Xem mẫu
- KHOA HỌC CÔNG NGHỆ
PHÉP VI PHÂN PHÂN SỐ YẾU
Nguyễn Lê Hương*
ABSTRACT
The paper presents a new self-contained notation of a weak fractional differential calculus on one-
dimension space. The notation is the generalization of the definition of weak integer order derivatives,
improving the missing of classical fractional calculus such as fundamental theorem calculus, product
and chain rules, integration by parts formulas…This new theory lays down a foundation for new
fractional Sobolev space, fractional calculus of variation and fractional differential equations and
their solutions.
Keywords: Weak fractional derivatives, fractional differential calculus, fundamental theory of
calculus, product and chain rules.
Received: 10/01/2022; Accepted: 18/02/2022; Published: 15/03/2022
1. Đặt vấn đề một phương trình vi phân cấp số nguyên ta có thể
Tương tự như giải tích cấp số nguyên cổ coi đạo hàm và nghiệm của phương trình là yếu
điển, giải tích cấp phân số cổ điển cũng bao gồm nhưng điều này không có được ở phương trình
hai thành phần là đạo hàm cấp phân số và tích vi phân cấp phân số. Kết quả là, rất nhiều khái
phân cấp phân số. Lý thuyết giải tích nghiên niệm và lý thuyết không tương đương đang được
cứu tính chất, quy tắc và sự tác động lẫn nhau sử dụng trong phương trình vi phân cấp phân số,
của phép đạo hàm và tích phân. Lý thuyết giải điều này có thể gây ra sự nhầm lẫn và sai sót cho
tích cấp phân số đã có một lịch sử rất lâu đời bài toán cấp phân số. Vì giới hạn một bài báo nên
được đánh dấu bởi các nhà toán học nổi tiếng tôi chỉ trình bày khái niệm đạo hàm cấp phân số
như Lopital (1695), Wallist (1697), Euler (1738), yếu trong mục 2, các nội dung liên quan độc giả
Laplace (1812), Lacroix (1820), Fourier (1822), có thể đọc thêm trong tài liệu tham khảo.
Abel (1823), Liouville (1832), Riemain (1847), 2. Nội dung nghiên cứu
Leibniz (1853), Griinwald (1867), Letnikov 2.1. Phép vi phân phân số yếu
(1868) và nhiều nhà toán học khác. Trong mục này nếu không giải thích gì thêm
Hơn 20 năm trước, giải tích cấp phân số nhận thì trong mọi tình huống chúng ta đều hiểu tất
được sự quan tâm chú ý của cộng đồng các nhà cả các tích phân là Lebesgue. Chúng ta sử dụng
toán học thuần túy cũng như cộng đồng các nhà ký hiệu ± Dα là đạo hàm trái và đạo hàm phải cổ
khoa học ứng dụng. Ngày càng nhiều các mẫu điển cấp α . Ω là tập con của không gian một
phương trình vi phân cấp phân số đã đưa ra mà chiều . Trong trường hợp Ω =(a, b) , với bất
được mô tả rõ nét hơn về các ảnh hưởng của yếu kỳ ϕ ∈ C0 (Ω) , ϕ là ký hiệu mở rộng không của
∞
tố không gian cũng như thời gian. Giải tích phân ϕ lên .
số và phương trình vi phân phân số đã được tái 2.2. Đạo hàm cấp phân số yếu
sinh và kêu gọi được nhiều nghiên cứu. Mặc dù Cũng giống như đạo hàm cấp số nguyên, đạo
có rất nhiều thành tựu trong hơn 20 năm qua,
hàm cấp phân số yếu ± Dα u của hàm u được xác
nhưng rất nhiều vấn đề cơ bản vẫn chưa được làm
định là tác động lên hàm số có giá compact trơn
rõ như các quy tắc giải tích cơ bản, quy tắc tích và
chuỗi, ý nghĩa vật lý và hình học của đạo hàm cấp ϕ ∈ C0∞ (Ω) .
phân số và đặc trưng tính khả vi cấp phân số. Với Định nghĩa 2.1: Với α > 0 , ký hiệu [α ] là
phần nguyên của α . Với u ∈ L1 (Ω) ,
* Bộ môn Toán, Khoa Cơ sở cơ bản, trường ĐHHH Việt Nam Một hàm v ∈ L1loc (Ω) là đạo hàm cấp phân số
70 TẠP CHÍ QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ - Số 20 Quý 1/2022
- KHOA HỌC CÔNG NGHỆ
yếu trái của u nếu Ta có thể thay thế Ω trong định nghĩa trên bằng
∫ u( x) D ϕ ( x)dx, ∀ϕ ∈ C0 (Ω)
[ α]
∫ v( x)ϕ ( x)dx =(−1)
+ α ∞
tập E bị chặn trong và thay thế ϕ ∈ C0∞ (Ω) bằng
∩ {(c, d ) : E ⊂ (c, d )}
ϕ ∈ C0∞ (a * , b* ) với (a * , b* ) =
Ω Ω
Ta viết D u := v;
− α
là khoảng nhỏ nhất chứa E.
Một hàm w ∈ L1loc (Ω) là đạo hàm cấp phân số Mệnh đề 2.3: Cho u là khả vi Riemann-
yếu phải của u nếu Liouville sao cho ± Dα u ∈ L1loc (Ω) thì đạo hàm yếu
∫ w( x)ϕ ( x)dx =(−1) ∫ u( x)
[α ] −
Dα ϕ ( x)dx, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) cấp α của u bằng đạo hàm mạnh cấp α của u
hầu khắp mọi nơi .
Ω Ω
Ta viết + Dα u := w.
Mệnh đề sau cho thấy định nghĩa đạo hàm cấp Mệnh đề 2.4: Cho n − 1 < α < n . Đạo hàm
phân số yếu trên là một định nghĩa tốt. phân số yếu cấp α hội tụ tởi đạo hàm yếu cấp n
Mệnh đề 2.2: Cho u ∈ L1 (Ω) thì đạo hàm cấp hầu khắp nơi khi α → n.
phân số yếu của u nếu tồn tại là duy nhất. Chứng minh:
Chứng minh: Xét trường hợp khi n = 1 , các trường hợp
còn lại tương tự. Để chứng minh ± Dα u → Du hầu
Cho v1 , v2 ∈ L1loc (Ω) là đạo hàm cấp phân số
khắp nơi khi α → 1 , chúng ta thấy
yếu trái và phải của u , thì [α ]
0
= ∫ uϕ ' dx + lim( −1) ∫ u( x) D α ϕ dx
∫ v ( x)ϕ ( x)dx =(−1) ∫ u( x) D ϕ ( x)dx =∫ v ( x)ϕ ( x)dx, ∀ϕ ∈ C (Ω)
[α ] α ± ∞
1 2 0 α
→1
Ω Ω
Ω Ω Ω
Do đó, = lim ∫ ± Dα uϕ dx − ∫ Du ⋅ ϕ dx
0 ∫ (v ( x) − v ( x))ϕ ( x)dx, ∀ϕ ∈ C (Ω)
∞
= 1 2 0 α →1
Ω Ω
Ω
= lim ∫ ( ± Dα u − Du ) ϕ dx,
Vì vậy, v1 = v2 hầu khắp mọi nơi. Chứng minh α →1
Ω
hoàn thành.
Kéo theo sự tồn tại của đạo hàm cổ điển của
Một vài nhận xét sau để hiểu rõ thêm về định
hàm ϕ ∈ C0 (Ω) .
∞
nghĩa trên.
2.3. Mối quan hệ với các đạo hàm khác
Nhận xét 2.1:
Các nhận định:
Hàm ϕ trong định nghĩa làm cho đạo hàm Khái niệm đạo hàm phân số yếu là sự thống
cấp phân số yếu có tính nội tại trong trường nhất của khái niệm vi phân cấp phân số với khái
hợp ± Dα ϕ độc lập với sự lựa chọn ± Dα , bởi vì niệm đạo hàm tương ứng.
=Dxα ϕ a =
Dxα ϕ F Dxα ϕ và x=
Dα ϕ x =
Dbα ϕ F Dα ϕ . Đạo hàm cấp phân số yếu có thể tồn tại khi
[α ]
Hằng số (−1) bảo đảm cho sự tồn tại trong không tồn tại đạo hàm cấp phân số cổ điển.
trường hợp cấp số nguyên. Hàm không có đạo yếu cấp 1 vẫn có thể có
Phép tích phân từng phần có thể thực hiện đạo hàm cấp phân số yếu.
theo định nghĩa này. Trước tiên, xét một ví dụ đơn giản để minh
Lý do cần điều kiện u ∈ L1 (Ω) bởi vì họa nhận định (a)
±
D ϕ ∈ L∞ () không có giá compact. Khi α ∈
α 2.4. Xấp xỉ và đặc trưng hóa của đạo hàm
điều kiện có thể chuyển thành L1loc (Ω) . Thực tế thì cấp phân số yếu
sự hạn chế u ∈ L1 (Ω) có thể là L1 , u ∈ L1 (Ω, ρ ) Giống như trường hợp cấp số nguyên, chứng
với ρ = L ' hoặc ρ = R '. minh rằng một hàm khả vi cấp phân số yếu có thể
Như đã thấy, đạo hàm cấp phân số yếu là phụ xấp xỉ bởi các hàm trơn. Không nói gì thêm thì
thuộc vào miền. Tuy nhiên, không giống như đạo chúng ta giả sử 0 < α < 1 .
hàm cấp phân số cổ điển miền phụ thuộc hiện Trường hợp khoảng hữu hạn
ngay trong giới hạn của tích phân. Với định nghĩa Trước hết xét trường hợp khi= Ω : (a, b) ⊂ là
này miền bị ẩn trong hàm ϕ ∈ C0 (Ω) .
∞ một khoảng hữu hạn. Cho ε > 0 , ta định nghĩa ε -
Định nghĩa trên có thể mở rộng ra miền không miền trong của Ω là Ω= ε { x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) > ε } .
phải là một khoảng hoặc miền là tập con của Ω . Bổ đề 2.5: Giả sử ± Dα u ∈ L1loc (Ω) tồn tại thì
TẠP CHÍ QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ - Số 20 Quý 1/2022 71
- KHOA HỌC CÔNG NGHỆ
±
=
ε
Dα u ηε *± Dα ,∈ Ωε với ηε là điều chỉnh tiêu
Nhận xét 2.3: Kết luận của mệnh đề trên vẫn
đúng khi thay thế Lloc (Ω) bằng Lq (Ω) .
q
ε
chuẩn, u là khích lệ của u , mở rộng không của u
Thừa nhận phát biểu trên, bạn đọc có thể tìm Trường hợp, miền vô hạn
hiểu thêm trong tài liệu tham khảo. Xét trường hợp Ω = . Cho thấy sự khác biệt
Định lý sau cho đặc trưng của đạo hàm yếu hoàn toàn với trường hợp khoảng hữu hạn. Nói
cấp phân số. một cách cụ thể, nó đòi hỏi xây dựng dãy xấp xỉ
Định lý 2.6: Cho u ∈ L1 (Ω) thì mà có giá compact cho mỗi hàm khả vi cấp phân
v = ± Dα u ∈ L1loc (Ω) nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy
số.
Bổ đề 2.8: Giả sử ± Dα u ∈ L1loc () tồn tại thì
{u j } ⊂ C ∞ (Ω) sao cho u j → u thuộc L1 (Ω) và
∞
j =1 ±
= Dα u ε ηε *± Dα u,∈
α
±
D u j → v ∈ L1loc (Ω) khi j → ∞ Định lý tiếp theo cho ta đặc trưng của đạo hàm
Chứng minh: cấp phân số yếu trên
1
Cho u ∈ L (Ω) và u ε là động viên của nó. Định lý 2.9: Giả sử u ∈ L1 () thì
Bước 1: Giả sử rằng v = ± Dα u ∈ L1loc (Ω) . Cho= v ± Dα u ∈ L1loc () tồn tại nếu và chỉ nếu tồn tại
u là động viên của u . Do tính chất của động một dãy {u }∞ ⊂ C ∞ () sao cho u → u thuộc
ε
{ }
j j =1 j
ε
viên nên u → u ∈ L1 (Ω) khi ε → 0 . Do đó, u
ε
là dãy chúng ta cần có. L1 () và ± Dα u j → v ∈ L1loc () khi j → ∞ .
Chứng minh:
Bước 2: Giả sử rằng {u j } j =1 ⊂ C ∞ (Ω) và u j → u
∞
Bước 1: Giả sử tồn tại v ∈ L1loc () và
thuộc L (Ω) và D u j → v ∈ Lloc (Ω) thì với bất {u } ⊂ C ∞ () sao cho u j → u thuộc L1 () và
1 ± α 1 ∞
j j =1
kỳ ϕ ∈ C0∞ (Ω) ta có ±
Dα u j → v ∈ L1loc () . Ta chứng tỏ rằng v = ± Dα u
∫ (u − u j )( x) D ϕ ( x)dx ≤ M . u − u j L (Ω) → 0, khi j → ∞ hầu khắp nơi. Với mỗi ϕ ∈ C0 () ta có
α ∞
1
Ω
∫ (u − u )( x) Dα ϕ ( x)dx ≤ ∫ (u − u j )( x) Dα ϕ ( x) dx ≤ u − u j Dα ϕ
± ± j L1 ( )
∫ D (u j − v)( x)ϕ ( x)dx ≤ ∫(
α α
D u j − v)( x)ϕ ( x)dx ≤ M . D u j − v ± α
→ 0, khi j → ∞
L1 (K)
Ω K
∫ (u − u )( x) Dα ϕ ( x)dx ≤ ∫ (u − u j )( x) Dα ϕ ( x) dx ≤ u − u j Dα ϕ → 0, khi j → ∞
j L1 ( ) L∞ ( )
→ 0, khi j → ∞ vì K := sup p (ϕ ) là
α
v)( x)ϕ ( x)dx ≤ M . D u j − v
±
L1 (K)
±
compact. Kéo theo định nghĩa của đạo hàm cấp ∫ (v − Dα u j )( x)ϕ ( x)dx ≤ ∫ (v − ± Dα u j )( x) ϕ ( x) dx
phân số yếu
∫ (v − D u j )( x) ϕ ( x) dx ≤ v − ± Dα u j
α
±
= ±
.ϕ → 0, khi j → ∞
∫∫ (uv(−x)D± Duα ϕ)(( xx))ϕdx( x= ≤ [∫α ] lim
α
(−1)[
α] )d(x−1) ± α
(v − uD( xu) )(Dxα)ϕϕ((xx))ddxx
j →∞ ∫
j j L1 (K) L∞ ( )
j K
Ω Ω
=
=lim ∫ ∫D
±
K
(αv − ± Dα u j )( x) ϕ ( x) dx ≤ v − ± Dα u j
u j ( x)ϕ ( x)dx=∫ v( x)ϕ ( x)dx L1 (K)
.ϕ L∞ ( )
→ 0, khi j → ∞
j →∞
Ω Ω
K := sup p (ϕ )
Với sự duy nhất về định nghĩa của đạo hàm
Từ bất đẳng thức này và định nghĩa của đạo
cấp phân số yếu, kết luận rằng v = ± Dα u hầu khắp
hàm yếu ta được
nơi. Chứng minh được hoàn thành.
Hệ quả 2.7: Cho u ∈ Lp (Ω) với 1 ≤ p < ∞ .
(−1)[
α]
∫ u ( x) (−1)[ ] lim ∫ u j ( x) Dα ϕ ( x)dx
α
D α ϕ ( x ) dx =
j →∞
Thì v = ±
Dα u ∈ Lqloc (Ω) với 1 ≤ p < ∞
±
=lim ∫ D u j ( x)ϕ ( x)dx=∫ v( x)ϕ ( x)dx
α
nếu và chỉ nếu {u j } j =1 ⊂ C ∞ (Ω) sao cho u j → u
∞ j →∞
p ± α
L (Ω) và D u j → v ∈ L (Ω) khi j → ∞ . q Với sự duy nhất của đạo hàm yếu ta suy ra
loc
v = ± Dα u hầu khắp nơi.
72 TẠP CHÍ QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ - Số 20 Quý 1/2022
- KHOA HỌC CÔNG NGHỆ
Bước 2: Giả sử rằng u ∈ L1 () và (iv) Tính tồn tại: nếu u khả vi yếu cấp 1, thì
với α (< 1) ta có đạo hàm yếu cấp α sẽ hội tụ về
=v: ±
Dα u ∈ L1loc () . Ta cần chứng minh tồn tại dãy đạo hàm yếu cấp 1.
{u }
∞
j ⊂ C ∞ () sao cho u j → u thuộc L1 () và 3. Kết luận
j =1
Trong khuôn khổ một bài báo, tác giả mới
±
Dα u j → v ∈ L1loc () . Cuối cùng, cho ψ ∈ C ∞ () trình bày được định nghĩa đạo hàm cấp phân số
thỏa mãn ψ (t ) = 1 nếu t ≤ 0 và ψ (t ) = 0 nếu t ≥ 1 yếu và một số vấn đề liên quan. Nhờ định nghĩa
Cho j 1, 2,3,...;ψ j ∈ C0∞ () được định nghĩa
=
này chúng ta có thể phát biểu thêm được các quy
tắc tích và chuỗi cho đạo hàm cấp phân số yếu
( x) : ψ ( x − j ). Cho u j = η 1 *(ψ j u). Thì
bởi ψ j= tương tự như đạo hàm cấp phân số cổ điển. Ngoài
j
ra, định nghĩa mới mẻ này còn cho phép chúng
u j ∈ C0∞ () và u j → u thuộc L1 () khi j → ∞ . ta xây dựng một lý thuyết nền tảng của giải tích
Ta cũng phát biểu rằng α cấp phân số yếu như đặc trưng hóa của hàm khả
±
D u j → v ∈ L1loc ()
vi cấp phân số yếu cụ thể, một hàm khả vi cấp
khi j → ∞ điều này chứng minh cho kết luận của phân số yếu là một hàm khả vi cấp phân số cổ
hệ quả bên dưới. điển hầu khắp nơi. Điều này gần như tương tự
Hệ quả 2.10: Giả sử u ∈ Lp () với 1 ≤ p < ∞ đặc trưng của hàm khả vi yếu cấp 1. Rõ rang, tính
thì=v: ±
Dα u ∈ Lqloc () với 1 ≤ q < ∞ nếu và chỉ liên tục tuyệt đối đặc trưng cho tính khả vi yếu thì
tính liên tục tuyệt đối của hàm ± I 1−α u đặc trưng
{u }
∞
nếu tồn tại một dãy ⊂ C0∞ () sao cho
j j =1 cho hàm khả vi cấp phân số yếu. Quá trình chứng
u → u thuộc Lp () và ± Dα u j → v ∈ Lqloc () khi minh tất cả những khẳng định trên có sự khác biệt
j → ∞. khá lớn khi xét trên miền vô hạn với khi xét trên
Nhận xét 2.4: Kết luận của hệ quả trên vẫn miền hữu hạn. Chúng ta cũng sẽ xây dựng được
đúng khi ta thay Lqloc () bởi Lq () . đạo hàm cấp phân số yếu của hàm phân phối để
2.5. Tính chất cơ bản của đạo hàm cấp phân cho thấy định nghĩa này tốt trên mọi loại hàm số.
số yếu Một định nghĩa về đạo hàm cấp phân số yếu có
Sau đây là một vài tính chất sơ cấp của đạo thể tạo ra nền tảng để xây dựng một hệ thống các
hàm cấp phân số yếu. lý thuyết đồ sộ sau này và tạo động lực thêm cho
Mệnh đề 2.11: Cho α , β > 0, λ , µ ∈ và cho nhiều nghiên cứu, ứng dụng của nó trong tương
u , v khả vi yếu cấp tương ứng. Những tính chất lai gần.
sau là đúng
(i) Tính tuyến tính: Tài liệu tham khảo
±
Dα (λu + µ= v) λ ± Dα (u ) + µ ± Dα (v). 1. B. Guo, X. Pu and F. Huang (2015),
(ii) Tính bao hàm: Cho 0 < α < β < 1 , giả sử Fractional Partial Differential Equations and
rằng u khả vi yếu cấp β thì u cũng khả vi yếu Their Numerical Solutions, World Scientific
cấp α . Publishing Co., London.
(iii) Tính nửa nhóm: 2. R. Hilfer (2000), Applications of Fractional
Giả sử 0 < α , β , α + β < 1 Calculus in Physics, World Scientific Press.
α β α +β 1 3. R.A.Adams (1975), Sobolev Spaces, Pure
và D (u ), D (u ), D (u ) ∈ L (Ω
± ± ±
and Applied Mathematics, Vol. 65, Academic
thì ±
Dα ± D β u = ± Dα + β u . Hơn nữa, nếu α > 1 Press, New York.
±
thì= Dα u ±
D[ ] u D[ ] ( ± Dσ )u
=
α +σ α 4. Đặng Anh Tuấn (2016), Lý thuyết hàm suy
rộng và không gian Sobolev, NXB Đại học Quốc
với σ= α − [α ] . gia, Hà Nội.
TẠP CHÍ QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ - Số 20 Quý 1/2022 73
nguon tai.lieu . vn
