Xem mẫu
- VIII.TÍCH PHÂN
2
106) Cho f(x)= x x3
, tìm A, B và C sao cho:
(x 1) 3
A B C
Kq: A= -1; B=3 và C=1
f(x)= .
(x 1) 3 (x 1) 2 x 1
2
2) Từ đó tính x x 3dx
(x 1) 3
3
107) Tính x x 2dx 3
( x 2)
108) Tính (2x 3)dx 2
x 3x 2
2
109) Tính 3x dx 3
x 1
110) Tìm A, B , C để sinxcosx+1= A(sinx+2cosx+3)+B(cosx2sinx)
+C
Kq: A= 1 ; B= 3 và C= 8
5 5 5
111) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
Hàm số Kết quả Hàm số Kết quả
x c)
a) y= x 1 2 x ( 1) +C
3
x
1 tgxcotgx+C
y=
sin2 x. cos2 x
b)
d)
xsinx+C
x
y=2 sin 2
2
sinx+cosx+C
cos2x
y=
cosx sin x
- 112) Tìm nguyên hàm F(x) c ủa f(x)= x3x2+2x1 biết rằng F(0) = 4.
4
x3
Kết qua: F(x) = x +x2x+4
4 3
113) Tính đạo hàm của F(x) = x. l nx-x , rồi suy ra nguyên hàm của
f(x)= l nx.
Kết qua: F(x) = x. l nx-x+C
114) Tìm A và B sao cho với mọi x 1 và x2 , ta
x 1 A B
có: Từ đó, hãy tìm họ nguyên hàm của hàm số:
2
x 3x 2 x 2 x 1
x 1
f (x ) 2
x 3x 2
Kết qua: A=3; B= 2. F(x) = 3 l nx22 l nx1+ C= l n
3
x 2
+C
(x 1) 2
115) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
d) 1 dx
l
a) cot gx.dx l n l n
x. ln x
nsinx+C
.sinxdx x+C
b) cot g x.dx 2
e) e 2 cosx 3
c)
f) dx
sin x
cotgxx+C 1 2 cosx 3
+C
2
sin x. cosxdx e
2
- l n tg x +C
1
sin3x+C
2
3
116) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
2
e)
2
a) x 2
dx
2x 2
1
1 11 3 15
3
3 2 cot g2 x
cos2 x dx
3 2
3
b) x 4x
dx
x 4
1
2
c) | x 3
4
f) 1 sin x
2
1 | dx
dx
2
sin x
2
6
12
3 2 2
4
d) tg xdx g)
2
2
0
2
4 2
sin x cos xdx
0
1
3
4
4
117) Tính các tích phân:
Tích phân Kết Tích phân Kết quả
quả
1
dx
a) 2
sin x
g) dx
x 1
0
0 1 3 cosx
2
ln2 ln2
3
2
dx
b)
(2x 1) 2
1
-
1
1
4x 2
c) 3
2
dx
h) cos x
3 .dx
x2 x 1
0 2
sin x
1
6
2
4
d) tgxdx
2
i) sin x cosx .dx
0
2ln3 sin x cosx
3
ln 2 x
e dx
e)
ex 3 1
0
j) (2x 1) x 2 x 1 .dx
ln( 3 +1)
ln 0
2
2
f) cos 3
x.dx e 2
k) ln x
dx
0
x
1
ln 5 0
4
1
2 3
3
118) Chứng minh rằng:
3
11
4
dx
a) b) 54 2 ( x 7 11 x )dx 108
3 2 sin2 x 2
4 7
4
119) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả
4
a) sin 2x.dx
0
1
2
e
1 ln x
b) dx
x
1
-
2
(2 2 1)
sin 3 xdx
3
c) 3
cos 2 x
0
4
d) tg xdx 4
1
0
2
e) 2 dx
sin 4
x
4
1
f) 3 1 xdx 3 8
0
12
1
g) x x 2 1 dx
0
4
1
dx 3
h) 2
x x 1
0
1
e x dx
k) 3
1 ex
0
4
2
l) sin x 3
cosx dx
0
1
(2 2 1)
3
33
2( e 1 2 )
- 3
4
120) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả
Nhân tử số và mẫu số cho
2
dx
m) 2
x x 1
2
x.Kq:
12
3
n) 9 x 2 dx
3
1
dx
o) 9
4 x2
0
2
1
p) x 2 1 x 2 dx
0
3
6
q) x 2 1 dx
0
r) 1
1 x2
dx
x2
1
x=sint. Kq:
2
16
1
dx
s) x
0 1 e
1
3 ln(2 3)
2
dx 2
t)
1 cosx
0
3
u) sin xdx 3 3
cos2 x
0
3
2
sin x
v) dx
2
0 1 cos x
2e
TS+exex.Kq:l n
e 1
- e 4
w) ln x dx
x 1
1
1
4
1
5
121) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
e
1
c) ln xdx
a) xe 2 x dx
1
0
2
e 1 1
4
4
xdx
2
b) ( x 1) cos xdx d) cos 2
x
0 0
2
2
ln 2
4
Tích phân Kết quả Tích phân Kết
quả
1
h) x ln(1 x 2 )dx
2
e) x sin x.cos xdx 0
0
8
i) (e cos x x ) sin xdx
e
ln2 1
f) (ln x) 2
dx
0
2
1
1
e 2
g) ln(1 x 2
)dx
0
- e2 1
2
e
j) e x sin xdx
ln22+
0
2
e2 1
2
122) Chứng minh rằng:
2 2
Hd: x= t
a) f (sin x)dx f (cosx)dx
2
0 0
b b
b) f (x)dx f ( b x)dx Hd: x=bt
0 0
2
a
1a
Hd: t=x2
c) x xf (x)dx (a>0)
3
f (x 2 )dx
2
0 0
2 2
Hd: x= t
d) f (tgx)dx f (cot gx)dx
2
0 0
x. sin x
2
e) xf (sin x)dx f (sin x)dx . Áp dụng, tính: 1 cos2 x dx
0
0 0
Hướng dẫn: Lần 1, đặt x= t. Lần 2, để tính f (sin x)dx ta đặt x= +s
2
2
và kết quả bài 118a). Tính x. sin x dx = sin x , đặt t=cosx,
dx
2 2
1 cos x 1 cos x
0 0
2
kq:
4
- 123) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số chẵn,liên tục trên đoạn
a a
[a;a] (a>0) thì: f (x)dx 2 f (x)dx . Hd: t=x
a 0
124) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ, liên tục trên đoạn
a
[a;a] (a>0) thì: f (x)dx 0 . Hd: t=x
a
8
125) Chứng minh rằng: x sin7 xdx 0 . Áp dụng bài 124).
6
8
1 1
126) Chứng minh rằng: e dx 2 ecosx dx . Áp dụng bài 123).
cosx
1 0
x x
127) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ thì: f (t )dt f (t )dt .
a a
Hd: t=x
a
128) Chứng minh rằng sin x.f (cosx)dx 0 . Áp dụng bài 124)
a
a a
129) Chứng minh rằng cosx.f (x )dx 2 cosx.f (x 2 )dx . Áp dụng bài 123).
2
a 0
1 1
130) Chứng minh rằng x (1 x) n dx x n (1 x) m dx . Hd:x=1t
m
0 0
131) Tính các tích phân sau:
Tích phân Kết quả
2
a) ln(x x 2 1)dx
2
Hs lẻ: 0
-
2
b) x sin x dx
1 cosx
6
2
c) ln x dx
(1 3)
x5 6
1
ln 2
d) x.e x
dx
0
15 ln 2
e
256 64
e) | ln x | dx
1
e
1
x3
f) dx
e
x2 1 ln
0
2
2
2(e 1)
g) 6
1 - cosx.sinx dx
e
0
e
ln
2
6
7
Tích phân Kết quả
ln 3
e x dx
h)
(e x 1) 3
0
2 1
0
k) x(e 2x
3 x 1)dx
1
3 4
4
l) x dx
2
4e 7
1 cos2x
0
2
4
m) 1 2 sin x dx
1 sin 2x 1
0
( ln 2)
42
- 23
dx
n) x x2 4
5
ln 2
1
o) 3
1 - x 2 dx
x 0
ln 5
e 2x
p) dx
ex 1
ln 2
15
ln
43
2
q) | x 2
- x | dx
0
2
15
1
2
r) x 3
e x dx
0
e 2
s) x 1
.lnx dx
x
l
20
3
1
u=x2, dv=?. 1
2
12
(e 3)
4
1
132) Cho In = x e x .dx (n N)
n
0
a) Tìm hệ thức liên hệ giữa In và In1 (n≥1)
1
b) Áp dụng tính I3 = x e .dx . Kết quả: 62e
3 x
0
4
133) Cho In = tg x.dx (n N ) n
0
- Hd: In>In+1,x(0; )
a) Chứng minh rằng In > In+1.
4
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa In+2 và In.
1
4
1
Hướng dẫn: In+2 = tg x( In + In+2= .
n
1).dx
cos2 x n1
0
134) Tính In = cos x. cosnx.dx (n N)
n
0
u cosn x 1 1
Hướng dẫn: đặt , tìm được In= In1=…= n1 I1= .
2n
dv cosnx.dx 2 2
2
135) Tính In = cos x.dx (n N)
n
0
u cosn 1 x
tìm được In= n 1 In2.
Hướng dẫn: đặt ,
dv cosx.dx n
Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận :
n=2k ( n chẵn): In= 1.3....(n 1) .
2.4...n 2
n=2k+1 ( n lẻ): In= 2.4....(n 1)
3.5...n
2
136) Cho In = sin x.dx (n N)
n
0
a) Chứng minh rằng In+2 = n 1 In.
n 2
b) Chứng minh rằng f(n) = (n+1).In.In+1 là hàm hằng.
c) Tính In.
Hướng dẫn:
- u sinn 1 x
a) Đặt
dv sin x.dx
b) Chứng minh f(n+1)=f(n) f(n)=…=f(0)=
2
c) Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận :
n=2k ( n chẵn): I2k= 1.3....(2k 1) .
2.4...2k 2
2.4...2k
n=2k+1 ( n lẻ): I2k+1=
3.5...(2k 1)
1
Kết quả: a= 0
137)a) Tính I0 = (2x 1).e .dx ,
x x 2
0
1
2
Hd: b) Truy
b) Chứng minh rằng In = (2x 1) .ex x .dx =0
2n 1
0
hồi.
2 2
138) Tìm liên hệ giữa In = x và Jn = x và tính I3.
n n
. cosx.dx . sin x.dx
0 0
Kết quả: ( ) 3 3 6
2
x
Kq: 0
139) Giải phương trình: e .dt = 0. t
0
140) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= x2+3x2, d1:y =
1
K q:
x1 và d2:y=x+2
12
141) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= x33x và đường
thẳng y=2.
- 27
K q:
4
5
142) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1 ) : y x 2 x 1
2
3 8
K q:
v aø P2 ) : y -x 2
( x 1
2 3
143) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y=x(3x)2, Ox và x=2;
x= 4. Kq: 2
x2
144) Cho hai đường cong : ( P1 ) : y .
2 x vaø 2 ) : y
(P
2
a) (P1) và (P2) cắt nhau tại O, M tính tọa độ điểm M.
4
K q:
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1) và (P2).
3
145) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) : y2-2y+x = 0 và (d) :
x+y = 0.
Hướng dẫn: Ta có (P) : x = -y2+2y và (d) : x = -y.Tung độ giao
điểm của (P) và (d) là nghiệm phương trình y2-3y = 0 y=0 V y=3.
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm
3 3
9
là: S (x x d )dy (y 2 3y)dy ........
P
2
0 0
146) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
K q: 1
a) (C): y = cosx ; y = 0 ; ;x.
x
2
K q: 9
b) (C): y = x2 – 2x + 3 ; (d): y = 5 – x .
2
- c) (C): y = 2x3 – x2 – 8x + 1 ; (d): y = 6. K q:
2401
96
d) (P): y = - x2 + 6x – 8 và tiếp tuyến tại đỉnh của (P) và trục tung.
K q: 9
e) (C): y = x3 – 3x và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 1
2
Kq: 27
64
1 5 9
f) (C): y= x2-2x+2 và các tiếp tuyến với (C) kẻ từ K q:
M ;1 .
2 2 8
12 13
1
; y e x ; x 1 . Kq:
g) y e
2x 2 e2
e
Kq: 4
h) y = x ; y = 0 ; y = 4 – x.
16
i) y2 = 2x + 1; y = x – 1 . Kq:
3
Kq: 2ln2-1
j) y = lnx ; y = 0 ; x = 2.
147) Tính thể tích của vật thể do các hình phẳng giới hạn bởi các đường
sau đây quay quanh trục Ox:
4
a) y , y 0 , x 1, x 4 Kq : 12
x
23
b) y x 3 1 , y 0 , x 0 , x 1 Kq :
14
625
c) y 5x x 2 , y 0 Kq :
6
32
d) y 2 4x , y x Kq :
3
x2 y2
e) (E) : 1 Kq : 16
9 4
1 x
Kq : e 2
f) y x 2 .e 2 , x 1 , x 2 , y 0
- g) y x.ex , x 1 , y 0 Kq :
3
148) Cho (E) : 9x2 + 25y2 = 225 ;(d):y = . Tính diện tích hình phẳng
2
Kq:
giới hạn bởi (d) và phần trên d của (E).
5- 15 3
4
149) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y=2x2 , (C): y= 1 x 2
và Ox.
K q: 8 2
3 2
150) Tính V của vật thể do (H) giới hạn bởi: y2 = x3(y≥0) , y = 0, x= 1
Kq:
a) Quay quanh trục Ox.
4
4
Kq:
b) Quay quanh trục Oy.
7
151) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= x 1 ., tiệm cận
x 1
ngang của (C) và các đường thẳng x = –1; x = 0.
Kq: 2ln2
nguon tai.lieu . vn
