- Trang Chủ
- Toán học
- Phương pháp chiếu xấp xỉ giải bài toán bất đẳng thức biến phân tựa đơn điệu
Xem mẫu
- PHƯƠNG PHÁP CHIẾU XẤP XỈ
GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TỰA ĐƠN ĐIỆU
Đỗ Duy Thành
Khoa Toán&KHTN
Email: thanhdd@dhhp.edu.vn
Ngày nhận bài: 16/3/2021
Ngày BP đánh giá: 23/4/2021
Ngày duyệt đăng: 29/4/2021
TÓM TẮT: Trong bài báo này, chúng tôi đề xuất một thuật toán chiếu mới để giải bài toán bất đẳng
thức biến phân trong một không gian Hilbert thực, ở đây ánh xạ giá liên tục Lipschitz và tựa đơn điệu
(không cần thiết đơn điệu). Thuật toán và phân tích sự hội tụ yếu của dãy lặp được chỉ ra chi tiết.
Từ khóa: Bất đẳng thức biến phân, phương pháp chiếu, tựa đơn điệu, liên tục Lipschitz.
APPROXIMATION PROJECTION METHODS
FOR QUASIMONOTONE VARIATIONAL INEQUALITIES
ABSTRACT: In this paper, we propose a new projection algorithm for variational inequalities in a real
Hilbert space, with the assumptions of Lipschitz-continuity and quasimonotone of the cost ( without
monotone). We obtain a weak convergence theorem for the sequences generated by these processes.
Key words: variational inequality, projection method, quasimonotone, Lipschitz continuous ...
1. GIỚI THIỆU
của bài toán VI (C , A) .
Bất đẳng thức biến phân được
Để giải bài toán VI (C , A) với giả thiết
Kinderlehrer và Stampacchia đưa ra lần
tập con C ⊆ n là tập lồi, đóng, khác
đầu tiên vào năm 1980 khi nghiên cứu về
rỗng, A đơn điệu, liên tục Lipschitz với
bài toán biên tự do. Từ đó, rất nhiều mô
hằng số L , Korpelevich trong [6] đã giới
hình toán xuất phát từ ứng dụng toán, lý thiệu phương pháp đạo hàm tăng cường:
thuyết trò chơi, mô hình cân bằng kinh tế,
cân bằng giao thông và vật lý toán, được x0 ∈C
k
viết dưới dạng của bài toán bất đẳng thức =y PC ( x k − λ A( x k )),
biến phân. Cho C là một tập con lồi đóng k +1
x
= PC ( x k − λ A( y k )),
khác rỗng của một không gian Hilbert thực
1
H , A là một ánh xạ từ H vào H . Bài toán Với mọi k ≥ 0, trong đó λ ∈ 0, .
bất đẳng thức biến phân, viết tắt VI (C , A) L
,là tìm một điểm x* ∈ C sao cho { }{ }
Tác giả đã chỉ ra rằng dãy x k , y k hội
A( x*), x − x * ≥ 0 ∀x ∈ C. tụ đến cùng một điểm z ∈ Sol(C , A). Tuy
Ký hiệu Sol(C , A) để chỉ tập nghiệm nhiên điều kiện liên tục Lipschitz là một
TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 46, tháng 5 năm 2021 33
- điều kiện khá mạnh. Do đó, một kỹ thuật
khỏi tập nghiệm của bài toán VI (C , A) .
khá hay để tránh điều này đó là sử dụng
Solodov và Svaiter trong [8] đã sử dụng
phương pháp tìm kiếm theo tia dọc theo hai phép chiếu, trong đó x k +1 là hình chiếu
hướng y k − x k để thu được điểm zk qua của x k lên trên một siêu phẳng. Thuật toán
việc xây dựng một siêu phẳng tách x k ra được mô tả như sau:
x 0 ∈ C , λ > 0, ρ ∈ (0,1), k = 0,
k
y
= PC ( x k − λ A( x k )), vaø tìm soá nguyeân khoâng aâm nhoû nhaát ik sao cho
σ k k 2
i k i k k k
= i ik , A( ρ y + (1 − ρ ) x ), x − y ≥ x −y .
λ
Tính x k= +1 i i
PC H ( x k ), trong ñoù z= k
ρ k y k + (1 − ρ k ) x k vaø
k
{ n k
H k = x ∈ : A( x ), x − z =0 .
k
}
Với các giả thiết của tham số λ , ρ ,σ và ánh xạ A , dãy x k { } hội tụ về nghiệm
của bài toán VI (C , A) . Dựa trên kỹ thuật này, Trong [9], Zheng đã thay thế trong bước
lặp k phép chiếu PC H
k
bởi PD
k Hk
, trong đó C = { }
x ∈ n : c( x ) ≤ 0 , c : n → là
một hàm lồi khả vi, liên tục, Dk= {x ∈ n
}
: c( x k ) + ξ k , x − x k ≤ 0 , ξ k ∈ ∂C ( x k ) và
i i 2
H k =v ∈ n : ρ k r ( x k ) + A( x k ) + λ A( x k ), v − x k + ρ k (1 − λσ ) x k − y k ≤ 0 .
Như vậy, bước chính của hầu hết các 2. CÁC BỔ ĐỀ KỸ THUẬT
thuật toán hiện tại khi giải bài toán VI(C,A) Trong phần này, chúng tôi tóm tắt một
=
là tính y k PC ( x k − λ A( x k )) . số khái niệm cơ bản, và các kết quả sẽ
Trong [3], Dong, Cai và Han đã cải tiến được sử dụng trong các mục tiếp theo. Ta
phương pháp tìm kiếm theo tia và chỉ sử sử dụng ký hiệu và → để chỉ sự hội tụ
dụng một phép chiếu lên tập C để giải bài yếu và mạnh của các dãy số.
toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Định nghĩa 2.1. Toán tử A : H → H
và liên tục Lipschitz. được gọi là
Dựa trên các thuật toán trong [3], [8], (i) đơn điệu trên H nếu với mọi
[9], chúng tôi đã giới thiệu phương pháp x, y ∈ H ,
chiếu xấp xỉ, dùng một phép chiếu để giải A ( x ) − A ( y ) , x − y ≥ 0;
bài toán bất đẳng thức biến phân tựa đơn (ii) giả đơn điệu trên H nếu với mọi
điệu và liên tục Lipschitz với độ dài bước x, y ∈ H ,
sử dụng rộng hơn trong thuật toán 2 của [3]. A ( x ) , y − x ≥ 0 ⇒ A ( y ) , y − x ≥ 0;
34 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG
- (iii) tựa đơn điệu trên H nếu với mọi x, y ∈ H ,
A ( x ) , y − x > 0 ⇒ A ( y ) , y − x ≥ 0;
(iv) liên tục yếu có thứ tự tại x nếu A ( xn ) hội tụ yếu tới A ( x ) khi xn hội tụ yếu tới x ;
(v) liên tục Lipschitz với hằng số L > 0 trên H nếu
A ( x ) − A ( y ) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ H .
Tiếp theo ta nhắc lại định nghĩa phép chiếu metric và một số tính chất cơ bản. Cho
một vector x ∈ H , phép chiếu của x lên C, ký hiệu là PC ( x ) , được định nghĩa như sau
PC ( x ) : argmin y∈C x − y .
=
Ánh xạ PC có các tính chất cơ bản sau, xem [5].
PC ( x ) khi và chỉ khi z − x, y − z ≥ 0, ∀y ∈ C ;
Bổ đề 2.1. (i) Với mọi x ∈ H , z =
(ii) PC ( x ) − PC ( y ) ≤ x − y , ∀x, y ∈ H ;
2 2
(iii) PC ( x ) − z ≤ x − z − PC ( x ) − x , ∀x, z ∈ H .
2
Bổ đề 2.2. ([10]) Với mọi x, y ∈ H , ta có
2 2
(i) x + y ≤ x + 2 y, x + y ;
2
(ii) λ x + (1 − λ ) y= λ x + (1 − λ ) y − λ (1 − λ ) x − y , ∀λ ∈ R.
2 2 2
Bổ đề 2.3. ([7]) Nếu ánh xạ A : H → H liên tục Lipschitz trên tập con bị chặn của H
và M là một tập con bị chặn của H, thì A ( M ) bị chặn.
Bổ đề 2.4. ([4]) (i) Nếu A : H → H là một ánh xạ liên tục trên C, thì S D ⊂ S .
(ii) Nếu A : H → H giả đơn điệu và liên tục trên C, thì S D = S .
Bổ đề 2.5. ([1]) Cho {an } , {bn } và {θ n } là các dãy thuộc [ 0; +∞ ) sao cho
+∞
an +1 ≤ an + θ n ( an − an −1 ) + bn , ∀n ≥ 1, ∑ bn < +∞
n =1
Và tồn tại một số thực θ sao cho 0 ≤ θ n ≤ θ < 1 với mọi n ≥ 1 . Khi đó, ta có:
( a ) ∑ n=1[ an − an−1 ]+ < +∞, trong đó [t ]+ := max {t , 0} ;
+∞
(b) Tồn tại a* ∈ [ 0, +∞ ) sao cho lim n→+∞ an = a* .
Bổ đề 2.6 (xem [2], Bổ đề 2.47) Cho H là một không gian Hilbert thực và C là một
tập con khác rỗng của H, { xn } là một dãy trong H thỏa mãn hai điều kiện:
(a) với mọi x ∈ C , lim n→+∞ xn − x tồn tại;
(b) mọi điểm hội tụ yếu của { xn } đều thuộc C.
Khi đó dãy { xn } hội tụ yếu đến một điểm thuộc C.
TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 46, tháng 5 năm 2021 35
- 3. THUẬT TOÁN VÀ PHÂN TÍCH SỰ HỘI TỤ CỦA THUẬT TOÁN
Để nghiên cứu thuật toán, chúng ta cần các điều kiện sau:
( A1 ) Ánh xạ A : H → H liên tục Lipschitz với hằng số L > 0;
( A2 ) Tập S D ≠ ∅;
( A3 ) Ánh xạ A : H → H liên tục yếu có thứ tự trên C;
( A4 ) Ánh xạ A : H → H tựa đơn điệu trên H;
( A∞5 ) Các dãy số thực dương {ε n } , {θ n } và {µn } thỏa mãn=
lim n→+∞ µn lim n→+∞ θ n 0
0,=
và ∑ n =1 ε n < ∞.
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu phương pháp chiếu với độ dài bước lớn hơn để
giải bài toán bất đẳng thức biến phân tựa đơn điệu và thu được sự hội tụ yếu của thuật toán.
Thuật toán 3.1. Cho x0 , x1 ∈ H , α , ρ1 , ρ 2 ∈ ( 0,1) ,ν ∈ ( 0,1) , 0 < µ < µ ' < 1, 0 < γ < γ ' < 2
và M > λ1 > 0, các dãy số thực dương {ε n } , {θ n } và {µn } thỏa mãn điều kiện ( A5 )
Đặt n := 1.
Bước 1. Chọn α n thỏa mãn 0 ≤ α n ≤ α n , trong đó
εn
min , α , khi xn ≠ xn −1 ,
αn = xn − xn −1
2
(3.1)
α , khi xn = xn −1.
Bước 2. Tính
xn + α n ( xn − xn −1 ) .
wn = (3.2)
Bước 3. Tính
=yn PC ( wn − λn A ( wn ) ) (3.3)
Nếu yn = wn hoặc Ayn = 0 , thì dừng và yn là nghiệm của bài toán VI ( A, C ) . Ngược
lại, chuyển sang bước tiếp theo.
λn A ( wn ) − A ( yn ) , wn − yn
Bước 4. Đặt Rn =: 2 .
wn − yn
Khi
1
Rn > µ + µn , thì gán λn := ρ1λn min 1, và tính
= yn PC ( wn − λn A ( wn ) ) .
Rn
Ngược lại
Đặt
d n = wn − yn − λn ( A ( wn ) − A ( yn ) ) (3.4)
Tính
xn +1 PC ( w n − σ n λn A ( yn ) ) ,
= (3.5)
36 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG
- Trong đó σ n được định nghĩa bởi
wn − yn , d n
( γ + θ n ) 2
, khi d n ≠ 0,
σn = dn
0, khi d n = 0 .
1
Nếu Rn < ν và λn ≤ M , thì λn = λn . (3.6)
ρ2
Ngược lại chuyển Bước 5.
Bước 5. Đặt λn +1 = λn và n= n + 1 , quay lại Bước 1.
Chú ý 3.1. Trong điều kiện về tham số, chúng tôi chỉ cần dãy tham số dương {θ n } và
{µn } thỏa mãn lim
= n →∞ µ n lim
= n →∞ θ n 0 , trong khi đó ở Thuật toán 2 của [3] lại cần
∞ ∞
=
∑ µn < +∞, ∑θn < +∞ and
n 1=n 1
∑ 0
θ < +∞ . Trong trường hợp
n =1 n A ( wn ) − A ( yn ) , wn − yn ≠ 0
2 2
( µ + µn ) wn − yn ( µ + µn ) wn − yn µ + µn
=
thì độ dài bước λn ≥ = , điều này
A ( wn ) − A ( yn ) , wn − yn L
2
L wn − yn
cho ta thấy Thuật toán 3.1 có độ dài bước rộng hơn trong Thuật toán 2 của [3] với độ dài
2
xn − xn −1 1
=
bước phụ thuộc vào hai phần tử liền kề của dãy lặp λn ≥ .
A ( xn ) − A ( xn −1 ) , xn − xn −1 L
2
Chú ý 3.2. Từ (3.1) dẫn tới α n xn − xn −1 ≤ ε n . Kết hợp với điều kiện ( A5 ) ta được
2
lim α n xn − xn −1 =
0;
n →∞
và
∞
∑α
2
n xn − xn −1 < ∞.
n =1
Định lý 3.1. Nếu các điều kiện ( A1 ) − ( A5 ) thỏa mãn và A ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ C , thì dãy
{ xn } sinh bởi Thuật toán 3.1 hội tụ yếu đến p ∈ S D ⊂ S .
Chứng minh. Để chứng minh định lý ta chia thành 4 bước.
Bước 1. Nếu điều kiện ( A5 ) thỏa mãn, thì tồn tại số nguyên dương N sao cho
0 < γ + θ n ≤ γ ' < 2, 1 − ( µ + µn ) ≥ 1 − µ ', d n > 0 và σ n > 0, ∀n ≥ N .
Từ 0 < γ < γ ' < 2 và lim n→∞ θ n = 0 , tồn tại số nguyên dương N1 sao cho
0 < γ + θ n ≤ γ ' < 2, ∀n ≥ N1 . (3.7)
TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 46, tháng 5 năm 2021 37
- Từ Thuật toán 3.1, với mỗi n ≥ 1 , dẫn tới
wn − yn , d n ≥ wn − yn , wn − yn − λn ( A ( w n ) − A ( yn ) )
≥ wn − yn − λn wn − yn , ( A ( w n ) − A ( yn ) )
2
(3.8)
≥ (1 − ( µ + µn ) ) wn − yn
2
Từ lim n→∞ µn = 0 và 0 < µ < µ ' < 1 , tồn tại số nguyên dương N1 sao cho
1 − ( µ + µn ) ≥ 1 − µ ', ∀n ≥ N 2 .
Kết hợp với (3.8), ta có
d n w n − yn ≥ w n − yn , d n ≥ (1 − µ ') w n − yn , ∀n ≥ N 2 .
2
(3.9)
Từ (3.8), (3.9) ta được
d n > 0 và σ n > 0, ∀n ≥ N 2 .
Đặt N = max { N1 , N 2 } , kết hợp với (3.7) ta được
0 < γ + θ n ≤ γ ' < 2, d n > 0 và σ n > 0, ∀n ≥ N .
Bước 2. Giả sử các điều kiện ( A1 ) − ( A2 ) và ( A5 ) thỏa mãn, p ∈ S D , { xn } , {wn } và
{ yn } là các dãy sinh bởi Thuật toán 3.1. Khi đó
(1 − µ ')
4
xn +1 − p ≤ wn − p − ( γ + θ n )( 2 − γ − θ n )
2 2 2
wn − yn , ∀n ≥ N . (3.10)
4 (1 + λ L 2 2 2
n )
Thật vậy, từ p ∈ S D , ta có
A ( yn ) , yn − p ≥ 0. (3.11)
Từ Bổ đề 2.1 (iii), Bước 1 và (3.5), ta được
xn +1 − p = PC ( wn − σ n λn A ( yn ) ) − p
2 2
2 2
≤ wn − σ n λn A ( yn ) − p − wn − σ n λn A ( yn ) − xn +1
= wn − p − 2σ n λn wn − p, A ( yn ) − xn +1 − wn + 2σ n λn wn − xn +1 , A ( yn )
2 2
(3.12)
= wn − p − xn +1 − wn − 2σ n λn A ( yn ) , xn +1 − yn − 2σ n λn A ( yn ) , yn − p
2 2
≤ w n − p − xn +1 − w n − 2σ n λn A ( yn ) , xn +1 − yn , ∀n ≥ N .
2 2
Theo Bổ đề 2.1 (i) và (3.3), ta có
38 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG
- yn − wn + λn A ( wn ) , xn +1 − yn ≥ 0. (3.13)
Kết hợp (3.12) và (3.13), được
xn +1 − p ≤ wn − p − xn +1 − wn + 2σ n λn A ( yn ) , yn − xn +1
2 2 2
+ 2σ n wn − yn − λn A ( wn ) , yn − xn +1
= wn − p − wn − xn +1 − σ n d n + (σ n d n )
2 2 2
− 2σ n wn − xn +1 , d n
(3.14)
+ 2σ n yn − xn +1 , d n
= wn − p − wn − xn +1 − σ n d n + (σ n d n )
2 2 2
+ 2σ n yn − wn , d n
≤ w n − p + (σ n d n )
2 2
+ 2σ n yn − wn , d n , ∀n ≥ N .
Từ (3.5) và (3.14), suy ra
( )
2
yn − w n , d n
xn +1 − p ≤ w n − p − ( γ + θ n )( 2 − γ − θ n )
2 2
2
, ∀n ≥ N . (3.15)
dn
Kết hợp (3.8) và Mệnh đề 3.1, dẫn tới
wn − yn , d n ≥ (1 − µ ') wn − yn
2
2 (1 − µ ') λn2 L2 2 1 2
= wn − yn + wn − yn
2 1 + λn L 2 2
1 + λn L
2 2
2 (1 − µ ') λn 2
2 1 2 (3.16)
≥ A ( wn ) − A ( yn ) + wn − yn
2 1 + λn L 2 2
1 + λn L
2 2
1− µ ' 1− µ '
wn − yn − λn ( A ( =wn ) − A ( yn ) )
2 2
≥ d n , ∀n ≥ N .
2 (1 + λn L )
2 2
2 (1 + λn L )
2 2
Từ (3.9), (3.15) và (3.16) ta có
(1 − µ ')
4
xn +1 − p ≤ wn − p − ( γ + θ n )( 2 − γ − θ n )
2 2 2
wn − yn , ∀n ≥ N .
4 (1 + λ L
2 2 2
n )
Bước 3. Giả sử các điều kiện ( A1 ) − ( A5 ) thỏa mãn và lim n→∞ yn − wn =
0 . Nếu tồn
tại một dãy con xnk { } của {x } sao cho {x } hội tụ yếu đến
n nk p ∈ H , thì hoặc p ∈ S D
( )
hoặc A p = 0.
TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 46, tháng 5 năm 2021 39
- ( )
Giả sử A p ≠ 0 , ta phải chứng minh p ∈ S D . Từ định nghĩa của ynk và Bổ đề 2.1
(i), ta có
( )
wnk − λnk A wnk − ynk , x − ynk ≤ 0, ∀x ∈ C. (3.17)
Cộng λnk A ynk , x − ynk ( ) vào hai vế của (3.17), ta được
λn A ( yn ) , x − yn ≥ wn − yn , x − yn + λn A ( yn ) − A ( wn ) , x − yn . (3.18)
k k k k k k k k k k
Chia cả hai vế của (3.18) cho λnk > 0 , suy ra
1
( )
A ynk , x − ynk ≥
λn
( )
wnk − ynk , x − ynk + A ynk − A wnk , x − ynk . ( ) (3.19)
k
Từ lim n→∞ yn − wn =
0 và A liên tục Lipschitz, ta có
lim n→∞ A ( yn ) − A ( wn ) =
0 (3.20)
Từ Chú ý 3.2 và (3.2), dẫn đến
2 2 2
lim n→∞ wn=
− xn lim n→∞ α n2 xn − xn −1 ≤ lim n→∞ α .α n xn −=
xn −1 0. (3.21)
{ } bị chặn, (3.21) ta được {w } bị chặn. Lại có lim
Từ dãy xn
k
nk n →∞ ynk − wnk =
0,
nên { y } cũng bị chặn. Áp dụng Bổ đề 2.3 suy ra A ( y ) bị chặn.
nk nk
Từ lim n→∞ yn − wn =
0 , (3.19)-(3.21), ta có
k →∞
( )
lim sup A ynk , x − ynk ≥ lim inf A ynk , x − ynk ≥ 0, ∀x ∈ C.
k →∞
( ) (3.22)
( )
Với bất kỳ x ∈ C , khi lim sup A ynk , x − ynk > 0 , tồn tại một dãy con ynki
k →∞
{ } của
{ y } thỏa mãn lim
nk i →∞ ( )
A ynk , x − ynk
i i
> 0 . Tức là tồn tại một số nguyên dương N 0
sao cho
( )
A ynk , x − ynk
i i
> 0, ∀i ≥ N 0 .
0 , ta được wnk , ynk p khi k → +∞ . Từ tính tựa
Từ (3.21) và limi →∞ yn − wn =
đơn điệu của A suy ra A ( x ) , x − ynk ≥ 0 , do đó ta có
i
40 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG
- A ( x ) , x − p ≥ 0 (3.23)
( )
Khi lim sup k →∞ A ynk , x − ynk =
0 , kết hợp (3.22), ta được
k →∞
( )
lim A ynk , x − ynk =
0.
1
=
Đặt εk ( )
A ynk , x − ynk +=
k
, k 1, 2,.... . Khi đó
( )
A ynk , x − ynk + ε k > 0. (3.24)
( )
A ynk
( )
Ta có thể giả sử rằng A ynk ≠ 0 với mọi nk theo Chú ý 3.1. Đặt znk = và
A( y )
2
( )
nk
ta được A ynk , znk = 1 . Từ (3.24), ta có
A( y ), x − y
nk nk ( )
+ ε k A ynk , znk > 0,
nên
( )
A ynk , x + ε k znk − ynk > 0,
Từ A tựa đơn điệu trên H, ta được
( )
A x + ε k znk , x + ε k znk − ynk ≥ 0.
Hay
( ) ( )
A ( x ) , x − ynk + A x + ε k znk − A ( x ) , x − ynk + A x + ε k znk , ε k znk ≥ 0,
và do đó
( ) ( )
A ( x ) , x − ynk + A x + ε k znk − A ( x ) . x − ynk + A x + ε k znk . ε k znk ≥ 0. (3.25)
Bây giờ ta chứng minh lim k →∞ ε k znk = 0.
Thật vậy, từ A liên tục yếu có thứ tự trên C và ynk p , ta được A ynk A p . Từ ( ) ( )
tính nửa liên tục dưới yếu của ánh xạ chuẩn cho ta lim inf k →∞ ( )
A ynk ( )
≥ A p > 0.
Do đó,
εk εk
lim sup ε k znk = lim sup ≤ lim sup = 0,
k →∞ k →∞
( )
A ynk k →∞
( )
A p
Suy ra lim k →∞ ε k znk = 0 . Từ Bổ đề 2.3, ta có A ( x + ε z ) bị chặn. Cho k → ∞ trong
k nk
(3.25), ta được
A ( x ) , x − p ≥ 0.
TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 46, tháng 5 năm 2021 41
- Kết hợp với (3.23) cho ta p ∈ S D .
Bước 4. Chứng minh dãy { xn } sinh bới Thuật toán 3.1 hội tụ yếu đến p ∈ S D ⊂ S .
Lấy p ∈ S D . Từ định nghĩa của wn và Bổ đề 2.2 (ii), ta có
2
= xn + α n ( xn − xn −1 ) − p
2
wn − p
2
= (1 + α n )( xn − p ) + ( −α n )( xn−1 − p ) (3.26)
=(1 + α n ) xn − p − α n xn −1 − p + α n (1 + α n )
2 2 2
xn − xn −1 .
Từ Bước 1 và Bước 2, ta được
2 2
xn +1 − p ≤ wn − p , ∀n ≥ N .
Kết hợp bất đẳng thức trên và (3.26) suy ra với mọi n ≥ N
xn +1 − p ≤ (1 + α n ) xn − p − α n xn −1 − p + α n (1 + α n ) xn − xn −1
2 2 2 2
≤ (1 + α n ) xn − p − α n xn −1 − p + (1 + α ) α n xn − xn −1
2 2 2
(3.27)
2
(
= xn − p + α n xn − p − xn −1 − p
2 2
) + (1 + α )α n xn − xn −1 .
2
(1 + α ) α n xn − xn−1 . Từ Chú ý 3.2, dẫn đến
2 2
Đặt a=
n xn − p và bn =
∞
∑ (1 + α ) α
2
n xn − xn −1 < +∞.
n =1
2
Do đó, theo Bổ đề 2.5, ta có lim n→∞ xn − p tồn tại và
∞
∑ x − p − xn −1 − p + < +∞,
2 2
n =1
n
trong đó [t ]+ = max {t , 0} . Suy ra
lim xn − p − xn −1 − p =
2 2
0. (3.28)
n →∞ +
42 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG
- Thay (3.26) vào (3.10) ta được
xn +1 − p ≤ (1 + α n ) xn − p − α n xn −1 − p + α n (1 + α n ) xn − xn −1
2 2 2 2
(1 − µ ')
4
− ( γ + θ n )( 2 − γ − θ n )
2
wn − yn
4 (1 + λ L
2 2 2
n )
2
(
≤ xn − p + α n xn − p − xn −1 − p
2 2
) + (1 + α )α n xn − xn −1
2
(1 − µ ')
4
− ( γ + θ n )( 2 − γ − θ n )
2
wn − yn
4 (1 + λ L 2 2 2
n )
≤ xn − p + α n xn − p − xn +1 − p + (1 + α ) α n xn − xn −1
2 2 2 2
+
(1 − µ ')
4
− ( γ + θ n )( 2 − γ − θ n )
2
wn − yn , ∀n ≥ N .
4 (1 + λ L2 2 2
n )
Điều này suy ra
(1 − µ ')
4
(γ + θ n )( 2 − γ − θ n )
2
wn − yn
4 (1 + λ L 2 2 2
n )
≤ xn − p − xn +1 − p + α n xn − p − xn −1 − p
2 2 2 2
+ (3.29)
+ (1 + α ) α n xn − xn −1 , ∀n ≥ N .
2
2
Từ lim n→∞ xn − p tồn tại, từ (3.28), (3.29), Chú ý 3.2, ta được
lim yn − wn =
0.
n →∞
2
Từ lim n→∞ xn − p tồn tại, suy ra dãy { xn } bị chặn. Đặt ω ( xn ) là tập tất cả các điểm
tụ yếu của dãy { xn } .
Ta chứng minh ω ( xn ) ⊂ S D . Thật vậy, lấy bất kỳ p ∈ ω ( xn ) , khi đó tồn tại một dãy
{ } của {x } hội tụ đến
con xn
k
n p . Từ C là tập lồi, đóng và khác rỗng, p ∈ C và do đó
( )
A p ≠ 0 . Dựa vào (3.30) và Bước 3, ta được p ∈ S D và ω ( xn ) ⊂ S D . Theo Bổ đề 2.6 thì
dãy { xn } sinh bởi Thuật toán 3.1 hội tụ yếu đến p ∈ S D ⊂ S .
TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 46, tháng 5 năm 2021 43
- 4. KẾT LUẬN 4. Hadjisavvas, N.,Schaible, S. (1996),
‘Quasimonotone variational inequalities in Banach
Bài báo đã chứng minh được sự hội tụ
spaces’. J. Optim. Theory Appl. 90(1),95-111.
yếu của phương pháp chiếu xấp xỉ giải bài
5. Goebel, K., Reich, S. (1984), ‘Uniform
bài toán bất đẳng thức biến phân tựa đơn
Convexity, Hyperbolic Geometry, and Nonexpansive
điệu và liên tục Lipschitz trong một không
Mappings’. Marcel Dekker, New York.
gian Hilbert thực. Tại mỗi bước lặp, chúng
6. Korpelevich, G.M. (1976), ‘The
tôi chỉ sử dụng một phép chiếu và chỉ cần
extragradient method for finding saddle points and
tính tựa đơn điệu của ánh xạ giá. Độ dài
other problems’. 12,747–756.
bước trong thuật toán cũng được làm rộng
7. Mashreghi, J., Nasri, M. (2010),’ Forcing
hơn trong thuật toán 2 của [3] để tăng tính
strong convergence of Korpelevichs method in
hiệu quả so với các thuật toán chỉ dùng một
Banach spaces with it applications in gam theory’.
phép chiếu trước đó.
Nonlinear Anal. 72, 2086-2099.
TÀI LIỆU THAM KHẢO 8. Solodov, M.V., Svaiter, B.F. (1999), ‘A
1. Alvarez, F. (2004), ‘Weak convergence of new projection method for variational inequality
a relaxed anh inertial hybrid projection-proximal problems’. SIAM J.Control Optim. 37, 765–776
point algorithm for maximal monotone operators in 9. Zheng, L. (2013), ‘The subgradient double
Hilbert spaces’. SIAM J.optim. 14, 773-782. projection method for variational inequalities in
2. Bauschke, H.H., Combettes, P.L. (2011), a Hilbert space’. Fixed Point Theory Appl. 2013.
Convex analysis and monotone operator theory in doi:10.1186/1687-1812-2013-136. Article ID 2013:136
Hilbert spaces. Springer. New York. 10. Zarantonello, E.H. (1971), ‘Projections on
3. Dong, X.,Cai,X.,Han,D. (2018), ‘Prediction- convex sets in Hilbert space and spectral theory’. In:
correction method with the BB step sizes’. Front. Zarantonello, E.H. (ed.) Contributions to Nonlinear
Math. China 13, 1325-1340. Functional Analysis. Academic Press, New York.
44 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG
nguon tai.lieu . vn