- Trang Chủ
- Toán học
- Phát triển suy luận của học sinh qua tiếp cận kết thúc mở có sử dụng biểu diễn đồ thị hàm số
Xem mẫu
- PHÁT TRIỂN SUY LUẬN CỦA HỌC SINH QUA TIẾP CẬN KẾT THÚC MỞ
CÓ SỬ DỤNG BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PHAN THỊ THÚY HÀ
Trường THPT số 1 Bố Trạch, Quảng Bình
Tóm tắt: Tiếp cận kết thúc mở là phương pháp dạy học có thể giúp người học có
thể tự khám phá các kiến thức theo cách riêng của mình. Bài viết này sẽ nêu ra
những vai trò của tiếp cận kết thúc mở có sử dụng biểu diễn đồ thị hàm số đối với
sự phát triển suy luận của học sinh. Những tình huống tiếp cận kết thúc mở được
thiết kế phù hợp sẽ giúp học sinh huy động nhiều kiến thức, kỹ năng đã biết từ đó
đề xuất cách tiếp cận và khám phá tri thức mới.
Từ khóa: suy luận, tiếp cận kết thúc mở, biểu diễn trực quan, biểu diễn đồ thị hàm số
1. MỞ ĐẦU
Trong cuộc sống hàng ngày con người thường tiếp xúc với những tình huống hoặc vấn đề với
những thông tin chưa đầy đủ, ví dụ như: bác sĩ quan sát các triệu chứng của bệnh nhân, thám
tử quan sát hiện trường của vụ việc, chúng ta quan sát hiện tượng bãi cỏ bị ướt… Từ những
quan sát và chứng cớ thu thập được, con người hình thành nên những giả thuyết để lý giải cho
tình huống hoặc vấn đề thực tế đó.
Các biểu diễn là một công cụ mạnh để khám phá các vấn đề toán học; cho phép học sinh trao
đổi các cách tiếp cận bài toán, những lý lẽ và việc hiểu của các em; giúp học sinh nhận thấy ý
nghĩa của các khái niệm toán học và mối quan hệ giữa chúng; áp dụng toán vào những vấn đề
thực tế (NCTM, [3]).
Như vậy, việc tạo ra các tình huống học tập với những vấn đề thiếu thông tin là cần thiết trong
dạy học toán. Nghiên cứu gần đây liên quan đến phương pháp tiếp cận kết thúc mở như:
Becker & Shimada [2], tác giả đã đưa ra khái niệm phương pháp tiếp cận kết thúc mở, vai trò
của phương pháp tiếp cận kết thúc mở trong dạy học; Trần Vui [5] đã đưa ra khái niệm câu
hỏi kết thúc mở, các ưu điểm và hạn chế của câu hỏi kết thúc mở.
Phương pháp dạy học tiếp cận kết thúc mở có vai trò như thế nào trong việc phát triển tư duy
cũng như khả năng suy luận của học sinh? Các vấn đề được xây dựng trong tình huống tiếp
cận kết thúc thỏa mãn những yêu cầu nào? Trong khuôn khổ bài báo này, tác giả chỉ đề cập
đến một số tình huống dạy học tiếp cận kết thúc mở có sử dụng biểu diễn đồ thị hàm số nhằm
phát triển khả năng suy luận của học sinh đã được kiểm chứng qua thực nghiệm.
2. NỀN TẢNG LÝ THUYẾT
2.1. Các loại suy luận
Suy luận là quá trình sử dụng những kiến thức đã biết đến để kết luận, đưa ra những phán
đoán mới hay giải thích cho các kết quả. Theo Peirce [4] thì một hành động suy luận phải
thuộc ít nhất một trong ba loại cơ bản: suy diễn, quy nạp và ngoại suy.
Suy diễn là quá trình suy luận từ một quy tắc đã biết đến và một trường hợp để dẫn đến một
kết quả.
Quy nạp là quá trình suy luận từ một trường hợp và kết quả để đi đến một quy luật.
Ngoại suy là quá trình suy luận đi từ một quy tắc đã biết và một kết quả để đưa ra một trường hợp.
Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sau Đại học lần thứ hai
Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 10/2014: tr. 35-41
- 36 PHAN THỊ THÚY HÀ
Một quy trình suy luận tổng quát có thể tiến hành như sau: ngoại suy với vai trò là đề xuất
một lý thuyết; sử dụng suy diễn để suy ra từ ý tưởng lý thuyết đó một loạt các hệ quả khác
nhau dẫn đến đòi hỏi tiến hành thực hiện các thực nghiệm; nếu các dự đoán ban đầu về lý
thuyết được kiểm chứng, chúng ta tin tưởng rằng lý thuyết đề ra ban đầu là đúng.
2.2. Vấn để kết thúc mở
Vấn đề kết thúc mở là những vấn đề được xây dựng để có nhiều câu trả lời xác đáng (Becker
& Shimada, [2], pp. 1).
Vấn đề kết thúc mở có nội dung toán cụ thể cho phép học sinh trả lời một cách phù hợp tùy
theo mức độ của học sinh. Hầu hết các vấn đề có kết thúc mở đòi hỏi sự nhập cuộc trí tuệ của
học sinh, nó tạo điều kiện cho các em học tập thông qua sự nhập cuộc. Nhiều vấn đề loại này
cũng cho cơ hội thành lập tổng quát hóa từ những kết quả đạt được (Trần Vui, [5]).
2.3. Tiếp cận kết thúc mở
Theo Becker & Shimada [2], trong phương pháp tiếp cận kết thúc mở, một vấn đề “chưa đầy
đủ” được trình bày đầu tiên; bài học sau đó tiến hành bằng cách sử dụng nhiều câu trả lời xác
đáng cho vấn đề, cung cấp kinh nghiệm trong việc tìm kiếm một cái gì đó mới trong tiến
trình. Điều này có thể được thực hiện thông qua kết hợp kiến thức của học sinh, kỹ năng, hay
cách suy nghĩ trước đây đã được học.
Trong phương pháp tiếp cận kết thúc mở giáo viên cho học sinh một tình huống với các vấn
đề mà các giải pháp hoặc câu trả lời không phải xác định một cách duy nhất. Giáo viên sử
dụng sự đa dạng của cách tiếp cận vấn đề để cung cấp cho học sinh kinh nghiệm trong việc
tìm kiếm hoặc khám phá những điều mới.
2.4. Biểu diễn trực quan
Theo Arcavi [1], trực quan hóa là khả năng, quá trình và sản phẩm của sự sáng tạo, giải thích,
sử dụng và phản ánh dựa trên các hình vẽ, hình ảnh, sơ đồ trong tâm trí của chúng ta, trên
giấy hay trên các công cụ khoa học công nghệ với mục đích mô tả và truyền đạt thông tin, tư
duy và phát triển các ý tưởng chưa biết trước đó để đi đến việc hiểu biết. Biểu diễn trực quan
không chỉ mang tính minh họa mà còn đóng vai trò công cụ cho quá trình suy luận toán học,
giúp học sinh đưa ra dự đoán và tìm kiếm các lý giải hợp lý khi tiến hành suy luận ngoại suy.
2.5. Các bài toán kết thức mở liên quan đến đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số được xem là một biểu diễn trực quan của các hàm số. Dựa vào biểu diễn đồ thị
hàm số, chúng ta có thể nhận xét được các tính chất của các hàm số chẳng hạn: tính đơn điệu,
tính liên tục, cực trị của một hàm số, sự tương giao giữa các đồ thị hàm số… Các bài toán kết
thúc mở có sử dụng đồ thị hàm số giúp học sinh suy luận định hướng, xem xét các tính chất
của hàm số, mối quan hệ của các hàm số nhằm giải quyết vấn đề được đặt ra.
2.6. Vai trò của tiếp cận kết thúc mở có sử dụng biểu diễn đồ thị hàm số trong phát triển
suy luận của học sinh.
Theo Trần Vui [5], đặc trưng của các câu hỏi kết thúc mở đó là: không có phương pháp cố
định; không có lời giải cố định và có thể có nhiều lời giải; được giải theo nhiều cách khác
nhau và trên nhiều mức độ khác nhau; tạo cho học sinh cơ hội tự quyết định và và suy nghĩ
toán học một cách tự nhiên; phát triển những kỹ năng giao tiếp.
Theo Becker & Shimada [2], thì trong phương pháp tiếp cận kết thúc mở giáo viên giao cho
học sinh một tình huống với các vấn đề mà các giải pháp hoặc câu trả lời không phải xác định
một cách duy nhất. Giáo viên sử dụng sự đa dạng của cách tiếp cận vấn đề để cung cấp cho
- PHÁT TRIỂN SUY LUẬN CỦA HỌC SINH QUA TIẾP CẬN KẾT THÚC MỞ... 37
học sinh kinh nghiệm trong việc tìm kiếm hoặc khám phá những điều mới bằng cách kết hợp
tất cả những kiến thức, kỹ năng và phương pháp mà các em đã được học trước đây. Các hoạt
động được xây dựng trong lớp học để giúp học sinh: Toán học hóa các tình huống phù hợp;
tìm kiếm các quy tắc toán học hoặc các mối liên hệ bằng cách sử dụng tốt nhất các kiến thức
và kỹ năng của học sinh; giải quyết các vấn đề; kiểm tra kết quả. Điều này được thực hiện khi
học sinh: Nhìn thấy các kết quả của các học sinh khác; so sánh và kiểm tra những ý tưởng
khác nhau; sửa đổi và tiếp tục phát triển những ý tưởng của mình cho phù hợp.
Từ những kết quả nghiên cứu đã đề cập, chúng tôi đưa ra những vai trò của các tình huống
dạy học theo tiếp cận kết thúc mở có sử dụng biểu diễn đồ thị hàm số nhằm phát triển khả
năng suy luận của học sinh như sau:
a) Giúp học sinh phát triển các kỹ năng tư duy bậc cao như tư duy phê phán và tư duy
sáng tạo. Để giải quyết một vấn đề được đặt ra trong tình huống tiếp cận kết thúc mở,
học sinh cần phải huy động tối đa những kiến thức, kỹ năng và phương pháp đã học về
hàm số, học sinh cần tập trung vào những yếu tố của bài toán, thu thập và sắp xếp
thông tin trong bài toán, nhớ và kết hợp những thông tin đã học để giải quyết các bài
toán. Một tình huống dạy học theo tiếp cận kết thúc mở được kết thúc bằng việc giúp
học sinh tổng hợp các ý tưởng, tìm mối liên hệ giữa các ý tưởng, tìm kiếm các khía
cạnh của bài toán có thể phát triển từ đó có thể đề xuất các ý tưởng mới.
b) Học sinh có thể tiếp cận vấn đề theo nhiều cách khác nhau. Mỗi biểu diễn đồ thị hàm
số chứa đựng nhiều thông tin chẳng hạn: tính đơn điệu, cực trị, tính đối xứng… do đó
với mỗi học sinh tùy theo khả năng của mình để có thể tiếp cận vấn đề theo nhiều cách
khác nhau.
c) Khảo sát các tính chất một cách trực quan và dễ dàng hơn. Dựa vào đồ thị các em có
thể dễ dàng phát hiện ra những cấu trúc, quy luật, tính chất của các vấn đề được cho
trong tình huống; đặc biệt với các biểu diễn đồ thị hàm số được xây dựng trên phần
mềm hình học động có thể giúp học sinh khảo sát bài toán một cách toàn diện hơn do
có thể thay đổi dữ kiện.
d) Phù hợp với tất cả các học sinh. Các vấn đề được xây dựng vừa phải thỏa mãn điều
kiện không quen thuộc vừa phải phù hợp với tất cả các đối tượng. Các học sinh có thể
học tập thông qua trao đổi các ý tưởng cho nhau, sửa đổi và tiếp tục phát triển những ý
tưởng của mình cho phù hợp.
e) Tạo động lực để học sinh tìm kiếm lời giải thích. Từ việc quan sát biểu diễn đồ thị, học sinh
có thể định hướng và đề xuất những giả thuyết giải thích cho kết quả thu được của mình.
3. MỘT SỐ TÌNH HUỐNG DẠY HỌC THEO TIẾP CẬN KẾT THÚC MỞ CÓ SỬ DỤNG
BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ
3.1. Xác định phương trình của một hàm bậc hai
Vẽ đồ thị của hai hàm số y f ( x) và y g ( x) trên cùng một hệ trục tọa độ. Từ phương trình
y f ( x) x2 yêu cầu học sinh xác định phương trình y g ( x) .
Trong tình huống này, các thông tin để xác định hàm số y g ( x) đã được giấu đi. Để giải bài
toán học sinh phải bổ sung các thông tin cần thiết dựa vào mối quan hệ giữa hai đồ thị hàm số.
Có rất nhiều cách tiếp cận cho bài toán này chẳng hạn:
- 38 PHAN THỊ THÚY HÀ
- Xác định tọa độ các điểm mà đồ thị đi qua hoặc các yếu tố đặc biệt như đỉnh, trục đối
xứng, giao với các trục tọa độ.
- Xác định các mối quan hệ giữa đồ thị hàm số y f ( x) và y g ( x) chẳng hạn đồ thị của
hàm số y g ( x) là ảnh của đồ thị hàm số y f ( x) qua một phép biến hình nào đó.
Hình 1. Hình biểu diễn đồ thị của các hàm số y f ( x) và y g ( x)
Tình huống này có thể minh họa cho các vai trò a, b, d ở trên.
3.2. Khảo sát các tính chất của dãy số
Trên GSP5, sử dụng đồ thị của các hàm số để biểu diễn dãy số được cho bởi công thức truy
u1
hồi .
un aun 1 b, n (n 2)
Cách biểu diễn được thực hiện theo quy trình: Tạo các thanh trượt tham số , a, b, n ; vẽ đồ thị
của hàm số f ( x) x; g ( x) ax b với các giá trị tham số a, b có thể thay đổi được bằng cách
kéo rê các thanh trượt tham số tương ứng, giá trị có thể thay đổi bằng cách kéo điểm u1
trên trục Ox. Biểu diễn dãy số un như sau: Qua điểm u1 kẻ đường thẳng vuông góc với
trục Ox cắt đồ thị g ( x) ax b tại điểm M1 có tung độ g (u1 ) au1 b u2 , qua M1 kẻ đường
thẳng vuông góc với trục Oy cắt đồ thị f ( x) x tại điểm N1 có hoành độ bằng tung độ và
bằng u2 , ta có điểm u2 được biểu diễn trên trục hoành chấm tròn màu đen.Tiếp tục quy trình
này ta được dãy (un) được biểu diễn bởi các chấm tròn màu đen trên trục Ox.
Khảo sát các tính chất của dãy số khi:
1. , n thay đổi 2. , n, b thay đổi 3. , n, b, a thay đổi
Trong tình huống này, với mô hình hình học động, học sinh có thể tiến hành khảo sát các tính
chất của dãy số: tính đơn điệu, tính bị chặn, điều kiện để hội tụ bằng cách thay đổi các giá trị
của các tham số , b, a . Khi quan sát các biểu diễn đồ thị và thao tác các em có thể dễ dàng
nhận xét được các tính chất của dãy số và định hướng để đưa ra những lời giải thích. Đặc biệt,
giáo viên và học sinh có thể tiến hành khám phá xa hơn: như khảo sát tính chất của dãy số
được xác định cách thay đổi công thức y g ( x) .
Tình huống này có thể mô tả cho các vai trò a, b, c, d, e ở trên.
- PHÁT TRIỂN SUY LUẬN CỦA HỌC SINH QUA TIẾP CẬN KẾT THÚC MỞ... 39
Hình 2. Biểu diễn cho dãy số bằng đồ thị
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu trường hợp để quan sát học sinh thực hiện các
hoạt động trên lớp. Các tình huống dạy học đã được thực nghiệm tại trường THPT số 1 Bố
Trạch, Quảng Bình cụ thể: tình huống 3.1 và tình huống 3.2 chúng tôi tiến hành thực nghiệm
ở hai lớp 11A1, 11A2. Công cụ nghiên cứu bao gồm các mô hình thao tác động trên GSP,
bảng biểu diễn các đồ thị hàm số, các kế hoạch bài học, các phiếu học tập; dữ liệu thu thập
được bao gồm các bài làm của học sinh, hồ sơ ghi chép về tiến trình bài học và các hoạt động
của học sinh. Từ những dữ liệu có được, chúng tôi sẽ phân tích, đánh giá vai trò của các tình
huống dạy học theo tiếp cận kết thúc mở sử dụng biểu diễn đồ thị đối với việc phát triển khả
năng suy luận của học sinh.
5. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Với tình huống học tập thứ nhất (xác định một phương trình của hàm bậc hai), có rất nhiều ý
tưởng khác nhau để đưa ra kết quả cho bài toán: Một số học sinh thực hiện đo đạc và cố gắng
tìm các điểm mà đồ thị của hàm số y g ( x) đi qua, đa số cố gắng tìm một phép dời hình biến
đồ thị của hàm số y f ( x) thành đồ thị của hàm số y g ( x) . Quá trình suy luận được diễn ra
sôi nổi khi học sinh Long đề xuất ý tưởng tìm một phép dời hình biến đồ thị của y f ( x)
thành đồ thị của y g ( x) . Sau đây là đoạn hội thoại trong tiết học:
- Giáo viên: Các em hãy tìm nhiều mối quan hệ giữa đồ thị hàm số y f ( x) và y g ( x) ?
- Linh: Đồ thị của các hàm số y f ( x) và y g ( x) đều là một parabol.
- Long: Có lẽ đồ thị hàm số y g ( x) là ảnh của đồ thị hàm số y f ( x) qua một phép dời hình
nào đó?
- Giáo viên: Vì sao?
- Long: Bởi vì mọi phép dời hình đều không làm thay đổi tính chất của hình đó, biến một
parabol thành một parabol, mà y f ( x) và y g ( x) đều là parabol nên sẽ có một phép biến
hình biến đồ thị hàm số y g ( x) .
- 40 PHAN THỊ THÚY HÀ
Sự ngoại suy của Long được xuất hiện với ý tưởng là tạo ra một trường hợp mới từ một quy
tắc đã biết đến và sự liên kết giữa các quy tắc và thực tế quan sát.
Kết quả: Đồ thị của hai hàm số y f ( x) và y g ( x) đều là các parabol.
Quy tắc: Một phép dời hình biến một parabol thành một parabol.
Trường hợp: Đồ thị của y g ( x) là ảnh của đồ thị hàm số y f ( x) qua một phép dời hình.
Kết quả là có rất nhiều cách để giải thích cho ý tưởng của Long, các em đã đưa ra nhiều phép
dời hình khác nhau để biến đồ thị của hàm số y f ( x) thành đồ thị hàm số y g ( x) . Vấn đề
nêu ra trong tiết dạy thực nghiệm bằng cách giấu đi các thông tin để xác định g ( x) đã tạo cơ
hội cho học sinh liên kết tất cả những kiến thức, mặc dù một số lời giải thích đưa ra là chưa
hoàn chỉnh, nhưng các em đã khai thác tối đa các kiến thức đã học của mình để giải quyết vấn
đề được nêu ra. Sau đây là một số bài làm của học sinh:
Hình 3. Sử dụng phép tịnh tiến và đối xứng
trục
Hình 4. Sử dụng phép tịnh tiến và phép đối
xứng tâm Hình 5. Sử dụng nhiều cách giải khác nhau
Với tình huống học tập thứ hai, bằng quan sát các biểu diễn đồ thị và thao tác lên các đối
tượng học sinh đề xuất những kết quả về tính đơn điệu, bị chặn và hội tụ của các dãy số. Và từ
những trường hợp cụ thể học sinh có thể khái quát trong trường hợp tổng quát.
Hình 6. Quá trình quy nạp của học sinh
- PHÁT TRIỂN SUY LUẬN CỦA HỌC SINH QUA TIẾP CẬN KẾT THÚC MỞ... 41
6. KẾT LUẬN
Các tình huống dạy học tiếp cận kết thúc mở có vai trò quan trọng trong việc phát triển khả
năng suy luận của học sinh, đặc biệt là suy luận ngoại suy. Các biểu diễn đồ thị hàm số trong
các tình huống tiếp cận kết thúc mở đã hỗ trợ tốt cho học sinh khảo sát toán: Tìm mối liên hệ
giữa các tính chất toán học, phát hiện ra các sự kiện và quy tắc mới, định hướng và tìm kiếm
các lời giải thích cho các kết luận, so sánh và đánh giá các cách tiếp cận,… tạo điều kiện để
mọi học sinh tham gia tích cực vào các hoạt động, học sinh có khả năng thấp có thể đưa ra các
ý kiến theo cách hiểu của mình còn các học sinh có khả năng cao có thể cảm thấy hứng thú
hơn khi các em mở rộng các tính chất hoặc phát hiện ra các kiến thức mới.
Qua các tình huống thực nghiệm, chúng tôi thấy rằng thiết kế những tình huống mang lại các
kết quả đáng ngạc nhiên và thú vị trong hoạt động giải toán là không dễ dàng. Để có thể phát
triển khả năng suy luận của học sinh đòi hỏi giáo viên phải lựa chọn những tình huống với
những biểu diễn trực quan vừa phù hợp với khả năng của học sinh vừa tạo ra được tính thách
thức, thu hút các em tham gia; các vấn đề đòi hỏi phải giàu thông tin, có nhiều hướng giải
quyết, phù hợp với trình độ của học sinh, và chứa đựng một số tính chất toán học có thể mở
rộng.Việc tạo ra các tình huống dạy học theo tiếp cận kết thúc mở có sử dụng biểu diễn đồ thị
hàm số có ý nghĩa không đơn giản, thậm chí những học sinh có khả năng cao hơn có thể lo lắng
về câu trả lời của mình. Những khuyết điểm trong cách tiếp cận này có thể được giải quyết.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Arcavi (2003). The role of visual representation in the learning of mathematics, Educational
Studies in Mathematics, Kluwer Academic Publishers.
[2] Becker, J. & Shimada, S. (2005). The Open-Ended Approach: ANew Proposal for Teaching
Mathematics, Printed in the United States of America.
[3] NCTM (2000). Principle and Standards for School Mathemactics, Walden University.
Education.
[4] Peirce (1914). Abduction, deduction and induction in Qualitative Research, Cambridge:
Cambridge University Press.
[5] Trần Vui (2014). Giải quyết vấn đề thực tế trong dạy học toán, NXB Đại học Huế.
Title: DEVELOPING STUDENTS’ REASONING ABILITY THROUGH AN OPEN-ENDED
APPROACH USING GRAPHIC REPRESENTATIONS OF FUNCTIONS
Abstract: Open-ended approach is a method of teaching that can help learners to discover the
knowledge for themselves in their own way. This article refers to the role of an open-ended approach
using graphic representations of functions to develop students’ reasoning ability. The results indicate
that the open ended situations which are suitably designed have potential for exploring new
mathematical knowledge.
Keywords: Reasoning, open ended approach, visual representations, graphic representations of functions
PHAN THỊ THÚY HÀ
Đơn vị công tác: Trường THPT số 1 Bố Trạch, Quảng Bình
Học viên Cao học, chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán, khóa 21 (2012-2014),
Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế, Email: thuyhaqb2012@gmail.com
nguon tai.lieu . vn