- Trang Chủ
- Hoá học
- Phép phân tích trực chuẩn phân tích dữ liệu trong bài toán cơ học chất lỏng
Xem mẫu
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8
PHÉP PHÂN TÍCH TRỰC CHUẨN PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
TRONG BÀI TOÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG
Nguyễn Đức Hậu
Trường Đại học Thủy lợi, email: ndhau.dhtl@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG trong không gian con với số chiều là
N POD dạng:
Phương pháp phân tích trực giao theo giá
N POD
trị riêng (Proper Orthogonal Decomposition-
POD) là một phương pháp phân tích các dữ
u ( X) ≈ ∑ ( u,Φ i )Φ i ( X ) .
i =1
liệu, nó xấp xỉ một hệ các phương trình có số Điều kiện tối ưu hóa theo nghĩa tích vô
chiều lớn thành hệ có cỡ nhỏ hơn. Phương hướng trên không gian hàm H theo nghĩa
pháp này được sử dụng trong cơ học chất tìm được các modes Φ i ∈ H ( Ω ) trực chuẩn
lỏng bởi Lumley [1] năm 1967 để xác định sao cho cực tiểu hóa sai số sau:
cấu trúc của dòng chảy rối và sau đó xây N POD
dựng một mô hình rút gọn có thể xấp xỉ được u ( X) − ∑ ( u,Φ i )Φ ( X ) ,
năng lượng của dòng chảy. Ý tưởng ban đầu i =1
của phương pháp POD là công cụ để xử lý trong đó . kí hiệu là trung bình theo thời
các dữ liệu tuy nhiên sau đó phương pháp gian của tập hợp các dữ liệu ban đầu
này được sử dụng rất nhiều để xấp xỉ hệ Theo Lumley 1967 bài toán cực tiểu hóa
phương trình Navier-Stokes để xây dựng lại trên dẫn đến bài toán cực đại hóa sau:
và kiểm soát dòng chảy. Phương pháp POD Xác định các véc tơ đơn vị trên không
là một phương pháp tuyến tính trong đó ta sẽ gian H* ( Ω ) = H ( Ω ) \ {0} sao cho có cực đại
xác định một hệ sơ sở trực chuẩn để xấp xỉ
(một cách tối ưu) các dữ liệu ban đầu là tập hóa sau:
hợp rời rạc hoặc liên tục có cỡ lớn (các kết ( u,Ψ )2
quả thực nghiệm hay là các kết quả số tại các max .
thời điểm khác nhau).
Ψ ∈H* ( Ω ) (Ψ ,Ψ )
Ta định nghĩa toán tử tuyến tính:
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU K : H (Ω ) → H (Ω )
Ta xét các dữ liệu dạng u( X ) với xác định Ψ 6 K (Ψ ) = ( C ( X ,.) ,Ψ ( X ) ) ,
trên H ( Ω ) . H là một không gian Hilbert với
với C ( X , X' ) = u ( X ) u ( X' ) là ten sơ tương
tích vô hướng ( .,.) với chuẩn . H và Ω là
giao có tính chất đối xứng.
một miền không gian và thời gian Dễ dàng chứng minh được toán tử K là
Ω = X × [ 0,T ] với T > 0 . H là không gian toán tử đối xứng, không âm nghĩa là
L2 ( Ω ) với tích vô hướng: ∀Φ ,Ψ ∈ H ( Ω ) ta có:
(Φ ,Ψ ) = ∫ Φ ( X )Ψ ( X ) dX . ( KΦ ,Ψ ) = (Φ ,KΨ ) ,
Ω
( KΦ ,Φ ) ≥ 0 .
Phương pháp POD cổ điển là phương pháp
xấp xỉ ở đó ta xác định một hệ cơ sở trực Theo định lý Riesz về phổ của toán tử
chuẩn từ đó ta xác định xấp xỉ tốt nhất của u tuyến tính K có vô hạn các giá trị riêng thực
156
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8
không âm có thể được sắp theo thứ tăng dần ∞
C ( X , X' ) = ∑ λiΦ i ( X )Φ i ( X' ) .
λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ ... ≥ 0 , và i =1
+∞
Vì {Φ i } trực chuẩn nên ta có:
∑ λi < ∞.
i =1 ai a j = ( u,Φ i ) u,Φ j ( )
Các hàm riêng của K là trực giao. Ta có
thể chọn các hàm riêng là trực chuẩn. Bài
toán cực đại hóa trên trở thành tìm Ψ ∈ H *
= ∫ u ( X )Φ i ( X ) d X ∫ u ( X ' )Φ j ( X ' ) d X '
H H
sao cho:
( KΨ ,Ψ ) = max ( KΦ ,Φ ) .
= ∫ ∫ u ( X ) u ( X' ) Φ i ( X )Φ i ( X' ) dXdX'
HH
(Ψ ,Ψ ) Φ ∈H*( Ω ) (Φ ,Φ )
Xét hàm FΦ : \→ \ xác định bởi công
= ∫ KΦ i ( X' )Φ j ( X' ) dX'
H
thức: (
= KΦ i ,Φ j )
FΦ ( ε ) =
( K (Ψ + εΦ ) ,Ψ + εΦ ) . = λi (Φ i ,Φ j )
(Ψ + εΦ ,Ψ + εΦ )
= λiδ ij .
Nhận thấy rằng FΦ ( ε ) ≤ FΦ ( 0 ) và
FΦ ' ( 0 ) = 0 .
Giá trị riêng λi = ai 2 tương ứng với động
Từ đó dẫn đến: năng trung bình sinh ra bởi mode thứ i . Động
( KΨ ,Ψ ) Ψ ,Φ . năng toàn phần của cả bài toán là:
(Ψ ,Φ ) = ( ) ∞ ∞
(Ψ ,Ψ ) ∫ C ( X, X ) dX = ∑ ai 2 = ∑ λi = E .
Đặt λ =
( KΨ ,Ψ ) . H i =1 i =1
(Ψ ,Ψ ) Động năng sinh ra đối với hệ cơ sở
Vậy Ψ là nghiệm của bài toán: POD là:
N POD
KΨ = λΨ .
Bài toán tối ưu hóa bây giờ trở thành bài
E N POD = ∑ λi .
i =1
toán giá trị riêng. Tất cả các véc tơ riêng Ψ Ta có hai tiêu chuẩn để đánh giá một hệ cơ
tương ứng các giá trị riêng lớn nhất của K . sở POD được chọn. Tiêu chuẩn thứ nhất là
Các modes POD chính là các hàm riêng của sai số:
toán tử K tương ứng với N POD các giá trị N POD 2
riêng lớn nhất. Và bài toán cực tiểu hóa được S ( N POD ) = u− ∑ ( u,Φ i )Φ i ( X ) .
i =1
xét trên hệ cơ sở rút gọn với số chiều
là N POD . Tiêu chuẩn thứ hai là tỉ số giữa động năng
Công thức xấp xỉ trở thành: của hệ cơ sở POD với động năng toàn phần:
N POD E N POD
T ( N POD ) = .
u ( X) ≈ ∑ aiΦ i ( X ) , E
i =1
Trong thực hành tiêu chuẩn thứ hai thường
trong đó các modes POD {Φ i } trực chuẩn
được sử dụng để đánh giá số lượng mode cần
(Φ i ,Φ j ) = δij và hệ số ai được xác định bởi thiết để sinh ra đủ động năng cần thiết.
ai = ( u,Φ i ) .
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Nếu N POD → ∞ ta nhận được công thức
đúng: a) Trường hợp rời rạc với số chiều
∞ hữu hạn
u ( X ) = ∑ aiΦ i ( X ) . Trong bài toán thực nghiệm hay là bài toán
i =1 mô hình số mô phỏng dòng chảy dữ liệu nhận
Ten sơ tương giao được xác định bởi: được sắp xếp dưới dạng ma trận.
157
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019. ISBN: 978-604-82-2981-8
⎡ u ( x1 ,t1 )
⎢
u x1 ,t Nt ⎤
"
⎥
( ) lại của bùn cát trong phòng thí nghiệm của
trường hợp e13 (xem [2]). Hình 2 là chín
U =⎢ " " " ⎥ modes đầu tiên trong hệ cơ sở POD snapshot
⎢ ⎥
⎢u xN x ,t1
⎣ ( )
" u xN x ,t Nt ⎥
⎦ ( ) đối với trường nồng độ. Ta thấy rằng modes
ở đó N x là số các điểm không gian x rời rạc đầu tiên ứng với giá trị riêng lớn nhất là
trung bình của cả quá trình diễn tiến của
(các điểm đo trong bài toán thực nghiệm hay nồng độ khối. Các modes tiếp theo thể hiện
là các nút lưới trong bài toán mô phỏng) và rõ hơn quá trình rời của bùn cát. Chín modes
Nt là số các thời điểm nghiên cứu.
này sinh ra khoảng 90% động năng của hệ
Khi đó cực tiểu hóa sai số trong trường ban đầu.
hợp rời rạc là:
Nt N POD
1
min
Nt
∑ u ( x,ti ) − ∑ a j ( ti )Φ j ( x )
i =1 j =1
Ma trận ten sơ tương giao cỡ N x × N x xác
định bởi:
Hình 2. Chín modes đầu tiên
⎡ 1 ⎤
Cx = ⎢
⎣ Nt
( ( ))
u ( xi ) ,u x j ⎥
⎦
của hệ cơ sở POD
4. KẾT LUẬN
b) Phương pháp POD snapshot
Phương pháp POD snapshot được đưa ra Trong bài báo này tác giả trình bày về hai
bởi Sirovich [3] năm 1987. Mục đích trong phương pháp phân tích trực chuẩn: Phương
phương pháp này là phép lấy trung bình được pháp POD cổ điển và phương pháp POD
lấy theo không gian còn ma trận ten sơ tương snapshot. Trong đó phương pháp POD
giao sẽ phụ thuộc vào thời gian có cỡ là snapshot được sử dụng khi kích cỡ của biến
Nt × Nt : thời gian nhỏ hơn đáng kể so với kích cỡ của
Ct = ⎡⎣Cij ⎤⎦ biến không gian. Một áp dụng của phương
với pháp POD snapshot trong phân tích dữ liệu
số của mô hình hai pha mô phỏng dòng chảy
Cij =
1
Nt
( ( ))
u ( ti ) ,u t j và vận chuyển bùn cát đối với trường nồng
độ bùn cát được xem xét.
Phương pháp POD snapshot được dùng
trong trường hợp khi N x thực sự lớn hơn Nt . 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
Đó chính là các trường hợp với các dữ liệu là [1] Lumley, J. L. (1967), The structure of
kết quả thực nghiệm hay kết quả số. inhomogeneous turbulent flows,
c) Áp dụng phương pháp POD snapshot Atmospheric turbulence and radio wave
propagation, Moscow: Nauka, 167-178.
Tiếp theo ta sẽ sử dụng phương pháp POD
[2] Nguyen D.H., Guillou S., Nguyen K.D.,
để phân tích kết quả số của mô hình hai pha. Pham Van Bang D., Chauchat J. (2012),
“Simulation of dredged sediment releases
into homogeneous water using a twophase
model”. Advances in Water Resources 48,
102–112.
[3] Sirovich, L. (1987), Turbulence and the
Hình 1. Nồng độ bùn cát trong kết quả số dynamics of coherent structures, Quarterly
of Applied Mathematics, 5, 561-590.
Trong Hình 1 biểu diễn kết quả số của mô
hình hai pha khi mô phỏng quá trình rơi trở
158
nguon tai.lieu . vn
