lượt là độ dài hai đường chéo M1 M2 và OQ
của hình bình hành đó.
Nhận xét 2 (Một số kiến thức bổ sung).
a. Phương trình đường thẳng ax + by + c = 0.
b.Phương trình đường tròn ( x − a)2 + (y − b)2 = R2 .
x2 y2
c.Phương trình Elip 2 + 2 = 1.
a b
d. Phương trình Parabol y = ax2 .
2 Một số áp dụng
Để giải quyết các bài tập về tìm cực trị của modul số phức, cần thành thục kỹ năng
về tìm tập hơp các điểm biểu diễn số phức cho trước.
2.1 Tìm tập hơp các điểm biểu diễn số phức z
Giả sử M, A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z, a, b.
1) |z − a| = |z − b| ⇔ MA = MB. Khi đó tập hợp M là đường thẳng trung trực của
đoạn AB.
2) |z − a| = R ⇔ | MA| = R. Khi đó tập hợp M thuộc đường tròn tâm A, bán kính R.
3) |z − a| + |z − b| = k ⇔ MA + MB = k (k > 0, k ∈ R, | a − b| < k). Khi đó tập hợp
M là đường Elip nhận A, B là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k.
66
- Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018
Bài toán 1 (Đề thi minh họa THPT Quốc gia 2017). Cho số phức z thỏa mãn |z| = 4. Biết
tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z = (3 + 4i )z + i là đường tròn tâm I bán kính
R. Khi đó √
A. I (0; 1); R = 2 5 B. I (1; 0); R = 10
C. I (0; 1); R = 20 D. I (1; −2); R = 22
Lời giải.
√
Từ giả thiết z = (3 + 4i )z + i ⇔ |z − i | = |(3 + 4i )z| ⇔ |z − i | = 32 + 42 |z|
⇔ |z − i | = 5 × 4 ⇔ |z − i | = 20.
Giả sử z = x + yi thì ta có x2 + (y − 1)2 = 20. √
Tập hợp điểm M trong mặt phẳng là đường tròn tâm I (0; 1) bán kính R = 20. Đáp
án đúng là (A)
Bài toán 2 (Tạp chí Toán học tuổi trẻ số 490 (năm 2018)). Cho số phức z thỏa mãn |z| = 2.
Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (1 − i )z + 2i là
A. Một Parabol B. Một đường tròn C.Một Elip D. Một đường thẳng.
Lời giải.
w − 2i |w − 2i |
Từ giả thiết ta có z = ⇔ |z| =
1−i |1 − i |
|w − 2i | √
⇔ |z| = √ ⇔ |w − 2i | = 2 2.
2
√ biểu diễn số phức w trong mặt phẳng phức là đường tròn tâm I (0; −2)
Tập hợp điểm
bán kính R = 2 2.
Bài toán 3 (Sở Giáo Dục và Đào tạo Hưng Yên - Đề thi thử THPT Quốc gia 2018). Cho số
phức z thỏa mãn |z − i | = 5. Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w = iz + 1 − i
là đường tròn . Tính bán kính đường tròn đó.
A. R = 20 B. R = 5 C. R = 22 D. R = 4.
67
- Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018
Lời giải.
Từ giả thiết z = iz − i2 − i ⇔ w = i (z − i ) − i ⇔ |w + i | = |i (z − i )| ⇔ |w + i | = 5.
Giả sử z = x + yi thì ta có x2 + (y + 1)2 = 25. Bán kính đường tròn cần tìm R = 5.
Bài toán 4 (Đề thi thử THPT Quốc
- gia 2018
- lần 1 của trường THPT Trần Phú - Quảng
- 2z − z + 3i
-
Ninh). Cho số phức z thỏa mãn
-
- = 3. Tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt
z+i
-
phẳng phức là
A. Một Parabol B. Một đường tròn C.Một Elip D. Một đường thẳng.
Lời giải.
Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ R) suy ra z = x − yi.
x + (3 − 3y)i
Từ giả thiết ta có | | = 3 ⇔ x2 + (3 − 3y)2 = 9( x2 + (y + 1)2 )
x + ( y + 1) i
2
⇔ −8x2 = 36y ⇔ y = − x2 .
9
Tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là một Parabol. Đáp án đúng (A).
Bài toán 5 (Toán học tuổi trẻ, 478 (2017)). Cho tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa
mãn |z + 2| + |z − 2| = 5 trên mặt phẳng tọa độ là
A. Một Parabol B.Một đường tròn C.Một Elip D. Một đường thẳng.
Lời giải.
Gọi số phức z = x + yi ( x, y ∈ R),
từ giả thiết ta có |( x + 2) + yi | + |( x − 2) + yi | = 5 ⇔ | MA| + | MB| = 5
vớiF1 (−2; 0); F2 (2; 0).
Tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là một Elip. Đáp án đúng là (C).
68
- Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018
Bài toán 6. . Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z
thỏa mãn |z| = |z − 3 + 4i | là đường thẳng có phương trình
25
A. 3x + 4y − =0 B. 3x + 4y − 25 = 0
2
25
C. 3x − 4y − =0 D. 3x − 4y − 25 = 0.
2
Lời giải.
Vì |z| = |z| nên |z − 3 + 4i | = |z − 3 + 4i | = |z − 3 − 4i | suy ra |z| = |z − 3 − 4i |
Tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng OA, với O(0; 0) và A(3; 4).
25
Đường trung trực đó có phương trình là: 3x + 4y − = 0. Chọn đáp án đúng là (A).
2
1
Bài toán 7. . Điểm M biểu diễn số phức z(z 6= 0) và điểm M0 biểu diễn số phức z−1 = .
√ z
Nếu điểm M di động trên đường tròn tâm A(−1; 1) bán kính R = 2 thì M0 di động
trên đường nào?
A. x2 + y2 + 2x − 2y = 0 B. 2x + 2y + 1 = 0
C. 2x − 2y + 1 = 0 D. 2x + 2y − 1 = 0.
Lời giải.
1 z
Ta có z−1 = = 2 .
z |z|
0 x
x = 2
x + y2
Do đó 0 y
y = 2
x + y2
√
Vì M di động trên đường tròn tâm A(−1; 1) bán kính R = 2 nên tập hợp M thuộc
( x + 1)2 + (y − 1)2 = 2 ⇔ x2 + y2 + 2x − 2y = 0
69
- Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018
2x 2y 0
⇔ 1+ − 2 ⇔ 2x − 2y0 + 1 = 0.
x2+y 2 x +y 2
0
Do đó điểm M chạy trên đường thẳng 2x − 2y + 1 = 0. Đáp án được chọn là C.
Bài toán 8. . Biết số phức z thỏa mãn điều kiện 3 ≤ |z − 3i − 1| ≤ 5. Tập hợp các điểm
biểu diễn của z tạo thành một hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó bằng
A. 16π B. 4π C.9π D.25π
Lời giải. q
Đặt z = x + yi ta có |z − 3i − 1| = ( x − 1)2 + ( y − 3)2
Do đó 3 ≤ |z − 3i − 1| ≤ 5 ⇔ 9 ≤ ( x − 1)2 + (y − 3)2 ≤ 25
Tập hợp các điểm biểu diễn của z là hình phẳng nằm trong đường tròn tâm I (1; 3) với
bán kính bằng r = 5 đồng thời nằm ngoài đường tròn tâm I (1; 3) với bán kính r = 3.
Diện tích của hình phẳng đó là S = 52 π − 32 π = 16π. Đáp án đúng là (A).
Bài tập tương tự
Bài 1. Cho các số phức z thỏa mãn |z| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số
phức w = 3 − 2i + (2 − i )z là một
√ đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn
√ đó.
A. 20 B. 20 C.7 D 7
√ z thỏa mãn |z − 1| = 2 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các
Bài 2. Cho các số phức
số phức w = (1 + i 3)z + 2 là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.
A. r = 4 B. r = 5 C. r = 20 D. r = 22
Bài 3. Cho số phức z = 2 + i. Điểm nào dưới đây biểu diễn cho số phức nghịch đảo của
z
2 1 2 1
A.M ( ; − ) B. N (2; −1) C.P(− ; ) D Q(2; i )
5 5 5 5
Bài 4. Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: |z − (3 − 4i )| = 2 .
A. Đường tròn tâm I (−3; 4) và bán kính 4.
B. Đường tròn tâm I (−3; 4) bán kính 2.
C. Đường tròn tâm I (3; −4) bán kính 2.
D. Đường tròn tâm I (3; ˘4) bán kính 4.
Bài 5. Số phức z = 3 − 2i có modul
√ bằng √
A. 1 B. 5 C. 13 D. 13
70
- Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018
|3 + 4i |
Bài 6. Điểm biểu diễn số phức z = có tọa độ là
i2019
A. (0; 5) B. (4; −3) C. (−4; 3) D. (5; 0)
Bài 7. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng toạ độ thoả mãn điều kiện
|z − i | = 1 là
A. Đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 1) và B(−1; 1).
B. Hai điểm A(1; 1) và B(−1; 1).
C. Đường tròn tâm I (0; 1) bán kínhR = 1.
D. Đường tròn tâm I (0; −1) bán kínhR = 1.
Bài 8. Phương trình z4 − 16 = 0 có bốn nghiệm phức phân biệt được biểu diễn hình học
bởi bốn điểm A, B, C, D. Tính diện tích S của tứ giác ABCD. √
A. S = 4 B. S = 16 C. S = 8 D. S = 8 2.
Bài 9. Cho + i, z2 = 3 − 4i. Tính modul số phức z1 + z2 √
√ hai số phức z1 = 2 √
A. 34 B. 43 C. 34 D. 5 2
3 − 5i
Bài 10. Tọa độ điểm M biễu diễn trong mặt phẳng Oxy của số phức z = + 7 − 2i
1−i
A. M (11; −3) B.M(11; 3) C.M(11; 3) D. M(3; 11)
Bài 11. Cho số phức z thỏa mãn 2 |z − 2 + 3i | = |2i − 1 − 2z|. Tập hợp điểm biểu diễn
cho số phức z là
A. Một Parabol B.Một đường tròn C.Một Elip D.Một đường thẳng.
Bài 12. Tập hợp điểm biểu diễn số phức |z − 2i | = 3 là đường tròn tâm I. Tìm tất cả các
1
giá trị m để khoảng cách t từ điểm I đến đường thẳng d :3x + 4y − m = 0 bằng
5
A. m = −7, m = 9 B. m = 8, m = −8 C. m = 7, m = 9 D.m = 8, m = 9.
Bài 13. Cho điểm A, B, C theo thứ tự là điểm biểu diễn của ba số phức phân biệt z1 , z2 , z3
thỏa mãn |z1 |√= |z2 | = |z3 | = 1và z1√
+ z2 + z3 = 0. Tính diện
√ tích S tam giác ABC. √
3 2 3 3 2 3 2 2
AS= B.S = C.S = D.S = .
4 4 4 4
2.2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của modul số phức
Bước 1. Từ giả thiết ban đầu của bài toán, tìm tập những điểm M biểu diễn số phức z
trong mặt phẳng phức.
Bước 2. Sử dụng những kiến thức hình học để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của modul số phức.
Bài toán 9 (Câu 46 Đề thi mẫu THPTQG của√Bộ Giáo dục năm 2018). Cho số phức
z = a + bi thỏa mãn điều kiện |z − 4 − 3i | = 5. Tính giá trị biểu thức P = a + b khi
|z + 1 − 3i | + |z − 1 + i | đạt giá trị lớn nhất.
A P = 10 B.P = 4 .P = 6 D.P = 8.
Lời giải. √
Với z = a + bi ta có |z − 4 − 3i | = 5 ⇔ ( a − 4)2 + (b − 3)2 = 5
Các điểm M biểu diễn √ số phức z thỏa mãn hệ thức đã cho nằm trên đường tròn tâm
I (4; 3) và bán kính R = 5.
71
- Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018
Khi đó T = |z + 1 − 3i | + |z − 1 + i |
T = |( a + 1) + (b − 3)i | + |( a − 1) + (b + 1)i |
⇔ T = MA + MB với A(−1; 3), B(1; −1) √
Xét vị trí tương đối của hai điểm A, B với đường tròn tâm I (4; 3) và bán kính R = 5.
√
Ta tính được I A = IB = 5 > 5 suy ra điểm A, B nằm ngoài đường tròn tâm I.
Mặt khác T 2 = ( MA + MB)2 ≤ (1 + 1)( MA2 + MB2 ) = 4DM2 + AB2 ≤ 4DK2 +
AB2 . (Với D là trung điểm đoạn AB.)
Dấu bằng xảy ra khi M ≡ √ K ⇔ D, I, K√thẳng hàng. √ √ √
Tìm tọa độ K. Ta có DI = 16 + 4 = 20, DK = DI + R = 20 + 5 = 3 5.
−→ −→
DK DI −→ DK − →
Suy ra = ⇔ DK = DI
DK √ DI DI
−→ 3 5 − → 3− →
⇔ DK = √ DI = DI.
20 ( 2
a=4
Với M( a; b) thì
b=6
Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức T 2 là 4DK2 + AB2 khi và chỉ khi M (4; 6) Suy ra
P = 10. Đáp án đúng là (A).
Bài toán 10 (Đề thi học kì 2 Trường THPT Lê Quý Đôn- Đống Đa-Hà Nội- năm 2018).
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 2i | = |z + 2|. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = |z +√2i | + |z − 5 + 9i |. √ √ √
A 3 10 B. 70 C. 74 D.4 5.
Lời giải.
Với z = x + yi ta có |z − 2i | = |z + 2| ⇔ x + y = 0
Các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức đã cho nằm trên đường thẳng
x + y = 0. p p
Khi đó P = |z + 2i | + |z − 5 + 9i | = x2 + (y + 2)2 + ( x − 5)2 + (y + 9)2
⇔ P = MA + MB với A(0; −2), B(5; −9)
72
- Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018
Xét vị trí tương đối của hai điểm A, B với đường thẳng ∆ : x + y = 0 với f ( x; y) =
x + y, ta có f (0; −2). f (5; −9) = 8 > 0 suy ra A, B nằm cùng phía với đường thẳng ∆.
Gọi điểm C đối xứng với điểm A qua đường thẳng ∆ thì P = MA + MB = MC +
MB ≥ BC
Dấu bằng xảy ra khi M ≡ M1 ⇔ C, M1 , B thẳngp hàng. √
Giá trị lớn nhất của biểu thức P là P = BC = 32 + (−9)2 = 3 10. Suy ra đáp án
đúng là (A).
Bài toán 11 (Đề thi thử THPTQG của trường THPT chuyên Lào Cai- năm 2018). Cho số
phức z thỏa mãn điều kiện |z + 1 − 5i | = |z + 3 − i |. Giả sử số phức có modul nhỏ nhất
a
có dạng P = a + b. Khi đó S = bằng bao nhiêu?
b
2 1 1 3
A.S = B.S = C.S = D.S =
3 3 4 2
nLời giải.
Với z = a + bi ta có |z + 1 − 5i | = |z + 3 − i | ⇔ a + 3b − 4 = 0 hay M nằm trên đường
thẳng d : x + 3y − 4 = 0
Số phức z có modul nhỏ nhất ⇔ OM có độ dài ngắn nhất, mà OM ≥ OH (với H
là chân đường vuông góc của gốc tọa độ O trên đường thẳng d) nên OM ngắn nhất khi
M ≡ H.
Ta đi tìm tọa độ điểm H ( a; b), vì H nằm trên đường thẳng d : x + 3y − 4 = 0 hay tọa
−→ → 6
độ H (−3t + 4; t) Suy ra OH ⊥d hay OH.− u d = 0 ⇔ 9t − 12 + t = 0 ⇔ t = . Vậy tọa độ
5
2 6 1
điểm H ( ; ), suy ra S = . Đáp án đúng là (B)
5 5 3
Bài toán 12 (Đề thi thử THPTQG của trường
√ đại học Vinh khối chuyên- năm 2018). Cho
số phức z1 ; z2 thỏa mãn điều kiện |iz + 2 − i | = 1 và |z1 − z2 | = 2. Giá trị lớn nhất của
biểu thức P = |z1 | + |z2 | bằng
73
- Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018
√ √
A.4 B.2 3 C.3 2 D.3
nLời giải. √ √
Từ giả thiết ta có |iz + 2 − i | = 1 ⇔ ( x − 1)2 + (y − 2)2 = 1 và M1 M2 = 2
Với các điểm M1 ; M2 biểu diễn hai số phức z1 ; z2 trên
√ mặt phẳng phức thỏa mãn hai
hệ thức trên nên M1 ; M2 nằm trên đường tròn tâm I (1; 2) bán kính R = 1 và M1 M2 đi
qua tâm I của đường tròn.
Khi đó P = |z1 | + |z2 | = OM1 + OM2 .
Theo công thức đường trung tuyến trong tam giác OM1 M2 ,
OM12 + OM22 M1 M22
ta có OI 2 = −
2 4
M M 2
1 2
⇔ OM12 + OM22 = 2OI 2 + .
2
M1 M22
Mặt khác P2 = (OM1 + OM2 )2 ≤ (1 + 1)(OM12 + OM22 ) = 2OI 2 + = 2(2 ×
2
3 + 2) = 16. Suy ra P ≤ 4. Đáp án đúng là (A)
Bài toán 13 (Toán
√ học tuổi trẻ số 491-năm 2018). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
|z − 1 + 2i | = 5. Khi đó số phức
√ w = z + 1 + i có modul√ lớn nhất |w|max bằng
√
A.20 B.2 5 C. 5 D.5 2
Lời giải. √
Từ giả thiết ta có |iz + 2 − i | = 1 ⇔ ( x − 1)2 + (y + 2)2 = 5
Điểm M √ biểu diễn số phức z trên mặt phẳng nằm trên đường tròn tâm I (1; −2) bán
kính R = 5 .
p
Khi đó |w| = | ( x + 1)2 + (y + 1)2 ⇔ |w√
| = MA với A(−1; −1)
Mà MA ≤ M1 A) nên |w|max bằng 2R = 2 5 khi M ≡ M1 . Đáp án đúng là (B)
Bài toán 14 (Toán học tuổi trẻ
√ số 491-năm 2018). Cho hai số phức z1 ; z2 đồng thời thỏa
mãn hai điều kiện |z − 1| = 34 và |z + 1 + mi | = |z + m + 2i |(m ∈ R) sao cho |z1 − z2 |
74
- Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018
là lớn nhất.
√ Khi đó giá trị của √ |z1 + z2 | bằng
A. 2 B. 130 C.2 D.10.
nLời giải.
Gọi điểm M1 ; M2 biểu diễn số phức z1 ; z2 trên mặt phẳng thì |z1 − z2 | =M2 M
√ 1 , mà
theo giả thiết hai số phức z1 ; z2 đồng thời thỏa mãn hai điều kiện |z − 1| = 34 và
|z + 1 + mi | = |z + m + 2i |(m ∈ R), .
Nên tọa độ M1 ; M2 là giao điểm của dường tròn ( x − 1)2 + y2 = 34 và đường thẳng
2x + 1 + 2my + m2 = 2xm + m2 + 4y + 4 ⇔ 2(m − 1) x + (4 − 2m)y + 3 = 0.
Vây | M1 M2 | lớn nhất khi M1 M2 đi qua tâm I (1; 0). Hay |z1 + z2 | = 2OI = 2. Đáp án
đúng là (C)
Bài toán 15 (Đề√ minh họa thi THPTQG-năm 2017). Xét số phức z thỏa mãn |z + 2 − i | +
|z − 4 − 7i | = 6 2. Gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của |z − 1 + i |.
Tính P = m + M. √ √
√ √ 5 2 + 2 73
A.P = 13 + 73 B.P =
√ 2 √
√ √ 5 2 + 73
C.P = 5 2 + 2 73 D.P = .
2
Lời giải.
Gọi M ( x; y) là điểm biểu √ A (−2; 1), B√(4, 7), C (1; −1). Ta có
√ diễn của z. Các điểm
|z + 2 − i | + |z − 4 − 7i | = 6 2 ⇔ MA + MB = 6 2, mà AB = 6 2 ⇒ MA + MB = AB
Suy ra M thuộc đoạn thẳng AB.
5
Phương trình đường thẳng AB : y = x + 3, với x ∈ [−2; 4]. CMmin = d (C; AB) = √ .
√ √ √ 2
CB = 73; CA = 13 ⇒ CM √ max = CB
√ = 73.
√ 5 2 73 + 5 2
Vậy P = 73 + √ = . Chọn đáp án B.
2 2
75
- Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018
Bài tập tương tự
Bài 14. Cho các số phức z thỏa mãn |z − (1 + 5i )| = |iz − 1 + 3i |. Tìm giá trị nhỏ nhất
của |z| .√ √
A. 3 B. 2 C. 1 D. 2.
Bài 15. Biết số phức z = a + bi ( a, b ∈ RR)thỏa mãn điều kiện |z − 2 − 4i | = |z − 2i |có
modul nhỏ nhất. Tính M = a2 + b2
A. M = 10 B. M = 16 C. M = 26 D. M = 8.
Bài 16. Cho số phức z thay đổi và luôn thỏa mãn |z − 3 + 4i | = 4. Tìm giá trị lớn nhất
Pmax của biểu thức P = |z|
A. Pmax = 12 B. Pmax = 5 C. Pmax = 9 D. Pmax = 3
Bài 17. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 2 − 4i | = |z − 2i |. Tìm số phức z có modul
nhỏ nhất
A.z = −1 + i B.z = −2 + i C.z = 2 + 2i D.z = 3 + 2i
Bài 18. Cho số phức z thỏa mãn (z + 3 − i ) (z + 1 + 3i ) là một số thực. Tìm giá trị nhỏ
nhất của z. √
√ √ 2
A. 2 B.2 2 C.z = 2 D.
2
Bài 19. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 2 − 4i | = |z − 2i |. Tìm số phức z có
modul bé nhất.
A.z = 2 + i B.z = 3 + i C.z = 2 + 2i D.z = 1 + 3i
i−m
Bài 20. Cho số phức z = , m ∈ R. Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k sao
1 − m (m − 2i )
√ để |z + 1| ≤ k.
cho tồn tại m √
5−1 5+1
A.k = B.k = 0 C.k = D.k = 1
2 2
2.3 Một số bài toán số phức liên quan đến hình học tọa độ
Bên cạnh các bài toán Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của modul số phức có
liên quan đến hình học tọa độ còn có các bài toán khác về số phức cũng có thể đưa kiến
thức hình học tọa độ vào giải quyết chúng.Sau đây là một số bài toán về số phức có đặc
điểm như đã nêu ở trên.
Bài toán 16 (Toán học tuổi trẻ số 490-năm 2018). Cho hai số phức z1 ; z2 đồng thời thỏa
mãn hai điều kiện |z1 | = 1 và |z2 | = 2 sao cho |z1 + z2 | = 3. Khi đó giá trị của |z1 − z2 |
bằng
A. 0 B. 1 C. 2 D. Một giá trị khác
Lời giải.
Gọi điểm M1 ; M2 biểu diễn số phức z1 ; z2 trên mặt phẳng thì OM1 = 1, OM2 = 2, và
| z1 + z2 | = 3
−−→ −−→ −→
⇔ |OM1 + OM2 | = 2|OK | với K là trung điểm M1 M2
3
⇔ OK =
2
76
nguon tai.lieu . vn
